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2024-2025 学年四川省成都市列五中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.cos75° cos15° + sin75° sin15°的值是( )
A. 0 B. 1 32 C. 2 D. 1
2.已知复数 ：满足 1 + i = 2i，则( )
A. 的实部为 1 B. | | = 2
C. 的共轭复数为 = 1 + i D. 在复平面中对应的点位于第一象限
3.如图，在直角梯形 中， // ， ⊥ ， = 4， = 2， = 2 2，用斜二测画法画出的水
平放置的梯形 的直观图为四边形 ′ ′ ′ ′，则四边形 ′ ′ ′ ′的面积为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.“sin2 > 0”是“ 为第一象限角”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.将函数 = sin 1 2π的图象上所有点的横坐标缩短到原来的2倍，再向右平移 3 个单位，可以得到函数( )的图
象
A. = sin 12
2π
3 B. = sin
1 π
2 3
C. = sin 2 2π3 D. = sin 2
4π
3
6 3 3.已知 2 sin 2 cos =
3
3 ，则 cos 2 +
π
3 的值为( )
A. 79 B.
1 1 7
3 C. 3 D. 9
7.吉林某中学数学教具中出现的勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边
长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三
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角形中，已知 = 2， 为弧 上的一点，且∠ = ，则 的最小值为( )
A. 0 B. 2 3 + 4 C. 2 3 4 D. 2
8.已知 中，角 , , sin sin 对应的边分别为 ， ， ， 是 的中点且 = 1， + = sin ，则 + 的最
大值是( )
A. 8 2 B. 8 3 C. 4 33 3 3 D. 4 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = (2cos , sin ), = (1, 2)，则下列命题正确的是( )
A.若 // ，则 tan = 4
B.若| + | = | |，则 tan = 1
C. 5 2是与 共线的单位向量，则 = 5 , 5 5
D. ( ) = + 1 取得最大值时，tan = 1
10.已知函数 ( ) = 3sin + cos ，则( )
A.函数 ( ) π在 6 ,
2π
3 上单调递增
B.函数 ( ) π的图象关于点 6 , 0 对称
C.函数 ( ) π的图象向左平移 ( > 0)个单位长度后，所得的图象关于 轴对称，则 的最小值是3
D.若实数 使得方程 ( ) = 在 0,2π 上恰好有三个实数解 1， 2， 3，则 tan 1 + 2 + 3 = 3
11.在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .若 2 = 2 cos ，则下列选项正确的是( )
A. = 60°
B.若 是 边上的一点，且 2 = ， = 4，则 的面积的最大值为 6 3
C.若 是钝角三角形，则最大边与最小边比值的取值范围是(1,2)
D.若 是 的外心， = 2 + ，则 + 21最小值为 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = (2,0)， = (1,1)，则 在 方向上的投影向量的坐标 ．
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13.如图，在测量河对岸的塔高 时，测量者选取了与塔底 在同一水平面内的两个测量基点 与 ，并测得
∠ = 120 ，∠ = 15 ， = 20 3米，在点 处测得塔顶 的仰角为30 ，则塔高 = ．

14.已知 的外接圆为单位圆，且圆心为 ，2 = + ，| | = 3| |，点 是线段 上一动点，
则 · 的最小值是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 ， 满足： = 2， = 3， 2 + 2 = 2．
(1)求 与 的夹角 的余弦值；
(2)若 + 2 ⊥ ，求实数 的值．
16.(本小题 15 分)
在 中，内角 , , 所对的边分别为 , , , (sin sin )2 = sin2 sin sin ，
(1)求 ；
(2)若 tan = 34 , = 3，求 ．
17.(本小题 15 分)
如图，在 中，已知 = 2， = 4，∠ = 60°， 是 的中点， 是 上的点，且 = ， ，
相交于点 .设 = ， = ；
(1)若 = 1 3，试用向量 ， 表示 ， ；
(2)若 ⊥ ，求 的面积．
18.(本小题 17 分)
设函数 ( ) = ，其中 = cos , 3sin2 ， = 2cos , 1 ， ∈ R．
(1)化简 ( )的解析式，求函数 ( )的单调增区间；
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(2)在 中，角 , , 所对的边分别为 , , ， ( ) = 2, = 3，求 周长的取值范围；
(3) 2π若函数 ( ) = + 1 ( )在 0, 3 内有两个相异的零点，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知 是虚数单位， ， ∈ ，设复数 1 = 2 3i， 2 = 2 + i， 3 = + i，且 3 = 1．
(1)若 1 2为纯虚数，求 3；
(2)若复数 1， 2在复平面上对应的点分别为 ， ，且 为复平面的坐标原点．
①是否存在实数 ， ，使向量 逆时针旋转 90°后与向量 重合，如果存在，求实数 ， 的值；如果不存
在，请说明理由；
②若 ， ， 三点不共线，记 的面积为 ( , )，求 ( , )及其最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.(1,1)
13.10 6米；
14. 916/ 0.5625
15.(1)由题可得 2 + 2 = 2 2 + 3 2
2
= 2，
因为 = 2， = 3，代入可得 = 4，

cos , = = 2 2 3，所以 与
的夹角 的余弦值 ．
3
(2)因为 + 2 ⊥ ，所以 + 2 = 0，
2 2 2化简可得 + 2 2 = 0，
将 = 2， = 3， = 4 1代入可得 2 2 + 7 4 = 0，解得 = 2或 4．
16.(1)因为(sin sin )2 = sin2 sin sin ，化简得sin2 + sin2 sin2 = sin sin ，
所以由正弦定理得： 2 + 2 2 = ，
2+ 2 2
所以由余弦定理可得 cos = = 12 2 = 2，
因为 ∈ (0, π) π，所以 = 3．
(2)由 tan = 34，sin
2 + cos2 = 1 3 4，又 ∈ 0, π ，解得 sin = 5 , cos = 5，
因为 = π ，所以 sin = sin( + ) = sin cos + sin cos
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= sin cos π3 + cos sin
π 3
3 = 5 ×
1+ 4 3 3+4 32 5 × 2 = 10 ，
在 3 中，由正弦定理sin = sin 得sinπ = 3+4 3，3 10
所以 = 3+4 35 ．
17.(1)由题意， 是 1的中点，则 = + = 1 1 2 2 + 2 ，
因为 = 1 1 13，所以
= 3 = 3 ，
= = 1 1 1 = 1则 1 3 2 2 2 6 ．
1 1
所以， = + , 2 2 =
1
2
1
6
．
(2)因为 ⊥ ，所以 ⊥ ．
因为 = 1 + 1 ， = 2 2
= + ，
所以
2
= 1 1 2 + 2 +
= 1 2 + 1 1 12 2 + 2 2
，
2 2 2
又因为 2 = = 4, = = 16, = 2 × 4 × cos60 = 4，
所以， = 1 × 4 + 12 2 × 16 +
1 1 2
2 2 × 4 = 10 4 = 0，解得 = 5．
2 8
所以， = 5
，则 = 5，
所以 1 1 8 3 4 3 = 2 × × × sin60 = 2 × 2 × 5 × 2 = 5 ．
18.(1)由函数 ( ) = 2cos2 + 3sin2 = cos2 + 1 + 3sin2 = 2sin 2 + π6 + 1，
令 π2 + 2 π ≤ 2 +
π
6 ≤
π
2 + 2 π, ∈ Z
π
，解得 3 + π ≤ ≤
π
6 + π, ∈ Z，
所以函数 ( ) π π的单调递增区间 3 + π, 6 + π , ∈ Z；
(2) (1) π π 1由 知 ( ) = 2sin 2 + 6 + 1 = 2，所以 sin 2 + 6 = 2，
又因为 ∈ 0, π ，所以 = π3，
3
sin = sin = sin = 3 = 2，所以 = 2sin ， = 2sin ，
2
所以 + + = 3 + 2sin + 2sin = 3 + 2sin + 2sin + π3
= 3 + 2sin + 2 sin cos π3 + cos sin
π
3 = 3 + 3sin + 3cos = 3 + 2 3sin +
π
6 ，
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因为 0 < < 2π π π 5π3，所以6 < + 6 < 6 ，
1 < sin + π π所以2 6 ≤ 1，所以 2 3 < 3 + 2 3sin + 6 ≤ 3 3，
即 + + ∈ 2 3, 3 3 ，所以 周长的取值范围为 2 3, 3 3 ；
(3)由函数 ( ) = + 1 ( )在 0, 2π3 内有两个相异的零点，
( ) = + 1 0, 2π即 在 3 内有两个相异的实根，
2π
即 = ( )和 = + 1 的图象在 0, 3 内有两个不同的交点，
(1) π由 知函数 ( )的单调递增区间为 3 + π,
π
6 + π , ∈ Z，
2π π π 2π
因为 ∈ 0, 3 ，所以函数 ( )在 0, 6 上单调递增，在 6 , 3 上单调递减，
π π
所以当 = 6时，函数 ( )取得最大值， 6 = 2sin 2 ×
π
6 +
π
6 + 1 = 3，
π
又 (0) = 2sin 6 + 1 = 2，
2π
3 = 2sin 2 ×
2π
3 +
π
6 + 1 = 1，
2π
要使得 = ( )和 = + 1 的图象在 0, 3 内有两个不同的交点，
结合图象，可得 2 ≤ + 1 < 3，解得 1 ≤ < 2，即实数 的取值范围为[1,2)．
19.(1)因为复数 1 = 2 3i, 2 = 2 + i, , ∈ ，
所以 1 2 = (2 2 ) 3 + 1 i，
而 1 2为纯虚数，因此 2 2 = 0，即 = ．
又因为 3 = + i，且 3 = 1，所以 2 + 2 = 1，
= 2 2 + 2 = 1 2 =
2
由 ，解得 或 2 ,
= = 22 =
2
2
所以 3 =
2 2 i = 2 22 2 或 3 2 + 2 i．
(2)①存在，理由如下：
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= 4 2 + 3 = 4 2 + 1
法一：由题意知： = 0，得 4 3 = 0 ,
= 1 2 + 23 = 1
= 12 =
1
2
解得 或 ,
= 3 32 = 2
因为 逆时针旋转 90° 1后与 重合，所以 = 2 , =
3
2 ；
法二：设 | = | = , 是以 1 2 轴正半轴为始边， 为终边的角，则 sin = , cos = ，
cos + π2 = 2 sin = 2 所以 即 ,
sin + π = 3 cos = 32
= 12
所以 ，所以 ,
= 32
= 1且 2 , =
3
2 时，满足 3 =
2 + 2 = 1．
1 3
所以 = 2 , = 2 ．
②因为复数 1， 2对应的向量分别是 , (为坐标原点)，且 ， ， 三点不共线，
所以设向量 , 的夹角为 ，0 ≤ ≤ ，设复数 3所对应的向量为 ,
则 = 2 , 3 , = 2 , 1 , = , 且 = 1，
1
因此 的面积 , = 2 sin ，
1
= 2 | |
1 cos2
1 2 2
=
2
2 cos
1
=
2

2 2
2
1
= 2
2
2 4 + 3 4
2 + 1 4 3
= + 3 ，
设 = 1, 3 ，则 , = ≤ = 2，
= 3 = 3
当且仅当 = 3 且 2 + 2 = 1，即 2 或 2 时等号成立，
= 1 = 12 2
所以 , = + 3 ，其最大值为 2．
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