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2024-2025 学年安徽省固镇县毛钽厂实验中学高二下学期 5 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.学校组织社团活动，要求每名同学必须且只能参加一个社团，现仅剩的 3 个社团供 4 名同学选择，则不
同的选择方法有( )
A. A3种 B. C3种 C. 43种 D. 344 4 种
2.以下求导计算正确的是( )
′
A. sin π6 = cos
π
6 B. ( )
′ = 2 C. (ln )
′ = 1 D. e
2 ′ = e2
3.在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便，现从中任意选 10 个村庄，用 表示这 10 个村庄中交通不方便的
C2C8
村庄数，则下列概率中等于 7 8的是( )
C1015
A. ( = 2) B. ( ≤ 2) C. ( = 4) D. ( ≤ 4)
4.曲线 ( ) = 2 3 + 1 在点(1, 1)处的切线方程为( )
A. 6 + + 5 = 0 B. 6 + 5 = 0 C. 5 6 = 0 D. 5 + 4 = 0
5.某市高二数学统考，满分为 150 分.假设学生考试成绩 ～ (100, 102)，如果从高到低按照 16％, 34％, 34％
, 16％的比例将考试成绩分为 , , , 四个等级，则 等级分数线大概为( )(参考数据：若 ～ ( , 2)，则
( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6827, ( 2 ≤ ≤ + 2 ) ≈ 0.9545, ( 3 ≤ ≤ + 3 ) ≈ 0.9973)
A. 134 B. 120 C. 116 D. 110
6.在数学试卷的单项选择题中，共有 8 道题，每道题有 4 个选项，其中有且仅有一个选项正确，选对得 5
分，选错得 0 分，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率是 0.25.某同学 8 道单选题都不会做，只能在
每道单选题的选项中随机选择一个作为答案，设他的总得分为 ，则 的方差 ( ) =( )
A. 1.5 B. 7.5 C. 20.5 D. 37.5
7 2.甲、乙两选手进行象棋比赛，每局比赛相互独立，如果每局比赛甲获胜的概率均为3，比赛没有和局的情
况，比赛采用 5 局 3 胜制，则甲通过 4 局比赛获得胜利的概率是( )
A. 32 B. 8 16 181 27 C. 81 D. 2
8.现要对三棱柱 1 1 1的 6 个顶点进行涂色，有 4 种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色
不一样，则不同的涂色方案有( )
A. 264 种 B. 216 种 C. 192 种 D. 144 种
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量 的分布列如下表：
1
01
1
2
3
若 ( ≤ 0) = 4，则( )
A. = 14 B. =
1
8 C. ( + 1) =
1
2 D. (1 ) =
11
16
10.已知函数 ( ) = 3 3 + 4, ∈ [0,2]，则下列选项中正确的是( )
A. ( )的值域为[2,6]
B. ( )在 = 1 处取得极小值为 2
C. ( )在[0,2]上是增函数
D.若方程 ( ) = 有 2 个不同的根，则 ∈ [2,4]
11.现有数字 0,1,1,1,2,3,4,5 下列说法正确的是( )
A.可以组成 600 个没有重复数字的六位数
B.可以组成 288 个没有重复数字的六位偶数
C.可以组成 3240 个六位数
D.可以组成 2160 个相邻两个数字不相同的八位数
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若(1 + 3 )5 = + + 20 1 2 + 3 3 + 4 54 + 5 ，则 0 1 + 2 3 + 4 5的值为 ．
13.骰子是质地均匀的正方体，各面分别标有数字 1，2，3，4，5，6.现在掷一枚骰子两次，记事件 =“两
次点数的最大值为 4”，事件 =“两次点数的最小值为 1”，则 = ．
14.丹麦数学家琴生( )是 19 世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式
方面留下了很多宝贵的成果．设函数 ( )在( , )上的导函数为 ′( )， ′( )在( , )上的导函数为 ″( )，

若在( , )上 ″( ) < 0 恒成立，则称函数 ( )在( , )上为“凸函数”，已知 ( ) = e ln 22 在(1,2)
上为“凸函数”，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
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(2 2 + )( 2已知 2 1)
5的展开式的各项系数之和为 3．
(1)求 的值；
(2)求(2 2 + )( 2 5 2 1) 的展开式的常数项．
16.(本小题 15 分)
为提高和展示学生的艺术水平，也为了激发学生的爱国热情，某校开展国庆文艺汇演，共有 6 个节目，其
中有两个舞蹈，三个唱歌，一个朗诵，现在要安排演出次序. (结果用数值作答)
(1)若朗诵节目不在排头，也不在排尾，有多少种不同排法？
(2)若三个唱歌节目必须相邻，有多少种不同排法？
(3)求两个舞蹈节目不相邻的概率．
17.(本小题 15 分)
玻璃杯成箱出售，共 3 箱，每箱 20 只.假设各箱含有 0，1，2 只残次品的概率对应为 0.8，0.1 和 0.1.一顾
客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看 4 只玻璃杯，若无残次品，则买下
该箱玻璃杯；否则不买.求：
(1)顾客买下该箱玻璃杯的概率；
(2)在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率．
18.(本小题 17 分)
已知某闯关游戏，第一关在 , 两个情境中寻宝．每位参赛选手先在两个情境中选择一个开始第一关，若寻
宝失败则比赛结束；若寻宝成功则进入另一个情境，无论寻宝成功与否，第一关比赛结束． 情境寻宝成功
获得经验值 2 分，否则得 0 分； 情境寻宝成功获得经验值 3 分，否则得 0 分．已知某玩家在 情境中寻宝
成功的概率为 0.8，在 情境中寻宝成功的概率为 0.6，且每个情境中寻宝成功的概率与选择初始情境的次序
无关．
(1)若该玩家选择从 情境开始第一关，记 为经验值累计得分，求 的分布列；
(2)为使经验值累计得分的期望最大，该玩家应选择从哪个情境开始第一关？并说明理由．
19.(本小题 17 分)
1
设函数 ( ) = 2 e
2 ( + 1)e + ．
(1)当 = 0 时，求 ( )在[ 1,1]上的最大值;
(2)讨论 ( )的单调性;
(3)若 > 0，证明 ( )只有一个零点．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 32
13.27
14. ≥ e2 12
15.解：(1)令 = 1，得(2 2 + )( 2 5 2 1) 的展开式的各项系数之和为 2 + = 3，所以 = 1．
(2)由(1)知 = 1，(2 2 + )( 2 2 1)
5 = (2 2 + 1)( 2 2 1)
5，
所以(2 2 + 1)( 2 1)5 2 2 的展开式的常数项为 2
2 C4 4 55 2 ( 1) + 1 × ( 1) = 20 1 = 19．
16.解：(1)朗诵节目不在排头，也不在排尾，则朗读节目有C14种排法，
然后再排剩余的 5 个节目，共有A55种排法，
根据分步乘法计数原理，6 个节目共有C14A55 = 4 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 480 种排法．
(2)三个唱歌节目捆绑共A33种排法，再和其它三个节目进行排列，
共有A3A43 4 = 3 × 2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1 = 144 种不同排法．
(3)先排三个唱歌和一个朗诵，共A44种排法，两个舞蹈节目不相邻，插入 5 个空有A25种排法，
所以符合条件的排法共A4 24A5 = 4 × 3 × 2 × 1 × 5 × 4 = 480 种排法，
6 个节目的所有排法有A66 = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 种，
480 2
所以两个舞蹈节目不相邻的概率 = 720 = 3．
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17.解：(1)设事件 表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件 表示“箱中恰好有 ( = 0,1,2)只残次品”，
由题设可知， 0 = 0.8， 1 = 0.1， 2 = 0.1，
C4 4 C4 12
且 0 = 1， = 191 4 = 5， 2 =
18
C C4
= ，
20 20 19
所以 ( ) = 0 0 + 1 1 + 2 2
= 0.8 × 1 + 0.1 × 45 + 0.1 ×
12
19 =
448
475．
448
即顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率为475．
0 0 0 (2)因为 0 = ( ) = ( ) =
0.8×1 95
448 = 112，
475
95
所以在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率是112．
18.解：(1)由题意知： 所有可能的取值为 0，2，5，
∴ ( = 0) = 1 0.8 = 0.2； ( = 2) = 0.8 × (1 0.6) = 0.32； ( = 5) = 0.8 × 0.6 = 0.48，
∴ 的分布列为：
0 2 5
0.20.320.48
(2)由(1)得：从 情境开始第一关，则 ( ) = 0 × 0.2 + 2 × 0.32 + 5 × 0.48 = 3.04；
若从 情境开始第一关，记 为经验值累计得分，则 所有可能的取值为 0，3，5，
∴ ( = 0) = 0.4； ( = 3) = 0.6 × (1 0.8) = 0.12； ( = 5) = 0.8 × 0.6 = 0.48，
∴ ( ) = 0 × 0.4 + 3 × 0.12 + 5 × 0.48 = 2.76；
∵ ( ) > ( )，∴应从 情境开始第一关．
19.解：(1)当 = 0 时， ( ) = e + , ′( ) = e + 1，
当 1 < < 0, ′( ) > 0,所以 ( )在( 1,0)上单调递增，
当 0 < < 1, ′( ) < 0,所以 ( )在(0,1)上单调递减，
所以 ( )在[ 1,1]上的最大值为 (0) = e0 + 0 = 1．
(2) ( ) = 1 e2 2 ( + 1)e
+ , ′( ) = e2 ( + 1)e + 1 = e 1 e 1 ，定义域为( ∞, + ∞)，
1
′( ) = e 1 e 1 = 0, 1 = ln , 2 = 0,
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当 ln 1 ′ = 0, = 1 时， ( ) ≥ 0 所以 ( )在( ∞, + ∞)上单调递增．
ln 1 < 0, > 1 时， > 0,
′( ) = 0 1时，有 1 = ln , 2 = 0，
1 1
所以 ( )在 ∞, ln , (0, + ∞)上单调递减，在 ln , 0 上单调递增;
当 ln 1 > 0,0 < < 1 时， > 0,在( ∞,0), ln
1
, + ∞
1
上单调递增，在 0, ln 上单调递减;
当 ≤ 0 时， > 0, ′( ) < 0, ( )在(0, + ∞)上单调递减， < 0, ′( ) > 0, ( )在( ∞,0)上单调递增．
(3)当 > 0 时，
当 0 < < 1 时， → ∞, ( ) < 0, (0) = 1 2 < 0, ln
1 1
= ln
1
2 ×
1
1 > 0, →+∞, ( ) > 0，
1
所以 ( )有且仅有一个零点 0 ∈ ∞, ln ;
2
= 1 时， ( ) = 1 e2 2e 2 + 单调递增， (0) =
1 e
2 < 0, (1) = 2 2 + 1 > 0，所以 ( )有且仅有一个
零点 0 ∈ (0,1);
> 1 时， → ∞, ( ) < 0, (1) = 1 < 0, ln 12 = ln
1 1 × 1 2 1 < 0, →+∞, ( ) > 0，
所以 ( ) 1有且仅有一个零点 0 ∈ ln , + ∞ ;
综上， > 0 时 ( )只有一个零点．
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