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第4节　数列求和
[课程标准要求]
1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.
2.掌握特殊的非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.
1.等差、等比数列的求和公式
(1)等差数列的前n项和公式:
Sn==na1+d.
(2)等比数列的前n项和公式:
Sn=
2.数列求和的几种常用方法
(1)分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的,则求和时可用分组求和法,分别求和而后相加减.
(2)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律),从而求得前n项和.
(3)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解.
(4)倒序相加法:如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
(5)并项求和法:一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.
常用的裂项公式
(1)=.
(2)=).
(3)=.
(4)=.
(5)(－1)n=(－1)n(+).
1.(人教B版选择性必修第三册P55习题5－5A T3改编)在数列{an}中,a1=1,且an+an+1=
2n(n∈N*),则其前41项的和为(　　)
[A] 841 [B] 421 [C] 840 [D] 420
2.(人教A版选择性必修第二册P40习题4.3 T3(1)改编)已知an=2n+n,则数列{an}的前n项和Sn=　　　　　　　　　　.
3.(苏教版选择性必修第一册P169习题4.3(2) T13改编)－1×+1×()2+3×()3+…+
(2n－3)×()n=　　　　 　　.
4.(人教A版选择性必修第二册P51习题4.4 T4改编)设Sn为等差数列{an}的前n项和,a1=1,S3=6,则数列{}的前10项和为　　　　.
考点一　分组求和与并项求和
1.已知数列{an}的前n项和为Sn,an=(2n－1)sin,则S2 024等于(　　)
[A] －1 012 [B] 1 012
[C] －2 024 [D] 2 024
2.(2025·四川攀枝花模拟)数列{an}的前n项和为Sn,a1=－1,nan=Sn+n(n－1)(n∈N*),设 bn=(－1)nan,则数列{bn}的前51项之和为(　　)
[A] －149 [B] －49
[C] 49 [D] 149
3.(2025·河北张家口模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,an+1=
则S100等于(　　)
[A] 3×251－156 [B] 3×251－103
[C] 3×250－156 [D] 3×250－103
4.若数列{an}是2,2+22,2+22+23,…,2+22+23+…+2n,…,则数列{an}的前n项和Sn=　　　　.
(1)分组求和法的常见类型主要有:
分段型(如①an=②an=2n+3n－1),周期型(如an=sin ).
(2)形如an=(－1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.
考点二　裂项相消法求和
[例1] (2025·安徽合肥模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=6,{}是公差为2的等差数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
(1)利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.
(2)将通项公式裂项后,有时候需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.如:若数列{an}是等差数列,则=),=).
[针对训练] (2025·福建龙岩模拟)已知数列{an}为非零数列,且满足(1+a1)(1+a2)…(1+an)=.
(1)求a1及数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}的前n项和为Tn,且满足bn=,求证:Tn<1.
考点三　错位相减法求和
[例2] (2023·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和,已知a2=1,2Sn=nan.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{}的前n项和Tn.
(1)一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘等比数列{bn}的公比,然后作差求解.
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式.
[针对训练] (2025·广东佛山模拟)已知数列{an}和等差数列{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且Sn+an=2,b1=a1,T4=4T2.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)若cnan－bn=1,求数列{cn}的前n项和.
微点培优9　数列中的奇偶项问题
　　数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究,利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列.解答这类问题一般需要对项数n分奇数和偶数两种情况进行讨论.
[典例] (2023·新课标Ⅱ卷)已知{an}为等差数列,bn=记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和,S4=32,T3=16.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求证:当n>5时,Tn>Sn.
数列中的奇、偶项问题的常见题型
(1)已知条件明确的奇偶项问题:对于通项公式分奇、偶项有不同表达式的数列{an}求Sn时,我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和,也可以把a2k－1+a2k看作一项,求出S2k,再求S2k－1=S2k－a2k.
(2)含有(－1)n的类型:含有(－1)n的数列求和问题一般采用分组(并项)法求和.
[拓展演练] (2025·山东菏泽模拟)已知各项为正数的等比数列{an}满足an·an+1=16n,n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设b1=1,bn+1=求数列{bn}的前2n项和S2n.
(分值:50分)
选题明细表
知识点、方法 题号
分组求和、并项求和 1
裂项相消法求和 2
错位相减法求和 4
数列中的奇偶项问题 3
1.(12分)(2025·福建厦门模拟)记等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn;等比数列{bn}的公比为q,前n项和为Tn.已知 b3=4a1,S4=b3+6,T3=7a1.
(1)求d和q;
(2)若a1=1,q>0,cn=求{cn}的前2n项和.
2.(12分)(2025·山东济宁模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=4且an+1=Sn+4(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=(－1)n+1,求数列{bn}的前n项和Tn.
3.(13分)已知数列{an}满足a1=1,
an+1=
(1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式;
(2)求{an}的前20项和.
4.(13分)(2025·江苏南通模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a4=13,S6=72,数列{bn}的前n项和为Tn,且3Tn=4bn－4.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)记cn=,若数列{cn}的前n项和为Qn,数列{}的前n项和为Rn,探究:是否为定值.若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
第4节　数列求和（解析版）
[课程标准要求]
1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.
2.掌握特殊的非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.
1.等差、等比数列的求和公式
(1)等差数列的前n项和公式:
Sn==na1+d.
(2)等比数列的前n项和公式:
Sn=
2.数列求和的几种常用方法
(1)分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的,则求和时可用分组求和法,分别求和而后相加减.
(2)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律),从而求得前n项和.
(3)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解.
(4)倒序相加法:如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
(5)并项求和法:一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.
常用的裂项公式
(1)=.
(2)=).
(3)=.
(4)=.
(5)(－1)n=(－1)n(+).
1.(人教B版选择性必修第三册P55习题5－5A T3改编)在数列{an}中,a1=1,且an+an+1=
2n(n∈N*),则其前41项的和为(　　)
[A] 841 [B] 421 [C] 840 [D] 420
【答案】 A
【解析】 设数列{an}的前n项和为Sn,因为a1=1,且an+an+1=2n(n∈N*),则S41=a1+(a2+a3)+
(a4+a5)+…+(a40+a41)=1+2×2+2×4+2×6+…+2×40=1+2×(2+4+6+…+40)=1+2×=841.故选A.
2.(人教A版选择性必修第二册P40习题4.3 T3(1)改编)已知an=2n+n,则数列{an}的前n项和Sn=　　　　　　　　　　.
【答案】 2n+1－2+n2+n
【解析】 Sn=(2+22+…+2n)+(1+2+…+n)=+n(n+1)=2n+1－2+n2+n.
3.(苏教版选择性必修第一册P169习题4.3(2) T13改编)－1×+1×()2+3×()3+…+
(2n－3)×()n=　　　　 　　.
【答案】 1－(2n+1)×()n
【解析】 设Sn=－1×+1×()2+3×()3+…+(2n－3)×()n,①
①×得,Sn=－1×()2+1×()3+3×()4+…+(2n－3)×()n+1,②
①－②得Sn=－+2[()2+()3+()4+…+()n]－(2n－3)×()n+1,
则Sn=－1+4×－(2n－3)×()n=1－()n－2－×()n－2
=1－×()n－2=1－(2n+1)×()n.
4.(人教A版选择性必修第二册P51习题4.4 T4改编)设Sn为等差数列{an}的前n项和,a1=1,S3=6,则数列{}的前10项和为　　　　.
【答案】
【解析】 设等差数列{an}的公差为d,由于Sn为等差数列{an}的前n项和,由a1=1,S3=6,可得3a1+3d=6,所以d=1,则an=a1+(n－1)d=1+(n－1)·1=n,令bn=,所以bn==
),故数列{bn}的前10项和为×[(1－)+()+()+…+()+()]=
×(1+)=.
考点一　分组求和与并项求和
1.已知数列{an}的前n项和为Sn,an=(2n－1)sin,则S2 024等于(　　)
[A] －1 012 [B] 1 012
[C] －2 024 [D] 2 024
【答案】 C
【解析】 当n是偶数,即n=2k,k∈N*时,a2k=(4k－1)sin kπ=0,
当n是奇数,即n=2k－1,k∈N*时,a2k－1=(4k－3)sin(kπ－)=－(4k－3)cos kπ.
则a1=1,a2=0,a3=－5,a4=0,a5=9,a6=0,a7=－13,a8=0,
则a1+a2+a3+a4=a5+a6+a7+a8=－4,
即a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4=－4,
则S2 024=506×(a1+a2+a3+a4)=－4×506=－2 024.故选C.
2.(2025·四川攀枝花模拟)数列{an}的前n项和为Sn,a1=－1,nan=Sn+n(n－1)(n∈N*),设 bn=(－1)nan,则数列{bn}的前51项之和为(　　)
[A] －149 [B] －49
[C] 49 [D] 149
【答案】 B
【解析】 因为nan=Sn+n(n－1)(n∈N*),当n≥2时,nan=n(Sn－Sn－1)=Sn+n(n－1),即
(n－1)Sn－nSn－1=n(n－1),可得=1,又=a1=－1,所以{}是以－1为首项,1为公差的等差数列,所以=－1+(n－1)=n－2,则Sn=n(n－2),当n≥2时Sn－1=(n－1)(n－3),所以an=Sn－Sn－1=n(n－2)－(n－1)(n－3)=2n－3,当n=1时an=2n－3也成立,所以bn=(－1)nan=
(－1)n·(2n－3),可得数列{bn}的前51项之和为(1+1)+(－3+5)+…+(－95+97)－99=2×25－99=－49.故选B.
3.(2025·河北张家口模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,an+1=
则S100等于(　　)
[A] 3×251－156 [B] 3×251－103
[C] 3×250－156 [D] 3×250－103
【答案】 A
【解析】 因为a1=1,an+1=所以a2k+2=a2k+1+1=2a2k+1,a2k+1=2a2k=2a2k－1+
2,k∈N*,且a2=2,所以a2k+2+a2k+1=2(a2k+a2k－1)+3,记bn=a2n+a2n－1,n≥1,则bn+1=2bn+3,所以bn+1+3=2(bn+3),所以{bn+3}是以b1+3=a1+a2+3=6为首项,2为公比的等比数列,所以bn+3=
6×2n－1,bn=6×2n－1－3,记{bn}的前n项和为Tn,则S100=T50=(6×20+6×21+6×22+…+6×249)－
3×50=3×251－156.故选A.
4.若数列{an}是2,2+22,2+22+23,…,2+22+23+…+2n,…,则数列{an}的前n项和Sn=　　　　.
【答案】 2n+2－4－2n
【解析】 an=2+22+23+…+2n==2n+1－2,
所以Sn=(22+23+24+…+2n+1)－(2+2+2+…+2)=－2n=2n+2－4－2n.
(1)分组求和法的常见类型主要有:
分段型(如①an=②an=2n+3n－1),周期型(如an=sin ).
(2)形如an=(－1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.
考点二　裂项相消法求和
[例1] (2025·安徽合肥模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=6,{}是公差为2的等差数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解】 (1)因为a1=6,所以==2,
又因为{}是公差为2的等差数列,
所以=2+(n－1)×2=2n,即Sn=2n(n+2),
当n≥2时,an=Sn－Sn－1=2n(n+2)－2(n－1)·(n+1)=4n+2,
又由a1=6,适合上式,所以数列{an}的通项公式为an=4n+2.
(2)由(1)知bn===4×)=,
所以Tn=()+()+()+…+()=.
(1)利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.
(2)将通项公式裂项后,有时候需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.如:若数列{an}是等差数列,则=),=).
[针对训练] (2025·福建龙岩模拟)已知数列{an}为非零数列,且满足(1+a1)(1+a2)…(1+an)=.
(1)求a1及数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}的前n项和为Tn,且满足bn=,求证:Tn<1.
(1)【解】 因为(1+a1)(1+a2)…(1+an)=,①
所以当n=1时,1+a1=2,
解得a1=1,
当n≥2时,
(1+a1)(1+a2)…(1+an－1)=,②
由①÷②得1+an=2n,即an=2n－1,
又a1=1满足上式,所以an=2n－1.
(2)【证明】 因为bn==,
所以Tn=(1－)+()+…+()=1－<1.
考点三　错位相减法求和
[例2] (2023·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和,已知a2=1,2Sn=nan.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{}的前n项和Tn.
[溯源探本] 本例题源于人教B版选择性必修第三册P44习题5－3C T2.
【解】 (1)因为2Sn=nan,
当n=1时,2a1=a1,即a1=0,
当n=3时,2(1+a3)=3a3,即a3=2,
当n≥2时,2Sn－1=(n－1)an－1,
所以2(Sn－Sn－1)=nan－(n－1)an－1=2an,
化简得(n－2)an=(n－1)an－1,
当n≥3时,==…==1,
即an=n－1,
当n=1,2时都满足上式,
所以an=n－1(n∈N*).
(2)因为=,所以Tn=1×()1+2×()2+3×()3+…+n×()n,
Tn=1×()2+2×()3+…+(n－1)×()n+n×()n+1,
两式相减得,
Tn=()1+()2+()3+…+()n－n×()n+1=－n×()n+1=1－(1+)()n,所以Tn=2－,n∈N*.
(1)一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘等比数列{bn}的公比,然后作差求解.
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式.
[针对训练] (2025·广东佛山模拟)已知数列{an}和等差数列{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且Sn+an=2,b1=a1,T4=4T2.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)若cnan－bn=1,求数列{cn}的前n项和.
【解】 (1)由Sn+an=2,得S1+a1=2,
即2a1=2,解得a1=1,
则b1=a1=1,
设等差数列{bn}的公差为d,由T4=4T2,
得4b1+6d=4(2b1+d),
解得d=2b1=2,
所以数列{bn}的通项公式为bn=b1+(n－1)d=2n－1.
由Sn+an=2,得当n≥2时,Sn－1+an－1=2,
两式相减得2an－an－1=0,
即an=an－1,
因此数列{an}是首项为1,公比为的等比数列,
所以数列{an}的通项公式为an=a1·()n-1=()n－1.
(2)由(1)及cnan－bn=1,
得cn==2n·2n－1=n·2n,
令数列{cn}的前n项和为An,
则An=1×2+2×22+3×23+…+n·2n,
于是2An=1×22+2×23+…+(n－1)·2n+n·2n+1,
两式相减得
－An=2+22+23+…+2n－n·2n+1=－n·2n+1=－2－(n－1)·2n+1,
所以An=(n－1)·2n+1+2.
微点培优9　数列中的奇偶项问题
　　数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究,利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列.解答这类问题一般需要对项数n分奇数和偶数两种情况进行讨论.
[典例] (2023·新课标Ⅱ卷)已知{an}为等差数列,bn=记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和,S4=32,T3=16.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求证:当n>5时,Tn>Sn.
(1)【解】 设等差数列{an}的公差为d,而bn=k∈N*,
则b1=a1－6,b2=2a2=2a1+2d,b3=a3－6=a1+2d－6,
于是解得
an=a1+(n－1)d=2n+3,
所以数列{an}的通项公式是an=2n+3.
(2)【证明】 由(1)知,Sn==n2+4n,
bn=k∈N*,
当n为偶数时,bn－1+bn=2(n－1)－3+4n+6=6n+1,
Tn=·=n2+n,
当n>5时,Tn－Sn=(n2+n)－(n2+4n)=n(n－1)>0,因此Tn>Sn,
当n为奇数时,Tn=Tn+1－bn+1=(n+1)2+(n+1)－[4(n+1)+6]=n2+n－5,
当n>5时,Tn－Sn=(n2+n－5)－(n2+4n)=(n+2)(n－5)>0,因此Tn>Sn,
所以当n>5时,Tn>Sn.
数列中的奇、偶项问题的常见题型
(1)已知条件明确的奇偶项问题:对于通项公式分奇、偶项有不同表达式的数列{an}求Sn时,我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和,也可以把a2k－1+a2k看作一项,求出S2k,再求S2k－1=S2k－a2k.
(2)含有(－1)n的类型:含有(－1)n的数列求和问题一般采用分组(并项)法求和.
[拓展演练] (2025·山东菏泽模拟)已知各项为正数的等比数列{an}满足an·an+1=16n,n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设b1=1,bn+1=求数列{bn}的前2n项和S2n.
【解】 (1)设等比数列{an}的首项为a1,公比为q.
因为an·an+1=16n,n∈N*,
则
又{an}的各项都为正数,则a1,q>0,
故
所以an=a1qn－1=22n－1,n∈N*.
(2)由(1)及题意可得,b1=1,
当n为奇数时,bn+1=an=22n－1,
当n为偶数时,bn+bn+1=n.
S2n=b1+b2+…+b2n=(b1+b2n)+(b2+b3)+(b4+b5)+…+(b2n－2+b2n－1)=1+a2n－1+2+4+…+(2n－2)=
1+24n－3+=24n－3+n2－n+1.
(分值:50分)
选题明细表
知识点、方法 题号
分组求和、并项求和 1
裂项相消法求和 2
错位相减法求和 4
数列中的奇偶项问题 3
1.(12分)(2025·福建厦门模拟)记等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn;等比数列{bn}的公比为q,前n项和为Tn.已知 b3=4a1,S4=b3+6,T3=7a1.
(1)求d和q;
(2)若a1=1,q>0,cn=求{cn}的前2n项和.
【解】 (1)由已知条件可得,b1q2=4a1 ,①
4a1+6d=b1q2+6,②
b1+b1q+b1q2=7a1,③
由①②消去b1q2得d=1,由①③得=,
所以3q2－4q－4=0,得q=2或q=－,
所以d=1,q=2或－.
(2)当q>0时,q=2,则b1=a1=1,
所以an=n,bn=2n－1,
所以cn=
c2n－1+c2n=－(2n－1)·22n－1+2n·22n－1=22n－1,
所以{cn}的前2n项和A2n=c1+c2+c3+c4+…+c2n－1+c2n=(c1+c2)+(c3+c4)+…+(c2n－1+c2n)=
2+23+25+…+22n－1==(4n－1).
2.(12分)(2025·山东济宁模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=4且an+1=Sn+4(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=(－1)n+1,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解】 (1)因为an+1=Sn+4,
当n=1时,a2=S1+4=8,
当n≥2时,an=Sn－1+4,所以an+1－an=an,
即an+1=2an(n≥2,n∈N*),
又因为==2,满足上式,
所以数列{an}是以4为首项,2为公比的等比数列,
则an=4×2n－1=2n+1.
(2)因为bn=(－1)n+1=(－1)n+1·=(－1)n+1(+),
所以Tn=(+)－(+)+…+(－1)n+1·(+)=1+.
3.(13分)已知数列{an}满足a1=1,
an+1=
(1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式;
(2)求{an}的前20项和.
【解】 (1)因为bn=a2n,且a1=1,
an+1=
所以b1=a2=a1+1=2,
b2=a4=a3+1=a2+2+1=5.
因为bn=a2n,所以bn+1=a2n+2=a2n+1+1=a2n+1+1=a2n+2+1=a2n+3,
所以bn+1－bn=a2n+3－a2n=3,
所以数列{bn}是以2为首项,3为公差的等差数列,
所以bn=2+3(n－1)=3n－1,n∈N*.
(2)因为an+1=
所以当k∈N*时,a2k=a2k－1+1=a2k－1+1,
即a2k=a2k－1+1,①
a2k+1=a2k+2,②
a2k+2=a2k+1+1=a2k+1+1,
即a2k+2=a2k+1+1,③
所以由①+②得a2k+1=a2k－1+3,
即a2k+1－a2k－1=3,所以数列{an}的奇数项是以1为首项,3为公差的等差数列;
由②+③得a2k+2=a2k+3,即a2k+2－a2k=3,
又a2=2,所以数列{an}的偶数项是以2为首项,3为公差的等差数列.
所以数列{an}的前20项和S20=(a1+a3+a5+…+a19)+(a2+a4+a6+…+a20)=10+×3+
20+×3=300.
4.(13分)(2025·江苏南通模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a4=13,S6=72,数列{bn}的前n项和为Tn,且3Tn=4bn－4.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)记cn=,若数列{cn}的前n项和为Qn,数列{}的前n项和为Rn,探究:是否为定值.若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
【解】 (1)设等差数列{an}的公差为d,
则
解得a1=7,d=2,故an=2n+5.
因为3Tn=4bn－4,
所以当n=1时,b1=4,
当n≥2时,3Tn=4bn－4,3Tn－1=4bn－1－4,
两式相减可得3bn=4bn－4bn－1,得bn=4bn－1,由题易知bn≠0,则=4,
所以数列{bn}是以4为首项,4为公比的等比数列,
故bn=4n.
(2)是定值.由(1)可知=2n,
故Rn==2n+1－2,
cn===n·2n+1,
所以Qn=1×22+2×23+3×24+…+n·2n+1,
2Qn=1×23+2×24+3×25+…+n·2n+2,两式相减可得－Qn=22+23+24+…+2n+1－n·2n+2=(1－n)·2n+2－4,
故Qn=(n－1)·2n+2+4,
故==2,为定值.
(
第
1
页
)(共61张PPT)
第4节　数列求和
1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.
2.掌握特殊的非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.
[课程标准要求]
必备知识
课前回顾
知识梳理
1.等差、等比数列的求和公式
(1)等差数列的前n项和公式:
(2)等比数列的前n项和公式:
知识梳理
2.数列求和的几种常用方法
(1)分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差或 或可求和的数列组成的,则求和时可用分组求和法,分别求和而后相加减.
(2)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之 ,在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律),从而求得前n项和.
(3)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个 和一个 的对应项之积构成的,那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解.
等比
差
等差数列
等比数列
知识梳理
(4)倒序相加法:如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
(5)并项求和法:一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.
重要结论
对点自测
A
1.(人教B版选择性必修第三册P55习题5－5A T3改编)在数列{an}中,a1=1,且an+an+1=2n(n∈N*),则其前41项的和为(　　)
[A] 841 [B] 421 [C] 840 [D] 420
对点自测
2.(人教A版选择性必修第二册P40习题4.3 T3(1)改编)已知an=2n+n,则数列{an}的前n项和Sn=　　　　　　　　　　.
对点自测
对点自测
对点自测
关键能力
课堂突破
考点一　分组求和与并项求和
C
[A] －1 012 [B] 1 012
[C] －2 024 [D] 2 024
2.(2025·四川攀枝花模拟)数列{an}的前n项和为Sn,a1=－1,nan=Sn+n(n－1)(n∈
N*),设 bn=(－1)nan,则数列{bn}的前51项之和为(　　)
[A] －149 [B] －49
[C] 49 [D] 149
B
[A] 3×251－156 [B] 3×251－103
[C] 3×250－156 [D] 3×250－103
A
4.若数列{an}是2,2+22,2+22+23,…,2+22+23+…+2n,…,则数列{an}的前n项和Sn=
　　 　　.
2n+2－4－2n
(1)分组求和法的常见类型主要有:
题后悟通
(2)形如an=(－1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.
考点二　裂项相消法求和
(1)求{an}的通项公式;
解题策略
(1)利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.
(1)求a1及数列{an}的通项公式;
考点三　错位相减法求和
[例2] (2023·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和,已知a2=1,2Sn=nan.
(1)求{an}的通项公式;
[例2] (2023·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和,已知a2=1,2Sn=nan.
[溯源探本] 本例题源于人教B版选择性必修第三册P44习题5－3C T2.
解题策略
(1)一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘等比数列{bn}的公比,然后作差求解.
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式.
[针对训练] (2025·广东佛山模拟)已知数列{an}和等差数列{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且Sn+an=2,b1=a1,T4=4T2.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
【解】 (1)由Sn+an=2,得S1+a1=2,
即2a1=2,解得a1=1,则b1=a1=1,
设等差数列{bn}的公差为d,由T4=4T2,得4b1+6d=4(2b1+d),解得d=2b1=2,
所以数列{bn}的通项公式为bn=b1+(n－1)d=2n－1.
[针对训练] (2025·广东佛山模拟)已知数列{an}和等差数列{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且Sn+an=2,b1=a1,T4=4T2.
(2)若cnan－bn=1,求数列{cn}的前n项和.
微点培优9　数列中的奇偶项问题
知识链接
数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究,利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列.解答这类问题一般需要对项数n分奇数和偶数两种情况进行讨论.
题型演绎
(1)求{an}的通项公式;
(2)求证:当n>5时,Tn>Sn.
反思归纳
数列中的奇、偶项问题的常见题型
(1)已知条件明确的奇偶项问题:对于通项公式分奇、偶项有不同表达式的数列{an}求Sn时,我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和,也可以把
a2k－1+a2k看作一项,求出S2k,再求S2k－1=S2k－a2k.
(2)含有(－1)n的类型:含有(－1)n的数列求和问题一般采用分组(并项)法
求和.
[拓展演练] (2025·山东菏泽模拟)已知各项为正数的等比数列{an}满足an·an+1=
16n,n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
[拓展演练] (2025·山东菏泽模拟)已知各项为正数的等比数列{an}满足an·an+1=
16n,n∈N*.
课时作业
(分值:50分)
选题明细表
知识点、方法 题号
分组求和、并项求和 1
裂项相消法求和 2
错位相减法求和 4
数列中的奇偶项问题 3
1.(12分)(2025·福建厦门模拟)记等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn;等比数列{bn}的公比为q,前n项和为Tn.已知 b3=4a1,S4=b3+6,T3=7a1.
(1)求d和q;
1.(12分)(2025·福建厦门模拟)记等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn;等比数列{bn}的公比为q,前n项和为Tn.已知 b3=4a1,S4=b3+6,T3=7a1.
2.(12分)(2025·山东济宁模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=4且an+1=Sn+4(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
2.(12分)(2025·山东济宁模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=4且an+1=Sn+4(n∈N*).
3.(13分)已知数列{an}满足a1=1,
(1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式;
3.(13分)已知数列{an}满足a1=1,
(2)求{an}的前20项和.
4.(13分)(2025·江苏南通模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a4=13,S6=
72,数列{bn}的前n项和为Tn,且3Tn=4bn－4.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
4.(13分)(2025·江苏南通模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a4=13,S6=
72,数列{bn}的前n项和为Tn,且3Tn=4bn－4.

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