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重庆市铁路中学2024 2025学年高二下学期期中考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列求导运算结果不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．设随机变量服从正态分布，且，则c等于（ ）
A．0 B． C． D．
3．设离散型随机变量X的分布列如下表所示.若随机变量，则（ ）
X 0 1 2
P 0.1 0.4 0.2 0.3
A．0.7 B．0.4 C．0.3 D．0.6
4．已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则n为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．9
5．年春节档共有部影片定档，某影城根据第一周的观影情况，决定第二周只播放其中的《哪吒之魔童闹海》、《唐探》、《·重启未来》及《蛟龙行动》．为了家庭中的大人和孩子观影便利，该影城对第、周影片播放顺序做出如下要求：《哪吒之魔童闹海》不排第一场，《·重启未来》不排最后一场，《蛟龙行动》和《·重启未来》必须连续安排，则不同的安排方式有（ ）
A．种 B．种 C．10种 D．种
6．已知，则（ ）
A．81 B．80 C．65 D．64
7．已知定义在上的函数满足，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．每次试验时，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内，在如图所示的小木块中，上面10层为高尔顿板，最下面为球槽．小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过9次与小木块碰撞，最后掉入编号（从左至右）为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的球槽内．若一次试验中小球滚落至事先选定的球槽编号n即得积分，否则不得分．若，为使所得积分的数学期望最大，每次试验前选定的球槽编号为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、多选题（本大题共3小题）
9．在二项式的展开式中，系数为有理数的项有( )
A．第一项 B．第三项 C．第四项 D．第五项
10．已知随机变量满足，且，且，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，则下列命题中正确的是（ ）
A．0是的极小值点
B．当时，
C．若，则
D．若存在极大值点，且，其中，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．某次演出已排好5个节目，后增加甲、乙、丙3个节目，要求在不改变原来节目的顺序前提下，且增加的节目不能排在第一个和最后一个，则演出顺序不同的排法有 种．
13．假设生产某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是、、，而它们的良品率分别是、、，则该部件的总体良品率是 ．
14．若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．的展开式中，二项式系数之和为a，各项系数之和为b，且．
（1）求n的值；
（2）求的展开式中的常数项．
16．已知函数在和处取得极值．
（1）求、的值；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
17．某校高一学生周末参加社区实践活动，现从4名男学生和2名女学生中随机选取2人参加．
(1)求在有女学生参加活动的条件下，恰有1名女学生参加活动的概率；
(2)记参加活动的女学生的人数为，求的分布列及期望；
(3)若本次实践活动有甲、乙、丙3个可选项目，每名女学生可从中选择1项或2项参加，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男学生至少从中选择2项参加，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“班级明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人的得分之和为，求的期望．
18．将一个边长为3的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒．
（1）试把方盒的容积表示为的函数，多大时，方盒的容积最大
（2）若，证明：当时，．
19．2025年央视春晚人形机器人展示了科技的飞速发展，随着人工智能和机器学习技术的不断升级，作为人形机器人核心部件的灵巧手在感知能力和操作精准度上大幅度提升，某公司针对代号和的两只灵巧手进行一次操作比赛，比赛结果将影响后续的研发投入．比赛流程如下：和需依次完成三个项目，分别是电路板焊接、精密设备开启和精准打螺丝，完成每个项目的得分依次为5分、3分、2分，未完成项目得0分，以三个项目的总分评定胜负，总分高者获胜．两只灵巧手分别对比赛项目进行了30次赛前模拟，数据如下：
完成电路板焊接次数 完成精密设备开启次数 完成精准打螺丝次数
10 18 24
15 15 15
若视赛前模拟的频率为概率，且两只灵巧手能否完成每个项目都相互独立．
（1）求比赛中只完成了一个项目的概率；
（2）记在比赛中的总分为，求的分布列；
（3）已知本次比赛获胜，求的总分不低于5分的概率．
参考答案
1．【答案】A
【详解】，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D正确.
故选A.
2．【答案】D
【详解】由随机变量服从正态分布，可得正态曲线的对称轴为，
因为，所以.
故选D.
3．【答案】B
【详解】依题意，.
故选B
4．【答案】C
【详解】因为二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，
则二项式的展开式共项，即，解得.
故选C.
5．【答案】A
【详解】分三种情况：
第一种：《哪吒之魔童闹海》排最后一场，因为《蛟龙行动》和《·重启未来》
必须连续安排，所以用捆绑法有种可能，并看成一个元素，
剩下元素有种排法，所以共有种排法；
第二种：《哪吒之魔童闹海》排第二场，
因为《蛟龙行动》和《·重启未来》必须连续安排，而且《·重启未来》不排最后一场，
所以《蛟龙行动》和《·重启未来》只能排在第四、第三两场，《唐探 》排第一场，这种情况共种排法；
第三种：《哪吒之魔童闹海》排第三场，
因为《蛟龙行动》和《·重启未来》必须连续安排，而且《·重启未来》不排最后一场，
所以《蛟龙行动》和《·重启未来》排在前两场有种排法，《唐探》排最后一场，这种情况共有种排法.
综上符合条件的电影安排方法总数为种.
故选A.
6．【答案】B
【详解】因为
令，可得，即；
令，可得：，即，
所以.
故选B
7．【答案】B
【详解】构造函数，利用判断出在上递增，由此化简不等式并求得不等式的解集.
【详解】令，有，得函数在上单调递增，又由不等式可化为，有，
，.
故选B
8．【答案】D
【详解】设选定的格子编号为，则小球碰撞过程中有次向右边滚落，
落到该格子的概率为，此时其数学期望为，
令，则，
当时，，当时，，所以当时，最大，D正确.
故选D
9．【答案】ABD
【详解】二项式的展开式的通项为，
则当r=0，2，4时，系数为有理数，
故系数为有理数的项有第一项、第三项、第五项．
故选ABD．
10．【答案】AD
【详解】由随机变量满足，且，可得，解得，
对于A中，由，所以A正确；
对于B中，因为，即，可得，所以B错误；
对于C中，由，所以C错误；
对于D中，由，可得，所以D正确.
故选AD.
11．【答案】ACD
【详解】由题意可得，
令，当时，得或，
对于A，当时，令，解得或，则在和上单调递增，
令，解得，则在上单调递减，
所以在处取得极小值，
同理，当时，在和上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值；
当时，，在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，故A正确；
对于B，当时，在上单调递减，
又，，所以，故B错误；
对于C，若，则，则
.
所以，，则，故C选项正确.
对于D，若存在极大值点，则，即，
因为，所以，
所以，，
即，
又，所以，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】120
【详解】根据题意，用逐个插空法，则不插入两端的不同的排法有种.
13．【答案】
【详解】由题意可知该部件的总体良品率是：
.
14．【答案】
【详解】的定义域为，
，
令得，令得，
故在上单调递减，在上单调递增，
故若函数在子区间上不单调，则，
解得，
故k的取值范围为
15．【答案】（1）9
（2）672
【详解】（1）由题意得，，
因为，所以，
所以，解得．
（2）的展开式的通项，
令，得，
所以的展开式中的常数项为．
16．【答案】（1），
（2）
【详解】（1）因为，则，
函数在和处取得极值．
，，联立解得：，．
且当，，，则，
由可得，列表如下：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以，函数在处取得极大值，在处取得极小值，合乎题意.
因此，，．
（2）由（1）知在单调递增，在单调递减，
故当时，，
要使得对任意，不等式恒成立，则需，
故，即，解得或，
的取值范围是．
17．【答案】(1)；
(2)分布列见解析，；
(3)13(分).
【详解】（1）设“有女学生参加活动”为事件A，“恰有一名女学生参加活动”为事件，
，，．
（2）依题意知服从超几何分布，且，
，，，
的分布列为
0 1 2
．
（3）设一名女学生参加活动可获得的分数为，一名男学生参加活动可获得的分数为，则的所有可能的取值为3，6，的所有可能的取值为6，9，
，，
，，
有名女学生参加活动，有名男学生参加活动，
，
，
两个学生的得分之和的期望为13分．
18．【答案】（1），当时，方盒的容积最大为
（2）证明见解析
【详解】（1）由题可知，无盖方盒的棱长分别为：，
所以方盒的容积，
令，
解得或，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
所以当时，有最大值．
（2）证明：，
设，，，
则，
所以在上单调递减，所以，
设，
则，则在上单调递增，
所以，
所以在上单调递增，，
所以，即．
19．【答案】（1）比赛中只完成了一个项目的概率为
（2）答案见解析
（3）已知本次比赛获胜，求的总分不低于5分的概率为
【详解】（1）由于进行了30次赛前模拟，每个项目完成的次数均为30次，
则每个项目完成的概率均为，
设完成比赛项目个数为，则，
则，
故比赛中只完成了一个项目的概率为；
（2）记比赛中得分，则的可能取值为，
完成电路板焊接、精密设备开启和精准打螺丝的概率分别为，
所以，
所以的分布列为：
（3）记在比赛中的总分为，的可能取值为，
所以，，
记比赛“获胜”为事件，“的总分不低于5分”为事件，
则，
故已知本次比赛获胜，求的总分不低于5分的概率为.

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