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河南省实验中学2024——2025学年下期月考二
高一 数学
（时间：120分钟，满分：150分）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）.
1．已知向量，若，则（ ）
A．10 B． C． D．
2．已知复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知是一条直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．某数学兴趣小组为测量一古建筑物的高度，设计了测算方案．如图，在该建筑物旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点M的仰角分别为，，，且，则该古建筑的高度为（ ）

A． B． C． D．
7．已知A，B，C三点均在球O的表面上，，且球O的内接正方体的棱长为，则球心O到平面ABC的距离为（ ）
A． B．1 C．2 D．
8．已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）.
9．已知为虚数单位，则下列说法中正确的是（ ）
A．复数的虚部为 B．
C． D．若复数满足，则最小值为
10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，，，则只有一解
C．若，则
D．若为锐角三角形，则
11．正方体的棱长为2，是侧面上的一个动点（含边界）；点在棱上,；则下列结论正确的有（ ）
A．沿正方体的表面从点到点的最短距离为
B．三棱锥的外接球表面积为
C．若，则点的运动轨迹长度为
D．平面被正方体截得截面面积为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）.
12．某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生 人．
13．在正方体中，点P是线段上的一个动点，记异面直线DP与所成角为，则的最小值为 ．
14．在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤）.
15．（13分）为激发户外运动爱好者健身热情，增进群众健身获得感、幸福感. 某市体育部门随机抽取200名群众进行每天体育运动时间的调查，按照时长(单位:分钟)分成6组:[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]. 处理后绘制了如下图的频率分布直方图.
(1)求图中的值及运动时长在[50，70)的样本群众人数；
(2)估计该市群众每天体育运动时间的众数、平均数、中位数(保留1位小数).
16．（15分）如图，在直三棱柱中，，M，N分别为棱、的中点．
(1)证明：平面．
(2)求点B到平面的距离．
17．(15分)已知分别为三个内角的对边，，点是边上一点（不含端点），.
(1)求的大小；
(2)若，的面积为，求的长.
18．（17分）如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，且为斜边，为等边三角形.若为的中点，为线段上的动点.

(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)当时，求与底面所成角的正弦值.
19．（17分）点是直线外一点，点在直线上（点与点任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记．
(1)若在正方体的棱的延长线上，AB=2, BM=12,由对施以视角运算，求的值；
(2)若是的角的对边，且，D在线段AB上，由点对施以视角运算，，求的最小值．
(3)若是的边的等分点，由对施以视角运算，证明：．参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B C D C B D ACD AC
题号 11
答案 BCD
12．1800 13． 14.
8．设，，
且
，
当且仅当时等号成立，又的最小值为，
所以，又，则，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
设点，其中，且、，
，，
所以，
当且仅当时，取最小值.
11．【详解】对于A，将正方体的下面和侧面展开可得如图图形，连接，
则，故A错误；
对于B，当，所以中，，则，
设外接圆半径为，则由正弦定理知：，则，
又平面，设三棱锥的外接球半径为，则，
所以三棱锥的外接球表面积，故B正确；
对于C，如图：
因为平面，平面，所以，
又，，，平面，
所以平面，平面，所以，
同理可得，，，平面．所以平面，
所以过点作交交于，过作交交于，
所以平面，同理可得平面，
平面，所以平面平面，所以平面,
取连接,则均在平面上，
则的运动轨迹为线段，
由于平面,平面,所以,
由点在棱上，且，可得，
所以，故C正确；
对于D，如图：
延长，交于点，连接交于，连接，所以平面被正方体截得的截面为．
，所以，
所以，
所以，所以，且，
所以截面为梯形，，所以截面为等腰梯形，
设梯形的高为，则,
所以，故D正确．
14.依题意，由正弦定理可得，即；
所以，
又因为为锐角三角形，所以，即，
又，且，
可得，；
易知
；
显然，由对勾函数性质可知在上单调递增，
所以可得.
15.（1）根据题意，， 解得.
运动时长为的频率为
所以运动时长为的样本群众人数为（人）
（2）由图可知，该市群众每天体育运动时间的众数约为.
该市群众每天体育运动时间的平均数约为
由题意知， 前两组的频率为，
前三组的频率为.
所以 中位数在50和60之间，设为x，则+ (，解得，
即该市群众每天体育运动时间的中位数约为.
16．（1）取中点．连接，
因为在直棱柱中，分别是中点，
所以， ，，
平面，平面，所以平面，同理平面，
，平面，
所以平面平面，又平面，
所以平面；
（2）连接,，由直棱柱平面，知平面，
而平面，所以，同理，
，，
，，
，，，
中，，所以，
，
设到平面的距离为，则，
所以．即点B到平面的距离为．
17．（1）在中，由余弦定理，得，
∴，整理得,
解得或（舍去）．
∴，
而,故,
∴，
故在中，
，
∴；
（2）设,则在中，,
则，
所以
，
当，即时，面积取到最大值.
18．（1）因为为的中点，为等腰直角三角形，所以
又为等边三角形，所以，
又平面，
所以面；
（2）为等腰直角三角形，且为斜边，，可得，
为等边三角形.若，所以，
所以，所以，
又平面，所以平面，
所以平面，
过点作于，因为平面，
所以平面平面，从而可得，
所以为二面角的平面角，
又，所以，所以
所以，所以二面角的余弦值为；

（3）因为平面平面，所以，
所以当最小时，的面积最小，此时，
由面面，可得，又，
所以平面，又平面，所以平面平面，
所以（或其补角）是与底面所成的角，
由（2）可知，且，所以，
由勾股定理可求得，
在中，由余弦定理可得，所以
（法二），
由（2）可知，且,
所以
点到面的距离，
所以.
19．（1）如图，-7/6
（2）因为，所以，则，
又，所以，
又，所以，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为36．
（3）
如图，因为是的等分点，
所以，．
在中，由正弦定理可得，
则．
在中，同理可得．
因为，所以，
则．
同理可得．
故.

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