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2024-2025学年陕西省咸阳市武功县普集高级中学高一下学期 5月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1+2i.在复平面内， 2+i对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知正四棱锥的底面边长为 6，且其侧面积是底面积的 2 倍，则此正四棱锥的体积为( )
A. 36 3 B. 36 6 C. 108 3 D. 108 6
3.如图， ′ ′ ′表示水平放置的 根据斜二测画法得到的直观图， ′ ′在 ′轴上， ′ ′与 ′
轴垂直，∠ ′ ′ ′ = 30°且 ′ ′ = 2，则 的面积为( )
A. 62 B.
3 6 6 2 6
2 C. 3 D. 3
4.已知 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A.若 /\ !/ ， /\ !/ ，则 /\ !/ B.若 ⊥ ， ⊥ ，则 /\ !/
C.若 ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥ D.若 ⊥ ， /\ !/ ，则 ⊥
5.如图，在 中，∠ = 3， = 2 ， 为 上一点，且满足 = 3 ，若 = 4， = 6，则
的值为( )
A. 8 B. 8 3 C. 4 D. 4 3
6.从一堆产品(其中正品与次品均多于两件)中任取两件，观察所抽取的正品件数与次品件数，则下列每对事
件中，是对立事件的是( )
A.恰好有一件次品与全是次品 B.至少有一件次品与全是次品
C.至少有一件次品与全是正品 D.至少有一件正品与至少有一件次品
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7.在图示正方体中， 为 的中点，直线 1 ∩平面 1 = ，下列说法错误的是( )
A. ， ， 1， 1四点共面 B. 1， ， 三点共线
C. ∈平面 1 1 D. 1 与 异面
8.如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为
“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”).当正午太阳照射在表上时，日影
便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角．圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影
点为冬至线．日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线．已知景德镇冬至正午太阳高度角为
36.9° tan36.9° ≈ 34 ，夏至正午太阳高度角为 °，表高 42 厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为 50
厘米，则 sin( 36.9°)的值为( )
A. 1 1 2 32 B. 3 C. 2 D. 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 1 = 3 + 4i， 2 = 2 + 5i， 1， 2在复平面内对应的点分别为 1， 2，则( )
A. 1， 2两点在以原点为圆心的同一个圆上
B. 1， 2两点之间的距离为 2
C.满足| | = | 1|的复数 对应的点 形成的图形的周长是 25
D.满足| 1| < | | < | 2|的复数 对应的点 形成的图形的面积是 4
10.(多选)为了解某企业员工的学习情况，对该企业员工进行问卷调查，已知他们的得分都处在 ， ， ，
3
四个区间内，根据调查结果得到下面的统计图．已知该企业男员工占5，则下列结论错误的是( )
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A.男、女员工得分在 区间的占比相同
B.在各得分区间男员工的人数都多于女员工的人数
C.得分在 区间的员工最多
D.得分在 区间的员工占总人数的 19%
11.如图，棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中，点 ， ， 分别是棱 , 1, 的中点，则下列说法正
确的有( )
A.直线 1 与直线 1 共面
B. = 2 1 3
C.过点 ， ， 的平面，截正方体的截面面积为 9
D. 1二面角 1 1的余弦值为3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.某校学生高一年级有 880 人，高二年级有 800 人，高三年级有 720 人，现用分层随机抽样方法共选取
名学生进行竞赛答题，已知高三年级选出 9 名选手，则 = ；选出的高三年级 9 名选手分别答对题目
数量为：2，3，7，5，1，6，8，3，8，则这组数据的第 60 百分位数为 ．
13.已知某组数据为 ， ，8，10，11.它的平均数为 8，方差为 6，则 2 + 2的值为 ．
14.已知某圆台的体积为 9 + 3 2 π，其上底面和下底面的面积分别为 3π, 6π，且该圆台两个底面的圆周都
在球 的球面上，则球 的表面积为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 ， ， 是同一平面内的三个向量，其中 = 1, 3 ．
(1)若 = 9，且 // ，求 的坐标；
(2) 5若 = 1，且 + ⊥ 2 ，求 与
的夹角 ．
16.(本小题 15 分)
在 +2 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 cos = 2 ．
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(1)求角 的大小；
(2)设 = 2， = 3．
( )求 的值；
( )求 cos(2 )的值．
17.(本小题 15 分)
如图，在长方体 1 1 1 1中， 1 = = 2， 1和 1 交于点 ， 为 的中点．
(1)求证： //平面 1 1；
(2)已知 1 与平面 1
π
1所成角为4，求点 到平面 的距离．
18.(本小题 17 分)
某校 100 名学生期中考试化学成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，
[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．
(1)求图中 的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这 100 名学生化学成绩的平均分及中位数；
(3)若这 100 名学生化学成绩某些分数段的人数 与数学成绩相应分数段的人数 之比如下表所示，求数学成
绩在[50,90)之外的人数．
分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)
∶ 1 ∶ 1 2 ∶ 1 3 ∶ 2 4 ∶ 5
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19.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，平面 ⊥平面 ， 为棱 的中点， ⊥ , =
= 2．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求二面角 的余弦值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.30；6
13.65
14.28π
15.(1)由已知 // ，则存在实数 ，使 = = , 3 ，
2
又 = 9，则 2 + 3 = 9，
解得 =± 92，
所以 = 9 9 3 9 9 32 , 2 或 = 2 , 2 ；
2
(2)由 = 1, 3 ，得 = 12 + 3 = 2，
5
又 + ⊥ 2 ，
2
所以 + 5 2
= 2 32
5 2 = 0，
即 4 32 × 2 × 1 × cos
5
2 = 0，
1
解得 cos = 2， ∈ [0, ]，
= 所以 3．
16.(1) cos = +2
2
cos = +
2 2 +2
因为 2 得 2 = 2 ；
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即 + 2 2 = 2 + 2 2，得 2 + 2 2 = ；
2+ 2 2
所以 cos = 2 =
1
2，因为 ∈ (0, )；
所以 = 120°．
(2) i 2 = 2 + 2 2 ·cos = 19，则 = 19．
ii cos = +2 4 19 2 132 = 19 ，则 cos2 = 2cos 1 = 19，sin2 =
8 3
19 ．
所以 cos(2 ) = cos2 cos + sin2 sin = 1138．
17.(1)由题意证明如下，
连接 1， 1 1， ．
在长方体 1 1 1 1中， 1/\ !/ 1且 1 = 1，
∴四边形 1 1 为平行四边形．
∴ 为 1的中点，
在 1中， ， 分别为 1和 的中点，
∴ /\ !/ 1．
∵ 平面 1 1， 1 平面 1 1，
∴ /\ !/平面 1 1．
(2)由题意，
π1 与平面 1 1所成角为4 .连接 1 ．
∵长方体中 1 = = 2，所以 1 = 2 2.所以 1 = 2 2．
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∵长方体 1 1 1 1中， ⊥平面 1 1， 1 平面 1 1，
∴ ⊥ 1 ．
∴ ∠ 1 为直线 1 与平面 1 1所成角，即∠ 1 =
π
4 .故 = 2 2
∴ 1 为等腰直角三角形，则 = 2．
在 1中，
= = 6知 = 1 2 + 21 1 = 2．2
在 中，
= 2, = 2, = 6， 2 + 2 = 2，
∴ ⊥ ，
∴ 1 = 2 2 2 = 2，
设点 到平面 的距离为 ．
1 1 1由 = 知，3 = 3 2 1 ，得 = 1．
∴点 到平面 的距离为 1．
18.(1)依题意，10 × (2 + 0.02 + 0.03 + 0.04) = 1，解得 = 0.005，
所以 = 0.005．
(2)这 100 名学生化学成绩的平均分为：55 × 0.05 + 65 × 0.4 + 75 × 0.3 + 85 × 0.2 + 95 × 0.05 = 73(分)，
化学成绩在区间[50,70)内的频率为 0.45，在区间[50,80)内的频率为 0.75，则化学成绩的中位数 0 ∈ (70,80)，
则有( 0 70) × 0.03 = 0.05，解得 0 ≈ 71.67，
所以这 100 名学生化学成绩的中位数为 71.67．
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(3)由频率分布直方图知，化学成绩在[50,60), [60,70), [70,80), [80,90)的人数分别为：5 人，40 人，30 人，
20 人，
由数表知，数学成绩在[50,60), [60,70), [70,80), [80,90)的人数分别为：5 人，20 人，20 人，25 人，
所以数学成绩在[50,90)之外的人数为：100 5 20 20 25 = 30(人)．
19.(1)在四棱锥 中，因平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
又 ⊥ ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
(2)取 的中点 ，过 作 ⊥ 于 ，连接 , ，如图，
因 为棱 的中点，则 // ，由(1)得： ⊥平面 ，而 , 平面 ，
即有 ⊥ , ⊥ ，又 ∩ = ，且 , 平面 ，
因此 ⊥平面 ，而 平面 ，则 ⊥ ，即∠ 为二面角 的平面角，
= = 2 1，则 = 2 = 1，正方形 中， = sin45
= 2 62 ， =
2 + 2 = 2 ，
3 3
于是得 cos∠ = = 3 ，所以二面角 的余弦值是 3 ．
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