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第2节　等差数列
[课程标准要求]
1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.
2.探索并掌握等差数列的前n项和公式,理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.
3.体会等差数列与一元一次函数的关系.
1.等差数列的有关概念
定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,即an+1－an=d(n∈N*,d为常数)
通项 公式 设{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,则通项公式an=a1+(n－1)d
等差 中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,2A=a+b
2.等差数列的前n项和公式
已知条件 前n项和公式
a1,an,n Sn=
a1,d,n Sn=na1+d
3.等差数列的性质
已知数列{an}是等差数列,公差为d.
(1)通项公式的推广:an=am+(n－m)d(n,m∈N*).
(2)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.
(3){a2n}也是等差数列,公差为2d.
(4)ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
(5)若{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.
1.(2024·全国甲卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=1,则a3+a7等于(　　)
[A] －2 [B] [C] 1 [D]
2.(人教A版选择性必修第二册P25习题4.2 T8改编)已知数列an=2n－1,bn=3n－2,则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为{cn},则数列{cn}的通项公式为(　　)
[A] cn=3n－2 [B] cn=4n－1
[C] cn=5n－3 [D] cn=6n－5
3.(人教A版选择性必修第二册P23例9改编)在等差数列{an}中,a1=29,S10=S20,则数列{an}的前n项和Sn的最大值为(　　)
[A] S15 [B] S16
[C] S15或S16 [D] S17
4.(2024·湖南衡阳模拟)在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,若S8=S9,则S17=　　　　.
考点一　等差数列基本量的运算
1.(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S5=S10,a5=1,则a1等于(　　)
[A] [B] [C] － [D] －
2.(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5等于(　　)
[A] 25 [B] 22 [C] 20 [D] 15
3.(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a4=7,3a2+a5=5,则 S10=　.
4.已知等差数列{an}的通项公式为an=11－n,则 |a1|+|a2|+…+|a20|=　　　　.
(1)等差数列的通项公式及其前n项和公式共涉及五个量a1,n,d,an,Sn,知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量,即首项a1和公差d.
考点二　等差数列的判断与证明
[例1] 已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
①数列{an}是等差数列;②数列{}是等差数列;③a2=3a1.
等差数列的判断方法
(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证an－an－1为同一个常数.
(2)等差中项法:验证2an－1=an+an－2(n≥3,n∈N*)成立.
(3)通项公式法:验证an=pn+q.当p≠0时,an为关于n的一次函数.
(4)前n项和公式法:验证Sn=An2+Bn.当A≠0时,Sn为关于n的二次函数且常数项为0.
[针对训练] (2025·安徽合肥模拟)已知数列{an}满足a1=1,且对任意m,n∈N*(m>n)均有am+n+am－n=2am+2an.
(1)设bm=am+1－am,证明{bm}为等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
考点三　等差数列的性质及应用
角度1　等差数列的性质
[例2] (1)在等差数列{an}中,a2+a4+a7+a9=20,则3a5+a7等于(　　)
[A] 20 [B] 15
[C] 10 [D] 条件不足,无法计算
(2)已知{an}是等差数列,ak=10,a3k=20(k∈N*),则a9k=　　　　.
等差数列项的性质多是其定义、通项公式及前n项和公式等基础知识的推广与变形,解题时可多关注数列中所涉及的各项的下标,灵活应用这些性质常常可化繁为简,减小计算量,起到事半功倍的效果.
角度2　等差数列前n项和的性质
[例3] (1)(2025·河北石家庄模拟)在等差数列{an}中,a1=－2 024,其前n项和为Sn.若=2,则S2 025的值为　　　　.
(2)(2025·安徽安庆模拟)设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意正整数n都有=,则+=　　　　.
等差数列前n项和的性质
(1)数列Sm,S2m－Sm,S3m－S2m,…(m∈N*)也是等差数列.
(2)S2n－1=(2n－1)an.
(3)公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,则{}也为等差数列,且公差为.
(4)若项数n为偶数,则S偶－S奇=;若项数n为奇数,则S奇－S偶=a中(中间项).
(5)两个等差数列{an},{bn}的前n项和Sn,Tn之间的关系为=(bn≠0,Tn≠0).
角度3　等差数列前n项和的最值问题
[例4] (2025·吉林长春模拟)设Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和,且a1>0,若S5=S9,则当Sn最大时,n等于(　　)
[A] 6 [B] 7 [C] 10 [D] 9
求等差数列前n项和Sn的最值的两种方法
(1)函数法:利用等差数列前n项和的函数解析式Sn=an2+bn,通过配方或借助函数图象求二次函数最值的方法求解.
(2)邻项变号法:
利用等差数列的单调性,求出正负转折项,或者利用性质求其正负转折项,便可求得和的最值.
[针对训练]
1.(角度2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于(　　)
[A] 63 [B] 36 [C] 45 [D] 27
2.(角度3)(多选题)已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,前n项和为Sn,若S10[A] 当n=11,Sn最大
[B] 使得Sn<0成立的最小自然数n=18
[C] |a8+a9|>|a10+a11|
[D] {}中最小项为
3.(角度1)(2025·河北邢台模拟)已知数列{an},{bn}都是等差数列,且a1－3b1=4,a6－3b6=9,则a2 025－3b2 025=　　　　.
(分值:95分)
选题明细表
知识点、方法 题号
等差数列基本量的运算 1,4,7,8,11
等差数列的性质 2,6,9
等差数列的判断与证明 3,5,12
等差数列的综合应用 10,13,14,15,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a1=2,a3+a7=8,则S17等于(　　)
[A] 51 [B] 102 [C] 119 [D] 238
2.(2025·山东日照模拟)在等差数列{an}中,a2,a5是方程x2－7x－8=0的两个根,则a1+a6等于(　　)
[A] 7 [B] 8 [C] －8或8 　[D] －8
3.(2023·新课标Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:{}为等差数列,则(　　)
[A] 甲是乙的充分条件但不是必要条件
[B] 甲是乙的必要条件但不是充分条件
[C] 甲是乙的充要条件
[D] 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4.(2025·河南南阳模拟)若{an}是正项无穷的等差数列,且a3+a9=6,则{an}的公差d的取值范围是(　　)
[A] [1,2) [B] (0,)
[C] (,+∞) [D] [0,)
5.(2025·辽宁大连模拟)2025年春节前夕,某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动,活动规则如下:将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号,编号能被3除余1,也能被4除余1的顾客可以获得春联1对,否则不能获得春联.若某天符合条件的顾客共有2 000人,则恰好获得1对春联的人数为(　　)
[A] 167 [B] 168 [C] 169 [D] 170
6.(多选题)(2025·福建福州模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S13>0,S14<0,则下列结论错误的是(　　)
[A] {an}是递增数列
[B] a7>0
[C] 当Sn取得最大值时,n=7
[D] |a7|>|a8|
7.(5分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm－1=16,Sm=25,Sm+2=49(m≥2,m∈N*),则实数m的值是　　　　.
8.(11分)(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=11,S10=40.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
9.(2025·浙江金华模拟)已知实数a,b,c构成公差为d的等差数列,若abc=2,b<0,则d的取值范围为(　　)
[A] (－∞,－]∪[,+∞)
[B] (－∞,－2]∪[2,+∞)
[C] (－∞,－]∪[,+∞)
[D] (－∞,－3]∪[3,+∞)
10.已知函数f(x)=3|x－2|,公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,若f(a1 012)=f(a1 013),则S2 024等于(　　)
[A] 1 012 [B] 2 024
[C] 3 036 [D] 4 048
11.(5分)(2025·四川成都模拟)由下列数阵可以看出,第n行最右边的数是n2,那么第10行所有数的和是　　　　.
12.(5分)已知数列{an}的前n项和为Sn,an+1=Sn+2n+1,a1=2,则Sn=　　　　.
13.(5分)(2025·河南焦作模拟)已知数列{an}满足=,且a3=－,a9=,若bn=anan+1·
an+2,则数列{bn}的前n项和最小时,n=　　　　.
14.(13分)(2023·新课标Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d,且d>1.令bn=,记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和.
(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通项公式;
(2)若{bn}为等差数列,且S99－T99=99,求d.
15.(2025·贵州铜仁模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和,且 n∈N*,都有>,若a7a8<0,则(　　)
[A] Sn的最小值是S7 [B] Sn的最小值是S8
[C] Sn的最大值是S7 [D] Sn的最大值是S8
16.(2025·四川攀枝花模拟)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且2anSn=1+,设bn=log2,数列{bn}的前n项和为Tn,则满足Tn≥2的n的最小正整数解为(　　)
[A] 15 [B] 16 [C] 3 [D] 4
第2节　等差数列（解析版）
[课程标准要求]
1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.
2.探索并掌握等差数列的前n项和公式,理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.
3.体会等差数列与一元一次函数的关系.
1.等差数列的有关概念
定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,即an+1－an=d(n∈N*,d为常数)
通项 公式 设{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,则通项公式an=a1+(n－1)d
等差 中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,2A=a+b
2.等差数列的前n项和公式
已知条件 前n项和公式
a1,an,n Sn=
a1,d,n Sn=na1+d
3.等差数列的性质
已知数列{an}是等差数列,公差为d.
(1)通项公式的推广:an=am+(n－m)d(n,m∈N*).
(2)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.
(3){a2n}也是等差数列,公差为2d.
(4)ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
(5)若{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.
1.(2024·全国甲卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=1,则a3+a7等于(　　)
[A] －2 [B] [C] 1 [D]
【答案】 D
【解析】 法一(利用等差数列的基本量)　由S9=1,根据等差数列的求和公式,S9=9a1+d=1 9a1+36d=1,又a3+a7=a1+2d+a1+6d=2a1+8d=(9a1+36d)=.故选D.
法二(利用等差数列的性质)　根据等差数列的性质,a1+a9=a3+a7,由S9=1,根据等差数列的求和公式,S9===1,故a3+a7=.故选D.
法三(特殊值法)　不妨取等差数列公差d=0,则S9=1=9a1 a1=,则a3+a7=2a1=.故选D.
2.(人教A版选择性必修第二册P25习题4.2 T8改编)已知数列an=2n－1,bn=3n－2,则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为{cn},则数列{cn}的通项公式为(　　)
[A] cn=3n－2 [B] cn=4n－1
[C] cn=5n－3 [D] cn=6n－5
【答案】 D
【解析】 因为数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,而数列{bn}是首项为1,公差为3的等差数列,则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列{cn}是首项为1,公差为6的等差数列,故cn=1+(n－1)×6=6n－5.故选D.
3.(人教A版选择性必修第二册P23例9改编)在等差数列{an}中,a1=29,S10=S20,则数列{an}的前n项和Sn的最大值为(　　)
[A] S15 [B] S16
[C] S15或S16 [D] S17
【答案】 A
【解析】 因为a1=29,S10=S20,所以10a1+d=20a1+d,解得d=－2,
所以Sn=29n+×(－2)=－n2+30n=－(n－15)2+225.所以当n=15时,Sn取得最大值.故选A.
4.(2024·湖南衡阳模拟)在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,若S8=S9,则S17=　　　　.
【答案】 0
【解析】 a9=S9－S8=0,S17==17a9=0.
考点一　等差数列基本量的运算
1.(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S5=S10,a5=1,则a1等于(　　)
[A] [B] [C] － [D] －
【答案】 B
【解析】 设等差数列{an}的公差为d,由S10－S5=a6+a7+a8+a9+a10=5a8=0,则a8=0,d==－,故a1=a5－4d=1－4×(－)=.故选B.
2.(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5等于(　　)
[A] 25 [B] 22 [C] 20 [D] 15
[溯源探本]本题源于人教B版选择性必修第三册P28习题5－2B T4.
【答案】 C
【解析】 a2+a6=2a4=10,a4a8=45,所以a4=5,a8=9,d==1,于是a3=a4－d=5－1=4,
所以S5=5a3=20.
故选C.
3.(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a4=7,3a2+a5=5,则 S10=　.
【答案】 95
【解析】 因为数列{an}为等差数列,则由题意得解得
则S10=10a1+d=10×(－4)+45×3=95.
4.已知等差数列{an}的通项公式为an=11－n,则 |a1|+|a2|+…+|a20|=　　　　.
【答案】 100
【解析】 设Sn是数列{an}的前n项和,
|a1|+|a2|+…+|a20|
=(a1+a2+…+a11)－(a12+a13+…+a20)
=S11－(S20－S11)=2S11－S20
=2×
=110－10=100.
(1)等差数列的通项公式及其前n项和公式共涉及五个量a1,n,d,an,Sn,知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量,即首项a1和公差d.
考点二　等差数列的判断与证明
[例1] 已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
①数列{an}是等差数列;②数列{}是等差数列;③a2=3a1.
【解】 ①③ ②.
已知{an}是等差数列,a2=3a1.
设数列{an}的公差为d,
则a2=3a1=a1+d,得d=2a1,
所以Sn=na1+d=n2a1.
因为数列{an}的各项均为正数,所以=n,
所以=(n+1)－n=(常数),所以数列{}是等差数列.
①② ③.
已知{an}是等差数列,{}是等差数列.
设数列{an}的公差为d,
则Sn=na1+d=n2+(a1－)n.
因为数列{}是等差数列,所以数列{}的通项公式是关于n的一次函数,则a1－=0,即d=2a1,所以a2=a1+d=3a1.
②③ ①.
已知数列{}是等差数列,a2=3a1,
所以S1=a1,S2=a1+a2=4a1.
设数列{}的公差为d,d>0,
则==d,得a1=d2,
所以=+(n－1)d=nd,所以Sn=n2d2,
所以an=Sn－Sn－1=n2d2－(n－1)2d2=2d2n－d2(n≥2),是关于n的一次函数,当n=1时,a1=d2符合上式,所以数列{an}是等差数列.
等差数列的判断方法
(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证an－an－1为同一个常数.
(2)等差中项法:验证2an－1=an+an－2(n≥3,n∈N*)成立.
(3)通项公式法:验证an=pn+q.当p≠0时,an为关于n的一次函数.
(4)前n项和公式法:验证Sn=An2+Bn.当A≠0时,Sn为关于n的二次函数且常数项为0.
[针对训练] (2025·安徽合肥模拟)已知数列{an}满足a1=1,且对任意m,n∈N*(m>n)均有am+n+am－n=2am+2an.
(1)设bm=am+1－am,证明{bm}为等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)【证明】 因为am+n+am－n=2am+2an,a1=1,令n=1,所以当m≥2时,am+1+am－1=2am+2,即(am+1－am)－(am－am－1)=2(m≥2),所以bm－bm－1=2(m≥2),所以{bm}为等差数列.
(2)【解】 由(1)知,b1=a2－a1=a2－1,所以bm=b1+2(m－1)=2m+a2－3,即am+1－am=2m+a2－3,所以am=a1+(a2－a1)+(a3－a2)+…+(am－am－1)=1+2(1+2+…+m－1)+(m－1)(a2－3)=1+m2－m+(m－1)(a2－3)=
(m－2)2+(m－1)a2(m≥2),所以a3=1+2a2,a5=9+4a2,再由am+n+am－n=2am+2an,令m=3,n=2,可得a5+a1=2a3+2a2,即9+4a2+1=2+4a2+2a2,解得a2=4,所以am=(m－2)2+4(m－1)=m2,m≥2,当m=1时,a1=1,满足上式.所以数列{an}的通项公式为an=n2.
考点三　等差数列的性质及应用
角度1　等差数列的性质
[例2] (1)在等差数列{an}中,a2+a4+a7+a9=20,则3a5+a7等于(　　)
[A] 20 [B] 15
[C] 10 [D] 条件不足,无法计算
(2)已知{an}是等差数列,ak=10,a3k=20(k∈N*),则a9k=　　　　.
【答案】 (1)A　(2)50
【解析】 (1)由已知a2+a4+a7+a9=2(a5+a6)=20,则3a5+a7=2a5+a5+a7=2a5+2a6=2(a5+a6)=20.故选A.
(2)ak,a3k,a5k,a7k,a9k构成等差数列,设公差为m,则m=a3k－ak=10,a9k=ak+(5－1)m=50.
等差数列项的性质多是其定义、通项公式及前n项和公式等基础知识的推广与变形,解题时可多关注数列中所涉及的各项的下标,灵活应用这些性质常常可化繁为简,减小计算量,起到事半功倍的效果.
角度2　等差数列前n项和的性质
[例3] (1)(2025·河北石家庄模拟)在等差数列{an}中,a1=－2 024,其前n项和为Sn.若=2,则S2 025的值为　　　　.
(2)(2025·安徽安庆模拟)设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意正整数n都有=,则+=　　　　.
【答案】 (1)0　(2)
【解析】 (1)由题意知为等差数列,又=2,所以其公差为1,所以=+
(2 025－1)×1=－2 024+2 024=0,所以S2 025=0.
(2)由题意知,=,b4+b8=b5+b7=2b6,a3+a9=2a6,所以+=====.
等差数列前n项和的性质
(1)数列Sm,S2m－Sm,S3m－S2m,…(m∈N*)也是等差数列.
(2)S2n－1=(2n－1)an.
(3)公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,则{}也为等差数列,且公差为.
(4)若项数n为偶数,则S偶－S奇=;若项数n为奇数,则S奇－S偶=a中(中间项).
(5)两个等差数列{an},{bn}的前n项和Sn,Tn之间的关系为=(bn≠0,Tn≠0).
角度3　等差数列前n项和的最值问题
[例4] (2025·吉林长春模拟)设Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和,且a1>0,若S5=S9,则当Sn最大时,n等于(　　)
[A] 6 [B] 7 [C] 10 [D] 9
【答案】 B
【解析】 由S5=S9,得a6+a7+a8+a9=0,
即a7+a8=0,所以2a1+13d=0,
又a1>0,所以 d<0.
所以a7>0,a8<0,所以a1>a2>…>a7>0>a8>a9>…,所以Sn最大时,n=7.故选B.
求等差数列前n项和Sn的最值的两种方法
(1)函数法:利用等差数列前n项和的函数解析式Sn=an2+bn,通过配方或借助函数图象求二次函数最值的方法求解.
(2)邻项变号法:
利用等差数列的单调性,求出正负转折项,或者利用性质求其正负转折项,便可求得和的最值.
[针对训练]
1.(角度2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于(　　)
[A] 63 [B] 36 [C] 45 [D] 27
【答案】 C
【解析】 由等差数列的前n项和的性质可知,S3,S6－S3,S9－S6成等差数列,
即9,27,S9－S6成等差数列,所以9+S9－S6=54,所以S9－S6=45.
即a7+a8+a9=45.故选C.
2.(角度3)(多选题)已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,前n项和为Sn,若S10[A] 当n=11,Sn最大
[B] 使得Sn<0成立的最小自然数n=18
[C] |a8+a9|>|a10+a11|
[D] {}中最小项为
【答案】 BD
【解析】 根据题意,因为
所以故d=a10－a9<0,所以数列{an}为递减数列,则a1>a9>0>a10>a11,当n=9时,Sn最大,故A错误;a8+a9>0,a10+a11<0,由S10a11+a8+a9<0,所以|a8+a9|=a8+a9<－(a10+a11)=|a10+a11|,故C错误;由以上可得,a1>a2>
a3>…>a9>0>a10>a11>…,S17==17a9>0,而S18==9(a9+a10)<0,当n≤17时,
Sn>0;当n≥18时,Sn<0;所以使得Sn<0成立的最小自然数n=18,故B正确;当n≤9,或n≥18时,>0;当9a10>a11>…>a17,S10>S11>S12>…>S17>0,所以{}中最小项为,故D正确.
故选BD.
3.(角度1)(2025·河北邢台模拟)已知数列{an},{bn}都是等差数列,且a1－3b1=4,a6－3b6=9,则a2 025－3b2 025=　　　　.
【答案】 2 028
【解析】 因为数列{an},{bn}都是等差数列,
所以{an－3bn}是等差数列.
设{an－3bn}的公差为d,
又a1－3b1=4,a6－3b6=9,
所以5d=a6－3b6－(a1－3b1)=5,
解得d=1,所以a2 025－3b2 025=4+2 024=2 028.
(分值:95分)
选题明细表
知识点、方法 题号
等差数列基本量的运算 1,4,7,8,11
等差数列的性质 2,6,9
等差数列的判断与证明 3,5,12
等差数列的综合应用 10,13,14,15,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a1=2,a3+a7=8,则S17等于(　　)
[A] 51 [B] 102 [C] 119 [D] 238
【答案】 B
【解析】 在等差数列{an}中,a1=2,a3+a7=2a5=8,即a5=4,所以d==,则S17=17×2+
×=102.故选B.
2.(2025·山东日照模拟)在等差数列{an}中,a2,a5是方程x2－7x－8=0的两个根,则a1+a6等于(　　)
[A] 7 [B] 8 [C] －8或8 　[D] －8
【答案】 A
【解析】 在等差数列{an}中,a2,a5是方程x2－7x－8=0的两个根,则a2+a5=7,再根据等差数列的性质可以求出a1+a6=a2+a5=7.故选A.
3.(2023·新课标Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:{}为等差数列,则(　　)
[A] 甲是乙的充分条件但不是必要条件
[B] 甲是乙的必要条件但不是充分条件
[C] 甲是乙的充要条件
[D] 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】 C
【解析】 {an}为等差数列,设其首项为a1,公差为d,则Sn=na1+d,=a1+d=n+
a1－,=,因此{}为等差数列,则甲是乙的充分条件;反之,{}为等差数列,即==为常数,设为t,即=t,则Sn=nan+1－t·n(n+1),有
Sn－1=(n－1)an－t·n(n－1),n≥2,两式相减得an=nan+1－(n－1)an－2tn,即an+1－an=2t,对n=1也成立,因此{an}为等差数列,则甲是乙的必要条件,所以甲是乙的充要条件,C正确.故选C.
4.(2025·河南南阳模拟)若{an}是正项无穷的等差数列,且a3+a9=6,则{an}的公差d的取值范围是(　　)
[A] [1,2) [B] (0,)
[C] (,+∞) [D] [0,)
【答案】 D
【解析】 由a3+a9=6,得a1+2d+a1+8d=6,得a1=3－5d,因为{an}是正项无穷的等差数列,所以所以得0≤d<,即{an}的公差d的取值范围是[0,).故选D.
5.(2025·辽宁大连模拟)2025年春节前夕,某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动,活动规则如下:将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号,编号能被3除余1,也能被4除余1的顾客可以获得春联1对,否则不能获得春联.若某天符合条件的顾客共有2 000人,则恰好获得1对春联的人数为(　　)
[A] 167 [B] 168 [C] 169 [D] 170
【答案】 A
【解析】 将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为{an},则an－1既是3的倍数,也是4的倍数,故an－1为12的倍数,所以{an－1}是首项为0,公差为12的等差数列,所以an=12n－11(n∈N*),令1≤an≤2 000,即1≤12n－11≤2 000,且n∈N*,解得1≤n≤,且n∈N*,又167<<168,所以恰好获得1对春联的人数为167.故选A.
6.(多选题)(2025·福建福州模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S13>0,S14<0,则下列结论错误的是(　　)
[A] {an}是递增数列
[B] a7>0
[C] 当Sn取得最大值时,n=7
[D] |a7|>|a8|
【答案】 AD
【解析】 因为S13=13a7>0,则a7>0,S14=7(a7+a8)<0,所以a8<0,公差d=a8－a7<0,所以数列{an}是递减数列,故A错误,B正确;因为a7>0,a8<0,数列{an}是递减数列,所以当n=7时,Sn最大,故C正确;因为a7>0,a7+a8<0,所以|a7|<|a8|,故D错误.故选AD.
7.(5分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm－1=16,Sm=25,Sm+2=49(m≥2,m∈N*),则实数m的值是　　　　.
【答案】 5
【解析】 依题意设等差数列{an}的公差为d,则
即
两式相减得3d=6,d=2,
则a1+(m－1)d=a1+2(m－1)=a1+2m－2=9,a1=11－2m,Sm=ma1+d=ma1+m(m－1)=m(a1+m－1)=
25,所以m(11－2m+m－1)=m(10－m)=25,解得m=5.
8.(11分)(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=11,S10=40.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
【解】 (1)设等差数列的公差为d,由题意可得即
解得
所以an=13－2(n－1)=15－2n.
(2)因为Sn==14n－n2,
令an=15－2n>0,解得n<,且n∈N*,
当n≤7时,an>0,可得Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=14n－n2;
当n≥8时,an<0,可得Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=(a1+a2+…+a7)－(a8+…+an)=S7－(Sn－S7)=2S7－Sn=2×(14×7－72)－(14n－n2)=
n2－14n+98.
综上所述,Tn=
9.(2025·浙江金华模拟)已知实数a,b,c构成公差为d的等差数列,若abc=2,b<0,则d的取值范围为(　　)
[A] (－∞,－]∪[,+∞)
[B] (－∞,－2]∪[2,+∞)
[C] (－∞,－]∪[,+∞)
[D] (－∞,－3]∪[3,+∞)
【答案】 A
【解析】 因为实数a,b,c构成公差为d的等差数列,且abc=2,b<0,所以a=b－d,c=b+d,所以(b－d)b(b+d)=2,即b2－d2=,解得d2=b2－,设f(x)=x2－,x∈(－∞,0),则f′(x)=2x+=,令f′(x)=0,解得x=－1,所以x∈(－∞,－1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;x∈(－1,0)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以x=－1时,f(x)有最小值为f(－1)=1+2=3,所以d2≥3,解得d≥或d≤－.故
选A.
10.已知函数f(x)=3|x－2|,公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,若f(a1 012)=f(a1 013),则S2 024等于(　　)
[A] 1 012 [B] 2 024
[C] 3 036 [D] 4 048
【答案】 D
【解析】 根据题意,函数f(x)=3|x－2|,f(－x+4)=3|－x+4－2|=3|x－2|=f(x),故y=f(x)图象关于直线x=2对称,由f(a1 012)=f(a1 013),可知=2,即a1 012+a1 013=4,所以S2 024=
=1 012(a1 012+a1 013)=1 012×4=4 048.故选D.
11.(5分)(2025·四川成都模拟)由下列数阵可以看出,第n行最右边的数是n2,那么第10行所有数的和是　　　　.
【答案】 1 729
【解析】 由数阵的排列可得,第10行共有2×10－1=19个数,因为第n行最右边的数是n2,所以第9行最右边的数是81,第10行最右边的数是100,故第10行最左边的数是82,故第10行所有数的和为82+…+100==1 729.
12.(5分)已知数列{an}的前n项和为Sn,an+1=Sn+2n+1,a1=2,则Sn=　　　　.
【答案】 n·2n
【解析】 因为an+1=Sn+2n+1,则Sn+1－Sn=Sn+2n+1,整理得=1,又因为a1=2,则=1,因为数列{}是首项为1,公差为1的等差数列,则=1+(n－1)×1=n,所以Sn=n·2n.
13.(5分)(2025·河南焦作模拟)已知数列{an}满足=,且a3=－,a9=,若bn=anan+1·
an+2,则数列{bn}的前n项和最小时,n=　　　　.
【答案】 5或7
【解析】 由=,可得=,即+=,所以数列{}为等差数列,设公差为d,所以6d==12,则d=2,由+2d=,解得=－13,所以=－13+2(n－1)=2n－15,则an=,当1≤n≤7时,an<0,当n≥8时,an>0,故当1≤n≤5时,bn<0,
b6=a6a7a8>0,b7=a7a8a9<0,b6+b7=a7a8(a6+a9)=0,当n≥8时,bn>0.记数列{bn}的前n项和为Tn,则T5=T5+(b6+b7)=T714.(13分)(2023·新课标Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d,且d>1.令bn=,记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和.
(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通项公式;
(2)若{bn}为等差数列,且S99－T99=99,求d.
【解】 (1)因为3a2=3a1+a3,所以3d=a1+2d,解得a1=d,所以an=nd.所以S3=3a2=3(a1+d)=6d,又T3=b1+b2+b3=++=,所以S3+T3=6d+=21,即2d2－7d+3=0,解得d=3或d=(舍去),所以an=3n.
(2)因为{bn}为等差数列,所以2b2=b1+b3,即=+,所以6()==,即－3a1d+2d2=0,解得a1=d或a1=2d.因为d>1,所以an>0,又S99－T99=99,由等差数列性质知,99a50－99b50=99,即a50－b50=1,所以a50－=1,即－a50－2 550=0,解得a50=51或a50=－50(舍去).当a1=2d时,
a50=a1+49d=51d=51,解得d=1,与d>1矛盾,无解;当a1=d时,a50=a1+49d=50d=51,解得d=.综上,d=.
15.(2025·贵州铜仁模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和,且 n∈N*,都有>,若a7a8<0,则(　　)
[A] Sn的最小值是S7 [B] Sn的最小值是S8
[C] Sn的最大值是S7 [D] Sn的最大值是S8
【答案】 C
【解析】 由>,
得>,即an>an+1,
所以数列{an}为递减的等差数列,因为a7a8<0,所以a7>0,a8<0,
所以当n≤7且n∈N*时,an>0;当n≥8且n∈N*时,an<0.
所以Sn有最大值,最大值为S7.故选C.
16.(2025·四川攀枝花模拟)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且2anSn=1+,设bn=log2,数列{bn}的前n项和为Tn,则满足Tn≥2的n的最小正整数解为(　　)
[A] 15 [B] 16 [C] 3 [D] 4
【答案】 A
【解析】 由题设2Sn=+an且an>0,当n=1时,
2S1=2a1=+a1,则S1=a1=1,
当n=2时,2S2=2(a1+a2)=+a2,
则+2a2－1=0,可得a2=－1,
所以S2=a1+a2=.
当n≥2时,2(Sn－Sn－1)Sn=2－2SnSn－1=1+－2SnSn－1+,则=1,
=1也成立,故{}是首项、公差均为1的等差数列,则=n,即Sn=.
又Tn=log2+log2+…+log2=log2=log2Sn+1=log2(n+1)≥2,
所以n+1≥16,即n≥15,故Tn≥2的n的最小正整数解为15.故选A.
(
第
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)(共66张PPT)
第2节　等差数列
1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.
2.探索并掌握等差数列的前n项和公式,理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.
3.体会等差数列与一元一次函数的关系.
[课程标准要求]
必备知识
课前回顾
知识梳理
1.等差数列的有关概念
定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于 ,那么这个数列就叫做等差数列,即an+1－an=d(n∈N*,d为常数)
通项 公式 设{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,则通项公式an=
等差 中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,
叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,2A=
同一个常数
a1+(n－1)d
A
a+b
知识梳理
2.等差数列的前n项和公式
已知条件 前n项和公式
a1,an,n Sn=
a1,d,n Sn=
知识梳理
3.等差数列的性质
已知数列{an}是等差数列,公差为d.
(1)通项公式的推广:an=am+ (n,m∈N*).
(2)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则 .
(3){a2n}也是等差数列,公差为 .
(4)ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
(5)若{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.
(n－m)d
ak+al=am+an
2d
对点自测
1.(2024·全国甲卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=1,则a3+a7等于(　 )
D
对点自测
D
对点自测
2.(人教A版选择性必修第二册P25习题4.2 T8改编)已知数列an=2n－1,bn=3n－2,则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为{cn},则数列{cn}的通项公式为(　　)
[A] cn=3n－2 [B] cn=4n－1
[C] cn=5n－3 [D] cn=6n－5
【解析】 因为数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,而数列{bn}是首项为1,公差为3的等差数列,则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列{cn}是首项为1,公差为6的等差数列,故cn=1+(n－1)×6=6n－5.故选D.
3.(人教A版选择性必修第二册P23例9改编)在等差数列{an}中,a1=29,S10=S20,则数列{an}的前n项和Sn的最大值为(　　)
[A] S15 [B] S16 [C] S15或S16 [D] S17
对点自测
A
对点自测
0
4.(2024·湖南衡阳模拟)在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,若S8=S9,则S17=
　　　　.
关键能力
课堂突破
考点一　等差数列基本量的运算
1.(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S5=S10,a5=1,则a1等于
(　　)
B
2.(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5等于(　　)
[A] 25 [B] 22 [C] 20 [D] 15
C
[溯源探本]本题源于人教B版选择性必修第三册P28习题5－2B T4.
3.(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a4=7,3a2+a5=5,则 S10=　 .
95
4.已知等差数列{an}的通项公式为an=11－n,则 |a1|+|a2|+…+|a20|=　　　　.
100
(1)等差数列的通项公式及其前n项和公式共涉及五个量a1,n,d,an,Sn,知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量,即首项a1和公差d.
题后悟通
考点二　等差数列的判断与证明
[例1] 已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
解题策略
等差数列的判断方法
(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证an－an－1为同一个常数.
(2)等差中项法:验证2an－1=an+an－2(n≥3,n∈N*)成立.
(3)通项公式法:验证an=pn+q.当p≠0时,an为关于n的一次函数.
(4)前n项和公式法:验证Sn=An2+Bn.当A≠0时,Sn为关于n的二次函数且常数项为0.
[针对训练] (2025·安徽合肥模拟)已知数列{an}满足a1=1,且对任意m,n∈N*
(m>n)均有am+n+am－n=2am+2an.
(1)设bm=am+1－am,证明{bm}为等差数列;
(1)【证明】 因为am+n+am－n=2am+2an,a1=1,令n=1,所以当m≥2时,am+1+am－1=
2am+2,即(am+1－am)－(am－am－1)=2(m≥2),所以bm－bm－1=2(m≥2),所以{bm}为等差数列.
[针对训练] (2025·安徽合肥模拟)已知数列{an}满足a1=1,且对任意m,n∈N*(m>n)均有am+n+
am－n=2am+2an.
(2)求数列{an}的通项公式.
(2)【解】 由(1)知,b1=a2－a1=a2－1,所以bm=b1+2(m－1)=2m+a2－3,即am+1－am=2m+a2－3,所以am=a1+(a2－a1)+(a3－a2)+…+(am－am－1)=1+2(1+2+…+m－1)+(m－1)(a2－3)=1+m2－m+(m－1)(a2－3)=(m－2)2+(m－1)a2(m≥2),所以a3=1+2a2,a5=9+4a2,再由am+n+am－n=2am+
2an,令m=3,n=2,可得a5+a1=2a3+2a2,即9+4a2+1=2+4a2+2a2,解得a2=4,所以am=(m－2)2+
4(m－1)=m2,m≥2,当m=1时,a1=1,满足上式.所以数列{an}的通项公式为an=n2.
考点三　等差数列的性质及应用
角度1　等差数列的性质
[例2] (1)在等差数列{an}中,a2+a4+a7+a9=20,则3a5+a7等于(　　)
[A] 20 [B] 15
[C] 10 [D] 条件不足,无法计算
A
【解析】 (1)由已知a2+a4+a7+a9=2(a5+a6)=20,则3a5+a7=2a5+a5+a7=2a5+2a6=
2(a5+a6)=20.故选A.
(2)已知{an}是等差数列,ak=10,a3k=20(k∈N*),则a9k=　　　　.
50
【解析】 (2)ak,a3k,a5k,a7k,a9k构成等差数列,设公差为m,则m=a3k－ak=10,a9k=
ak+(5－1)m=50.
解题策略
等差数列项的性质多是其定义、通项公式及前n项和公式等基础知识的推广与变形,解题时可多关注数列中所涉及的各项的下标,灵活应用这些性质常常可化繁为简,减小计算量,起到事半功倍的效果.
角度2　等差数列前n项和的性质
0
解题策略
等差数列前n项和的性质
(1)数列Sm,S2m－Sm,S3m－S2m,…(m∈N*)也是等差数列.
(2)S2n－1=(2n－1)an.
角度3　等差数列前n项和的最值问题
[例4](2025·吉林长春模拟)设Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和,且a1>0,若S5=S9,则当Sn最大时,n等于(　　)
[A] 6 [B] 7 [C] 10 [D] 9
B
【解析】 由S5=S9,得a6+a7+a8+a9=0,
即a7+a8=0,所以2a1+13d=0,
又a1>0,所以 d<0.
所以a7>0,a8<0,所以a1>a2>…>a7>0>a8>a9>…,所以Sn最大时,n=7.故选B.
解题策略
求等差数列前n项和Sn的最值的两种方法
(1)函数法:利用等差数列前n项和的函数解析式Sn=an2+bn,通过配方或借助函数图象求二次函数最值的方法求解.
(2)邻项变号法:
利用等差数列的单调性,求出正负转折项,或者利用性质求其正负转折项,便可求得和的最值.
1.(角度2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于
(　　)
[A] 63 [B] 36 [C] 45 [D] 27
C
[针对训练]
【解析】 由等差数列的前n项和的性质可知,S3,S6－S3,S9－S6成等差数列,
即9,27,S9－S6成等差数列,所以9+S9－S6=54,所以S9－S6=45.
即a7+a8+a9=45.故选C.
2.(角度3)(多选题)已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,前n项和为Sn,若S10[A] 当n=11,Sn最大
[B] 使得Sn<0成立的最小自然数n=18
[C] |a8+a9|>|a10+a11|
BD
2 028
3.(角度1)(2025·河北邢台模拟)已知数列{an},{bn}都是等差数列,且a1－3b1=4,
a6－3b6=9,则a2 025－3b2 025=　　　　.
【解析】 因为数列{an},{bn}都是等差数列,
所以{an－3bn}是等差数列.
设{an－3bn}的公差为d,
又a1－3b1=4,a6－3b6=9,
所以5d=a6－3b6－(a1－3b1)=5,
解得d=1,所以a2 025－3b2 025=4+2 024=2 028.
课时作业
(分值:95分)
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
等差数列基本量的运算 1,4,7,8,11
等差数列的性质 2,6,9
等差数列的判断与证明 3,5,12
等差数列的综合应用 10,13,14,15,16
基础巩固练
B
1.等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a1=2,a3+a7=8,则S17等于(　　)
[A] 51 [B] 102 [C] 119 [D] 238
2.(2025·山东日照模拟)在等差数列{an}中,a2,a5是方程x2－7x－8=0的两个根,则a1+a6等于(　　)
[A] 7 [B] 8 [C] －8或8 　 [D] －8
A
【解析】 在等差数列{an}中,a2,a5是方程x2－7x－8=0的两个根,则a2+a5=7,再根据等差数列的性质可以求出a1+a6=a2+a5=7.故选A.
[A] 甲是乙的充分条件但不是必要条件
[B] 甲是乙的必要条件但不是充分条件
[C] 甲是乙的充要条件
[D] 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
C
D
5.(2025·辽宁大连模拟)2025年春节前夕,某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动,活动规则如下:将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号,编号能被3除余1,也能被4除余1的顾客可以获得春联1对,否则不能获得春联.若某天符合条件的顾客共有2 000人,则恰好获得
1对春联的人数为(　　)
[A] 167 [B] 168 [C] 169 [D] 170
A
6.(多选题)(2025·福建福州模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S13>0,
S14<0,则下列结论错误的是(　　 )
[A] {an}是递增数列
[B] a7>0
[C] 当Sn取得最大值时,n=7
[D] |a7|>|a8|
AD
【解析】 因为S13=13a7>0,则a7>0,S14=7(a7+a8)<0,所以a8<0,公差d=a8－a7<0,所以数列{an}是递减数列,故A错误,B正确;因为a7>0,a8<0,数列{an}是递减数列,所以当n=7时,Sn最大,故C正确;因为a7>0,a7+a8<0,所以|a7|<|a8|,故D错误.故选AD.
7.(5分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm－1=16,Sm=25,Sm+2=49(m≥2,m∈N*),则实数m的值是　　　　.
5
8.(11分)(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=11,S10=40.
(1)求{an}的通项公式;
8.(11分)(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=11,S10=40.
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
综合运用练
9.(2025·浙江金华模拟)已知实数a,b,c构成公差为d的等差数列,若abc=2,b<0,则d的取值范围为(　　)
A
10.已知函数f(x)=3|x－2|,公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,若f(a1 012)=
f(a1 013),则S2 024等于(　　)
[A] 1 012 [B] 2 024 [C] 3 036 [D] 4 048
D
11.(5分)(2025·四川成都模拟)由下列数阵可以看出,第n行最右边的数是n2,那么第10行所有数的和是　　　　.
1 729
12.(5分)已知数列{an}的前n项和为Sn,an+1=Sn+2n+1,a1=2,则Sn=　　　　.
n·2n
5或7
(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通项公式;
(2)若{bn}为等差数列,且S99－T99=99,求d.
应用创新练
C
A

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