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13.2.1 三角形的边
第十三章 三角形
【2025新教材】人教版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.掌握三角形的三边关系.
2.运用三角形三边关系解决有关的问题.
三角形的定义及基本元素（8 分钟）
定义探究
引导观察：让学生观察黑板上画出的不同形状的三角形，思考三角形有什么共同特点。
总结定义：引导学生尝试用自己的语言描述三角形的定义，教师适时补充和完善，得出三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
强调要点：重点强调 “不在同一条直线上”“首尾顺次相接” 这两个关键条件，通过举例说明不满足这两个条件的图形不是三角形，加深学生对定义的理解。
基本元素认识
图形标注：在黑板上画出一个三角形，用字母 A、B、C 表示三角形的三个顶点，让学生说出三角形的边、角分别是什么。
符号表示：介绍三角形的符号表示方法，如△ABC，并说明顶点 A 所对的边 BC 用 a 表示，顶点 B 所对的边 AC 用 b 表示，顶点 C 所对的边 AB 用 c 表示，让学生在练习本上画出三角形并进行标注。
2. 三角形三边关系定理（20 分钟）
提出问题
情境引入：教师提出问题：“如果给你三根小棒，你一定能围成一个三角形吗？” 引发学生的思考和讨论。
明确任务：给每个小组发放不同长度的小棒（如 2cm、3cm、5cm；3cm、4cm、5cm 等），让学生动手摆一摆，看哪些能围成三角形，哪些不能围成三角形。
动手操作
小组合作：学生以小组为单位进行操作，记录实验结果，教师巡视指导，参与学生的讨论，引导学生观察不能围成三角形的三根小棒长度之间的关系。
汇报交流：各小组选派代表汇报实验结果，分享自己的发现，教师将学生的实验结果整理并展示在黑板上。
猜想验证
引导猜想：根据实验结果，引导学生猜想三角形三边之间的关系，鼓励学生大胆发言，说出自己的猜想。
推理验证：以不能围成三角形的 2cm、3cm、5cm 小棒为例，引导学生分析：2 + 3 = 5，两条较短边的和等于第三边，无法首尾顺次相接围成三角形；再以能围成三角形的 3cm、4cm、5cm 小棒为例，3 + 4＞5，3 + 5＞4，4 + 5＞3，任意两边之和大于第三边，可以围成三角形。通过多个例子的分析，验证学生的猜想，得出三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边。
深入推导：由 “三角形任意两边之和大于第三边”，通过移项推理得出 “三角形任意两边之差小于第三边”。
总结归纳：教师对三角形三边关系定理进行总结，强调 “任意” 二字的含义，让学生明白必须满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，三条线段才能组成三角形。
（三）巩固练习（10 分钟）
基础练习
判断下列长度的三条线段能否组成三角形：
3cm，4cm，8cm；
5cm，6cm，11cm；
5cm，6cm，10cm。
让学生独立完成，然后请学生回答，说明判断的依据，教师进行点评和总结。
拓展练习
若三角形的两边长分别为 3 和 5，第三边长是偶数，则第三边长可以是多少？
引导学生根据三角形三边关系定理列出不等式，求解不等式并结合条件得出答案，教师巡视指导，帮助有困难的学生。
（四）课堂小结（5 分钟）
知识回顾：与学生一起回顾本节课所学的主要内容，包括三角形的定义、基本元素、三边关系定理等，让学生再次明确重点知识。
方法总结：总结探索三角形三边关系定理的方法，即通过动手操作、观察分析、猜想验证等过程得出结论，强调数学学习中实践和思考的重要性。
学生发言：请学生分享自己在本节课学习中的收获和体会，以及还存在的疑问，教师进行解答和补充。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
边c
边b
边a
顶点A
顶点B
顶点C
角
角
角
①边：组成三角形的每条线段叫做三角形的边.
②顶点：每两条线段的交点叫做三角形的顶点.
③内角：相邻两边组成的角.
复习引入
在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它会选择哪条路线 如果小狗在C点呢？
B
C
A
C
A
B
知识点
三角形三边的关系
学生活动 【一起探究】
在一个三角形中，任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系呢？
B
C
A
想一想
计算三角形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得到什么结论？
A
C
B
试一试
　　 如图三角形中，假设小狗要从点B出发沿着三角形的边跑到点C，它有几条路线
可以选择？各条路线的长一样吗？
A
B
C
路线1:由点B到点C.
路线2:由点B到点A，再由点A到点C.
两条路线长分别是BC，AB+AC.
由“两点之间，线段最短”可以得到AB+AC>BC .
由不等式的基本性质可得：AB>BC–AC.
A
B
C
同理可得：AC+BC>AB， AB+BC>AC(AC>AB –BC，BC>AC–AB)
三角形的三边有这样的关系：
(1) 三角形两边的和大于第三边.
(2) 三角形两边的差小于第三边.
例1 下列长度的各组线段能否组成一个三角形？
(1)15cm、10cm、7cm (2) 4cm、5cm、10cm
(3) 3cm、8cm、5cm (4) 4cm、5cm、6cm
素养考点 1
利用三角形三边的关系判断三条线段能否组成三角形
(2) 因为4cm+5cm<10cm，所以这三条线段不能组成一个三角形.
(3) 因为3cm+5cm=8cm， 所以这三条线段不能组成一个三角形.
(1) 因为10cm+7cm>15cm， 所以这三条线段能组成一个三角形.
解：
(4) 因为4cm+5cm>6cm，所以这三条线段能组成一个三角形.
例2 用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
素养考点 2
利用三角形三边的关系解决实际问题
解 ：(1)设各边的长为x厘米，则腰长为2x厘米，
由题意得：x+2x+2x=18
解得x=3.6 ，
所以三边长分别为3.6厘米，7.2厘米，7.2厘米.
例2 用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形.
(2)能围成有一边的长为4厘米的等腰三角形吗？为什么？
解 ：因为长为4厘米的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论.
(a) 如果4厘米长为底边，设腰长为x厘米，则4+2x=18，解得x=7.
(b) 如果4厘米长为腰，设底边长为y厘米，则24+y=18， 解得y=10.
因为4+4＜10，出现两边和小于第三边的情况，所以不能围成腰长为4厘米的等腰三角形. 由以上结论可知，可以围成底边长是4厘米的等腰三角形.
有人说，自己步子大，一步能走3米多，你相信吗？说说你的理由！
提示：不能.如果此人一步能走3米多，由三角形三边的关系得，此人两腿的长大于3米多，这与实际情况相矛盾，所以它一步不能走3米多.
想一想
如果等腰三角形的一边长是4cm，另一边长是9cm，则这个等腰三角形的周长=______________.
如果等腰三角形的一边长是5cm，另一边长是8cm，则这个等腰三角形的周长=______________.
5， 5， 8
5， 8， 8
18cm或21cm
4，4，9
4，9，9
×
√
4+9+9=22
22cm
三边长
三边长
√
√
1. 满足下列条件的三条线段，， ，能组成三角形的有
( )
C
，，；，， ；
；， ，
.
A. ①② B. ③④
C. ①④ D. ①③
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2. 如图，人字梯的支架
，的长度都为 （连接处的长度忽略不
计），则， 两点之间的距离可能是( )
A. B. C. D.
A
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3. ［2025周口月考］若使用如图所示的①②两根铁丝做成一
个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以折成
两段的铁丝是( )
A
A. 只有①可以 B. 只有②可以
C. ①②都可以 D. ①②都不可以
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4. 2024年10月30日4时27分，搭载神舟十
九号载人飞船的长征二号 遥十九运载火箭在酒泉卫星发射
中心点火发射.在发射运载火箭时，运载火箭的发射架被焊接
成了许多的三角形，这样做的原因是：__________________.
三角形具有稳定性
5.已知的三边长为，， ，化简
的结果是________.
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【点拨】的三边长分别是，，， ，
，，， .
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6.［2025洛阳月考］学具盒中装有四根长度分别为 ，
，和的细木棒，小明手中有一根长度为 的
细木棒，现从盒中取出两根细木棒与小明手中的细木棒放在
一起组成三角形，可以组成___种不同的三角形.
4
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7.已知的三边长分别为4，9， .
（1）求 的取值范围；
【解】 三角形的三边关系是：两边之和大于第三边，两边
之差小于第三边， ，
.
（2）若它是一个等腰三角形，求它的周长.
若为等腰三角形，则 或9，
当 时，不符合三角形的三边关系，应舍去，
，
等腰三角形的周长 .
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（第8题）
8. 如图①，将长为8的长方形纸片
沿虚线折成3个长方形，其中左、
右两侧长方形的宽相等，若要将其
围成如图②所示的三棱柱形物体，
则图中 的范围是( )
C
A. B.
C. D.
【点拨】由题意知，中间长方形的宽为 ，则有
， ，计算求解然后判断作答即可.
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（第9题）
9. 如图，用，，， 四条钢
条固定成一个框，相邻两钢条的夹角
均可调整，不计螺丝大小及重叠部分.
若，，， ，
则所固定成的框中，两个顶点的距离
最大值是( )
C
A. 14 B. 16 C. 13 D. 11
三边关系
原理
两点之间线段最短
内容
两边之和大于第三边
两边之差小于第三边
|a-b|b,x为第三边）
应用
谢谢观看！

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