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重庆市2025年中考数学5月诊断试题数学试题
（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线．
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上．
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑）
1. 下列四个数中，最小的数是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列车标图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 在下列调查中，适宜采用全面调查的是（ ）
A. 了解我省中学生视力情况
B. 了解九（1）班学生校服的尺码情况
C. 检测一批电灯泡的使用寿命
D. 调查台州《600全民新闻》栏目的收视率
4. 如图，直线，线段，若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
5. 若两个相似三角形的面积比是，则这两个相似三角形的周长比是（ ）
A. B. C. D.
6. 下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小三角形，图形③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形，……．按此规律，图形 中共有n个小三角形，这里的（ ）
A. 110 B. 112 C. 114 D. 116
7. 已知，则实数的范围是（ ）．
A. B. C. D.
8. 如图，圆O是△ABC外接圆，∠A＝68°，则∠OBC的大小是( )
A. 22° B. 26° C. 32° D. 68°
9. 如图，正方形的边长为，为对角线的中点，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点，连接，则的长为（ ）
A. B. C. D.
10. 给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为（n为正整数）．已知，并规定：，，，下列说法：
①；
②；
③对于任意正整数k，都有成立．
其中正确的个数是（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上）
11. 计算： ___________．
12. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是__________．
13. 如图，在中，，将沿翻折得到与在同一平面内，点的对应点是点，交的延长线于点，则_______
14. 某市严格落实国家节水政策，2022年用水总量为6.5亿立方米，2024年用水总量为5.265亿立方米．设该市用水总量的年平均降低率是，那么满足的方程是___________．
15. 如图，在菱形中，是对角线上一点（），，垂足为，以的长为半径的分别交于点，交的延长线于点与交于点，连接．若是的中点，，则___________，___________．
16. 若一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为零，且满足千位数字与百位数字的和的平方等于这个四位数去掉千位与百位数字后得到的两位数，则称这个四位数为“和方数”．例如：四位数6149，因为，所以6149是“和方数”；又如：四位数3562，因为，所以3562不是“和方数”．最小的“和方数”为______；已知为“和方数”，A去掉千位数字后所得的三位数记为，记，，在能被11整除的情况下，当取得最大值时，满足条件的“和方数”A等于_______．
三、解答题（本大题共9个小题，题每小题8分，其余每小题10分，共86分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应的位置上）
17. 解不等式组，并写出它的所有整数解．
18. 如图，四边形为矩形，为矩形的一条对角线．
（1）用尺规完成以下基本作图：在的左侧作，射线与的延长线交于点．连接与交于点；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；
（2）小亮判断点为线段的中点．他的证明思路是：利用矩形的性质，先证明为等腰三角形，从而得到点为的中点，再利用三角形全等，得到点为的中点．请根据小亮的思路完成下面的填空：
证明：四边形为矩形，
，，，
，
①　　，
又，
，
，
，
，，
②　　，
，
，
，
③　　，
又，
，
又
④　　，
，
点为的中点．
进一步思考，连接，发现和之间有确定的数量关系，写出你猜想的结论： ⑤ ．
19. 先化简，再求值：，其中．
20. 北关中学在七、八年级各选取10名学生参加学校举办的“我爱我校”知识竞赛．竞赛成绩整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．）
七年级10名学生的成绩：82，84，90，92，93，93，93，93，100，100
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：91，91，93，94
七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 92 93 b 30
八年级 92 a 95 26.8
八年级选取的学生竞赛成绩统计图
根据以上信息回答下列问题：
（1）______，_______，______．
（2）哪个年级的学生成绩更好？请说明理由．
（3）若该校七年级有700人，八年级有800人，均参加此次知识竞赛，估计成绩优秀（）的学生共有多少人？
21. 列方程解应用题：
随着全球新一轮科技革命和产业变革蓬勃发展，新能源汽车已经成为全球汽车产业转型发展的主要方向，重庆一些传统汽车零部件生产工厂也开始转型生产新能源汽车零部件．某汽车零部件生产厂的甲车间有工人20名，乙车间有工人30名，因接到加急生产一批新能源汽车零部件的任务，所以工厂新增30名工人分配到甲、乙两个车间，分配后甲车间的总人数为分配后乙车间总人数的．
（1）新分配到甲车间的人数有多少人？
（2）因为甲车间使用的是改良后的新设备，所以甲车间每名工人每天生产的零件数量为乙车间每名工人每天生产的零件数量的倍．新增工人后，甲车间生产36000个零件的天数比乙车间生产36000个零件的天数多4天，则乙车间每名工人每天生产零件多少个？
22. 如图1，在中，，，，为的中点．点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，至点处停止；同时，点以相同的速度从点出发，沿着折线方向匀速运动，至点处停止．设点的运动时间为秒，的面积与的面积之比为，的面积为．
（1）请直接写出，分别关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围；
（2）在图2所示的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．
23. 小明一家乘坐轻轨到重庆磁器口古镇游玩．轻轨到站后，小明一家从轻轨站出口处沿北偏东方向行走200米到达景点处．再从处沿正东方向行走300米到达景点处．然后从处沿南偏东方向行走400米就来到了在嘉陵江边处．从处沿正西方向到处是一条巴渝风情步行街．出租车乘车点在处南偏西方向上．（都位于的正南方向上）
（1）求巴渝风情步行街长；（结果保留根号）
（2）结束游玩之后小明爸爸需要赶到重庆西站乘坐高铁．小明爸爸从处出发，现可沿①路线回到处乘坐轻轨到达西站，轻轨到达西站需要1小时；也可沿②路线到达出租车乘车点处打车到达西站，出租车到达西站需23分钟，但会堵车半小时．已知小明爸爸步行速度是20米/分，请问小明爸爸选择哪条路线能更快到达重庆西站？（参考数据：）
24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过点，与轴交于点，连接．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）为线段上方抛物线上一动点，当面积最大时，在线段上有一动点，线段上有一动点，求的最小值；
（3）如图2，将原抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线恰好经过点，新抛物线与轴在右边的交点是点，连接为轴右边的新抛物线上一动点，过点作轴于点，在轴上是否存在点，满足？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25. 如图，在等腰中，，在边上取一点，连接，点为上一点，以为斜边向下作等腰．
（1）如图，连接，交于，若垂直平分，设，求的度数（用含的代数式表示）；
（2）如图，连接，以为顶点，在右侧作，交于点，求证：；
（3）如图，连接，设与交于点，若，，点从点运动到点的过程中，当的长度取得最小值时，请直接写出的面积．
参考答案
1-10.
【答案】A
【答案】C
【答案】B
【答案】B
【答案】C
【答案】D
【答案】D
【答案】A
【答案】A
【答案】A
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】##30度
14.【答案】
15.【答案】 ①. ②.
16.【答案】 ①. 1425 ②. 2781
17.【答案】不等式组的解集为；所有整数解为3、4．
18.解：（1）如图，
（2）证明：四边形为矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
又
，
，
点为的中点，
连接
∵，
∴为直角三角形，
∵为斜边上的中线，
∴，
即和之间的数量关系为．
19.【答案】，
20.【答案】（1），，40
（2）八年级学生的成绩更好；
（3）估计成绩优秀（）的学生约有1200人．
21.【答案】（1）新分配到甲车间的人数为人
（2）乙车间每名工人每天生产零件个
22.【小问1】
解：由题意得：，
与共过点作边的高，
，
，
，，，
，
为的中点，
，
，
，
当点在线段上时，即，过点作于点，
由题意得：，
，
，
；
当点在线段上时，即，过点作于点，
由题意得：，
，
，
，
综上：；
【小问2】
解：画出函数，的图象如图下：
函数一条性质：随着的增大而减小（答案不唯一）；
【小问3】
解：记函数与函数的交点为、，
由图象可得：，
当时的取值范围：．
23.【小问1】
解：如图，过C作于H，延长相交于F，
则，，四边形是矩形，
由题意得：，，米，米，米，
∵中，，
∴米，
米，
∵中，米，
∴米，
答：的长度为米 ．
【小问2】
解：由题意得：，，
∵中，，
∴，
，
②号路线所用时间（分钟），
①号路线所用时间（分钟），
∵，
∴选择②号路线更快．
24.【小问1】
解：∵抛物线过点，
∴，解得：，
∴；
【小问2】
∵，
∴当时，，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为直线，把代入，得：，
∴，
把直线向上平移，直至直线与抛物线只有一个交点时，此时的面最大，
设平移后的解析式为，
令，整理，得：，
则：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，轴，，，
∴，
∵轴，
∴，
作点关于的对称点，交于点，连接，则：垂直平分，，
∵为上的动点，
∴当时，的值最小，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为：；
【小问3】
存在，
∵，
设平移后的解析式为：，
∵平移后的解析式经过点，
∴，
解得：或（舍去）；
∴，
∴点是由点向右平移一个单位得到的，
∵，
∴，
∵
∴，
∴
当在轴上方时，则：，
∴，即：点在一三象限的角平分线上，即：在直线上，
联立，解得：或（舍去）；
∴；
当点在轴下方时，则：，
∴，此时点在轴正半轴，
∴，
∴点在二四象限的角平分线上，即在直线上，
联立，解得：或（舍去）；
∴；
综上：或．
25.【小问1】
∵垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2】
如图，过作交延长线于点，连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，即，
在和中，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
在和中，
，
∴，
∴；
【小问3】
如图，取中点，连接，连接，过作，，分别交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
∴由勾股定理得：，
∵是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴的面积为．

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