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人教版2024-2025学年八年级下册期末数学模拟卷02
答题卡
姓 名：__________________________
准考证号： 贴条形码区
注意事项
1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准
考生禁填： 缺考标记
条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。
违纪标记
2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂
答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。
3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案
选择题填涂样例：
无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
正确填涂
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂 [×] [√] [／]
一．选择题（本大题有 10 小题，每小题 2 分，共 20 分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合
题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上）
1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
二．填空题（本大题有 8 小题，每小题 2 分，共 16 分.）
11._______________ 12. ___________ 13 ._________________ 14. __________________
15. ________________ 16. _______________ 17.________________ 18. ________________
三．解答题（本大题有 8 小题，共 64 分.解答时应写出文字说明或演算步骤.）
19.（6分）
请在各题目的答题区域内作答，超出1黑色矩形6边框限定区域的答案无效！第 页 共 页
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
20．（6分）
21．（8分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
第 2 页 共 6 页
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
22．（8分）
23（8分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
第 3 页 共 6 页
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
24．（8分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
第 4 页 共 6 页
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
25．（10分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
第 5 页 共 6 页
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
26．（10分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
第 6 页 共 6 页/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
人教版2024-2025学年八年级下册期末数学模拟卷02
考试时间：120分钟 试卷满分：100分 考试范围：第16-20章
姓名：___________班级：___________考号：___________
第Ⅰ卷
一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上）
1．（本题2分）如图，在菱形中对角线，交于点，要使该菱形成为正方形，则应添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题2分）若三角形三边长分别是3，，，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
3．（本题2分）若，则化简所得结果为（ ）
A． B． C． D．
4．（本题2分）2025年春晚节目《秧BOT》以机器人表演传统秧歌为主题，广受好评.演出结束后，节目组随机抽取了部分现场观众进行评分（满分10分），并根据得分绘制了以下条形统计图，其中有一个部分被遮盖了，已知评分为6分的占随机抽出现场观众总数的，则下列说法正确的是（ ）
A．7分是这个样本的众数
B．该样本中观众评分的平均分为8分
C．评分为7分的人数占这个样本的
D．8分是这个样本的中位数
5．（本题2分）如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，（ ）．
A． B． C． D．
6．（本题2分）已知菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点，P是对角线上的一个动点，，当最短时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题2分）如图，点，，在同一直线上，沿折叠，点恰好落在的直角顶点处．若， ，则的值为（ ）
A．4 B． C．8 D．
8．（本题2分）实数a，b在数轴上的对应点A，B位置如图，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．（本题2分）已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处互相垂直）按的路径匀速运动，相应的的面积关于时间的关系如图2，已知，则下列说法正确的有几个（ ）
①动点 H的速度是 ；②的长度为；③b的值为13：④当点 H 到达D点时的面积是 ；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（本题2分）如图，在边长为8的正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ）
A． B． C．6 D．10
第Ⅱ卷
二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）
11．（本题2分）计算： ．
12．（本题2分）如图，在矩形中，点、分别为、上一个动点，以为对称轴折叠，使点的对称点落在上，若，，则的取值范围为 ．
13．（本题2分）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿路径行进，到达点后停止，设移动时间为（s），当是以为腰的等腰三角形时， s．
14．（本题2分）我国2024年六五环境日的主题是“全面推进美丽中国建设”，旨在提高人们保护生态环境意识，学校举办环境保护知识竞赛活动，竞赛内容包含保护“自然环境”，“人类环境”，“生态环境”，“地球生物”四个项目，小红四项成绩（百分制）依次是95，90，85，100.若以上四个项目按的比确定综合成绩，则小红的综合成绩为 分．
15．（本题2分）如图，在等腰直角中，，点D在边（不含A，C两点）上，连，以为直角边向右侧作邻腰直角，，连接．若， ，则线段的长为 ．
16．（本题2分）如图，已知四边形 为矩形， ， ，点 在 上， ， 将 沿 翻折到 ，连接 ，则 的面积为 ．
17．（本题2分）已知，则的值为 ．
18．（本题2分）在正方形中，对角线、交于点，的平分线交于点，交于点．过点作于点，交于点．下列结论：①；②四边形是菱形；③；④若，则．其中正确的个数有 （填序号）．
三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.）
19．（本题6分）计算：
(1) (2)
20．（本题6分）如图，在中，，，分别是边，的中点，过点作交延长线于点，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长．
21．（本题8分）某地为了更好地促进旅游业的发展，方便游客游览，推出乘坐观光车和大巴车两种游览方式（行驶路线相同）．现有甲、乙两个旅游团，均准备从地出发前往相距千米的地游览，其中甲旅游团选择乘坐观光车，并在中途停靠一段时间后继续按照原来的速度前往地：乙旅游团则在甲旅游团出发小时后乘坐大巴车前往地，且比甲旅游团提前二十分钟到达地．
下面图中（单位：）表示旅游团乘车的时间，（单位：）表示旅游团离开地的距离，图象反映了这个过程中甲旅游团离开地的距离与甲旅游团所用时间之间的对应关系．
(1)填表：
甲旅游团所用时间
甲旅游团离开地的距离
填空：图中的值为_______大巴车的速度为_______；
(2)当时，请直接写出甲旅游团离开地的距离与甲旅游团所用时间的函数解析式；
22．（本题8分）某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：
测量示意图
测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为米．
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米．
③小明牵线放风筝的手到地面的距离为米．
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务．
(1)已知：如图，在中，，，．求线段的长．
(2)如果小明想要风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米线？
23．（本题8分）七、八年级各有600名学生，现从两个年级各随机抽取50名学生参加测试，为了解本次测试成绩的分布情况，将两个年级的测试成绩x按A：，B：，C：，D：四个评价等级进行整理，得到如下的统计图表．
七年级成绩统计表
评价等级 成绩x分 频数 频率
A 4
B
C b
D
八年级测试成绩评价等级为C的全部分数（单位：分）如下：
80，81，82，82，84，86，86，87，88，88，89，89，89．
(1)表格中， ；
(2)八年级测试成绩的中位数是 分；
(3)若测试成绩大于80分，则认为该学生对两会了解较为深入．请估计该校七、八两个年级对两会了解较为深入的学生一共有多少人？
24．（本题8分）盆栽是一种美学文化，展现了人与自然的和谐共生，盆栽的美不仅在于其形态和色彩，更在于其背后所蕴含的丰富的文化意义．某花卉店计划购进一批盆栽尝试进行销售，据了解1盆甲盆栽、3盆乙盆栽的进价共计元；3盆甲盆栽、1盆乙盆栽的进价共计元．
(1)求甲、乙两种盆栽每盆进价分别为多少元？
(2)若该店计划用元购进以上两种盆栽（两种盆栽均购买）试销，请你计算一下有几种购买方案？
(3)若该花卉店销售1盆甲盆栽可获利8元，销售1盆乙盆栽可获利3元，在（2）的购买方案中，假如这些盆栽全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
25．（本题10分）【问题情境】如图①，在正方形中，，，分别与，交于点E，F．
【探索发现】
(1)如图①，为探究线段，，之间的数量关系，小杨延长至点G，使得，连接．先证明，再证明，即可得到，，之间的数量关系为：______；
【操作探究】
(2)如图②，当点E，F分别在，的延长线上时，请根据上述小杨的思路，探究线段，，之间的数量关系；
【问题解决】
如图③，在中，，，点D，E在边上，且，若，，则的长为______．
26．（本题10分）在平面直角坐标系中，直线（是常数，）与坐标轴分别交于点，点，且点的坐标为．
(1)直接写出的值及点的坐标；
(2)如图，是轴正半轴上一点，已知，求点的坐标；
(3)如图，已知平分，为的中点，点在直线上，在轴上取点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，①直接写出直线的解析式；②求点的坐标．/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
人教版2024-2025学年八年级下册期末数学模拟卷02
考试时间：120分钟 试卷满分：100分 考试范围：第16-20章
姓名：___________班级：___________考号：___________
第Ⅰ卷
一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上）
1．（本题2分）如图，在菱形中对角线，交于点，要使该菱形成为正方形，则应添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路引导】本题考查正方形的判定，根据对角线相等的菱形是正方形，即可解答．
【完整解答】解：∵四边形是菱形，，
∴菱形是正方形．
故选：A．
2．（本题2分）若三角形三边长分别是3，，，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
【答案】D
【思路引导】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握“最长边平方是否为另外两边平方和”为判断依据是解题关键．
先算出每条边的平方，确定最长边，再计算另外两边的平方和，比较最长边的平方是否与另外两边的平方和相等，若相等则为直角三角形，由此判断选出答案即可．
【完整解答】解：∵，，
∴这个三角形是直角三角形．
故选：D．
3．（本题2分）若，则化简所得结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路引导】本题考查二次根式的乘除法，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型．
根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．
【完整解答】解：原式，
故选：C．
4．（本题2分）2025年春晚节目《秧BOT》以机器人表演传统秧歌为主题，广受好评.演出结束后，节目组随机抽取了部分现场观众进行评分（满分10分），并根据得分绘制了以下条形统计图，其中有一个部分被遮盖了，已知评分为6分的占随机抽出现场观众总数的，则下列说法正确的是（ ）
A．7分是这个样本的众数
B．该样本中观众评分的平均分为8分
C．评分为7分的人数占这个样本的
D．8分是这个样本的中位数
【答案】D
【思路引导】根据题意，样本容量为（人），后根据中位数，平均数的定义解答即可．
【完整解答】解：根据题意，得样本容量为（人），
故得8分的人数为：（人），
故8分是这个样本的众数，
故A不符合题意；
根据题意，平均分为（分），
故B不符合题意；
评分为7分的人数占这个样本的百分比为：，
故C不符合题意；
中位数是第25个数据，26个数据的平均数即（分），
D符合题意；
故选：D．
【考点评析】本题考查了样本容量的计算，平均数，中位数，众数，百分比的计算，熟练掌握定义是解题的关键．
5．（本题2分）如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【思路引导】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换得性质和平行四边形的性质，求出的度数是解题的关键．
由平行四边形的性质得，再由三角形的外角性质得，则，然后由折叠的性质得，即可求解．
【完整解答】解：∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
∵将沿折叠至处，
，
，
故选：A．
6．（本题2分）已知菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点，P是对角线上的一个动点，，当最短时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路引导】本题考查菱形的性质，一次函数与几何的综合应用，连接，，根据对称性，得到，进而得到，得到点在线段上时，的值最小，平移思想求出点坐标，进而求出直线的解析式，直线与直线的交点即为点的坐标．
【完整解答】解：连接，，
∵菱形，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴点在线段上时，的值最小，
∵，
∴点向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点，点在第一象限的角平分线上，
∴点向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点，直线的解析式为：，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为：，把，代入，得：，
∴，
联立，解得：；
∴；
故选B．
7．（本题2分）如图，点，，在同一直线上，沿折叠，点恰好落在的直角顶点处．若， ，则的值为（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】C
【思路引导】本题考查翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，作于点，交的延长线于点，由折叠得，，而，则，可证明，得，，由，得，由，得，再证明，得，所以，求得，即可求解．
【完整解答】解：作于点，交的延长线于点，则，
沿折叠，点落在的直角顶点处，且，，
，，，
，
，
在和中，
，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
故选：C．
8．（本题2分）实数a，b在数轴上的对应点A，B位置如图，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路引导】本题主要考查绝对值的化简以及二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则以及数轴进行化简即可．
【完整解答】解：由题意可知，，，
故，
故．
故选：D．
9．（本题2分）已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处互相垂直）按的路径匀速运动，相应的的面积关于时间的关系如图2，已知，则下列说法正确的有几个（ ）
①动点 H的速度是 ；②的长度为；③b的值为13：④当点 H 到达D点时的面积是 ；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【思路引导】先根据点H的运动，得出当点H在不同边上时的面积变化，并对应图2得出相关边的边长，最后经过计算判断各个说法．
本题考查动点函数的图像，掌握三角形的面积公式，函数图像的性质，理解函数图像上的点表示的意义是解决本题的关键．
【完整解答】由图2可知：当H点由A点运动到B点时， ，
，
解得，
由图2可知：当H点由A点运动到B点用了，
∴H点的速度是，
故①正确；
由图2可知：当H点由B点运动到C点用了，
，
故②正确；
由图2可知：第到时H点由C点运动到D点，
，，
，
∴H点由D点运动到E点用了，
，
故③正确；
由图2可知：当H点由C点运动到D点用了，
，
，
当点 H 到达D点时，
故④正确；
故选：D．
10．（本题2分）如图，在边长为8的正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ）
A． B． C．6 D．10
【答案】A
【思路引导】先证明，得到，再利用直角三角形性质，线段最短原理，勾股定理解答即可．
【完整解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点M是的中点，
∴，
延长到点N，使得，
∴，
∴，
∴，
连接，
∵，
∴当D，F，N三点共线时，取得最小值，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故的最小值是，
故选：A．
【考点评析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段最短原理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键．
第Ⅱ卷
二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）
11．（本题2分）计算： ．
【答案】1
【思路引导】本题主要考查了二次根式的混合计算，积的乘方的逆运算，可把原式变形为，据此计算求解即可．
【完整解答】解：
故答案为：1．
12．（本题2分）如图，在矩形中，点、分别为、上一个动点，以为对称轴折叠，使点的对称点落在上，若，，则的取值范围为 ．
【答案】
【思路引导】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理．分两种情况讨论，①当点E在B点时，此时最小，利用勾股定理求得，设，则，，在中，利用勾股定理列式计算求解即可；②当点F在D点时，此时最大，的长为3，据此求解即可．
【完整解答】解：①当点E在B点时，将沿直线折叠，使得点C恰好落在边上的点P处，如图①，
此时最小，则，
在中，，
∴，
设，则，，
在中，
∵，
∴，
解得；
②当点F在D点时，将沿直线折叠，使得点C恰好落在边上的点P处，如图②，
此时最大，的长为3，
∴的取值范围为．
故答案为：．
13．（本题2分）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿路径行进，到达点后停止，设移动时间为（s），当是以为腰的等腰三角形时， s．
【答案】或19或
【思路引导】根据勾股定理，得到，动点的速度为，设运动时间为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，根据运动时间，分类解答即可．
本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键.
【完整解答】解：根据题意，得，动点的速度为，设运动时间为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，
当时，点P在上运动，此时构成等腰三角形，根据题意，得，
故，
解得；
当时，点P在上运动，此时不存在，
当时，点P在上运动，此时存在，如图所示，
若，则构成等腰三角形，符合题意，
根据题意，运动总路程长为，此时，
∴,
解得；
若，则构成等腰三角形，符合题意，
根据题意，运动总路程长为，此时，
取的中点D，连接，则，
则，
∴，
∴，
∴，
∴,
解得；
故当或或时，是以为腰的等腰三角形，
故答案为：或19或．
14．（本题2分）我国2024年六五环境日的主题是“全面推进美丽中国建设”，旨在提高人们保护生态环境意识，学校举办环境保护知识竞赛活动，竞赛内容包含保护“自然环境”，“人类环境”，“生态环境”，“地球生物”四个项目，小红四项成绩（百分制）依次是95，90，85，100.若以上四个项目按的比确定综合成绩，则小红的综合成绩为 分．
【答案】
【思路引导】本题主要考查加权平均数的求法，熟记公式是解题的关键．根据加权平均数的计算方法解答即可．
【完整解答】解：小红的综合成绩为，
故答案为：．
15．（本题2分）如图，在等腰直角中，，点D在边（不含A，C两点）上，连，以为直角边向右侧作邻腰直角，，连接．若， ，则线段的长为 ．
【答案】
【思路引导】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键，正确地作出辅助线构造全等三角形是解决问题的难点．
过点作，交的延长线于点，设，则，证明和全等得，则，在中，由勾股定理可求出，则，进而得，然后在中，由勾股定理即可求出线段的长．
【完整解答】过点作，交的延长线于点，如图所示：
，
设，
，
，
∵是等腰直角三角形，，
，
，
∵是等腰直角三角形，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
即，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
在中，由勾股定理得：
．
故答案为：．
16．（本题2分）如图，已知四边形 为矩形， ， ，点 在 上， ， 将 沿 翻折到 ，连接 ，则 的面积为 ．
【答案】16
【思路引导】本题主要考查了矩形的性质与判定，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，过点F作于H，交于G，设交于T，可证明得到，设，则，由勾股定理得到，解方程可得；同理可得，证明四边形是矩形，得到，则可证明，利用等面积法求出，则，即可得到．
【完整解答】解：如图所示，过点F作于H，交于G，设交于T，
∵四边形是矩形，
∴，，
由折叠的性质可得，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴；
∵，
∴，
∴同理可得，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17．（本题2分）已知，则的值为 ．
【答案】/
【思路引导】先利用二次根式有意义求得与的值，然后把与的值代入变形后的代数式求值即可．
【完整解答】解：∵，
∴，解得，
∴，
∴
．
故答案为：
【考点评析】本题考查了代数式的化简求值，二次根式有意义的条件的应用是解题的关键．
18．（本题2分）在正方形中，对角线、交于点，的平分线交于点，交于点．过点作于点，交于点．下列结论：①；②四边形是菱形；③；④若，则．其中正确的个数有 （填序号）．
【答案】①②③④
【思路引导】本题主要考查了正方形的性质、角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键．
设，则，可算出，故①正确；先证明，再由得，即，四边形是菱形，故②正确；由，得，可求出，故③正确；由四边形是菱形证明可得故④正确．
【完整解答】解：∵平分，，，
，
∵四边形是正方形，
，
，
设，则，
，故①正确；
∵四边形是正方形，
∴，
∵
∴在和中，，
，
∴，，
∵，，
∴
，
∵四边形是正方形，
∴，
又
，
，
，
，
，
∴四边形是菱形，故②正确；
由①②知，，，
∴，
∴，故③正确；
，，
，
∵四边形是菱形，
，
，
，
∴，
，
，故④正确．
故答案为①②③④．
三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.）
19．（本题6分）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【思路引导】本题考查了二次根式的乘除、实数的混合运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．
（1）利用二次根式的乘除运算法则计算即可；
（2）利用绝对值、零指数幂、二次根式、负整数指数幂的性质化简，再加减即可．
【完整解答】（1）解：
；
（2）解：
．
20．（本题6分）如图，在中，，，分别是边，的中点，过点作交延长线于点，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【思路引导】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）由三角形中位线定理可得，可证四边形是平行四边形，等腰三角形三线合一的性质得出，然后由有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得出结论；
（2）由勾股定理可求，取的中点，连接，由三角形中位线定理可得，，再根据勾股定理可求．
【完整解答】（1）证明：点、分别是边、的中点，
∴，
又，
四边形是平行四边形，
，，
，即
平行四边形是矩形；
（2）解：如图，取的中点，连接，
由（1），
∵，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
．
21．（本题8分）某地为了更好地促进旅游业的发展，方便游客游览，推出乘坐观光车和大巴车两种游览方式（行驶路线相同）．现有甲、乙两个旅游团，均准备从地出发前往相距千米的地游览，其中甲旅游团选择乘坐观光车，并在中途停靠一段时间后继续按照原来的速度前往地：乙旅游团则在甲旅游团出发小时后乘坐大巴车前往地，且比甲旅游团提前二十分钟到达地．
下面图中（单位：）表示旅游团乘车的时间，（单位：）表示旅游团离开地的距离，图象反映了这个过程中甲旅游团离开地的距离与甲旅游团所用时间之间的对应关系．
(1)填表：
甲旅游团所用时间
甲旅游团离开地的距离
填空：图中的值为_______大巴车的速度为_______；
(2)当时，请直接写出甲旅游团离开地的距离与甲旅游团所用时间的函数解析式；
【答案】(1)，，
(2)
【思路引导】本题考查了一次函数的实际应用，解决本题的关键在于根据图象中的数据，利用数形结合的思想求出旅游团对台行驶的路程与时间之间的关系．
（1）根据图象中甲旅游团出发的时间与行驶的路程之间的关系求出甲旅游团从出发到行驶的函数关系式，利用关系式求出甲旅游团离开A地的距离为时，所用的时间为，甲旅游团出发离A地的距离为；
由图象可知甲旅游团的速度为，，根据大巴车出发的时间和到达的速度可知大巴车总共行驶了，所以大巴车的速度为；
（2）设甲旅游团出发后被追上，可列方程，解方程可以求出，根据此时甲旅游团行驶的时间求出甲旅游团距B的距离．
【完整解答】（1）解：设甲旅游团从出发到行驶的函数关系式为，
当时，，
，解得：，
甲旅游团从出发到行驶的函数关系式为，
当时，
可得：，
解得：，
由图象可知：甲旅游团出发时，离开地的距离为，
故答案为：，；
由图象可知：甲旅游团的速度是，
，
由图象可知甲旅游团从出发到到达目的地共用了，
分钟，乙旅游团用的时间有，
大巴车的速度是，
故答案为：，；
（2）由（1）可知：当时，；
由图象可知：当时，；
设当时，图象的解析式为，
当时，，当时，，
可得：，解得：，
解析式为：；
当时，甲旅游团离开地的距离与甲旅游团所用时间的函数解析式为．
22．（本题8分）某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：
测量示意图
测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为米．
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米．
③小明牵线放风筝的手到地面的距离为米．
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务．
(1)已知：如图，在中，，，．求线段的长．
(2)如果小明想要风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米线？
【答案】(1)
(2)他应该再放出8米线
【思路引导】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化为几何问题成为解题的关键．
（1）先运用勾股定理求得，进而求得即可；
（2）先求出风筝的高度为20米，然后求出此时风筝线的长为25米，最后根据线段的和差即可解答．
【完整解答】（1）解：在中，，，，
由勾股定理得：
所以．
（2）解：风筝沿方向再上升12米后，风筝的高度为20米，
所以此时风筝线的长为：（米），
（米）．
答：他应该再放出8米线．
23．（本题8分）七、八年级各有600名学生，现从两个年级各随机抽取50名学生参加测试，为了解本次测试成绩的分布情况，将两个年级的测试成绩x按A：，B：，C：，D：四个评价等级进行整理，得到如下的统计图表．
七年级成绩统计表
评价等级 成绩x分 频数 频率
A 4
B
C b
D
八年级测试成绩评价等级为C的全部分数（单位：分）如下：
80，81，82，82，84，86，86，87，88，88，89，89，89．
(1)表格中， ；
(2)八年级测试成绩的中位数是 分；
(3)若测试成绩大于80分，则认为该学生对两会了解较为深入．请估计该校七、八两个年级对两会了解较为深入的学生一共有多少人？
【答案】(1)11
(2)88.5
(3)792
【思路引导】本题主要考查调查与统计的相关知识，掌握根据频率计算总体数量，中位数的概念等知识是解题的关键．
（1）七年级随机抽取名学生参加，根据频数分布表可知的频率，根据样本容量乘以频率等于频数即可求解；
（2）根据扇形图的比例，分别算出的人数，再根据中位数的定义即可求解；
（3）根据样本的频率估算总体的数量的计算方法即可求解．
【完整解答】（1）七年级C组的人数为，
故答案为：11；
（2）八年级的成绩分组中， A组占，B组占， C组占， D组占，
∴A组有人， B组有人，C组有人， D组有人，
把八年级50名学生的测试成绩从大到小排列，排在中间的两个数即第名学生的成绩为组，，根据中位数的定义可知，
∴八年级成绩的中位数是，
故答案为：．
（3）解：七、八年级各有名学生，七年级测试成绩不低于分的人数有人，八年级测试成绩不低于分有人，
∴估计该校七、八两个年级对防电信诈骗意识较强的学生一共有（人）．
答：估计该校七、八两个年级对防电信诈骗意识较强的学生一共约有792人．
24．（本题8分）盆栽是一种美学文化，展现了人与自然的和谐共生，盆栽的美不仅在于其形态和色彩，更在于其背后所蕴含的丰富的文化意义．某花卉店计划购进一批盆栽尝试进行销售，据了解1盆甲盆栽、3盆乙盆栽的进价共计元；3盆甲盆栽、1盆乙盆栽的进价共计元．
(1)求甲、乙两种盆栽每盆进价分别为多少元？
(2)若该店计划用元购进以上两种盆栽（两种盆栽均购买）试销，请你计算一下有几种购买方案？
(3)若该花卉店销售1盆甲盆栽可获利8元，销售1盆乙盆栽可获利3元，在（2）的购买方案中，假如这些盆栽全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)甲盆栽每盆进价为元，乙盆栽每盆进价为元．
(2)共有三种购买方案，分别为购买甲盆栽盆，乙盆栽盆；购买甲盆栽盆，乙盆栽盆；购买甲盆栽盆，乙盆栽盆；
(3)购买甲盆栽盆，乙盆栽盆时，获利最大，为元.
【思路引导】本题考查了二元一次方程组以及一次函数的应用，正确理解题意是解题关键．
（1）设甲、乙两种盆栽每盆进价分别为元，由题意得：，据此即可求解；
（2）设甲、乙两种盆栽分别购进盆，由题意得：，即：；根据均为正整数，即可求解；
（3）设利润为，则，可推出随着的增大而增大，据此即可求解；
【完整解答】（1）解：设甲、乙两种盆栽每盆进价分别为元，由题意得：
，解得：，
∴甲盆栽每盆进价为元，乙盆栽每盆进价为元．
（2）解：设甲、乙两种盆栽分别购进盆，由题意得：
，
即：
∵均为正整数，
∴当时，；
当时，；
当时，；
∴共有三种购买方案，分别为购买甲盆栽盆，乙盆栽盆；购买甲盆栽盆，乙盆栽盆；购买甲盆栽盆，乙盆栽盆；
（3）解：设利润为，
则，
∴随着的增大而增大，
故当时，元；
即：购买甲盆栽盆，乙盆栽盆时，获利最大，为元.
25．（本题10分）【问题情境】如图①，在正方形中，，，分别与，交于点E，F．
【探索发现】
(1)如图①，为探究线段，，之间的数量关系，小杨延长至点G，使得，连接．先证明，再证明，即可得到，，之间的数量关系为：______；
【操作探究】
(2)如图②，当点E，F分别在，的延长线上时，请根据上述小杨的思路，探究线段，，之间的数量关系；
【问题解决】
(3)如图③，在中，，，点D，E在边上，且，若，，则的长为______．
【答案】(1)
(2)
(3)12
【思路引导】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，学会结合图形添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）利用正方形的性质证明，得到，，再证明，推出，再利用线段的和差即可得出结论；
（2）在上截取，连接，利用正方形的性质证明，得到，，再证明，推出，再利用线段的和差即可得出结论；
（3）过点作且，连接，通过证明，得到，，再证明，得到，再利用勾股定理求出长，再利用线段的和差即可求出的长．
【完整解答】（1）解：正方形，
，，
又，
，
，，
，
，
，即，
，
又，
，
，
．
故答案为：．
（2）解：如图，在上截取，连接，
正方形，
，，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
．
（3）解：如图，过点作且，连接，
，，
，
，
，
，
，
又，，
，
，，
，
，
，即，
，
又，
，
，
，
，
．
故答案为：12．
26．（本题10分）在平面直角坐标系中，直线（是常数，）与坐标轴分别交于点，点，且点的坐标为．
(1)直接写出的值及点的坐标；
(2)如图，是轴正半轴上一点，已知，求点的坐标；
(3)如图，已知平分，为的中点，点在直线上，在轴上取点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，①直接写出直线的解析式；②求点的坐标．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)；点的坐标为或或．
【思路引导】（1）把点的坐标代入，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值；当时，可得：，解方程求出的值即为点的横坐标；
（2）首先过点作的垂线，分点在点的右侧和点在点的左侧两情况求解，解答的关键是利用全等三角形的性质找到边之间的关系，利用边之间的关系求出线段的长度，从而求出点的坐标；
（3）①过点作，利用角平分线性质和面积法求出点的坐标，再根据平面直角坐标系中线段中点坐标的求法，求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可；
如果以、、、为顶点的四边形是平行四边形，需要分三种情况求解：第一种情况、当为平行四边形的对角线时，第二种情况、当为平行四边形的边且点、在左侧时，第三种情况、当为平行四边形的边且点、在右侧时．
解决本题的关键是利用平行四边形的性质找到边之间的关系，根据边之间的关系求出点的坐标．
【完整解答】（1）解：把点的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标为；
（2）解：如下图所示，当点在点右侧时，过点作交的延长线于点，过点作轴于点，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
在中，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
轴，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
把点的坐标点的坐标分别代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标为；
（3）解：如下图所示，过点作，
平分，
，
设点的坐标为，则，
，，
∴
解得：，
点的坐标为
又点是的中点，
点的坐标为，即，
设直线的解析式为，
把点的坐标和点的坐标分别代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式为；
解：如下图所示，当为平行四边形的对角线时，
四边形是平行四边形，
点是和的中点，
直线的解析式为，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标为；
当为平行四边形的边且点、在左侧时，
四边形是平行四边形，
，，
点的纵坐标为，
把代入，
可得：，
解得：，
，
，
点的坐标为；
当为平行四边形的边且点、在右侧时，
四边形是平行四边形，
，，
且，
，，
，
，
，
点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或．
【考点评析】本题考查待定系数法求一次函数解析式、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质．本题属函数与几何综合题目，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．在解答本题时要注意利用分类讨论思想的分情况求解．

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