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2025 年初三年级质量检测
数学（6 月）
本试卷分为第Ⅰ卷（客观卷）和第Ⅱ卷（主观卷）两部分，第Ⅰ卷为 1-8题，共 24分，
第Ⅱ卷为 9-20题，共 76分。全卷共计 100分。考试时间为 90分钟。
注意事项：
1.答题前，请将学校、姓名、班级、考场和座位号写在答题卡指定位置，将条形码贴在答题
卡指定位置。
2.选择题答案，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动请用 2B橡皮擦
干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上。非选择题，答题不能超出题目指定区域。
3.考试结束，监考人员将答题卡收回。
第 I 卷 （选择题，共 24 分）
一、选择题：（每小题只有一个正确选项，每小题 3 分，共计 24 分）
1． 深圳作为科技创新之城，有很多知名品牌，以下深圳品牌标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．实数 a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
第 2题图
A．a＞b B．a + b＞0 C．bc＞0 D．a+c＜0
3．下列运算正确的是（ ）
A．3 + = 3 B． 3 2 = 5 C．( ) = D．( + )2 = 2 + 2
4．如图是由9个全等的小正方形组成的图案，假设可以在图案中随意取一个点(不包括边界
线)，那么这个点取在阴影部分的概率是 ( )
4 5 4
A． B． C． D．1
9 9 5
第 4 题图 第 5 题图
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5．如图，直角三角板的直角顶点落在直尺边上，若∠1=55°，则∠2的度数为（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
6．通过如下尺规作图，能说明△ 的面积和△ 的面积相等的是（ ）
A． B．
C． D．
7. 甲乙两地相距 420千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地行驶的长途客运车平均
速度是原来的 1.5倍，因此从甲地到乙地的时间缩短了 2小时．设原来的平均速度为 x千米
/时，可列方程为（ ）
420 420 420 420 1.5 1.5
A． + = 2 B． = 2 C． + = 2 D． = 2
1.5 1.5 420 420 420 420
8．如图， ABC中，顶点 A，B 在 x 轴上，顶点 C 在 y 轴上，∠ACB = 900，A、C两点的坐
标分别为 ( 3,0), (0, √3)．点 M、N同时从 B点出发，均以每秒 1个单位长度的速度分别沿
、 边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动.在运动过程中，将△
沿 MN翻折得到△ ．若点 P恰好落在 边上，求此时点 P的坐标（ ）
1 2 3 2 3 2 3 2 2 3
A．（ ， √ ） B.（1， √ ） C.（ 1 ， √ ） D.（ ， √ ）
3 3 3 3 3 3
第 8 题图 第 10 题图 第 11题图
第 II 卷 （非选择题，共 76 分）
二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3分，共 15 分）
9．如果 = 1是一元二次方程 2 + 1 = 0的一个解，则2024 ( + ) = ．
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10．如图，将 Rt△ABC沿射线 BC方向平移 6 cm，得到 ＇ ＇ ＇ ，已知∠ACB=90°，BC=3cm，
AC=4 cm，则阴影部分的面积为 cm2．
11.如图，△ 内接于⊙O．若∠ = 45°， = √2，则 的弧长为 ．
第 12题图 第 13题图
12.如图，在直角坐标系中，正方形 ABCD边长为 4，AB∥y轴，BC∥x轴，其对角线的交点 E

坐标为（-6，5），反比例函数y = 的图象经过点 C，则 K的值是 ．

13.如图，在等腰 Rt△ABC中，∠ABC = 900，边 BC上有一点 D，将△ADB 沿线段 AD折叠得
1
△ ADB′，线段DB′与边 AC交于点 E，若 = ，则 = .
2 B′E
三、解答题（本大题共 7小题，共 61分）
14.（5分）计算： 12025 + |√3 2| + 2cos30° + (2 tan60°)0
1 1
15.（7分）先化简，再求值： ( + ) ÷ ，其中 = 9.
+1 2 1 1
16.（8分）为丰富学生的校园生活，增强学生的美育意识，某校开设了五个社团活动：美食
共享（A）、书法创作（B）、绘画绘美（C）、音乐之声（D）、经典诗词（E），每个学生
每个学期只参加一个社团活动．为了了解本学期学生参加社团活动的情况，学校随机抽取了
若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图．请根据统计图提供
的信息，解答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
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（2）在扇形统计图中，美食共享（A）对应扇形的圆心角度数是 ；
（3）若该校有 1800名学生，请估算本学期参加音乐之声（D）活动的学生人数；
（4）若小明和小亮可从这五个社团活动中任选一个参加，请直接写出两人恰好选择同一
个社团的概率．
17.（8分）深圳市罗湖区作为深圳最早发展的城区之一，融合了自然景观、历史文化和现代
都市风貌，有很多知名景区，比如“仙湖植物园”、“梧桐山”、“洪湖公园”、“东门老
街”等。请同学们认真阅读以下材料，并完成相关的学习任务：
材料一：2025年“五一”劳动节假期，大批深圳市民进入“仙湖植物园”观光游玩，据统
计，5 月 4日上午 8:00—10:00有接近 4200人乘坐私家车和客车两种交通工具进入仙湖植
物园停车场，根据停车场监控统计，在此段时间内私家车和客车共 320辆进入，假如每辆
私家车平均乘坐 3人，客车平均每辆乘坐 30人.
材料二：某学校计划五一过后，组织学校 720名师生到“仙湖植物园”研学，一共租甲、
乙两种型号的客车 20辆，根据下表提供的信息要求在保证将全部师生送达目的地的前提下
租车费用不超过 7200元．
型号 每辆载客量 每辆租金
甲型号 30 320
乙型号 45 400
请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成（1），（2）任务．
（1）请同学们估算材料一中提供的时间段内分别有多少辆私家车和客车进入停车场。
（2）有几种租车方案供学校选择？最少租车费用是多少？
18. （9分）如图，⊙O 为 ABC的外接圆，AB=AC，D是⊙O 上一点
（1）请只用无刻度的直尺完成作图(保留作图痕迹，不写作法).
①画出线段 BC 的垂直平分线
②画出∠BDC 的平分线
（2）已知，AB=6，BC=4，求⊙O 的半径.
19.（12分）平移是初中数学中的重要图形变换之一，其特点是保持图形形状、大小不变，
仅改变位置。
我们先以抛物线 1: =
2为例，对平移变换做了以下研究：把抛物线 : = 21 先向右平
移 1个单位，再向下平移 4个单位得到抛物线 2，抛物线 2与x轴交于 A，B两点，其对称轴
与x轴交于点 D.
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图 1 图 2
（1）抛物线 2的表达式为： ，
（2）如图 1，抛物线 1: =
2与抛物线 2的交点 C的坐标为：C( ， ) .
抛物线 2与x轴交于 A，B两点，线段 AB=
（3）平移求解（参考图 1、图 2）
①如果把线段 AB平移，线段的一个端点落在抛物线 2的对称轴上记作点 E，另一个端点落在
抛物线 2上记作点 F，则点 F坐标为：F( ， )
②如果把线段 DB平移，线段一个端点落在抛物线 1上记作点 G，另一个端点落在抛物线 2上
记作点 H，则点 H的横坐标为：
（4）对于直线l1: y = x，通过对其上下平移可得直线l2: y = x + b，如果直线l2恰好与抛物线
1， 2共有三个交点，则 b 的值为：
20． (12分)【综合与实践】
【问题背景】阅读以下材料，并按要求解决问题：
从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，与正方形两个边的交点构成的基本平面几何模
型称为半角模型．半角模型可以利用旋转得出多个几何结论，例如：
如图 1，在正方形 中，以 为顶点的∠ = 45°， 、 与 、 边分别交于 、 两
点，若BE = a，DF = b，EF = c（a，b，c为常数）．易证： = + ，则可以得到a，b，c
之间的数量关系是：c = a + b．
证明：如图 2，将△ 绕点 顺时针旋转90°，得到△ ，由∠ = 180°可得 G、 、 三
点共线，∠ = ∠ = 45°，可证明△ ≌△ ，故 = = + ，进而得到c =
a + b．
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图 1 图 2
【方法转化】如果把背景中的正方形换成特殊顶角的等腰三角形，同学们可以利用上述问题
背景得到多个结论.
【问题解决】在半角模型中可以利用旋转的方法解决问题.
（1）如图 3，在等腰Rt ABC中，以 为顶点的∠ = 45°， D、 E 与 边分别交于 D、
E 两点，将△ 绕点 逆时针旋转90°，如图 4，得
到△ ，易证∠ = 900，△ ≌△ ，则
可以得到 BD，DE，CE之间的数量关系。
①若BD = 3，CE = 4，则可得DE = 图 3 图 4
②若BD = a，CE = b，DE = c，则a，b，c之间的数量关系是：
（2）如图 5，在等边 ABC中，以 为顶点的∠ = 30°， D、 E
与 边分别交于 D、E两点。若BD = a，CE = b，DE = c，则a，b，c
之间的数量关系是：
图 5
（3）如图 6，在等腰 ABC中，顶角∠ = 120°，以 为
顶点的∠ = 60°，AD、AE与 BC边分别交于 D、E两点，
则可以得到 BD，DE，CE之间的数量关系。
①若BD = 3，CE = 4，则可得DE =
图 6
②若BD = a，CE = b，DE = c，则a，b，c之间的数量关系是：
【实践应用】
（4）在第（3）问第①小问基础上，把 ABD绕点 A逆时针旋转1200得 ACF，如图 7，如果
线段EF与边 AC交于点 G ，则线段 CG=
图 7
初三数学 第 6 页 共 6 页2025年初三年级质量检测答案及评分标准
数学（6月）
一、选择题（每小题 3分，共 24分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B B C C B C
二、填空题（每小题 3分，共 15分）
题号 9 10 1 1 12 13
答案 2023 18
三、解答题
14 题 . 原式= + √ + √ + .......................................................................................4
分
= .............................................................................................5
分
（一次计算 1=分[， 结 果 1分15 . ( +1)( 1 1
）
) + ( +11)1( 1)] × 1题 原式 = × .....................................................3分 =( +1)( 1) ..................................................................................4分 1m = 9 ∴ +1 = ...................................................................................................5分 11， 原式 0 ..........................................................................................7分
（没有按照 答 案的方式书写，但是运算过程正确，结果正确，则不扣分；无运算过程，直接写原式= + ，并算出结果给 1分；直接带入 = 算出结果给 3分）
16题.
(1)
..........................................................................................2分
（作图正确，没有涂阴影不扣分；没有写“如图所示”不扣分；D上方没有写数字 22要扣
1分）
(2) 120° 1 8 0 0..×....2..2...=.....4..4..0.......................................................................................................4分 （3）解： 90 （名）..........................................................................................5分
答：该校本学期参加艺术鉴赏（D）活动的学生人数大约有 440名................................6分
（没有1计算过程直接写出结果 440扣 1分；计算正确没有答或者陈述性语言扣 1分）
（4）5 ........................................................................................................................................8分
17题.
(1)方法一：
解：设在提供的{时间 段+内 =进入停车场有私家车 x辆，客车 y辆． 根据题意，得：
{ == 210200 3 + 30 =
3422000 ...................................................................................1分
解得： ...................................................................................................................2分
答：在提供的时间段内进入停车场有私家车 200辆，客车 120辆．...............................3分
方法二：
解：设在提供的3时 间+段30内(3进20入 停 车) =场4有20私0家 车 x辆，客车（320 ）辆． 根据题 意=，2得0：解得： 0 ∴ 320 = 120 ...........................................................................1分 .......................................................................................2分
答：在提供的时间段内进入停车场有私家车 200辆，客车 120辆．...............................3分
(两问的设、答共 1分，不重复扣分，如果是简设简答且省略过多同样扣 1分，可自行把握，
酌情扣分)
(2)解：设学校租{用3A0 型+号4客5(2车320 + 400(20
辆 车) ≥，7租用 B型号客车(20 )辆．
根据题意，得： 10 ≤ ≤ 012 ) ≤ 7
22000 ..................................................................5分
解得： ， ..................................................................6分 ∵ 为整数，∴ 的整数解为 10、11、12， 即：学校有 3种租车的方案....................7分
①租用 A型号 10辆，租用 B型号 10辆，租金为：1101××332200++190××440000==77122000（元）； ②租用 A型号 11辆，租用 B型号 9辆，租金为： （元）；
③7租04用0 答：学校可以选择①、②、③三种租车方案，最少租车费用为 7040元．................8分
（方程组列对 1个给 1分；最少的租车费用为 7040元解释清楚不扣分，可酌情给分）
18题.
(1)
②①如图所示：直线 AF即为所求 .......................................................................................2分 如图所示：射线 DF即为所求 .......................................................................................4分
（画出直线 AF，射线 DF即给 4分；没有写“如图所示”等陈述性语言不扣分；用圆规作
图不给分）
(2)
在R t ∴ABAEE中=，√A6B= 6
1
2，B=E4=√2 B2C = 2 .................................................................................5分 O A = OB = r 2∴ OE2 = 4√2 r .......................................................................................6分 设
在Rt OrB=E
，
中，由勾股定理可得：22 + (4√2 )2 = 2 ......................................................7 9 2 分
解得： √4 ∴⊙ 9√O的半径为 42 ................................................................................................9分
（算对半径的值，没有陈述性语言不扣分）
19题. 【不用写过程，如果有写过程，结果正确都给分】
(1) y = (x 1)2 4或 y = x2 2x 3 ...........................................................................2
分
(2) C( 32 , 49) ..............................................................................................................4分
AB=4 ..............................................................................................................6
分
(3) ① （5,12）或（ 3,12）.............................................................................................8分
72 7② 或 6 .............................................................................................................10分 (4) 145 1或 4 ...........................................................................................................12分
（两个答案的问题，只写一个且正确给 1分，写对一个写错一个给 1分）
20题.【不用写过程，如果有写过程，结果正确都给分】
(1)① ② 5 c c=2
= a..2...+....b..2.. ..... .c...=....√..a..2...+....b..2............................................................................................2分 2 a2 + ab + b或2 c = √a 2 + a（b答+ b案2不唯一，其他正确写法不扣分）......................4分 (2) 或 （答案不唯一，其他正确写法不扣分）...........6
分
(3)① ② c√21=3 a 2.. ....a..b...+....b..2.. ..... .c..=....√...a..2... ....a..b...+....b..2...........................................................................8分 或 （答案不唯一，其他正确写法不扣分）......10
分
(4) √ ....................................................................................................................................12分

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