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【浙江省专用】2024-2025学年高二数学下册期末真题专项练习
03 填空题
一、填空题
1．（2024高二下·丽水期末）已知，，则的最小值为　 　.
2．（2024高二下·宁波期末）已知集合.若的真子集个数是3，则实数的取值范围是　 　.
3．（2022高二下·嘉兴期末）已知，，则　 　.
4．（2022高二下·温州期末）已知函数是奇函数，则　 　.
5．（2024高二下·浙江期末）若函数的值域为，则的最小值为　 　．
6．（2024高二下·舟山期末）已知实数，，且，则的最小值为　 　.
7．（2024高二下·慈溪期末）已知，则　 　.
8．（2024高二下·慈溪期末）已知幂函数的图象过点，则　 　.
9．（2024高二下·舟山期末）已知函数在上恰有两个零点，则实数m的取值范围为　 　.
10．（2024高二下·绍兴期末）计算　 　．
11．（2024高二下·台州期末）已知，，，则　 　，　 　．
12．（2024高二下·浙江期末）若函数，存在使得，则实数的值为　 　.
13．（2024高二下·浙江期末）若，且，则的最小值为　 　；的最小值为　 　.
14．（2024高二下·慈溪期末）已知正实数满足，则　 　.
15．（2024高二下·金华期末）已知集合，集合，则　 　.
16．（2024高二下·杭州期末）函数与的图象关于直线　 　对称．
17．（2024高二下·丽水期末）已知，，则　 　.
18．（2024高二下·绍兴期末）在棱长为的正方体中，为棱的中点，则四面体的外接球的表面积是　 　．
19．（2024高二下·镇海区期末）在锐角中，内角所对的边分别为，若，则的最小值为　 　.
20．（2024高二下·宁波期末）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边，，当取得最小值时，角C的大小为　 　．
21．（2024高二下·宁波期末）已知正实数x，y满足，则xy的最大值为　 　．
22．（2024高二下·浙江期末）给定正实数，对任意正实数，记，则的最大值为　 　．
23．（2024高二下·杭州期末）若某扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径是　 　．
24．（2023高二下·丽水期末）已知实数满足，则的最大值为　 　．
25．（2023高二下·嘉兴期末） 若，则的取值范围为　 　.
26．（2023高二下·宁波期末） 已知正实数x，y满足，则的最小值是　 　.
27．（2023高二下·宁波期末） 已知函数，则　 　，　 　.
28．（2023高二下·杭州）设函数，则使得成立的的取值范围是　 　．
29．（2023高二下·宁波期末）已知函数，若有4个零点，则实数a的取值范围是　 　.
30．（2023高二下·宁波期末）已知实数a，b满足且，则m＝　 　.
31．（2023高二下·绍兴期末）已知，则的最小值是　 　.
答案解析部分
1．
解：令，解得，
则
，
当且仅当等号成立，则的最小值为.
故答案为：.
利用基本不等式求最小值即可.
2．（-1，0）
解：的真子集个数是3， 共有个元素，所以，.
若，则有，；
若，则有，无解.
综上所述：实数的取值范围是（-1，0）.
故答案为：（-1，0）.
本题考查集合间的基本关系.根据的真子集个数是3，利用子集计算公式可推出共有2个元素，分和两种情况，可列出不等式组，解不等式可求出实数的取值范围.
3．
因为，所以，所以，
所以．
故答案为：.
由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinθ的值，再利用二倍角的正弦公式即可求解出答案.
4．-1
对任意的，，故函数的定义域为，
，
因为函数为奇函数，则，解得.
故答案为：-1.
由奇函数的定义可得，由此可求出a的值.
5．3
解：由题意得，进而得出，
则
，
当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为3．
故填：3.
根据已知条件和二次函数的图象求值域的方法，进而由判别式法得出，再代入到，从而利用均值不等式求最值的方法得出的最小值.
6．
解： 因为实数，，且，则，所以的最小值为.
故答案为：.
将转化为，利用均值不等式，即可求解.
7．34
解：由，可得，即，
两边平方可得，则.
故答案为：.
由题意，利用完全平方公式求解即可.
8．
解：设，
由得，
所以.
故答案为：
先设幂函数的解析式为：，将点代入函数解析式可列出方程，解方程可求出的值，据此可求出幂函数的解析式，求出的值.
9．
解：因为 ，所以，
又因为，令，则，
所以，故不是得零点，
令，则，
故函数
在上恰有两个零点，所以方程
在上有两个根，所以y= m与
函数图象在上有两个交点，令，
因为，所以在与单调递增
又因为单调递增，①所以时，，
单调递增且，故此时在上单调递增，
且
②所以时，，单调递减，
故此时在上单调递减，且此时时，
③所以时，，单调递减，
故此时在上单调递减，且此时时，
，，故在
上图像简图如下：
所以 实数m的取值范围为.
故答案为：.
根据函数零点定义题目中零点问题可转化成函y= m与
函数图象在上有两个交点，然后研究函数g(x)的单调性得其简图，数
形结合即可求解.
10．3
解：
故答案为：.
本题考查对数的换底公式，对数运算法则.先利用对数换底公式进行计算可得：原式，再利用对数的运算法则进行计算可求出答案.
11．；
解：由可得，两边分别除以的左式和右式，.
因，则，故，
展开得，，因，代入得，，两式相除得，，
于是，，.
故答案为：；.
本题考查两角差的正弦公式，两角和的余弦公式，两角差的余弦公式，两角差的正切公式.将由利用两角差的正弦公式进行展开，再两边分别除以可求出.根据，利用同角三角函数的基本关系可求出，展开后通过化简可求出和，利用两角和的正切公式可求出，利用两角和的余弦公式可求出.
12．
由余弦函数的性质，得，所以的值域为，
当时，，，显然不成立；
同理，当时，不成立；
所以，存在使得，先满足，即，
当时，，，
所以，
所以集合与集合的交集不为空集，
即或，亦即，所以，
所以实数的值为.
故答案为：.
先求得函数 的值域为，根据的范围之间的关系分类讨论即可求解.
13．3；
（1）因为，且，所以，
所以，所以，当且仅当时，等号成立；
所以，即当时，的最小值为3；
（2）因为，且，所以，
当且仅当时，即时，等号成立；
所以当时，的最小值为.
故答案为：3，；
利用基本不等式得，时，等号成立，再由对数运算法则及对数函数单调性可得的最小值为3，根据基本不等式中“1”的妙用，将转化为，再转化为，利用基本不等式即可求得出的最小值.
14．34
解：由，
故答案为：
对式子两边同时进行平方可求出，再对式子进行平方，通过化简可求出的值.
15．
解：易知.
故答案为：.
根据集合的交集运算求解即可.
16．
解：因为与互为反函数，所以与图象关于对称.
故答案为：
根据反函数的性质求解即可.
17．
解：由，可得，则，
因为，所以，，则.
故答案为：.
由题意，利用有余弦的二倍角公式可得，再根据同角三角函数基本关系求解即可.
18．
解：取中点，连接，如图所示：
因为在棱长为2的正方体中，所以三棱柱是直三棱柱，
又因为平面，所以四面体的外接球即为直三棱柱的外接球，
因为为棱的中点，四边形是边长为2的正方形，所以，
在中，，又是锐角，所以，
由正弦定理得外接圆的半径为，
所以直三棱柱的外接球半径为，
所以四面体的外接球的表面积为.
故答案为：.
本题考查球的内接几何体问题.取中点，连接，将四面体补为直三棱柱，四面体的外接球转化为直三棱柱的外接球，先利用余弦定理求出，再利用同角三角函数的基本关系求出，利用正弦定理求出外接圆的半径，再利用球的半径计算公式可求出球的半径，利用球的表面积公式进行计算可求出答案.
19．
解：在锐角中，，由余弦定理得，
则，即，即，
由正弦定理得：，
即，
因为，所以，所以，所以，
，
当且仅当，即时等号成立，则的最小值为.
故答案为：.
由题意，结合余弦定理可得，再利用正弦定理化边为角，根据二倍角公式化简，结合基本不等式求解即可.
20．
解：由余弦定理得，，
因为，所以，即，化简得，由正弦定理可得， ，
即，，化简得.
，
当且仅当时，等号成立，此时，，
因为，所以.
故答案为：.
先由余弦定理化简得，再由正弦定理把边化角得，得到，最后根据基本不等式即可得解.
21．
解：由，得，解得.
当且仅当，即时取等号，所以的最大值为．
故答案为：．
利用已知条件结合基本不等式即可得解．
22．
解：由题意可得，，
则，当且仅当时，等号成立，
则.
故答案为：.
由题意可得，再结合基本不等式求最值的方法，从而得出的最大值.
23．2
解：设扇形的半径为，则扇形的面积为，解得.
故答案为：.
根据扇形面积计算公式直接求解即可.
24．
解： 由 可得 ，即
由，可得
当时，有最大值 ，当且仅当a =b时，等号成立.
故 的最大值为.
故答案为：.
根据已知得出，求出c的范围，结合基本不等式得到关于c的二次函数，再根据二次函数的性质，即可得出 的最大值 .
25．
，，
令，则，
，当时，，在单调递减，，，求得（舍去）或， .
故答案为：
构造函数，将问题转化为，再根据函数单调性求解.
26．
，，即；
，
当且仅当，时等号成立，
即，时等号成立，
则的最小值是.
故答案为：
根据题目可得，结合基本不等式求的最小值.
27．；
，则；
，
，
即
故答案为：；.
用函数的解析式求得f（-1)的值，计算出的范围，根据函数的解析式求得的值.
28．
由 向右平移2个单位，得
又为偶函数，则g(x)关于y轴对称，即f (x)关于x=-2对称，
当x≥0时，，
当x∈[0，2]时，由得，
当x∈(2， +∞)时，，得g(x)在上单调[0， +∞)递增，在(-∞，0)上单调递减，则f (x)在(-∞，-2)上单调递减，在(-2， +∞)上单调递增，
由 得|x+1+2|> |2x+2|，
即(x +3)2 > (2x+2)2
解得
故使得成立的的取值范围是
故答案为：
利用函数的平移变换及偶函数的性质的应用，再利用导函数的正负与函数单调性的关系及绝对值不等式的解法求解，即可得答案.
29．
当时，则，则其图象如下，
令，可得，所以方程的解的个数相当于函数图象与直线交点个数，可知两者最多有2个交点，
又因为方程最多2个根，若有4个零点，
则方程与方程各有两个根，
令 ，
由题意可得，解得，
所以 实数a的取值范围是 .
故答案为： .
先研究，可得此时 的图象，结合题意分析可得方程与方程各有两个根，进而结合函数图象以及二次函数的零点分别运算求解.
30．100
因为 ，则，
可得，
则，所以.
故答案为：100.
根据题意可得，结合对数运算可得，进而可得，运算求解即可.
31．3
，又 ，，，当且仅当，即时，取得最小值。
故答案为：3
将 化为 ，利用基本不等式求解最小值。

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