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2024-2025 学年安徽省六安市独山中学高二下学期 5 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.3 本不同的课外读物分给 3 位同学，每人一本，则不同的分配方法有( )
A. 3 种 B. 6 种 C. 12 种 D. 5 种
2.已知函数 ( ) = 2 + 2，则该函数在区间[1,3]上的平均变化率为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
3 1.在数列{ }中， 1 = 4， = 1
1
( > 1)，则 2019的值为( ) 1
A. 45 B.
1
4 C. 5 D.以上都不对
4.函数 ( ) = 3 + ln 的单调递减区间是( )
A. ( 1 1e , ) B. (0, e ) C. ( ∞,
1 1
e ) D. ( e , + ∞)
5.一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也
是女孩的概率是( )
A. 1 2 1 14 B. 3 C. 2 D. 3
6.设离散型随机变量 的概率分布为
0 1 2 3 4
0.15 0.15 0.15 0.25
若随机变量 = 2，则 ( = 2)等于( )
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7
7.在(1 + )2 + (1 + )3 + + (1 + )9的展开式中，含 2的项的系数是( )
A. 60 B. 80 C. 84 D. 120
8.已知定义在[ , ]上的函数 = ( )的导函数 = ′( )的图象如图所示，给出下列命题：
①函数 = ( )在区间 2, 4 上单调递减；
′ < < < ( )+
′( )
②若 4 5，则 2 >
′ +
2 ；
③函数 = ( )在[ , ]上有 3 个极值点；
④若 2 < < < 3，则[ ( ) ( )] ′( ) ′( ) < 0．
其中正确命题的序号是( )
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A.①③ B.②④ C.②③ D.①④
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于函数 ( )，若 ′( 0) = 2，则当 无限趋近于 0 时，在下列式子中无限趋近于 2 的式子有( )
A. ( 0+ ) ( 0) B. ( 0+ ) ( 0) 2
C. ( 0+2 ) ( 0) D. ( 0+2 ) ( 0) 2
10.已知递增等差数列 的前 项和为 ，若 17 = S18，则下列各式中为正的是( )
A. 17 B. 17 + 20 C. 35 D. 40 10
11.某市为丰富青少年暑假生活，推出多项益智游乐项目．小乐与好朋友一起选择了该市的甲、乙两个儿童
乐园游乐场去打卡．小乐与好朋友第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为 0.3 和 0.7.如果他们第一天
去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为 0.7；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率
为 0.6，则小乐与好朋友( )
A.第二天去甲游乐场的概率为 0.63
B.第二天去乙游乐场的概率为 0.45
C. 2第二天去了甲游乐场，则第一天去乙游乐场的概率为3
D. 4第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为9
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知曲线 ( ) = e 在 = 1 处的切线方程为 = 4e + ，则 + = ．
13 .在等差数列{ }中， 1 = 2020，其前 项和为 ，若 2020 2018 2020 2018 = 2，则 2021 = ．
14.袋中有 个白球和 个黑球，不放回地摸球两次，则第二次摸到白球的概率为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
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已知函数 ( ) = 2( 1)
(1)求函数 ( )的单调区间；
(2)求 ( )在区间[ 1,2]上的最大值和最小值．
16.(本小题 15 分)
已知等差数列 的前 项和为 ， 2 = 5， 6 = 12．
(1)求 的通项公式；
(2)求 ，并求当 取何值时 有最小值．
17.(本小题 15 分)
2
已知 + 2 ( ∈ , ≥ 1)的展开式中，二项式系数和为 256．
(1)此展开式中有没有常数项？有理项的个数是几个？并说明理由；
(2)展开式中系数最大的项是第几项，并说明理由：
18.(本小题 17 分)
假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有 3 个白球 2 个红球，第二个盒子里装有 2 个白球 4 个红球，这
些小球除颜色外完全相同．
(1)每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两球中有红球的条
件下，第二次取出的是红球的概率；
(2)若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随机取出一个球，
求从第二个盒子里取出的球是红球的概率．
19.(本小题 17 分)
袋中装有大小相同的 2 个白球和 3 个黑球．
(1)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；
(2)采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记 为摸出两球中白球的个数，求 的期望和方差．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3 3e
13.0
14. +
15.(1)因为 ( ) = 2( 1)，所以 ′( ) = 3 2 2 = (3 2)，
当 < 0 或 > 2 ′3时， ( ) > 0，所以 ( )在( ∞, 0)
2
和 3 , + ∞ 上单调递增；
2
当 0 < < 3时，
′( ) < 0，所以 ( )在 0, 23 上单调递减；
所以 ( )的单调递增区间为( ∞, 0) 2， 3 , + ∞
2
，单调递减区间为 0, 3 ；
(2)由(1) = 0 ( ) = 2知 是 的极大值点， 3是 ( )的极小值点，
所以 ( )极大值 = (0) = 0， ( )极小值 =
2
3 =
4
27，
又 ( 1) = 2 < 23 ， (2) = 4 > (0)，
所以 ( )在区间[ 1,2]上的最大值 ( )max = (2) = 4，最小值 ( )min = ( 1) = 2．
16.(1) 1 + = 5 1 + = 5解：设 的公差为 ，由题意得 6 1 + 15 = 12
，即 2 1 + 5 = 4
,
解得 1 = 7, = 2，
所以 的通项公式为 = 2 9；
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(2)解：由(1) ( + )得 1 2 = 2 = 8 = ( 4)
2 16，
所以当 = 4 时， 取得最小值，最小值为 16．
17.(1)因为二项式系数和为2 = 256，
所以 = 8．
2 5
原二项式展开式的通项为 8 4 +1 = 8 ( ) ( 2 ) = 8 2 2 (0 ≤ ≤ 8, ∈ )．
4 5 = 0 = 8令 2 ，得 5 ，
故此展开式中没有常数项．
5
当 4 2 ∈ 时， 可取 0,2,4,6,8，
故有理项有 5 个．
(2)由(1)得展开式中系数的通项为 2 8 ，
当 ∈ [0,4]时， 8递增；当 ∈ [4,8]时， 8递减．
同时2 在 ∈ [0,8]递增．
故前 4 项均不可能为最大．
当 = 4 时， 8 2 = 4 248 = 70 × 16 = 1120；
当 = 5 时， 8 2 = 5 258 = 56 × 32 = 1792；
当 = 6 时， 2 8 = 6 68 2 = 28 × 64 = 1792；
当 = 7 时， 2 8 = 7 78 2 = 8 × 128 = 1024；
当 = 8 时， 2 88 = 8 28 = 1 × 256 = 256；
故当 = 5 或 = 6 时，展开式中对应项的系数最大，为 1792．
即展开式中系数最大的项是第 6 项和第 7 项．
18.(1)依题意，记事件 表示第 次从第一个盒子里取出红球，记事件 表示两次取球中有红球，
则 ( ) = 1 = 1 3 2 3 75 × 4 = 1 10 = 10，
2×1 3×2
= 2 = 1 2
+ 1 2 = 5×4
+5×4 4
2 ( ) ( ) 7 = 7．
10
(2)记事件 1表示从第一个盒子里取出红球，记事件 2表示从第一个盒子里取出白球，记事件 表示从第二
个盒子里取出红球，
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( ) = + = 2 × 5 + 3 × 4 = 22则 1 1 2 2 5 7 5 7 35．
19.(1)记“摸出一球，放回后再摸出一个球，两球颜色不同”为事件 ，
2 3
摸出一球是白球的概率为5，摸出一球是黑球的概率为5，
2 3 3 2 12
由互斥事件和相互独立事件的概率公式得到 ( ) = 5 × 5 + 5 × 5 = 25．
(2)由题意知， 的可能取值为 0，1，2，
3 2 3
当 = 0 时，表示摸出两球中白球的个数为 0， ( = 0) = 5 × 4 = 10
当 = 1 3 2 2 3 3时，表示摸出两球中白球的个数为 1， ( = 1) = 5 × 4 + 5 × 4 = 5
2 1 1
当 = 2 时，表示摸出两球中白球的个数为 2， ( = 2) = 5 × 4 = 10
∴ ( ) = 0 × 310 + 1 ×
3
5 + 2 ×
1
10 =
4
5，
2 2 2
( ) = 0 4 3 4 3 4 1 95 × 10 + 1 5 × 5 + 2 5 × 10 = 25．
4 9
即摸出白球个数 的期望和方差分别是5，25．
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