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2024-2025 学年内蒙古赤峰市林西县第一中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 ～ (10,0.5)， = 2 8，则 ( ) =( )
A. 6 B. 2 C. 4 D. 3
2.已知 ( ) = 0.6， ( | ) = 0.9， | = 0.4，则 ( )的值为( )
A. 1 B. 2 1 25 5 C. 3 D. 3
3.盲盒中有大小相同的 3 个红球，2 个黑球，随机有放回的摸两次球，记 为摸到黑球的个数，随机无放回
的摸两次球，记 为摸到黑球的个数，则( )
A. ( ) < ( )， ( ) > ( ) B. ( ) = ( )， ( ) > ( )
C. ( ) < ( )， ( ) < ( ) D. ( ) = ( )， ( ) < ( )
4.若对 ∈ ，( + )5 = ( + 2)5 5( + 2)4 + 10( + 2)3 10( + 2)2 + 5( + 2) 1 恒成立，其中 ，
∈ R，则 =( )
A. 3 B. 2 C. 0 D. 1
5.已知等差数列 的公差不为 0，其前 项和为 ，且 1 < 0， 2 = 8，当 取得最小值时， =( )
A. 3 B. 5 C. 6 D. 9
6.中国空间站已经进入正式建造阶段，天和核心舱 问天实验舱和梦天实验舱将在 2022 年全部对接，形成
“ 字结构.在中国空间站建造阶段，有 6 名航天员共同停留在空间站，预计在某项建造任务中，需 6 名航
天员在天和核心舱 问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少 1 人，
至多 3 人，则不同的安排方案共有( )
A. 360 种 B. 180 种 C. 720 种 D. 450 种
7.已知 ′( )是定义在 上的函数 ( )的导函数，且 ( ) + ′( ) < 0，则 = 2 (2), = e e , = 3 (3)
的大小关系为( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
8 .已知数列 满足 1 = 33, +1 = 2 ，则 的最小值为( )
A. 212 B. 2 33 1 C.
53 D. 335 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = 3 3 ，下列说法正确的是( )
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A.函数 ( )的图象是中心对称图形
B. ( )有两个零点
C.过点(2,2)只能做一条直线与 ( )相切
D. ( )在( ∞, ]上最大值为 2，则 1 ≤ ≤ 2
10.若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如
231 354 等都是“凸数”，用 1,2,3,4,5 这五个数字组成无重复数字的三位数，则( )
A.组成的三位数的个数为 30
B.在组成的三位数中，奇数的个数为 36
C.在组成的三位数中，“凸数”的个数为 24
D.在组成的三位数中，“凸数”的个数为 20
11.已知数列 满足 1 = 1， +1 = 3 + 1( ∈ N )， 的前 项和为 ，则( )
A. 1 1 2 是等比数列 B. + 2 是等比数列

C. = 3 1 D. = 3
+2 1
2 2 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知数列 的前 项和为 ， 1 = 3， 2 = 1，且 +2 = +1 ，则 2023 = ．
13. 2 2 (1 )6的展开式中 5的系数为 . (用数字作答)
14.已知函数 ( ) = e e 2sin ，不等式 2e + (2ln + ) ≤ 0 对任意的 ∈ (0, + ∞)恒成立，
则 的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在中国诗词大会的比赛中，选手需要回答两组题展示自己的诗词储备．
(1) 1第一组题是情境共答题，参与比赛者需根据情境填写诗句.小王知道该诗句的概率是2，且小王在不知道
1
该诗句的情况下，答对的概率是2 .记事件 为“小王答对第一组题”，事件 为“小王知道该诗句”．
(ⅰ)求小王答对第一组题的概率 ( )；
(ⅱ)在小王答对第一组题的情况下，求他知道该诗句的概率 ．
(2)小王答对第一组题后开始答第二组题.第二组题为画中有诗，该环节共有三道题，每一题答题相互独立，
1 1
但难度逐级上升，小王知道第 题的诗句的概率仍为2，但是在不知道该诗句的情况下，答对的概率为 2 ，
已知每一题答对的得分表如下(答错得分为 0)：
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题号 第 1 题 第 2 题 第 3 题
得分 2 分 4 分 6 分
若获得 8 分及以上则挑战成功，求小王挑战成功的概率．
16.(本小题 15 分)
某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了
如下选拔方案：设计 6 道题进行测试，若这 6 道题中，甲能正确解答其中的 4 道，乙能正确解答每个题目
2
的概率均为3，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这 6 道测试题中分
别随机抽取 3 题进行解答
(1)求甲、乙共答对 2 道题目的概率；
(2)设甲答对题数为随机变量 ，求 的分布列、数学期望和方差；
(3)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 3 2 + 12 + 在 = 2 处取得极小值 5．
(1)求实数 ， 的值；
(2)当 ∈ [0,3]时，求函数 ( )的最大值．
18.(本小题 17 分)
已知数列 的前 项和 = 2 2 26 ．
(1)求数列 的通项公式，判断这个数列是否是等差数列，并说明理由;
(2)记数列 的前 项和为 ，若 = 108，求 ．
19.(本小题 17 分)
函数 ( ) = ln ( ∈ )， ( ) = 1 22 ．
(1)求函数 ( )的单调区间；
(2)当 > 0 时，若不等式 ( ) + 12 ≤ ( )恒成立，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13.50
14.1
15.解：(1)( )已知 ( ) = 12，则 ( ) = 1 ( ) = 1
1 1
2 = 2．
1
在知道诗句的情况下一定答对，即 ( | ) = 1；在不知道诗句的情况下答对的概率 ( | ) = 2．
根据全概率公式 ( ) = ( ) ( | ) + ( ) ( | )，将上述概率值代入可得：
( ) = 1 × 1 + 1 × 1 = 1 + 12 2 2 2 4 =
3
4．
( )计算在小王答对第一组题的情况下，他知道该诗句的概率 ( | )
( ) ( | )
根据贝叶斯公式 ( | ) = ( ) ．
1 3
由前面计算可知 ( ) = 2， ( | ) = 1， ( ) = 4，代入可得：
1×1
( | ) = 2 1 4 23 = 2 × 3 = 3．
4
(2)设事件 为“小王答对第二组题中的第 题”( = 1,2,3).
已知小王知道第 1 1题诗句的概率为2，不知道该诗句的情况下答对的概率为( 2 )
．
( ) = 1 × 1 + 1 × 1 = 1+ 1 3则 1 2 2 2 2 4 = 4；
( 2) =
1
2 × 1 +
1
2 × (
1 )2 = 1 1 52 2 + 8 = 8；
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( 1 1 1 3 1 1 93) = 2 × 1 + 2 × ( 2 ) = 2 + 16 = 16．
因为获得 8 分及以上则挑战成功，所以有以下几种情况：
答对第 2 3 1 3 5、 题，答错第 题，其概率为 ( 1 2 3) = (1 4 ) × 8 ×
9 1 5 9 45
16 = 4 × 8 × 16 = 512．
答对第 1、3 题，答错第 2 题，其概率为 ( 1 2 3) =
3
4 × (1
5 9 3 3 9 81
8 ) × 16 = 4 × 8 × 16 = 512．
答对第 1、2、3 3 5题，其概率为 ( 1 2 3) = 4 × 8 ×
9 = 13516 512．
因为这几种情况互斥，所以小王挑战成功的概率为：
= 45 + 81 + 135 = 45+81+135 = 261512 512 512 512 512．
16.解：(1)由题意得甲、乙两名学生共答对 2 个问题的概率：
C2C1 0 3 1 2 2 = 4 2 × C0 × 2 × 1 + C4C2 × C1 × 2 × 1 = 1
C3 3 3 3 C3 36 6 3 3 15
．
(2)设学生甲答对的题数为 ，则 的所有可能取值为 1，2，3．
1 2 2 1 3
( = 1) = C4C2 1 C4C2 3 C4 1
C3
=
6 5
， ( = 2) = 3 = 5， ( = 3) = 3 = 5．C6 C6
1 2 3
1 3 1
5 5 5
的分布列为：
所以 ( ) = 1 × 15+ 2 ×
3 + 3 × 1 1 35 5 = 2， ( ) = (1 2)
2 + (2 2)25 5 +
1 2 2
5 (3 2) = 5．
(3) 2设学生乙答对的题数为 ，则 的所有可能取值为 0，1，2，3.则 ～ 3, 3 ．
2
所以 ( ) = 3 × 3 = 2， ( ) = 3 ×
2
3 × 1
2
3 =
2
3．
因为 ( ) = ( )， ( ) < ( )，即甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定，
所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛．
17.解：(1) ′( ) = 6 2 2 + 12，
因为 ( )在 = 2 处取极小值 5，所以 ′(2) = 24 4 + 12 = 0，得 = 9，
此时 ′( ) = 6 2 18 + 12 = 6( 1)( 2)，
令 ′( ) < 0，解得 1 < < 2；令 ′( ) > 0，解得 < 1 或 > 2，
所以 ( )在(1,2)上单调递减，在(2, + ∞)上单调递增，
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所以 ( )在 = 2 时取极小值，符合题意．
所以 = 9， ( ) = 2 3 9 2 + 12 + ．
又 (2) = 4 + = 5，所以 = 1．
综上， = 9， = 1．
(2)由(1)知 ( ) = 2 3 9 2 + 12 + 1， ′( ) = 6( 1)( 2)，
列表如下：
(1,2)
0 (0,1) 1 2 (2,3) 3
′( ) + +
0 0
( ) ↗ ↘ ↗
1 极大值 6 极小值 5 10
由于 6 < 10，故 ∈ [0,3]时， ( )max = (3) = 10．
18.解：(1)当 = 1 时， 1 = 1 = 24，
当 ≥ 2 时，有 = 2 1 = 2 26 [2( 1)2 26( 1)] = 4 28，
又因为 4 × 1 28 = 24，所以当 = 1 时， = 4 28 也成立，
因此数列 的通项公式为 = 4 28，
数列 是等差数列，理由如下：
因为 1 = 4 28 [4( 1) 28] = 4( ≥ 2)，
所以数列 是等差数列；
(2)令 4 28 ≤ 0，解得 ≤ 7 且 ∈ N ，
当 ≤ 7 时， ≤ 0，
可得 = | 1| + | 2| + + | | = 1 2 = 2 2 + 26 ；
所以 7 = 84，又因为 = 108，所以 ≥ 8，
当 ≥ 8 时， > 0，
可得 = | 1| + | 2| + + | | = ( 1 + 2 + + 7) + ( 8 + 9 + + ) = 7 + 7
= 2 7 = 2 2 26 + 168，
令 2 2 26 + 168 = 108，解得 = 10 或 = 3(舍去)，
所以 = 10．
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19.解：(1)由题意得 ′( ) = 1 = 1 ， ∈ (0, + ∞)，
当 ≤ 0 1 时，则 ′( ) = > 0，∴ ( )在(0, + ∞)上单增，
∴ ( )的递增区间为(0, + ∞)；
当 > 0 时，令 ′( ) < 0 1 1，则 > ；令
′( ) > 0，则 0 < < ．
∴ ( ) 0, 1 1的递增区间为 ，递减区间为 , + ∞ ．
(2)当 > 0 时，令 ( ) = ( ) ( ) 12， ∈ (0, + ∞)，
1
则 ( ) = 22 + ( 1) ln
1
2， ∈ (0, + ∞)，
由题意，得 ( )min ≥ 0．
′( ) = + ( 1) 1 =
2+( 1) 1 = ( 1)( +1)因为 ，
令 ′( ) < 0，则 0 < < 1 1 ；令
′( ) > 0，则 > ，
∴ ( )在 0, 1 1 上递减，在 , + ∞ 上递增，
∴ ( )min =
1
=
1 1
2 2 + ln ，
1
故2
1
2 + ln ≥ 0
∵ ( ) = 12
1
2 + ln 在(0, + ∞)上递增，
又 (1) = 0，
∴ ≥ 1，
∴实数 的取值范围为[1, + ∞)．
第 7页，共 7页

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