资源简介

第3节　等比数列
[课程标准要求]
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.了解等比数列与指数函数的关系.
1.等比数列的有关概念
定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零),那么这个数列叫做等比数列
通项 公式 设{an}是首项为a1,公比为q的等比数列,则通项公式an=a1·qn－1.推广:an=amqn－m(m,n∈N*)
等比 中项 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.此时,G2=ab
2.等比数列的前n项和公式
Sn=
当{an}是等比数列且q≠1时,Sn==·qn+=kqn－k(k≠0,q≠1),Sn为关于n的指数型函数,且系数与常数互为相反数.
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则有ak·al=am·an.
(2)ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比数列,公比为qm.
(3)当q≠－1,或q=－1且n为奇数时,Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…仍成等比数列,其公比为qn.
(4)当q>1,a1>0或01,a1<0或00时,{an}是递减数列.
1.若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则数列{c·an}(c≠0),{|an|},{},{},{an·bn},{}也是等比数列.
2.由an+1=qan,q≠0,并不能立即判断{an}为等比数列,还要验证a1≠0.
3.三个数成等比数列可设三个数为,b,bq,四个数成等比数列且公比大于0时,可设四个数为,,bq,bq3.
4.已知{an}为等比数列,若a1·a2·…·an=Tn,则Tn,,,…成等比数列.
1.已知等比数列{an}的公比为,a2=16,则a4等于(　　)
[A] 9 [B] 6 [C] 12 [D] 8
2.(人教A版选择性必修第二册P37练习T1(3)改编)在等比数列{an}中,若a3=,S3=,则a2的值为(　　)
[A] [B] －3
[C] － [D] －3或
3.(人教A版选择性必修第二册P34练习T2改编)已知项数相同的等比数列{an},{bn},公比分别为q1,q2(q1,q2≠1),则下列数列:①{3an};②{};③{};④{2an－3bn}中,等比数列的个数是(　　)
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4
4.(人教A版选择性必修第二册P55复习参考题4 T4(2)改编)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”则此人在第六天行走的路程是　　　　里(用数字作答).
5.(2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6=7S3,则{an}的公比为　　　　.
考点一　等比数列基本量的运算
1.(2025·甘肃白银模拟)已知等比数列{an},Sn是其前n项和,S2=3a2,则等于(　　)
[A] [B] 8 [C] 7 [D] 14
2.(2023·新课标Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=－5,S6=21S2,则S8等于(　　)
[A] 120 [B] 85 [C] －85 [D] －120
3.(2025·吉林长春模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a2,a3+7,a4成等差数列,a2+a3=14,则等于(　　)
[A] 28 [B] 14 [C] 20 [D] 10
4.(2025·陕西安康模拟)在等比数列{an}中,a3·a5=64,log2a6=5,则a1的值为　　　　.
(1)等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.
(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和Sn==.
考点二　等比数列的判断与证明
[例1] (2025·新疆喀什模拟)设Sn为数列{an}的前n项和,已知a3=7,an=2an－1+a2－2(n≥2).
(1)证明:数列{an+1}为等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式,并判断n,an,Sn是否成等差数列
等比数列的四种判断方法
(1)定义法:an+1=qan(a1≠0,q≠0) {an}是等比数列.
(2)等比中项法:{an}各项均不为0,=anan+2 {an}是等比数列.
(3)通项公式法:an=Aqn－1(Aq≠0) {an}是等比数列.
(4)前n项和公式法:Sn=Aqn－A(Aq≠0,q≠1) {an}是等比数列.
注意:证明一个数列是等比数列,一般只能用方法(1)(2).
[针对训练] (2025·辽宁大连模拟)(1)已知数列{cn},其中cn=3n+4n,且数列{cn+1－pcn}为等比数列,求常数p;
(2)设{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,证明:数列{cn}不是等比数列.
考点三　等比数列的性质及其应用
角度1　项的性质
[例2] (1)(2025·陕西西安模拟)已知Sn是等比数列{an}的前n项和,a1+a4+a7=2,a2+a5+a8=4,则S9等于(　　)
[A] 12 [B] 14 [C] 16 [D] 18
(2)(2023·天津卷)已知{an}为等比数列,Sn为数列{an}的前n项和,an+1=2Sn+2,则a4的值为(　　)
[A] 3 [B] 18 [C] 54 [D] 152
角度2　前n项和的性质
[例3] (2025·河南南阳模拟)若正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且S8－2S4=6,则a9+a10+
a11+a12的最小值为(　　)
[A] 22 [B] 24
[C] 26 [D] 28
角度3　等比数列中的最值
[例4] (多选题)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,并满足条件a1>1,a9·a10>1,<0,下列结论正确的是(　　)
[A] S9[B] a9a11－1<0
[C] T10是数列{Tn}中的最大项
[D] 数列{Tn}无最大项
(1)等比数列的性质可以分为三类:一是通项公式的变形,二是等比中项的变形,三是前n项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
(2)涉及等比数列的单调性与最值的问题,一般要考虑公比与首项的符号对其影响.
[针对训练]
1.(角度3)(多选题)已知数列{an}满足an≠±1,且an+1an+an+1=2,bn=||,则下列说法正确的是(　　)
[A] 数列{an}可能为常数列
[B] 数列{bn}可能为等比数列
[C] 若a1=2,则bi=221－2
[D] 若a1=－,记Sn是数列{}的前n项积,则Sn的最大值为S3
2.(角度1)(2025·湖南长沙模拟)在等比数列{an}中,a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=,a4a5=－,则+++++++=　　　　.
3.(角度2)(2025·福建厦门模拟)已知等比数列{an}共有2n项,其和为－240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=　　　　.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
等比数列基本量的运算 2,4
等比数列的判断与证明 5,11,14
等比数列的性质 1,3,6,7,9,12
等比数列的综合应用 8,10,13,15,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.等比数列{an}的前n项积为Tn,T9=512,则a3+a7的最小值是(　　)
[A] 2 [B] 2 [C] 4 [D] 4
2.(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,若a1=1,S5=5S3－4,则S4等于(　　)
[A] [B] [C] 15 [D] 40
3.等比数列{an}的前n项和Sn=4n－1+t,则t等于(　　)
[A] －1 [B] － [C] [D]
4.(2025·江苏盐城模拟)若数列{an}满足 2na1+2n－1a2+…+2an=4n,{an}的前n项和为Sn,则(　　)
[A] Sn= [B] Sn=
[C] Sn= [D] Sn=
5.(多选题)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1,则(　　)
[A] 数列{an+1}是等比数列
[B] an=2n－1
[C] 数列{an}的前n项和Sn=2n－n
[D] 数列{}的前n项和Tn=
6.(5分)(2025·湖北襄阳模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S8+S24=140,且S24=13S8,则S16的值为　　　　.
7.(5分)(2025·福建泉州模拟)在等比数列{an}中,a1,a5是函数f(x)=x2－10x+tln(3x)的两个极值点,若a2a4=2a3－2,则t的值为　　　　.
8.(9分)(2024·全国甲卷)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3an+1－3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{Sn}的前n项和.
9.已知数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,若a2+a4+a6=5π,b2b4b6=3,则tan等于(　　)
[A] [B] － [C] [D] －
10.(2025·湖北武汉模拟)已知Sn是数列{bn}的前n项和,若(1－2x)2 025=a0+a1x+a2x2+…+a2 025·
x2 025,数列{bn}的首项b1=+++…+,bn+1·bn=2n(n∈N*),则S2 025等于(　　)
[A] －3－21 014 [B] －2－3·21 012
[C] 2－3·21 012 [D] 3－21 014
11.一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬,每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房(如图),例如:从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房,从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房,…,以此类推,用an表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数,则a2 022a2 024－等于(　　)
[A] 1 [B] －1 [C] 2 [D] －2
12.(5分)已知方程(x2－mx+27)(x2－nx+27)=0的四个根组成以1为首项的等比数列,则|m－n|等于　　　　.
13.(5分)(2025·河北邯郸模拟)如图数阵的每一行最右边数据从上到下形成以1为首项,以2为公比的等比数列,每行的第n个数从上到下形成以2n－1为首项,以3为公比的等比数列,则该数阵第n行(n∈N*)所有数据的和Sn=　　　　.
14.(12分)(2025·吉林通化模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,2Sn=3an+m.
(1)求实数m的值和数列{an}的通项公式;
(2)若bn=an·log3an+1,求数列{bn}的前n项和Tn.
15.(5分)已知M={k|ak=bk},{an},{bn}不为常数列且各项不均相同,下列正确的是　　　　(填序号).
①若{an},{bn}均为等差数列,则M中最多有一个元素;
②若{an},{bn}均为等比数列,则M中最多有三个元素;
③若{an}为等差数列,{bn}为等比数列,则M中最多有三个元素;
④若{an}为递增数列,{bn}为递减数列,则M中最多有一个元素.
16.(13分)(2025·河南郑州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,若存在常数λ(λ>0),使得λan≥Sn+1对任意 n∈N*都成立,则称数列{an}具有性质P(λ).
(1)若数列{an}为等差数列,且S3=－9,S5=－25,求证:数列{an}具有性质P(3);
(2)设数列{an}的各项均为正数,且{an}具有性质P(λ).
①若数列{an}是公比为q的等比数列,且λ=4,求q的值;
②求λ的最小值.
第3节　等比数列（解析版）
[课程标准要求]
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.了解等比数列与指数函数的关系.
1.等比数列的有关概念
定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零),那么这个数列叫做等比数列
通项 公式 设{an}是首项为a1,公比为q的等比数列,则通项公式an=a1·qn－1.推广:an=amqn－m(m,n∈N*)
等比 中项 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.此时,G2=ab
2.等比数列的前n项和公式
Sn=
当{an}是等比数列且q≠1时,Sn==·qn+=kqn－k(k≠0,q≠1),Sn为关于n的指数型函数,且系数与常数互为相反数.
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则有ak·al=am·an.
(2)ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比数列,公比为qm.
(3)当q≠－1,或q=－1且n为奇数时,Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…仍成等比数列,其公比为qn.
(4)当q>1,a1>0或01,a1<0或00时,{an}是递减数列.
1.若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则数列{c·an}(c≠0),{|an|},{},{},{an·bn},{}也是等比数列.
2.由an+1=qan,q≠0,并不能立即判断{an}为等比数列,还要验证a1≠0.
3.三个数成等比数列可设三个数为,b,bq,四个数成等比数列且公比大于0时,可设四个数为,,bq,bq3.
4.已知{an}为等比数列,若a1·a2·…·an=Tn,则Tn,,,…成等比数列.
1.已知等比数列{an}的公比为,a2=16,则a4等于(　　)
[A] 9 [B] 6 [C] 12 [D] 8
【答案】 A
【解析】 因为等比数列{an}的公比为,a2=16,则a4=a2·()2=16×=9.故选A.
2.(人教A版选择性必修第二册P37练习T1(3)改编)在等比数列{an}中,若a3=,S3=,则a2的值为(　　)
[A] [B] －3
[C] － [D] －3或
【答案】 D
【解析】 由a3=,S3=,得S3=a1+a2+a3=a3(q－2+q－1+1)=,得q－2+q－1+1=3,即2q2－q－1=0,解得q=1或q=－,所以a2==或－3.
故选D.
3.(人教A版选择性必修第二册P34练习T2改编)已知项数相同的等比数列{an},{bn},公比分别为q1,q2(q1,q2≠1),则下列数列:①{3an};②{};③{};④{2an－3bn}中,等比数列的个数是(　　)
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4
【答案】 B
【解析】 已知等比数列{an},{bn}的公比分别为q1,q2.①中,=q1(常数),所以数列{3an}是等比数列;②中,=(常数),所以数列{}是等比数列;③中,=,不为常数,故数列{}不是等比数列;④中,数列的项可能为0,故不一定是等比数列.故选B.
4.(人教A版选择性必修第二册P55复习参考题4 T4(2)改编)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”则此人在第六天行走的路程是　　　　里(用数字作答).
【答案】 6
【解析】 将这个人行走的路程依次排成一列,得等比数列{an},n∈N*,n≤6,其公比q=,令数列{an}的前n项和为Sn,则S6=378,而S6==,因此=378,解得a1=192,所以此人在第六天行走的路程a6=a1×=6(里).
5.(2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6=7S3,则{an}的公比为　　　　.
【答案】 －
【解析】 若q=1,
则由8S6=7S3得8×6a1=7×3a1,则a1=0,不符合题意,所以q≠1.
当q≠1时,因为8S6=7S3,
所以8·=7·,
即8·(1－q6)=7·(1－q3),
即8·(1+q3)(1－q3)=7·(1－q3),
即8·(1+q3)=7,解得q=－.
考点一　等比数列基本量的运算
1.(2025·甘肃白银模拟)已知等比数列{an},Sn是其前n项和,S2=3a2,则等于(　　)
[A] [B] 8 [C] 7 [D] 14
【答案】 C
【解析】 设等比数列{an}的公比为q,因为S2=3a2,可得a1+a2=3a2,即a1=2a2,所以q==,所以====7.故选C.
2.(2023·新课标Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=－5,S6=21S2,则S8等于(　　)
[A] 120 [B] 85 [C] －85 [D] －120
[溯源探本]本题源于人教B版选择性必修第三册P42练习B T3.
【答案】 C
【解析】 设等比数列{an}的公比为q,首项为a1,
若q=1,则S6=6a1=3×2a1=3S2,与题意不符,所以q≠1;
由S4=－5,S6=21S2可得,=－5,=21×,(*)
由(*)式可得,1+q2+q4=21,解得q2=4,
所以S8==×(1+q4)=(－5)×(1+16)=－85.
故选C.
3.(2025·吉林长春模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a2,a3+7,a4成等差数列,a2+a3=14,则等于(　　)
[A] 28 [B] 14 [C] 20 [D] 10
【答案】 A
【解析】 设公比为q,因为a2,a3+7,a4成等差数列,所以2(a3+7)=a2+a4,所以a1q+a1q3－2a1q2=
14,由a2+a3=14,得a1q+a1q2=14,所以a1q+a1q3－2a1q2=a1q+a1q2,所以a1q3=3a1q2,因为a1≠0,
q≠0,所以q=3,所以3a1+9a1=14,得a1=,所以=·==1+q3=1+33=28.
故选A.
4.(2025·陕西安康模拟)在等比数列{an}中,a3·a5=64,log2a6=5,则a1的值为　　　　.
【答案】 1或－1
【解析】 设等比数列{an}的公比为q,因为a3·a5=,所以=64,从而a4=±8,又log2a6=5,所以a6=32,又=a4a6>0,所以a4=8,所以q2==4,所以q=±2,当q=2时,由a4=a1q3,得a1=1,当q=－2时,由a4=a1q3,得a1=－1,综上,a1的值为1或－1.
(1)等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.
(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和Sn==.
考点二　等比数列的判断与证明
[例1] (2025·新疆喀什模拟)设Sn为数列{an}的前n项和,已知a3=7,an=2an－1+a2－2(n≥2).
(1)证明:数列{an+1}为等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式,并判断n,an,Sn是否成等差数列
(1)【证明】 因为a3=7,a3=3a2－2,
所以a2=3,
所以an=2+1,
所以a1=1.
又==2(n≥2),且a1+1=2,所以数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列.
(2)【解】 由(1)知,an+1=2n,
所以an=2n－1,
所以Sn=－n=2n+1－n－2,
所以n+Sn－2an=n+(2n+1－n－2)－2(2n－1)=0,
所以n+Sn=2an,
即n,an,Sn成等差数列.
等比数列的四种判断方法
(1)定义法:an+1=qan(a1≠0,q≠0) {an}是等比数列.
(2)等比中项法:{an}各项均不为0,=anan+2 {an}是等比数列.
(3)通项公式法:an=Aqn－1(Aq≠0) {an}是等比数列.
(4)前n项和公式法:Sn=Aqn－A(Aq≠0,q≠1) {an}是等比数列.
注意:证明一个数列是等比数列,一般只能用方法(1)(2).
[针对训练] (2025·辽宁大连模拟)(1)已知数列{cn},其中cn=3n+4n,且数列{cn+1－pcn}为等比数列,求常数p;
(2)设{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,证明:数列{cn}不是等比数列.
(1)【解】 因为{cn+1－pcn}是等比数列,
所以(cn+2－pcn+1)2=(cn+3－pcn+2)(cn+1－pcn),将cn=3n+4n代入上式,得
[3n+2+4n+2－p(3n+1+4n+1)]2=[3n+3+4n+3－p(3n+2+4n+2)]·[3n+1+4n+1－p(3n+4n)],
即=[(3－p)3n+2+(4－p)4n+2]·[(3－p)3n+(4－p)4n],
整理得(3－p)(4－p)=0.
解得p=3或p=4.
(2)【证明】 设{an},{bn}的公比分别为p,q,p≠q,cn=an+bn,为证{cn}不是等比数列,只需证≠c1c3.事实上,=(a1p+b1q)2=p2+q2+2a1b1pq,c1c3=(a1+b1)(a1p2+b1q2)=p2+q2+
a1b1(p2+q2).由于p≠q,p2+q2>2pq,又a1,b1不为零,则－c1c3=a1b1(2pq－p2－q2)≠0,因此,≠c1c3,故{cn}不是等比数列.
考点三　等比数列的性质及其应用
角度1　项的性质
[例2] (1)(2025·陕西西安模拟)已知Sn是等比数列{an}的前n项和,a1+a4+a7=2,a2+a5+a8=4,则S9等于(　　)
[A] 12 [B] 14 [C] 16 [D] 18
(2)(2023·天津卷)已知{an}为等比数列,Sn为数列{an}的前n项和,an+1=2Sn+2,则a4的值为(　　)
[A] 3 [B] 18 [C] 54 [D] 152
【答案】 (1)B　(2)C
【解析】 (1)设等比数列{an}的公比为q,可得==q=2,则a3+a6+a9=
q(a2+a5+a8)=8,所以S9=2+4+8=14.故选B.
(2)因为{an}为等比数列,an+1=2Sn+2,所以 a2=2S1+2=2a1+2,a3=2S2+2=2(a1+2a1+2)+2=6a1+6,由等比数列的性质可得,=a1·a3,即(2+2a1)2=(6a1+6)·a1,所以a1=2或a1=－1(舍去),所以a2=6,q=3,则a4=a1·q3=2×33=54.
故选C.
角度2　前n项和的性质
[例3] (2025·河南南阳模拟)若正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且S8－2S4=6,则a9+a10+
a11+a12的最小值为(　　)
[A] 22 [B] 24
[C] 26 [D] 28
【答案】 B
【解析】 由题意,设正项等比数列的公比为q(q>0),因为S4,S8－S4,S12－S8成等比数列,可得S4·(S12－S8)=(S8－S4)2,又因为S8－2S4=6,即S8－S4=S4+6,所以S12－S8===
S4++12,所以a9+a10+a11+a12=S12－S8=S4++12≥2+12=24,当且仅当S4=时,即S4=6时,等号成立,所以a9+a10+a11+a12的最小值为24.
故选B.
角度3　等比数列中的最值
[例4] (多选题)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,并满足条件a1>1,a9·a10>1,<0,下列结论正确的是(　　)
[A] S9[B] a9a11－1<0
[C] T10是数列{Tn}中的最大项
[D] 数列{Tn}无最大项
【答案】 AB
【解析】 当q<0时,a9a10=q<0,不成立;当q≥1时,因为a1>1,所以a9>1,a10>1,<0不成立;故01,0故S10>S9,故A正确;
a9a11－1=－1<0,故B正确;
T9是数列{Tn}中的最大项,故C,D错误.故选AB.
(1)等比数列的性质可以分为三类:一是通项公式的变形,二是等比中项的变形,三是前n项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
(2)涉及等比数列的单调性与最值的问题,一般要考虑公比与首项的符号对其影响.
[针对训练]
1.(角度3)(多选题)已知数列{an}满足an≠±1,且an+1an+an+1=2,bn=||,则下列说法正确的是(　　)
[A] 数列{an}可能为常数列
[B] 数列{bn}可能为等比数列
[C] 若a1=2,则bi=221－2
[D] 若a1=－,记Sn是数列{}的前n项积,则Sn的最大值为S3
【答案】 ABD
【解析】 对于A,当an+1=an时,+an=2,得an=－2或an=1(舍去),此时an=－2为常数列,故A正确;
对于B,an+1=,an≠±1,bn+1=||=||=||=2||=2||=2bn,若 an=－2,此时bn=0,不是等比数列,若an≠－2,=2,此时数列{bn}为公比为2的等比数列,故B正确;
对于C,若a1=2,b1=||=4,由B项分析得bi==222－4,故C错误;
对于D,若a1=－,b1=||=,数列{}是首项为7,公比为的等比数列,=7×()n－1=,数列{}是递减数列,Sn=×××…×,当n=3时,==>1,当n=4时,=<1,所以Sn的最大值为S3,故D正确.故选ABD.
2.(角度1)(2025·湖南长沙模拟)在等比数列{an}中,a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=,a4a5=－,则+++++++=　　　　.
【答案】 －6
【解析】 +++++++=+++,
因为在等比数列{an}中,a4a5=－,
则a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=－,
所以原式=－(a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8)=－×=－6.
3.(角度2)(2025·福建厦门模拟)已知等比数列{an}共有2n项,其和为－240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=　　　　.
【答案】 2
【解析】 由题意,得
解得所以q===2.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
等比数列基本量的运算 2,4
等比数列的判断与证明 5,11,14
等比数列的性质 1,3,6,7,9,12
等比数列的综合应用 8,10,13,15,16
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.等比数列{an}的前n项积为Tn,T9=512,则a3+a7的最小值是(　　)
[A] 2 [B] 2 [C] 4 [D] 4
【答案】 C
【解析】 由等比数列的性质可知T9=a1a2…a9==512,所以a5=2,所以a3+a7=+a5q2≥2a5=
4,当且仅当q2=1时,等号成立.故选C.
2.(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,若a1=1,S5=5S3－4,则S4等于(　　)
[A] [B] [C] 15 [D] 40
【答案】 C
【解析】 设等比数列的公比为q(q>0),由题意知1+q+q2+q3+q4=5(1+q+q2)－4,即q3+q4=4q+
4q2,即q3+q2－4q－4=0,即(q－2)(q+1)(q+2)=0.由题意知q>0,所以q=2,所以S4=1+2+4+8=15.故选C.
3.等比数列{an}的前n项和Sn=4n－1+t,则t等于(　　)
[A] －1 [B] － [C] [D]
【答案】 B
【解析】 若等比数列{an}的公比为1,因为S1=1+t,S2=4+t,S3=16+t,则4+t=2(1+t),16+t=3(1+t),矛盾,故 q≠1.设等比数列{an}公比为q(q≠1),则Sn==,即等比数列{an}的前n项和Sn要满足Sn=Aqn－A(Aq≠0),又因为 Sn=4n－1+t=×4n+t,所以t=－.故选B.
4.(2025·江苏盐城模拟)若数列{an}满足 2na1+2n－1a2+…+2an=4n,{an}的前n项和为Sn,则(　　)
[A] Sn= [B] Sn=
[C] Sn= [D] Sn=
【答案】 D
【解析】 因为2na1+2n－1a2+…+2an=4n,所以当 n≥2时,2n－1a1+2n－2a2+…+2an－1=4n－1,所以2na1+2n－1a2+…+22an－1=2·4n－1,所以2an=(2na1+2n－1a2+…+2an)－(2na1+2n－1a2+…+
22an－1)=4n－2·4n－1=2·4n－1,所以an=4n－1(n≥2);当n=1时,2a1=4,解得a1=2,不满足 an=4n－1,所以an=
当n≥2时,Sn=2+4+42+…+4n－1=2+=,又 S1=a1=2满足Sn=,所以Sn=(n∈N*).故选D.
5.(多选题)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1,则(　　)
[A] 数列{an+1}是等比数列
[B] an=2n－1
[C] 数列{an}的前n项和Sn=2n－n
[D] 数列{}的前n项和Tn=
【答案】 ABD
【解析】 对于A,B,由a1=1,an+1=2an+1可得 an+1+1=2(an+1),又a1+1=2,故{an+1}为等比数列,且首项为2,公比为2,则an+1=2×2n－1,故 an=2n－1,故A,B正确;对于C,数列{an}的前n项和Sn=－n=2n+1－n－2,故C错误;对于D,==,故Tn=()+
()+…+()=1－=,D正确.故选ABD.
6.(5分)(2025·湖北襄阳模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S8+S24=140,且S24=13S8,则S16的值为　　　　.
【答案】 40
【解析】 因为S8+S24=140,且S24=13S8,所以 S8=10,S24=130,故q≠±1,所以==
(q8)2+q8+1=13,即(q8)2+q8－12=0,解得q8=3或q8=－4(舍去),由等比数列性质可知,S8,S16－
S8,S24－S16成等比数列,公比为q8=3,所以S16－10=10×q8=30,解得S16=40.
7.(5分)(2025·福建泉州模拟)在等比数列{an}中,a1,a5是函数f(x)=x2－10x+tln(3x)的两个极值点,若a2a4=2a3－2,则t的值为　　　　.
【答案】 4
【解析】 由题意得f′(x)=2x－10+=,x>0,所以a1,a5是方程2x2－10x+t=0的两个实数根,则a1>0,a5>0,a1a5=>0,根据等比数列的性质,a2a4=a1a5=,且a2a4=2a3－2,所以=2×－2,即t－4+4=0 (－2)2=0,得t=4.
8.(9分)(2024·全国甲卷)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3an+1－3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{Sn}的前n项和.
【解】 (1)因为2Sn=3an+1－3,
故2Sn－1=3an－3(n≥2),
所以2an=3an+1－3an(n≥2),即5an=3an+1.
因为数列{an}是等比数列,设公比为q,则q=.
又2a1=3a2－3=3a1×－3=5a1－3,故a1=1.故an=()n－1.
(2)由等比数列求和公式得
Sn==×()n－.
所以数列{Sn}的前n项和Tn=S1+S2+…+Sn
=[+()2+()3+…+()n]－n
=×n
=×()n－n－.
9.已知数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,若a2+a4+a6=5π,b2b4b6=3,则tan等于(　　)
[A] [B] － [C] [D] －
【答案】 A
【解析】 由a2+a4+a6=3a4=5π,故a4=,则a1+a7=2a4=,
b2b4b6==3,故b4=,则b2b6==3,
所以tan=tan(－)=－tan=.故选A.
10.(2025·湖北武汉模拟)已知Sn是数列{bn}的前n项和,若(1－2x)2 025=a0+a1x+a2x2+…+a2 025·
x2 025,数列{bn}的首项b1=+++…+,bn+1·bn=2n(n∈N*),则S2 025等于(　　)
[A] －3－21 014 [B] －2－3·21 012
[C] 2－3·21 012 [D] 3－21 014
【答案】 D
【解析】 当x=0时,a0=1;当x=时,a0+++…+=0,所以b1=－a0=－1,又b2·b1=2,所以b2=－2,因为所以=2.S2 025=b1+b2+b3+b4+…+b2 025=(b1+b3+…+
b2 025)+(b2+b4+…+b2 024)=+=3－21 014.故选D.
11.一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬,每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房(如图),例如:从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房,从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房,…,以此类推,用an表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数,则a2 022a2 024－等于(　　)
[A] 1 [B] －1 [C] 2 [D] －2
【答案】 A
【解析】 依题意,an=an－1+an－2(n∈N*,n≥3),a1=1,a2=2,a3=a1+a2=3,当n≥2时,anan+2－=
an(an+1+an)－=anan+1+=+an+1(an－an+1)=－an+1an－1=－(an－1an+1－),又a1a3－=－1,所以数列{anan+2－}是首项为－1,公比为－1的等比数列,所以
a2 022a2 024－=(－1)×(－1)2 022－1=1.故选A.
12.(5分)已知方程(x2－mx+27)(x2－nx+27)=0的四个根组成以1为首项的等比数列,则|m－n|等于　　　　.
【答案】 16
【解析】 设方程(x2－mx+27)(x2－nx+27)=0的四个根由小到大依次为a1,a2,a3,a4,不妨设x2－mx+27=0的一根为1,则另一根为27,所以m=1+27=28,由等比数列的性质可知a1a4=a2a3,所以a1=1,a4=27,所以等比数列a1,a2,a3,a4的公比为q==3,所以a2=1×3=3,a3=1×32=9,由根与系数的关系得n=3+9=12,可得 |m－n|=|28－12|=16.
13.(5分)(2025·河北邯郸模拟)如图数阵的每一行最右边数据从上到下形成以1为首项,以2为公比的等比数列,每行的第n个数从上到下形成以2n－1为首项,以3为公比的等比数列,则该数阵第n行(n∈N*)所有数据的和Sn=　　　　.
【答案】 3n－2n
【解析】 因为每行的第n个数从上到下形成以2n－1为首项,以3为公比的等比数列,所以Sn=30×2n－1+31×2n－2+32×2n－3+…+3n－1×20,
所以Sn=3n－1×[()n－1+()n－2+()n－3+…+()0],Sn=3n－1×[]=3n×[1－()n]=3n－2n.
14.(12分)(2025·吉林通化模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,2Sn=3an+m.
(1)求实数m的值和数列{an}的通项公式;
(2)若bn=an·log3an+1,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解】 (1)当n=1时,2S1=3a1+m,因为S1=a1,所以2a1=3a1+m,所以m=－a1=－1,当n≥2时,2an=
2Sn－2Sn－1=3an－1－(3an－1－1),整理得an=3an－1,因为a1≠0,所以=3,所以数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列,所以 an=3n－1.
(2)因为bn=an·log3an+1=3n－1·log33n=n·3n－1,所以Tn=1×30+2×31+3×32+…+(n－1)·3n－2+n·3n－1,①
3Tn=1×31+2×32+3×33+…+(n－1)·3n－1+n·3n,②
①－②得－2Tn=30+31+32+…+3n－2+3n－1－n·3n=－n·3n=－+,所以 Tn=+.
15.(5分)已知M={k|ak=bk},{an},{bn}不为常数列且各项不均相同,下列正确的是　　　　(填序号).
①若{an},{bn}均为等差数列,则M中最多有一个元素;
②若{an},{bn}均为等比数列,则M中最多有三个元素;
③若{an}为等差数列,{bn}为等比数列,则M中最多有三个元素;
④若{an}为递增数列,{bn}为递减数列,则M中最多有一个元素.
【答案】 ①③④
【解析】 对于①,因为{an},{bn}均为等差数列,故它们的散点图分布在直线上,而两条直线至多有一个公共点,故M中至多有一个元素,故①正确.对于②,取an=2n－1,bn=－(－2)n－1,则{an},{bn}均为等比数列,但当n为偶数时,由an=2n－1=bn=－(－2)n－1,知此时M中有无穷多个元素,故②错误.对于③,设bn=Aqn(Aq≠0,q≠±1),an=kn+b(k≠0),若M中至少有四个元素,则关于n的方程Aqn=kn+b至少有 4个不同的正整数解,若q>0,q≠1,则由y=Aqn和y=kn+b的散点图(图略)可得关于n的方程Aqn=kn+b至多有两个不同的解,矛盾;若q<0,q≠－1,考虑关于n的方程Aqn=kn+b奇数解的个数和偶数解的个数,当Aqn=kn+b有偶数解,此方程即为A|q|n=kn+b,方程至多有两个偶数解,且有两个偶数解时Akln|q|>0,否则Akln|q|<0,因为y=A|q|n,y=kn+b单调性相反,方程A|q|n=kn+b至多一个偶数解,当Aqn=kn+b有奇数解,此方程即为－A|q|n=kn+b,方程至多有两个奇数解,且有两个奇数解时－Akln|q|>0,即Akln|q|<0,否则Akln|q|>0,因为y=－A|q|n,y=kn+b单调性相反,方程 A|q|n=kn+b至多一个奇数解,因为Akln|q|>0,Akln|q|<0不可能同时成立,故Aqn=kn+b不可能有4个不同的正整数解,故③正确.对于④,因为{an}为递增数列,{bn}为递减数列,前者散点图呈上升趋势,后者的散点图呈下降趋势,两者至多一个交点,故④正确.
16.(13分)(2025·河南郑州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,若存在常数λ(λ>0),使得λan≥Sn+1对任意 n∈N*都成立,则称数列{an}具有性质P(λ).
(1)若数列{an}为等差数列,且S3=－9,S5=－25,求证:数列{an}具有性质P(3);
(2)设数列{an}的各项均为正数,且{an}具有性质P(λ).
①若数列{an}是公比为q的等比数列,且λ=4,求q的值;
②求λ的最小值.
(1)【证明】 设等差数列{an}的公差为d,由S3=－9,S5=－25,得3a1+3d=－9,5a1+10d=－25,解得a1=－1,d=－2,则an=－1+(n－1)(－2)=－2n+1,Sn==－n2,于是3an－Sn+1=
3(－2n+1)+(n+1)2=(n－2)2≥0,即3an≥Sn+1,所以数列{an}具有性质P(3).
(2)①【解】 由数列{an}具有性质P(4),得4an≥Sn+1,又等比数列{an}的公比为q,
若q=1,则4a1≥(n+1)a1,解得n≤3,与n为任意正整数相矛盾;
当q≠1时,4a1qn－1≥a1·,而an>0,整理得4qn－1≥,
若0若q>1,则qn－1(q－2)2≤1,
当q=2时,qn－1(q－2)2≤1恒成立,满足题意;
当q>1且q≠2时,qn－1≤,解得n<1+logq,与n为任意正整数相矛盾,所以q=2.
②【解】 由λan≥Sn+1,
得λan+1≥Sn+2,
即λ(Sn+1－Sn)≥Sn+2,
因此λSn+1≥λSn+Sn+2≥2,
即≤·,则有≤·≤()2·≤…≤()n－1·,
由数列{an}各项均为正数,得Sn从而1<()n－1,即()n－1>,若0<λ<4, 则n<1+lo,与n为任意正整数相矛盾,因此当λ≥4时,()n-1≥1n-1>恒成立,符合题意,所以λ的最小值为4.
(
第
1
页
)(共71张PPT)
第3节　等比数列
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.了解等比数列与指数函数的关系.
[课程标准要求]
必备知识
课前回顾
知识梳理
1.等比数列的有关概念
2
定义 一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它的前一项的 都等于同一个常数(不为零),那么这个数列叫做等比数列
通项 公式 设{an}是首项为a1,公比为q的等比数列,则通项公式an= .推广:an=amqn－m(m,n∈N*)
等比 中项 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么 叫做a与b的等比中项.此时,
比
a1·qn－1
G
G2=ab
知识梳理
2.等比数列的前n项和公式
释疑
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则有ak·al= .
(2)ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比数列,公比为 .
(3)当q≠－1,或q=－1且n为奇数时,Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…仍成等比数列,其公比为 .
(4)当q>1,a1>0或01,a1<0或00时,
{an}是递减数列.
知识梳理
am·an
qm
qn
重要结论
重要结论
对点自测
A
D
对点自测
对点自测
B
对点自测
对点自测
6
4.(人教A版选择性必修第二册P55复习参考题4 T4(2)改编)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”则此人在第六天行走的路程是　　　　里(用数字作答).
对点自测
5.(2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6=7S3,则{an}的公比为
　　　　.
关键能力
课堂突破
考点一　等比数列基本量的运算
C
2.(2023·新课标Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=－5,S6=21S2,则S8等于(　　)
[A] 120 [B] 85 [C] －85 [D] －120
C
[溯源探本]本题源于人教B版选择性必修第三册P42练习B T3.
[A] 28 [B] 14 [C] 20 [D] 10
A
4.(2025·陕西安康模拟)在等比数列{an}中,a3·a5=64,log2a6=5,则a1的值为　　　 .
1或－1
(1)等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.
题后悟通
考点二　等比数列的判断与证明
[例1] (2025·新疆喀什模拟)设Sn为数列{an}的前n项和,已知a3=7,an=2an－1+
a2－2(n≥2).
(1)证明:数列{an+1}为等比数列;
[例1] (2025·新疆喀什模拟)设Sn为数列{an}的前n项和,已知a3=7,an=2an－1+
a2－2(n≥2).
(2)求数列{an}的通项公式,并判断n,an,Sn是否成等差数列
解题策略
等比数列的四种判断方法
(1)定义法:an+1=qan(a1≠0,q≠0) {an}是等比数列.
(3)通项公式法:an=Aqn－1(Aq≠0) {an}是等比数列.
(4)前n项和公式法:Sn=Aqn－A(Aq≠0,q≠1) {an}是等比数列.
注意:证明一个数列是等比数列,一般只能用方法(1)(2).
[针对训练] (2025·辽宁大连模拟)(1)已知数列{cn},其中cn=3n+4n,且数列{cn+1－pcn}为等比数列,求常数p;
(2)设{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,证明:数列{cn}不是等比数列.
考点三　等比数列的性质及其应用
角度1　项的性质
B
[例2] (1)(2025·陕西西安模拟)已知Sn是等比数列{an}的前n项和,a1+a4+a7=2,
a2+a5+a8=4,则S9等于(　　)
[A] 12 [B] 14 [C] 16 [D] 18
(2)(2023·天津卷)已知{an}为等比数列,Sn为数列{an}的前n项和,an+1=2Sn+2,则a4的值为(　　)
[A] 3 [B] 18 [C] 54 [D] 152
C
角度2　前n项和的性质
[例3] (2025·河南南阳模拟)若正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且S8－2S4=6,则a9+a10+a11+a12的最小值为(　　)
[A] 22 [B] 24
[C] 26 [D] 28
B
角度3　等比数列中的最值
AB
[A] S9[B] a9a11－1<0
[C] T10是数列{Tn}中的最大项
[D] 数列{Tn}无最大项
解题策略
(1)等比数列的性质可以分为三类:一是通项公式的变形,二是等比中项的变形,三是前n项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
(2)涉及等比数列的单调性与最值的问题,一般要考虑公比与首项的符号对其影响.
ABD
[针对训练]
－6
2
3.(角度2)(2025·福建厦门模拟)已知等比数列{an}共有2n项,其和为－240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=　　　　.
课时作业
(分值:100分)
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
等比数列基本量的运算 2,4
等比数列的判断与证明 5,11,14
等比数列的性质 1,3,6,7,9,12
等比数列的综合应用 8,10,13,15,16
基础巩固练
C
1.等比数列{an}的前n项积为Tn,T9=512,则a3+a7的最小值是(　　)
2.(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,若a1=1,S5=
5S3－4,则S4等于(　　)
C
【解析】 设等比数列的公比为q(q>0),由题意知1+q+q2+q3+q4=5(1+q+q2)－4,即q3+q4=4q+4q2,即q3+q2－4q－4=0,即(q－2)(q+1)(q+2)=0.由题意知q>0,所以q=2,所以S4=1+2+4+8=15.故选C.
3.等比数列{an}的前n项和Sn=4n-1+t,则t等于(　　)
B
D
5.(多选题)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1,则(　 　)
ABD
6.(5分)(2025·湖北襄阳模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S8+S24=140,且S24=13S8,则S16的值为　　　　.
40
4
8.(9分)(2024·全国甲卷)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3an+1－3.
(1)求{an}的通项公式;
8.(9分)(2024·全国甲卷)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3an+1－3.
(2)求数列{Sn}的前n项和.
综合运用练
A
[A] －3－21 014 [B] －2－3·21 012
[C] 2－3·21 012 [D] 3－21 014
D
A
[A] 1 [B] －1 [C] 2 [D] －2
16
12.(5分)已知方程(x2－mx+27)(x2－nx+27)=0的四个根组成以1为首项的等比数列,则|m－n|等于　　　　.
13.(5分)(2025·河北邯郸模拟)如图数阵的每一行最右边数据从上到下形成以1为首项,以2为公比的等比数列,每行的第n个数从上到下形成以2n-1为首项,以3为公比的等比数列,则该数阵第n行(n∈N*)所有数据的和Sn=　　　　.
3n－2n
14.(12分)(2025·吉林通化模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,2Sn=
3an+m.
(1)求实数m的值和数列{an}的通项公式;
14.(12分)(2025·吉林通化模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,2Sn=3an+m.
(2)若bn=an·log3an+1,求数列{bn}的前n项和Tn.
15.(5分)已知M={k|ak=bk},{an},{bn}不为常数列且各项不均相同,下列正确的是　　　　(填序号).
①若{an},{bn}均为等差数列,则M中最多有一个元素;
②若{an},{bn}均为等比数列,则M中最多有三个元素;
③若{an}为等差数列,{bn}为等比数列,则M中最多有三个元素;
④若{an}为递增数列,{bn}为递减数列,则M中最多有一个元素.
应用创新练
①③④
【解析】 对于①,因为{an},{bn}均为等差数列,故它们的散点图分布在直线
上,而两条直线至多有一个公共点,故M中至多有一个元素,故①正确.对于②,取an=2n-1,bn=－(－2) n-1,则{an},{bn}均为等比数列,但当n为偶数时,由an=2 n-1=
bn=－(－2) n-1,知此时M中有无穷多个元素,故②错误.
对于③,设bn=Aqn(Aq≠0,q≠±1),an=kn+b(k≠0),若M中至少有四个元素,则关于n的方程Aqn=
kn+b至少有 4个不同的正整数解,若q>0,q≠1,则由y=Aqn和y=kn+b的散点图(图略)可得关于n的方程Aqn=kn+b至多有两个不同的解,矛盾;若q<0,q≠－1,考虑关于n的方程Aqn=kn+b奇数解的个数和偶数解的个数,当Aqn=kn+b有偶数解,此方程即为A|q|n=kn+b,方程至多有两个偶数解,且有两个偶数解时Akln|q|>0,否则Akln|q|<0,因为y=A|q|n,y=kn+b单调性相反,方程A|q|n=kn+b至多一个偶数解,当Aqn=kn+b有奇数解,此方程即为－A|q|n=kn+b,方程至多有两个奇数解,且有两个奇数解时－Akln|q|>0,即Akln|q|<0,否则Akln|q|>0,因为y=－A|q|n,y=kn+b单调性相反,方程 A|q|n=kn+b至多一个奇数解,因为Akln|q|>0,Akln|q|<0不可能同时成立,故Aqn=kn+b不可能有4个不同的正整数解,故③正确.对于④,因为{an}为递增数列,{bn}为递减数列,前者散点图呈上升趋势,后者的散点图呈下降趋势,两者至多一个交点,故④正确.
16.(13分)(2025·河南郑州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,若存在常数λ
(λ>0),使得λan≥Sn+1对任意 n∈N*都成立,则称数列{an}具有性质P(λ).
(1)若数列{an}为等差数列,且S3=－9,S5=－25,求证:数列{an}具有性质P(3);
16.(13分)(2025·河南郑州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,若存在常数λ
(λ>0),使得λan≥Sn+1对任意 n∈N*都成立,则称数列{an}具有性质P(λ).
(2)设数列{an}的各项均为正数,且{an}具有性质P(λ).
①若数列{an}是公比为q的等比数列,且λ=4,求q的值;
16.(13分)(2025·河南郑州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,若存在常数λ
(λ>0),使得λan≥Sn+1对任意 n∈N*都成立,则称数列{an}具有性质P(λ).
(2)设数列{an}的各项均为正数,且{an}具有性质P(λ).
②求λ的最小值.

展开更多......

收起↑