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第5节　数列的综合应用
[课程标准要求]
1.了解数列是一种特殊的函数,能在具体问题情境中,发现等差、等比关系,并解决相应的
问题.
2.掌握数列与函数、不等式相结合的综合问题,提升逻辑推理的核心素养.
考点一　等差数列与等比数列的综合问题
[例1] (2025·江苏苏州模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且S3+S5=50,
a1,a4,a13成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设{}是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{bn}的前n项和Tn.
等差数列、等比数列综合问题的解题策略
(1)同时设两个数列的基本量,利用方程思想得出基本量的关系.
(2)正项等比数列通过取对数转化为等差数列是处理等比数列问题的重要思路之一,也是降低运算量的有效途径.这种转化还体现在等差数列的通项求和等问题的处理方法上,可以向等比数列迁移.同样的等差数列也可转化为等比数列,具体来说就是:数列{bn}为等差数列,则数列{}为等比数列.
[针对训练] (2025·广东佛山模拟)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为 Sn,且满足a3=10,a2,a4,a7成等比数列.
(1)求{an}的前n项和 Sn;
(2)记bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
考点二　数列的新定义问题
[例2] (2025·江西南昌模拟)给定数列{An},若对任意m,n∈N*且m≠n,Am+An是{An}中的项,则称{An}为“H数列”.设数列{an}的前n项和为Sn.
(1)若Sn=n2+n,试判断数列{an}是否为“H数列”,并说明理由;
(2)设{an}既是等差数列又是“H数列”,且a1=6,a2∈N*,a2>6,求公差d的所有可能值;
(3)设{an}是等差数列,且对任意n∈N*,Sn是{an}中的项,求证:{an}是“H数列”.
解决新定义中的数列问题的一般流程
(1)读懂定义,理解新定义数列的含义.
(2)特殊分析,比如先对n=1,2,3,…的情况进行讨论.
(3)通过特殊情况寻找新定义数列的规律及性质,以及新定义数列与已知数列(如等差或等比数列)的关系,仔细观察,探求规律,注重转化,合理设计解题方案.
(4)联系等差数列与等比数列知识将新定义数列问题转化为熟悉的知识进行求解.
[针对训练] (2025·河南襄城模拟)已知{an}和{bn}是各项均为正整数的无穷数列,若{an}和{bn}都是递增数列,且{an}中任意两个不同的项的和不是{bn}中的项,则称{an}被{bn}屏蔽.已知数列{cn}满足++…+=n(n∈N*).
(1)求数列{cn}的通项公式;
(2)若{dn}为首项与公比均为c1+1的等比数列,求数列{cn·dn}的前n项和Sn,并判断{Sn}能否被{cn}屏蔽,请说明理由.
考点三　数列与函数、不等式的综合问题
角度1　数列与函数的综合问题
[例3] 设数列{an}的前n项和为Sn,a3=4,且an+1=(1+)an,若2Sn+12≥kan恒成立,则k的最大值是多少
解决数列与函数综合问题的注意点
(1)将数列转化为以函数为背景的条件时,应注意题中的限制条件,如函数的定义域,这往往是非常容易忽视的问题.
(2)利用函数的方法研究数列中的相关问题时,应准确构造函数,注意数列中相关限制条件的转化.
角度2　数列与不等式的综合问题
[例4] (2025·八省联考)已知数列{an}中,a1=3,an+1=.
(1)证明:数列{1－}为等比数列.
(2)求{an}的通项公式.
(3)令bn=,证明:bn数列与不等式的综合问题的求解策略
(1)判断数列问题的一些不等关系,可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小.
(2)以数列为载体,考查不等式恒成立的问题,此类问题可转化为函数的最值.
(3)考查与数列有关的不等式证明问题,此类问题一般采用放缩法进行证明,有时也可通过构造函数进行证明.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·重庆模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足nan+1－(n+1)an=5,且
a1≠－5.
(1)求证:数列为常数列,并求{an}的通项公式;
(2)若{an}公差d>0使不等式Sn>20成立的最小整数为7,且 a1∈Z,求a1和Sn的最小值.
2.(角度2)(2025·广东广州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{}是公差为的等差数列,且a1=2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若存在n∈N*,使得++…+≥λan+1成立,求实数λ的取值范围.
(分值:50分)
选题明细表
知识点、方法 题号
数列的新定义问题 4
等差数列与等比数列的综合问题 2
数列与函数的综合问题 3
数列与不等式的综合问题 1
1.(12分)(2025·福建福州模拟)记数列{an}的前n项和Sn,Sn=(n+1)an－n(n+1).
(1)求{an}的通项公式;
(2)设数列{}的前n项和为Tn,求证:≤Tn<.
2.(12分)(2025·江西南昌模拟)已知n2(n≥4)个正数排成n行n列,表示第i行第j列的数,其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且公比都为q.已知a24=1,a42=
,a43=.
(1)求公比q;
(2)记第n行的数所成等差数列的公差为dn,把d1,d2,…,dn所构成的数列记作数列{dn},求数列{dn}的前n项和Sn.
a11 a12 a13 a14 … a1n
a21 a22 a23 a24 … a2n
a31 a32 a33 a34 … a3n
… … … … … …
… ann
3.(13分)(2025·四川成都模拟)数列{an},{bn}满足:a2=1,an+1=2an－2n+5(n∈N*),3Sn=bn+
2(n∈N*),其中Sn是数列{bn}的前n项和.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)若 n∈N*,都有λ－(3)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
4.(13分)(2025·湖北襄阳模拟)若正整数m,n只有1为公约数,则称m,n互质,欧拉函数是指对于一个正整数n,小于或等于n的正整数中与n互质的正整数(包括1)的个数,记作φ(n),例如φ(4)=2,φ(5)=4.
(1)求φ(6),φ(3n),φ(4n);
(2)设an=,n∈N*,求数列{an}的前n项和Sn;
(3)设bn=,n∈N*,数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<.
第5节　数列的综合应用（解析版）
[课程标准要求]
1.了解数列是一种特殊的函数,能在具体问题情境中,发现等差、等比关系,并解决相应的
问题.
2.掌握数列与函数、不等式相结合的综合问题,提升逻辑推理的核心素养.
考点一　等差数列与等比数列的综合问题
[例1] (2025·江苏苏州模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且S3+S5=50,
a1,a4,a13成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设{}是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解】 (1)依题意得
解得
所以an=a1+(n－1)d=3+2(n－1)=2n+1,即an=2n+1.
(2)由题意得=3n－1,bn=an·3n－1=(2n+1)·3n－1,Tn=3×30+5×3+7×32+…+(2n+1)·3n－1,3Tn=
3×3+5×32+7×33+…+(2n－1)·3n－1+(2n+1)·3n,所以－2Tn=3+2×3+2×32+…+2·3n－1－(2n+1)·3n=3+2×－(2n+1)·3n=－2n·3n.所以Tn=n·3n.
等差数列、等比数列综合问题的解题策略
(1)同时设两个数列的基本量,利用方程思想得出基本量的关系.
(2)正项等比数列通过取对数转化为等差数列是处理等比数列问题的重要思路之一,也是降低运算量的有效途径.这种转化还体现在等差数列的通项求和等问题的处理方法上,可以向等比数列迁移.同样的等差数列也可转化为等比数列,具体来说就是:数列{bn}为等差数列,则数列{}为等比数列.
[针对训练] (2025·广东佛山模拟)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为 Sn,且满足a3=10,a2,a4,a7成等比数列.
(1)求{an}的前n项和 Sn;
(2)记bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解】 (1)设等差数列{an}的公差为d,则d≠0,
a2=a3－d=10－d,a4=a3+d=10+d,a7=a3+4d=10+4d,由题意可得=a2a7,即(10+d)2=(10－d)(10+4d),解得d=2,所以an=a3+(n－3)d=10+2(n－3)=2n+4,
所以Sn===n2+5n.
(2)bn====2(),
所以Tn=2(++…+)=2()=.
考点二　数列的新定义问题
[例2] (2025·江西南昌模拟)给定数列{An},若对任意m,n∈N*且m≠n,Am+An是{An}中的项,则称{An}为“H数列”.设数列{an}的前n项和为Sn.
(1)若Sn=n2+n,试判断数列{an}是否为“H数列”,并说明理由;
(2)设{an}既是等差数列又是“H数列”,且a1=6,a2∈N*,a2>6,求公差d的所有可能值;
(3)设{an}是等差数列,且对任意n∈N*,Sn是{an}中的项,求证:{an}是“H数列”.
(1)【解】 因为Sn=n2+n,当n≥2时,an=Sn－Sn－1=2n,当n=1时,a1=S1=2也成立,所以an=2n.对任意m,n∈N*且m≠n,am+an=2m+2n=2(m+n)=am+n,所以{an}是“H数列”.
(2)【解】 因为a1=6,a2∈N*,a2>6,所以d∈N*,所以an=6+(n－1)d,由已知得am+an=6+
(m－1)d+6+(n－1)d也为数列中的项,令am+an=ak(k∈N*),即6+(m－1)d+6+(n－1)d=6+(k－1)d,所以k=+m+n－1,所以d为6的正因数,故d的所有可能值为1,2,3,6.
(3)【证明】 设数列{an}的公差为d,所以存在k∈N*,对任意n∈N*,Sn=ak,即na1+d=
a1+(k－1)d,当d=0时,则a1=0,故ak=0,此时数列为“H数列”;当d≠0时,k=(n－1)++1,取n=2,则k=+2,所以≥－1,∈Z,当=－1时,k=+2均为正整数,符合题意,当∈N时,k=(n－1)++1均为正整数,符合题意,所以≥－1,∈Z,设=s,s≥－1,s∈Z,即a1=sd,所以对任意m,n∈N*且m≠n,am+an=sd+(s+m+n－2)d,显然s+m+n－2∈N,所以am+an为数列中的项,所以{an}是“H数列”.
解决新定义中的数列问题的一般流程
(1)读懂定义,理解新定义数列的含义.
(2)特殊分析,比如先对n=1,2,3,…的情况进行讨论.
(3)通过特殊情况寻找新定义数列的规律及性质,以及新定义数列与已知数列(如等差或等比数列)的关系,仔细观察,探求规律,注重转化,合理设计解题方案.
(4)联系等差数列与等比数列知识将新定义数列问题转化为熟悉的知识进行求解.
[针对训练] (2025·河南襄城模拟)已知{an}和{bn}是各项均为正整数的无穷数列,若{an}和{bn}都是递增数列,且{an}中任意两个不同的项的和不是{bn}中的项,则称{an}被{bn}屏蔽.已知数列{cn}满足++…+=n(n∈N*).
(1)求数列{cn}的通项公式;
(2)若{dn}为首项与公比均为c1+1的等比数列,求数列{cn·dn}的前n项和Sn,并判断{Sn}能否被{cn}屏蔽,请说明理由.
【解】 (1)由++…+=n(n∈N*),令n=1,可得c1=1,当n≥2时,++…+=n(n∈N*),
++…+=n－1(n∈N*),上述两式作差可得cn=2n－1(n≥2),因为c1=1满足上式,可知cn=2n－1.
(2)因为c1=1,所以dn=2n,所以cn·dn=(2n－1)·2n,Sn=1×21+3×22+…+(2n－1)·2n,2Sn=1×22+3×
23+…+(2n－1)·2n+1,作差得,－Sn=2+2×(22+23+…+2n)－(2n－1)·2n+1=2+2×－
(2n－1)·
2n+1=－6+(3－2n)·2n+1.所以Sn=(2n－3)·2n+1+6.显然,{Sn}是递增数列,且各项均为偶数,而递增数列{cn}的各项均为奇数,所以{Sn}中的任意两项的和均不是{cn}中的项,所以{Sn}能被{cn}屏蔽.
考点三　数列与函数、不等式的综合问题
角度1　数列与函数的综合问题
[例3] 设数列{an}的前n项和为Sn,a3=4,且an+1=(1+)an,若2Sn+12≥kan恒成立,则k的最大值是多少
【解】 因为an+1=(1+)an,所以=,所以数列是常数列,又a3=4,所以==1,从而an=n+1.
所以数列{an}是以2为首项,1为公差的等差数列,故Sn=,
因为2Sn+12≥kan恒成立,所以n2+3n+12≥k(n+1)恒成立,
即k≤恒成立,设t=n+1,t>1,t∈N*,则n=t－1,
从而==t++1.
记f(t)=t++1,由对勾函数的性质可知,f(t)在(1,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,f(3)=3++1=,f(4)=4++1=,且<,所以f(t)=t++1的最小值是,所以k≤.即k的最大值为.
解决数列与函数综合问题的注意点
(1)将数列转化为以函数为背景的条件时,应注意题中的限制条件,如函数的定义域,这往往是非常容易忽视的问题.
(2)利用函数的方法研究数列中的相关问题时,应准确构造函数,注意数列中相关限制条件的转化.
角度2　数列与不等式的综合问题
[例4] (2025·八省联考)已知数列{an}中,a1=3,an+1=.
(1)证明:数列{1－}为等比数列.
(2)求{an}的通项公式.
(3)令bn=,证明:bn(1)【证明】 由题知==+,
则==.
又1－=1－=,
故{1－}是首项为,公比为的等比数列.
(2)【解】 由(1)知1－=·()n－1=()n,
所以=1－()n,
所以an==.
(3)【证明】 bn=====1－<1.又当n≥1时,3()n－2单调递增,所以{bn}在[1,+∞)上单调递增,所以bn故bn数列与不等式的综合问题的求解策略
(1)判断数列问题的一些不等关系,可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小.
(2)以数列为载体,考查不等式恒成立的问题,此类问题可转化为函数的最值.
(3)考查与数列有关的不等式证明问题,此类问题一般采用放缩法进行证明,有时也可通过构造函数进行证明.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·重庆模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足nan+1－(n+1)an=5,且
a1≠－5.
(1)求证:数列为常数列,并求{an}的通项公式;
(2)若{an}公差d>0使不等式Sn>20成立的最小整数为7,且 a1∈Z,求a1和Sn的最小值.
(1)【证明】 因为nan+1－(n+1)an=5,两边同除以 n(n+1)得,==,所以+=+,
所以数列为常数列,
所以=,
得an=(5+a1)n－5.
(2)【解】 由(1)知,数列{an}是等差数列,所以Sn===,因为Sn>20,化简得(5+a1)n2+(a1－5)n－40>0;令f(n)=(5+a1)n2+(a1－5)n－40,则f(n)>0成立的n的最小整数为7,所以解得－2.(角度2)(2025·广东广州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{}是公差为的等差数列,且a1=2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若存在n∈N*,使得++…+≥λan+1成立,求实数λ的取值范围.
【解】 (1)由题意知,数列{}是公差为的等差数列,又=a1=2,所以=2+×(n－1)=,
整理得Sn=,又当n≥2时,an=Sn－Sn－1==n+1,因为a1=2满足上式,所以an=n+1,故数列{an}的通项公式为an=n+1.
(2)由(1)知an=n+1,可得==,
故++…+=++…+=;
由++…+≥λan+1,可得≥λ(n+2),即λ≤,则λ≤[]max,又由=≤,当且仅当n=,即n=2时等号成立,故实数λ的取值范围为(－∞,].
(分值:50分)
选题明细表
知识点、方法 题号
数列的新定义问题 4
等差数列与等比数列的综合问题 2
数列与函数的综合问题 3
数列与不等式的综合问题 1
1.(12分)(2025·福建福州模拟)记数列{an}的前n项和Sn,Sn=(n+1)an－n(n+1).
(1)求{an}的通项公式;
(2)设数列{}的前n项和为Tn,求证:≤Tn<.
(1)【解】 因为Sn=(n+1)an－n(n+1),当n≥2时,Sn－1=nan－1－n(n－1),则an=Sn－Sn－1=(n+1)an－n(n+1)－nan－1+n(n－1)=(n+1)an－nan－1－2n,故nan=nan－1+2n,即an－an－1=2,当n=1时,有a1=S1=(1+1)a1－1×2,即a1=2,故{an}是公差、首项均为2的等差数列,故an=2+2(n－1)=2n.
(2)【证明】 由(1)得an=2n,故==),则Tn=(1－+++…+
)=
(1－).因为Tn=(1－),故Tn<,又y=在[1,+∞)上单调递减,故Tn=(1－)随n的增大而增大,故Tn≥T1=×(1－)=,综上,≤Tn<.
2.(12分)(2025·江西南昌模拟)已知n2(n≥4)个正数排成n行n列,表示第i行第j列的数,其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且公比都为q.已知a24=1,a42=
,a43=.
(1)求公比q;
(2)记第n行的数所成等差数列的公差为dn,把d1,d2,…,dn所构成的数列记作数列{dn},求数列{dn}的前n项和Sn.
a11 a12 a13 a14 … a1n
a21 a22 a23 a24 … a2n
a31 a32 a33 a34 … a3n
… … … … … …
… ann
【解】 (1)由题意知a42,a43,a44成等差数列,
又a42=,a43=,所以其公差为=,
从而a44=a43+=.
又因为a24,a34,a44成等比数列,且a24=1,公比为q,
所以q2==,由于aij>0,故q=.
(2)由(1)可得a41==,
而a41=a11×q3=a11×=,所以a11=,
因此=a11×()n-1=()n.
又a14==2,
故=a14×()n-1=2×()n-1,
由于,,,,…为等差数列,公差为dn,因此=+3dn,
即dn=[2×()n-1－()n]=()n,
故Sn==1－()n.
3.(13分)(2025·四川成都模拟)数列{an},{bn}满足:a2=1,an+1=2an－2n+5(n∈N*),3Sn=bn+
2(n∈N*),其中Sn是数列{bn}的前n项和.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)若 n∈N*,都有λ－(3)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
【解】 (1)设an+1+x(n+1)+y=2(an+xn+y),所以x=－2,y=3,即an+1－2(n+1)+3=2(an－2n+3),因为a2=1,所以a2－2×2+3=0,所以an=2n－3.又因为3Sn=bn+2(n∈N*),所以b1=1,3Sn－1=bn－1+2(n≥2),作差得3(Sn－Sn－1)=bn－bn－1,化简得bn=－bn－1(n≥2),所以{bn}是首项为1,公比为－的等比数列,所以bn=(－)n-1.
(2)Sn=[1－(－)n],n∈N*,因为－≤(－)n≤,所以(Sn)max=1,(Sn)min=,所以解得0≤λ<1,所以实数λ的取值范围是[0,1).
(3)因为an·bn=(2n－3)·(－)n-1,所以Tn=－1+(－)1+3×(－)2+…+(2n－3)·(－)n-1,所以
－Tn=(－1)×(－)+(－)2+3×(－)3+…+(2n－3)·(－)n作差得,Tn=－1+2×[(－)+(－)2+
(－)3+…+(－)n-1]－(2n－3)·(－)n=－1－[1－(－)n－1]－(2n－3)·(－)n=－+(+n－)·
(－)n-1=－+·(－)n-1.
所以Tn=·(－)n-1－.
4.(13分)(2025·湖北襄阳模拟)若正整数m,n只有1为公约数,则称m,n互质,欧拉函数是指对于一个正整数n,小于或等于n的正整数中与n互质的正整数(包括1)的个数,记作φ(n),例如φ(4)=2,φ(5)=4.
(1)求φ(6),φ(3n),φ(4n);
(2)设an=,n∈N*,求数列{an}的前n项和Sn;
(3)设bn=,n∈N*,数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<.
(1)【解】 1到6中与6互质的只有1和5,所以φ(6)=2;1到3n中,被3整除余1和被3整除余2的数都与3n互质,所以φ(3n)=3n·=2·3n－1;1到4n中,所有奇数都与4n互质,所以φ(4n)=4n·=2·4n－1.
(2)【解】 an=
==×(),
从而Sn=++…+)=×()=×().
(3)【证明】 bn===≤=,从而Tn≤==
·(1－)<,故Tn<.
(
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第5节　数列的综合应用
1.了解数列是一种特殊的函数,能在具体问题情境中,发现等差、等比关系,并解决相应的问题.
2.掌握数列与函数、不等式相结合的综合问题,提升逻辑推理的核心素养.
[课程标准要求]
关键能力
课堂突破
考点一　等差数列与等比数列的综合问题
[例1] (2025·江苏苏州模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且S3+
S5=50,a1,a4,a13成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
[例1] (2025·江苏苏州模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且S3+
S5=50,a1,a4,a13成等比数列.
等差数列、等比数列综合问题的解题策略
(1)同时设两个数列的基本量,利用方程思想得出基本量的关系.
解题策略
[针对训练] (2025·广东佛山模拟)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为 Sn,且满足a3=10,a2,a4,a7成等比数列.
(1)求{an}的前n项和 Sn;
[针对训练] (2025·广东佛山模拟)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为 Sn,且满足a3=10,a2,a4,a7成等比数列.
考点二　数列的新定义问题
[例2] (2025·江西南昌模拟)给定数列{An},若对任意m,n∈N*且m≠n,Am+An是{An}中的项,则称{An}为“H数列”.设数列{an}的前n项和为Sn.
(1)若Sn=n2+n,试判断数列{an}是否为“H数列”,并说明理由;
(1)【解】 因为Sn=n2+n,当n≥2时,an=Sn－Sn－1=2n,当n=1时,a1=S1=2也成立,所以an=2n.对任意m,n∈N*且m≠n,am+an=2m+2n=2(m+n)=am+n,所以{an}是“H
数列”.
[例2] (2025·江西南昌模拟)给定数列{An},若对任意m,n∈N*且m≠n,Am+An是{An}中的项,则称{An}为“H数列”.设数列{an}的前n项和为Sn.
(2)设{an}既是等差数列又是“H数列”,且a1=6,a2∈N*,a2>6,求公差d的所有可能值;
[例2] (2025·江西南昌模拟)给定数列{An},若对任意m,n∈N*且m≠n,Am+An是{An}中的项,则称{An}为“H数列”.设数列{an}的前n项和为Sn.
(3)设{an}是等差数列,且对任意n∈N*,Sn是{an}中的项,求证:{an}是“H数列”.
解题策略
解决新定义中的数列问题的一般流程
(1)读懂定义,理解新定义数列的含义.
(2)特殊分析,比如先对n=1,2,3,…的情况进行讨论.
(3)通过特殊情况寻找新定义数列的规律及性质,以及新定义数列与已知数列
(如等差或等比数列)的关系,仔细观察,探求规律,注重转化,合理设计解题方案.
(4)联系等差数列与等比数列知识将新定义数列问题转化为熟悉的知识进行求解.
(1)求数列{cn}的通项公式;
(2)若{dn}为首项与公比均为c1+1的等比数列,求数列{cn·dn}的前n项和Sn,并判断{Sn}能否被{cn}屏蔽,请说明理由.
考点三　数列与函数、不等式的综合问题
角度1　数列与函数的综合问题
解题策略
解决数列与函数综合问题的注意点
(1)将数列转化为以函数为背景的条件时,应注意题中的限制条件,如函数的定义域,这往往是非常容易忽视的问题.
(2)利用函数的方法研究数列中的相关问题时,应准确构造函数,注意数列中相关限制条件的转化.
角度2　数列与不等式的综合问题
(2)求{an}的通项公式.
解题策略
数列与不等式的综合问题的求解策略
(1)判断数列问题的一些不等关系,可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小.
(2)以数列为载体,考查不等式恒成立的问题,此类问题可转化为函数的最值.
(3)考查与数列有关的不等式证明问题,此类问题一般采用放缩法进行证明,有时也可通过构造函数进行证明.
1.(角度1)(2025·重庆模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足nan+1－(n+1)an=
5,且a1≠－5.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·重庆模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足nan+1－(n+1)an=
5,且a1≠－5.
(2)若{an}公差d>0使不等式Sn>20成立的最小整数为7,且 a1∈Z,求a1和Sn的最小值.
(1)求数列{an}的通项公式;
课时作业
(分值:50分)
选题明细表
知识点、方法 题号
数列的新定义问题 4
等差数列与等比数列的综合问题 2
数列与函数的综合问题 3
数列与不等式的综合问题 1
基础巩固练
1.(12分)(2025·福建福州模拟)记数列{an}的前n项和Sn,Sn=(n+1)an－n(n+1).
(1)求{an}的通项公式;
(1)【解】 因为Sn=(n+1)an－n(n+1),当n≥2时,Sn－1=nan－1－n(n－1),则an=
Sn－Sn－1=(n+1)an－n(n+1)－nan－1+n(n－1)=(n+1)an－nan－1－2n,故nan=
nan－1+2n,即an－an－1=2,当n=1时,有a1=S1=(1+1)a1－1×2,即a1=2,故{an}是公差、首项均为2的等差数列,故an=2+2(n－1)=2n.
1.(12分)(2025·福建福州模拟)记数列{an}的前n项和Sn,Sn=(n+1)an－n(n+1).
(1)求公比q;
(2)记第n行的数所成等差数列的公差为dn,把d1,d2,…,dn所构成的数列记作数列{dn},求数列{dn}的前n项和Sn.
3.(13分)(2025·四川成都模拟)数列{an},{bn}满足:a2=1,an+1=2an－2n+5(n∈N*),
3Sn=bn+2(n∈N*),其中Sn是数列{bn}的前n项和.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
3.(13分)(2025·四川成都模拟)数列{an},{bn}满足:a2=1,an+1=2an－2n+5(n∈N*),
3Sn=bn+2(n∈N*),其中Sn是数列{bn}的前n项和.
3.(13分)(2025·四川成都模拟)数列{an},{bn}满足:a2=1,an+1=2an－2n+5(n∈N*),
3Sn=bn+2(n∈N*),其中Sn是数列{bn}的前n项和.
(3)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
4.(13分)(2025·湖北襄阳模拟)若正整数m,n只有1为公约数,则称m,n互质,欧拉函数是指对于一个正整数n,小于或等于n的正整数中与n互质的正整数(包括1)的个数,记作φ(n),例如φ(4)=2,φ(5)=4.
(1)求φ(6),φ(3n),φ(4n);
4.(13分)(2025·湖北襄阳模拟)若正整数m,n只有1为公约数,则称m,n互质,欧拉函数是指对于一个正整数n,小于或等于n的正整数中与n互质的正整数(包括1)的个数,记作φ(n),例如φ(4)=2,φ(5)=4.
4.(13分)(2025·湖北襄阳模拟)若正整数m,n只有1为公约数,则称m,n互质,欧拉函数是指对于一个正整数n,小于或等于n的正整数中与n互质的正整数(包括1)的个数,记作φ(n),例如φ(4)=2,φ(5)=4.

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