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2024-2025学年河南省信阳市信阳高级中学高二下学期 5月测试(二)
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = ∣ 2 2 < 0 ， = { ∣ > 1}，则 R ∩ =( )
A. (1,2) B. (1,2] C. (2, + ∞) D. [2, + ∞)
2.设 ， 1 1为同一个随机试验中的两个事件，若 ( ) = 5， ( ) = 2， ( ∪ ) =
3
5，则 ( ) =( )
A. 15 B.
1 2 1
2 C. 5 D. 10
3.已知各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ， 2 4 = 9，9 4 = 10 2，则 2 4的值为( )
A. 8 B. 10 C. 9 D. 6
4 ( )
2
.通过随机询问某中学 110 名中学生是否爱好跳绳，得到列联表，并由 2 = ( + )( + )( + )( + )计算得：
2 ≈ 7.822，参照附表，则下列结论正确的是( )
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001

2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.根据小概率值 = 0.001 的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
B.根据小概率值 = 0.001 的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过
0.001
C.根据小概率值 = 0.01 的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
D.在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关
5.已知函数 ( ) = 3 + 在 = 1 处取得极大值 6，则 =( )
A. 8 B. 8 C. 12 D. 12
6.若(1 + )8 = 2 80 + 1 + 2 + + 8 ，则 0 + 1 + 3 + 5 + 7 =( )
A. 256 B. 127 C. 128 D. 129
7.已知一件工艺品由外层一个封闭的大正方体，内层一个正四面体构成，已知外层正方体的棱长为 2，在该
大正方体内放置一个棱长为 的正四面体，并且正四面体可在大正方体内任意转动，则 的最大值为( )
A. 33 B.
6
3 C.
2 3
3 D.
2 6
3
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8.已知过抛物线 2 = 2 ( > 0)焦点 的直线与该抛物线交于 , 两点，若| | + 4| | = 9，则 的最大值
为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A.若随机变量 , 满足： ( ) > 0, ( ) + ( ) = 1，则 , 相互独立
B.已知随机变量 ～ , 2 ，若 ( ≥ 2) + ( ≥ 6) = 1，则 = 4．

C. 1若 + 2 的展开式中二项式系数的和为 64，则系数最大的项为第 4 项
D.一组数据(1,3), (2,8), (3,10), (4,14), (5,15)的经验回归方程为 = 3 + ，则当 = 2 时，残差为 1
10.某文化传播公司拟派包含 ， 在内的 5 名员工同一时间去往甲、乙、丙等 3 个不同的地方参观学习，
每个地方至少要派遣 1 名员工，则下列说法正确的是( )
A.若甲地只安排 1 名员工参观学习，则不同的派遣方案有 70 种
B.若 不去乙地，则不同的派遣方案有 100 种
C.若 ， 去往不同的地方，则不同的派遣方案有 72 种
D.若去往甲地的人数不得少于丙地，则不同的派遣方案有 110 种
11.已知函数 = ( )的定义域(0, + ∞)， , ∈ (0, + ∞)满足 ( ) = ( ) + ( ) 12，
1
2 = 0， =
2 (1) + (2) + + ( ) + 12 +
1
3 + +
1
， = 2
， ∈ +，则下列说法正确的是( )
A. (1) = 1
B. 是等差数列
C. > sin
D.数列 ( 1) 2 的前 50 项和 50 = 1275
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知某市高三年级某次模拟考试中数学试卷的满分为 150 分，阅卷结果显示，全市 100000 名学生的数
学成绩 近似服从正态分布 (130,25)，则这次考试数学成绩超过 140 分的人数约为 . (附：若随机变量
服从 , 2 ，则 ( + ) ≈ 0.6827， ( 2 + 2 ) ≈ 0.9545, ( 3 + 3 ) ≈
0.9973)
13.已知圆 的方程为( 2)2 + 2 = 25，直线 的方程为( + 2) + (1 2 ) + 7 6 = 0，直线 被圆
截得的弦中长度为整数的共有 条.
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14.某公司举行抽奖活动，在箱子里装有 ( ≥ 2)个红球和 4 个黑球，这些小球除颜色外完全相同.在一次抽
奖过程中，某员工从中一次性抽取两个小球，抽出两个小球颜色均为红色视为中奖，其余情况均未中奖.假
设在有放回地连续 3 次抽奖中恰好中奖一次的概率为 ，则当 取到最大值时 的值为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = e 1 + 1．
(1)讨论函数 ( )的单调性；
(2)①若 ( ) ≥ 0 恒成立，求实数 的取值集合；
②证明：e ln( + 2) > 0．
16.(本小题 15 分)
如图，在四棱台 1 1 1 1中，底面 为正方形， 为 的中点， = 1 = 1 = 2 1 1 =
4, 1 = 2 2．
(1)求证： 1 ⊥ 1 1；
(2) 1 在棱 1上是否存在一点 ，使得直线 与平面 1 1所成角的余弦值为3？若存在，求
1
的值；若不1
存在，请说明理由．
17.(本小题 15 分)
2024 年 10 月 30 日，我国神舟十九号载人飞船顺利升空，并与中国空间站成功对接．为弘扬航天精神，某
大学举办了一次“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛．竞赛分为初赛和决赛，初赛规则为：每位参赛者
依次回答 5 道题，连续答错 2 道题或 5 道题都答完，则比赛结束．假定大学生张某答对这 5 道题的概率依
4
次为5 ,
3 1 1 1
4 , 2 , 2 , 2，且各题是否答对互不影响．
(1)若至少连续答对 4 道题，可得到一张直升卡，直接进入决赛，求张某得到直升卡的概率；
(2)记张某初赛结束时已答题的个数为 ，求 的分布列及数学期望．
18.(本小题 17 分)
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对于数列 , ∈ ,
1 1
∈ 且 ∈ 4 , 4 ，则称数列 为 的“四分差数列”.已知数列 为数
列 的“四分差数列”．
(1)若 6 = 2 + 5，求 1, 2, 3的值．
(2)设 = + 1．
①求 的通项公式；
2
②若数列 满足 = 1，且 的前 项和为 ，证明： + 2 < ．
19.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 : 2 +

2 = 1( > > 0)
1 6
的离心率为2，且过点 2, 2 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 与 交于不同两点 1, 1 、 2, 2 ，且满足 2 + 21 2 = 4, 为坐标原点，则：
① 的面积 是否为定值？
②椭圆 上是否存在点 (异于点 、 )，满足 = = = 3，如果存在，请判断 的形
状；如果不存在，请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2275
13.9
14.6
15.解：(1)因为 ( ) = e 1 + 1，所以 ′( ) = 1 ，
当 ≤ 0 时， ′( ) > 0，函数 ( )在区间 R 上单调递增；
当 > 0 时，令 ′( ) > 0, > ln + 1，令 ′( ) < 0, < ln + 1，
所以 ( )在 ∞, ln + 1 上单调递减，在 ln + 1, + ∞ 上单调递增．
(2)①由(1)得：当 ≤ 0，函数 ( )在区间 R 上单调递增，
又 (1) = e0 + 1 = 0，所以 < 1，则 ( ) < 0，与条件矛盾，
当 > 0 时， ( )在 ∞, ln + 1 上单调递减，在 ln + 1, + ∞ 上单调递增，
所以 ( ) ≥ ln + 1 ，由已知 ln + 1 ≥ 0，所以 ln 1 ≥ 0，
设 ( ) = ln 1，则 ′( ) = 1 ln 1 = ln ，
当 ∈ (0,1)时 ′( ) > 0， ( )单调递增，当 ∈ (1, + ∞)时 ′( ) < 0， ( )单调递减，
又 (1) = 1 ln1 1 = 0，所以不等式 ln 1 ≥ 0 的解集为 1 ．
1 +1
②证明：设 ( ) = + 1 ln( + 2)，则 ′( ) = 1 +2 = +2，
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∈ ( 2, 1)时 ′( ) < 0， ( )单调递减， ∈ ( 1, + ∞)时 ′( ) > 0， ( )单调递增，
又 ( 1) = 0 ln1 = 0，所以 + 1 ln( + 2) ≥ 0，当且仅当 = 1 时取等号，
由(1)结论易得：e ≥ + 1，仅当 = 0 时取等号，
综上，e ln( + 2) > 0．
16.解：(1)证明：连接 1，
因为 ⊥ , // 1 1，所以 ⊥ 1 1．
因为 1 = 1, 是 的中点，所以 ⊥ 1，
因为 ⊥ 1 1, ⊥ 1, 1 1 ∩ 1 = 1, 1 1， 1 平面 1 1 ，所以 ⊥平面 1 1 ，
所以 ⊥ 1 ，
因为 ⊥ 1 , // 1 1，
所以 1 ⊥ 1 1．
(2)因为 1 = 2 2, 1 1 = 2, 1 = 2 3，
所以 2 + 2 = 21 1 1 1 ，所以 1 ⊥ 1 1，
又由(1)知 1 1 ⊥ 1 ，且 1 1 ∩ 1 1 = 1, 1 1, 1 1 平面 1 1 1 1，
所以 1 ⊥平面 1 1 1 1，
因为 1 1 1 1为四棱台，底面 为正方形，四棱台的上下底面对应边平行且比例相同，
所以四边形 1 1 1 1为正方形，上下面平行
所以 1 ⊥平面 ， 1 1 = 1 1 = 2．
因为点 是 的中点， = 4，所以 = 2．
所以 // 1 1且 = 1 1，所以四边形 1 1 为平行四边形
所以 1 // 1 ．
又 1 ⊥平面 ，所以 1 ⊥平面 ．
以 为坐标原点， , , 1所在直线分别为 , , 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (4,0,0), (4,4,0), (0,4,0), 1(2,2,2 2)，
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设 = 1，则 (4 2 , 4 2 , 2 2 ), = ( 2 , 4 2 , 2 2 )， = ( 4,0,0), 1 = ( 2,
2,2 2)．
设平面 1 1的法向量为 = ( , , )，
= 4 = 0,
则
1 = 2 2 + 2 2 = 0,
令 = 2, = (0, 2, 1)．
设直线 与平面 1 1所成角为 ，

则 sin = |cos , | = | | = 2 2 4 2 = 2 2，
| || | 3 3 4 2+(4 2 )2+8 2 3
化简得(2 1)2 = 0，
1 1
即 = 2，所以
1
= ．1 2
17.解：(1)用 ( = 1,2,3,4,5)表示张某第 道题答对，
用 ( = 1,2,3,4,5)表示张某第 道题答错，
4
由题意得 1 = 5 , 2 =
3 , = 14 3 2 , 4 =
1 1
2 , 5 = 2，
记张某得到直升卡为事件 ，
则 ( ) = 1 2 3 4 + 1 2 3 4 5
= 4 × 3 1 1 1 3 1 1 1 275 4 × 2 × 2 + 5 × 4 × 2 × 2 × 2 = 160．
27
即张某得到直升卡的概率为160．
(2)由题可得 的可能取值为 2,3,4,5．
( = 2) = 15 ×
1 1
4 = 20，
( = 3) = 4 1 1 15 × 4 × 2 = 10，
( = 4) = 4 × 3 1 1 1 3 1 1 35 4 × 2 × 2+ 5 × 4 × 2 × 2 = 16，
( = 5) = 1 1 120 10
3
16 =
53
80，
则 的分布列如下，
2 3 4 5
1 1 3 53
20 10 16 80
所以 ( ) = 2 × 120 + 3 ×
1
10 + 4 ×
3 53 357
16+ 5 × 80 = 80．
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18. 1 1解：(1)由题意可设： = ∈ 4 , 4 ，则 = ，
6
若 = 2 + 5，则 = 2 +
6
5 ∈ 2
+ 19 2920 , 2 + 20 ，
且 ∈ ，可得 = 2 + 1，
所以 1 = 3, 2 = 5, 3 = 9．
(2)①由(1)可得 = ，
若 = + 1，则 = + 1 ∈ +
3 , + 54 4 ，
且 ∈ ，可得 = + 1，
所以 的通项公式 = + 1；
②因为 = 1，即 + 1 = 1，
= 1 = 2 2则 +1 2 +1 < + +1 = 2 + 1 ，
可得 < 2 2 1 + 3 2 + + + 1 = 2 + 1 1 =
2
2，
2所以 + 2 < ．
2
2 +
6
4 2 = 1
19.解：(1)由题可得 = = 1，解得 = 2, = 3, = 1， 2
2 = 2 + 2
2 +
2
所以椭圆 的方程为 4 3 = 1；
(2)①当直线 的斜率不存在时，则 2 21 = 2， 1 = 2，由于 1 + 2 = 4,
6
所以 1 = 2 = 2， 1 = 2 = 2 ，
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为： = + ，且 ≠ 0，
2 2
4 + 3 = 1联立 ，得 3 + 4 2 2 + 8 + 4 2 12 = 0，
= +
2
由 > 0 得 3 + 4 2 > 2，则 1 + 2 =
8
3+4 2 , =
4 12
1 2 3+4 2 ，
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2 2 2 2 2 2 2 2则 1 + 22 = 1 + 22 2
64 8 24 32 24 +96 +72
1 2 = =
3+4 2 2 3+4 2 3+4 2 2
= 4，
整理得 4 2 3 4 2 + 3 2 2 = 0，则 2 = 34或 3 + 4
2 = 2 2；
1 2
当直线 的斜率不存在时， = 2 1 1 2 = 2 × 6 = 3，
| |
当直线 的斜率存在时，点 到直线 : = + 的距离为 = ，
1+ 2
则 1的面积 = 2 | | =
1
2 1 +
2 1 + 2 4
| |
2 1 2 1+ 2
2 2
= | | 8 4 4 12 = 2 3| | 3+4
2 2
2 3+4 2 3+4 2 3+4 2 ，
3 2 3| | 6 2 3| | 6 2
若 2 = 4，则 = 6 = 3 不是定值；
2 2 2若 3 + 4 = 2 2 2 3| | 2 ， = 2 2 = 3为定值．
,
2 2
②设 0 00 0 ，则 4 + 3 = 1，
由于 = = = 3 =
1
3 ，
则点 1到三边的距离等于对应边上的高长的3，
0+ 1+ 2
3 = 0故 为 的重心，则 0+ ,1+ 2
3 = 0
由(2)已得：3 + 4 2 = 2 2，
= + = 8 8 4 则 0 1 2 3+4 2 = 2 2 = ，
8
2 6 3
0 = 1 + 2 = 1 + 2 + 2 = 3+4 2 + 2 = 3+4 2 = ，
2 2 4
2 3 2
4 ,
3
，代入 0
0
4 + 3 = 1，可得 4 + 3 = 1，
又 3 + 4 2 = 2 2，联立后无解，
故椭圆 上不存在点 ，满足 = = = 3．
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