资源简介

2025年小升初数学总复习·核心考点·经典题型冲刺特训
专题43 探索规律
（思维导图+知识梳理+30道真题特训）
1、算式中的规律。
在数学算式中探索规律，应认真观察算式的特点，再观察结果的特点，进而，根据规律填出这一类算式的结果．
例如：1×1=1；
11×11=121；
111×111=12321；
1111×1111=1234321；
通过观察发现：每个算式中，两个因数各个数位上的数字都是1，且个数相同．积里的数字呈对称形式，且前半部分是从1开始，写至某个数字（此数即因数的位数），积的后半部分再顺次写出．
2、数列中的规律。
按一定的次序排列的一列数，叫做数列．
（1）规律蕴涵在相邻两数的差或倍数中．
例如：1，2，3，4，5，6…相邻的差都为1；
1，2，4，8，16，32…相邻的两数为2倍关系．
（2）前后几项为一组，以组为单位找关系，便于找到规律．
例如：1，0，0，1，1，0，0，1…从左到右，每四项为一组；
1，2，3，5，8，13，21…规律为，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和．
（3）需将数列本身分解，通过对比，发现规律．
例如，12，15，17，30，22，45，27，60…在这里，第1，3，5…项依次相差5，第2，4，6…项依次相差15．
（4）相邻两数的关系中隐含着规律．
例如，18，20，24，30，38，48，60…相邻两数依次差2，4，6，8，10，12…
3、数形结合规律。
在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对称和左右对称），另一方面要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题．
一、填空题
1．淘气用气球装饰教室，按照“3个黄色气球，1个红色气球，1个蓝色气球”的顺序排列，第245个是( )色的气球。
2．定义一种新运算“△”满足：8△3＝8＋7＋6＝21，7△4＝7＋6＋5＋4＝22，10△5＝10＋9＋8＋7＋6＝40，则2024△5＝ 。
3．找规律填数。
（1）1，2，3，5，8，（ ），21，（ ）。
（2），，，，，，，。
4．用小棒按照如图的方式来搭图形，搭1个梯形需要5根小棒，那么第4个图形需要( )根小棒，第n个图形需要( )根小棒。
5．按规律填空：，，，( )，。
6．按照如图中的规律继续画下去，第7幅图长( )厘米，第幅图长( )厘米。
7．将6个灯泡排成一行，用和表示灯亮和灯不亮，如图是这一行灯的五种情况，分别表示五个数字：1，2，3，4，5，那么表示的数是( )。
8．按下面用小棒摆正六边形。摆4个正六边形需要( )根小棒；摆10个正六边形需要( )根小棒；摆n个正六边形需要( )根小棒。
9．如图图形由边长相等的黑白两色正方形按一定规律拼接而成，依规律填表。
黑色正方形个数 1 2 3 4 … n
白色正方形个数 8 13 18 …
10．已知，，，，，…，若符合前面式子的规律，则 。
二、选择题
11．如图，将一些小圆点按如图规律摆放，前4个图形中分别有小圆点6个，10个，16个，24个，依此规律，第20个图形中，小圆点有（ ）个。
A．462 B．384 C．420 D．424
12．有一些图形按●●〇〇〇☆●●〇〇〇☆的顺序排列，那么前50个图形中●占总数的（ ）。
A． B． C． D．
13．连在一起的两个正方形，边长都是1厘米。一个微型机器人由点开始，按的顺序，沿正方形的边循环移动。当微型机器人移动了2024厘米时，它停在点（ ）处。
A． B． C． D．
14．算式，再加上（ ）后，结果就是1。
A． B． C． D．
15．与1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1表示结果相同的算式是（ ）。
A． B． C．
16．六年级一班开毕业典礼前，同学们用彩色小旗布置教室，按三红两黄两绿的规律连接起来，第2024个彩旗是（ ）。
A．红色 B．黄色 C．绿色
17．如图，用灰白两种颜色的菱形纸片，按灰色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2020张白色纸片，则n的值为（ ）。
A．671 B．672 C．673 D．674
18．有一串数第27个数是（ ）。
A． B． C． D．
19．观察下列一组图形的规律，第2020个图形是（ ）。
□□◇◇◇●●◎□□◇◇◇●●◎□□◇◇◇●●◎……
A．□ B．◇ C．● D．◎
20．观察下面用火柴棒摆的正方形，摆20个这样的正方形需要火柴棒（ ）根。
A．60 B．61 C．80 D．90
三、计算题
21．计算题。
（1） （2）
（3）
22．看图想一想有什么规律，再计算。
计算1＋3＋5＋7＋…＋39。
23．计算。
，提示：形如（a，b不为0）的分数可以拆分成的形式。
四、解答题
24．六（2）班同学按下面的规律为教室挂上气球。
第20个气球是什么颜色的？第27个呢？
25．观察下面的算式：
32－1＝4×2＝8
42－1＝5×3＝15
72－1＝8×6＝48
92－1＝10×8＝80
（1）根据你发现的规律，再写一道这样的算式。
（2）运用这个规律计算101×99。
26．有若干张相同的长方形纸条，长方形纸条的长比宽长16厘米。如果把这些纸条按图1所示排成一排，总长度是651厘米；如果按图2所示排列，总长度是395厘米。
（1）共有多少张长方形纸条？
（2）如果将这些纸条按图3所示排列，总长度是多少厘米？
27．用小棒摆六边形，如下图所示。
六边形的个数 图形 小棒的根数
1 6
2
3
…… …… ……
（1）你能发现什么规律？按这个规律摆n个六边形，需要__________根小棒。
（2）按这个规律摆150个六边形，需要__________根小棒。
28．把一张纸剪成6块，从中取几块，将每一块又剪成6块，再任取几块，又将每一块剪成6块……如此剪下去，经过有限次后，能否恰好剪成2009块？说明理由。
29．一张长方形桌子可坐6人，按下列方式将桌子拼在一起。
（1）3张桌子拼在一起可坐（ ）人，5张桌子拼在一起可坐（ ）人。
（2）依据上面桌子的拼摆规律，如果是n张桌子拼在一起，那么可以坐多少人？
30．三千多年前，埃及人发明了一种记录分数的方法，这些分数的分子为1，它们被称为“单位分数”，通过研究，小明发现一些分数可以很容易地拆分为两个不同的“单位分数”之和（或差）例如：
，；
，；
（1）请根据上述拆分方法将下列分数拆分为“单位分数”的和或差：
＝ ；＝ ；
（2）请运用上述拆分方法计算：。
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专题43 探索规律
（思维导图+知识梳理+30道真题特训）
1、算式中的规律。
在数学算式中探索规律，应认真观察算式的特点，再观察结果的特点，进而，根据规律填出这一类算式的结果．
例如：1×1=1；
11×11=121；
111×111=12321；
1111×1111=1234321；
通过观察发现：每个算式中，两个因数各个数位上的数字都是1，且个数相同．积里的数字呈对称形式，且前半部分是从1开始，写至某个数字（此数即因数的位数），积的后半部分再顺次写出．
2、数列中的规律。
按一定的次序排列的一列数，叫做数列．
（1）规律蕴涵在相邻两数的差或倍数中．
例如：1，2，3，4，5，6…相邻的差都为1；
1，2，4，8，16，32…相邻的两数为2倍关系．
（2）前后几项为一组，以组为单位找关系，便于找到规律．
例如：1，0，0，1，1，0，0，1…从左到右，每四项为一组；
1，2，3，5，8，13，21…规律为，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和．
（3）需将数列本身分解，通过对比，发现规律．
例如，12，15，17，30，22，45，27，60…在这里，第1，3，5…项依次相差5，第2，4，6…项依次相差15．
（4）相邻两数的关系中隐含着规律．
例如，18，20，24，30，38，48，60…相邻两数依次差2，4，6，8，10，12…
3、数形结合规律。
在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对称和左右对称），另一方面要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题．
一、填空题
1．淘气用气球装饰教室，按照“3个黄色气球，1个红色气球，1个蓝色气球”的顺序排列，第245个是( )色的气球。
【答案】蓝
【分析】根据题意可知气球是每（3＋1＋1）个为一组排列的，用245除以5求出商，如果没有余数，那么就是蓝色气球，如果有余数，那么余数小于或等于3时是黄色气球，余数为4时是红色气球。
【解答】3＋1＋1
＝4＋1
＝5（个）
245÷5＝69（组）
第245个是蓝色气球。
2．定义一种新运算“△”满足：8△3＝8＋7＋6＝21，7△4＝7＋6＋5＋4＝22，10△5＝10＋9＋8＋7＋6＝40，则2024△5＝ 。
【答案】10110
【分析】根据已知的例子发现规律，a△b是从a开始的连续b个依次递减1的自然数相加的和；据此可知，2024△5是从2024开始的连续5个依次递减1的自然数相加的和，据此计算出得数即可。
【解答】2024△5＝2024＋2023＋2022＋2021＋2020＝10110
则2024△5＝10110。
3．找规律填数。
（1）1，2，3，5，8，（ ），21，（ ）。
（2），，，，，，，。
【答案】（1）13；34；
（2）；
【分析】（1）1＋2＝3，2＋3＝5，3＋5＝8，……，所以，这一组数的规律是从第三个数开始，每个数是前两个数之和；
（2），，，，……，所以，这一组数的规律是每个分数的大小相等，从第二个数开始，每个数是有前一个数的分子和分母同时乘2得到的；据此解答。
【解答】（1）1＋2＝3，2＋3＝5，3＋5＝8，5＋8＝13，8＋13＝21；13＋21＝34；
所以，1，2，3，5，8，（13），21，（34）。
（2），，，，， ；
所以，，，，，，，，。
4．用小棒按照如图的方式来搭图形，搭1个梯形需要5根小棒，那么第4个图形需要( )根小棒，第n个图形需要( )根小棒。
【答案】17 （4n＋1）/（1+4n）
【分析】通过观察图形可知，第一个图形由5根小棒搭成，以后增加4根小棒就可增加一个图形，由此搭n个这样的图形需（4n＋1）根小棒；据此解答即可。
【解答】第4个图形需要：
4×4＋1
＝16＋1
＝17（根）
搭第n个图形需要（4n＋1）或（1＋4n）根小棒。
用小棒按照如图的方式来搭图形，搭1个梯形需要5根小棒，那么第4个图形需要17根小棒，搭第n个图形需要（4n＋1）或（1＋4n）根小棒。
5．按规律填空：，，，( )，。
【答案】
【分析】观察前三个已知的分数，发现分母是3、5、7，前一个分母加2等于后一个分母；分子是13、11、9，前一个分子减2等于后一个分子，据此规律解答。
【解答】＝
填空如下：
，，，（），。
6．按照如图中的规律继续画下去，第7幅图长( )厘米，第幅图长( )厘米。
【答案】32
【分析】根据图示，后面的图形依次比前面的图形多4厘米；第1幅图长8厘米，第2幅图长8＋4＝12（厘米），第3幅图长8＋4×2＝16（厘米），第4幅图长8＋4×3＝20（厘米），据此算出第7幅图长8＋4×6＝32（厘米），则第n幅图长（4n＋4）厘米。
【解答】第7幅图长：8＋4×（7－1）
＝8＋4×6
＝8＋24
＝32（厘米）
第n幅图长：8＋4×（n－1）
＝8＋4n－4
＝（4n＋4）厘米
因此第7幅图长32厘米；第n幅图长（4n＋4）厘米。
7．将6个灯泡排成一行，用和表示灯亮和灯不亮，如图是这一行灯的五种情况，分别表示五个数字：1，2，3，4，5，那么表示的数是( )。
【答案】37
【分析】根据给出的这五种情况对应的数字可知：○在个位上表示1，在十位上表示2，在百位上表示4，在千位上表示8，依此类推，●表示0。
【解答】
中○在十万位上表示32。
1＋0＋4＋0＋0＋32＝37
因此表示的数是37。
8．按下面用小棒摆正六边形。摆4个正六边形需要( )根小棒；摆10个正六边形需要( )根小棒；摆n个正六边形需要( )根小棒。
【答案】21 51 5n＋1
【分析】观察图形可知，摆1个正六边形需要6根小棒，摆2个正六边形需要（5×2＋1）根小棒，摆3个正六边形需要（5×3＋1）根小棒，摆4个正六边形需要（5×4＋1）根小棒……则摆n个正六边形需要（5×n＋1）根小棒，据此解答即可。
【解答】5×4＋1
＝20＋1
＝21（根）
5×10＋1
＝50＋1
＝51（根）
5×n＋1＝（5n＋1）根
摆4个正六边形需要21根小棒；摆10个正六边形需要51根小棒；摆n个正六边形需要（5n＋1）根小棒。
9．如图图形由边长相等的黑白两色正方形按一定规律拼接而成，依规律填表。
黑色正方形个数 1 2 3 4 … n
白色正方形个数 8 13 18 …
【答案】23；3＋5n
【分析】观察可知规律，图一黑色正方形有1个，白色正方形有个；图二黑色正方形有2个，白色正方形有个；图三黑色正方形有3个，白色正方形有个；图四黑色正方形有4个，白色正方形有个即第n幅图黑色正方形有n个，白色正方形有个。
【解答】图四白色正方形的个数：
（个）
黑色正方形个数 1 2 3 4 n
白色正方形个数 8 13 18 23
10．已知，，，，，…，若符合前面式子的规律，则 。
【答案】239
【分析】仔细观察已知算式可以发现：等号右边分数的分子等于等号左边第一个加数，分子等于第一个加数的平方减去1的差，等号右边的第一个因数等于等号左边第一个加数的平方，据此可以求出a、b的结果，再把它们相加即可解答。
【解答】由分析可知：，，，，…，若符合前面式子的规律：
则：a＝15
b＝－1
＝225－1
＝224
15＋224＝239
所以a＋b＝239。
二、选择题
11．如图，将一些小圆点按如图规律摆放，前4个图形中分别有小圆点6个，10个，16个，24个，依此规律，第20个图形中，小圆点有（ ）个。
A．462 B．384 C．420 D．424
【答案】D
【分析】先观察每个图形的最外侧都有四个小圆点，再观察每个图形内部圆点的行数和列数，发现列数等于行数加1，第一个图形内部的小圆点2列1行，第二个图形内部的小圆点3列2行，第三个图形内部的小圆点4列3行，依次规律，第个图形内部的小圆点列行，据此解答。
【解答】第1个图形中有小圆点：
（个）
第2个图形中有小圆点：
（个）
第3个图形中有小圆点：
（个）
第4个图形中有小圆点：
（个）
第个图形中有小圆点：
个
当时，
（个）
所以第个图形内部的小圆点有424个。
故答案为：D
12．有一些图形按●●〇〇〇☆●●〇〇〇☆的顺序排列，那么前50个图形中●占总数的（ ）。
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】观察图形可知，这组图形排列规律是：6个图形一个循环周期，分别按照：2个●，3个〇，1个☆依次循环排列，用50÷6计算，商是多少，就有多少组，余数是几，最后一个图形就是这6个图形中的第几个，根据余数推算出余下的图形中●有多少个，据此计算出●的个数，再用●的个数除以总数即可求出前50个图形中●占总数的几分之几。
【解答】50÷6＝8……2
8×2＋2
＝16＋2
＝18
18÷50＝＝
所以，前50个图形中●占总数的。
故答案为：A
13．连在一起的两个正方形，边长都是1厘米。一个微型机器人由点开始，按的顺序，沿正方形的边循环移动。当微型机器人移动了2024厘米时，它停在点（ ）处。
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先确定机器人移动的规律，即一个周期移动的点数，再用总移动点数除以一个周期的点数，根据所得结果判断机器人最终停在哪个点。
已知微型机器人由点A开始，按ABCDEFCGA……的顺序，沿正方形的边循环移动，且每移动1厘米就移动至下一个点，所以每移动8个点为一个完整的周期。因为边长都是1厘米，从A到B移动1厘米到下一个点B，从B到C移动1厘米到下一个点C，以此类推，从G又回到A，一共经过了8个点，这就是一个周期。
用2024除以8，如果有余数，余数是几。就在一个循环周期的第几个点，如果没有余数，就是A点。
【解答】由题意可知，循环周期是8；
2024÷8＝253（个）
所以当微型机器人移动了2024厘米时，它停在点A处。
故答案为：B
14．算式，再加上（ ）后，结果就是1。
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先计算，把转化为，转化为，转化为，转化为，转化为，转化为，转化为，消项后再计算得到结果，根据加数等于和减另一个加数，用1减得到的结果，即可得解。
【解答】
算式，再加上后，结果就是1。
故答案为：A
【点评】计算，应先想办法消项后，再计算。
15．与1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1表示结果相同的算式是（ ）。
A． B． C．
【答案】B
【分析】1＋3＝4＝22，1＋3＋5＝9＝32，1＋3＋5＋7＝16＝42，1＋3＋5＋7＋9＝25＝52，故将1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1看作1＋3＋5＋7＋9与5＋3＋1相加，即可求解。
【解答】1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1
＝（1＋3＋5＋7＋9）＋（5＋3＋1）
＝52＋32
与1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1表示相同结果的算式是52＋32。
故答案为：B
【点评】此题考查了算式的加法的计算技巧，弄清算式中的计算规律是解决本题的关键。
16．六年级一班开毕业典礼前，同学们用彩色小旗布置教室，按三红两黄两绿的规律连接起来，第2024个彩旗是（ ）。
A．红色 B．黄色 C．绿色
【答案】A
【分析】根据题意，彩色小旗按三红两黄两绿的规律连接起来，每（3＋2＋2）个彩旗一循环，用2024除以（3＋2＋2），商是几，就有几个完整的循环，余数是几，则第2024个彩旗是循环里面第几个。
【解答】2024÷（3＋2＋2）
＝2024÷7
＝289（组）……1（个）
循环中第1个彩旗是红色，所以第2024个彩旗是红色的。
故答案为：A
17．如图，用灰白两种颜色的菱形纸片，按灰色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2020张白色纸片，则n的值为（ ）。
A．671 B．672 C．673 D．674
【答案】C
【分析】观察可知，第1个图案中有张白色张片，第2个图案中有张白色张片，第3个图案中有张白色张片第n个图案中有张白色张片，即，据此解方程即可。
【解答】
解：
用灰白两种颜色的菱形纸片，按灰色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2020张白色纸片，则n的值为673。
故答案为：C
18．有一串数第27个数是（ ）。
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将化成，观察可知，分子是从1开始连续的奇数，相邻奇数相差2，从1到第27个数有（27－1）个间隔，因此第27个分数的分子是1＋（27－1）×2；分母是3的倍数，第一个分母是3×1，第二个分母是3×2，第几个分母就是3×几，据此确定第27个分数的分子和分母，写出这个分数即可。
【解答】分子：1＋（27－1）×2
＝1＋26×2
＝1＋52
＝53
分母：3×27＝81
第27个数是。
故答案为：A
19．观察下列一组图形的规律，第2020个图形是（ ）。
□□◇◇◇●●◎□□◇◇◇●●◎□□◇◇◇●●◎……
A．□ B．◇ C．● D．◎
【答案】B
【分析】从题意可知：这组图形以□□◇◇◇●●◎8个图形为一组，重复往下循环。用2020÷8求出商和余数，余数是几，就是□□◇◇◇●●◎这组图形中的第几个图形。
【解答】2020÷8＝252（组）……4（个）
第2020个图形是◇。
故答案为：B
20．观察下面用火柴棒摆的正方形，摆20个这样的正方形需要火柴棒（ ）根。
A．60 B．61 C．80 D．90
【答案】B
【分析】根据图示发现：摆1个正方形需要小棒：4根；摆2个正方形需要（4＋3）根小棒；摆3个正方形需要（4＋3＋3）根小棒；……摆n个正方形需要小棒：4＋3（n－1）＝（3n＋1）根。据此解答。
【解答】根据分析可知，摆n个正方形需要小棒：
4＋3×（n－1）
＝4＋3n－3
＝（3n＋1）根
当n＝20时，
3×20＋1
＝60＋1
＝61（根）
摆20个这样的正方形需要火柴棒61根。
故答案为：B
三、计算题
21．计算题。
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）；（2）1；（3）
【分析】（1）先把化为，再根据除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数计算；
（2）把2014写成2013＋1，根据乘法分配律把原式的分子变为：2013＋2012×（2013＋1）＝2013＋2012×2013＋2012＝2013×（1＋2012）＋2012＝2013×2013＋2012；分母变为：2013×（2013＋1）－1＝2013×2013＋2013－1＝2013×2013＋2012，据此计算；
（3）因为1＝2×（1-），，，根据乘法分配律把原式变形，再消项即可简算。
【解答】（1）
（2）
（3）
【点评】分数的简便运算，相办法把原式变形为可约分形式；较长的算式则相办法把原式变形为工消项形式。
22．看图想一想有什么规律，再计算。
计算1＋3＋5＋7＋…＋39。
【答案】400
【分析】由1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，发现规律：连续奇数的和等于奇数个数的平方；据此规律解答。
【解答】1＋3＋5＋7＋…＋39
＝202
＝400
23．计算。
，提示：形如（a，b不为0）的分数可以拆分成的形式。
【答案】
【分析】根据提示可知，，，，，，，据此进行计算即可。
【解答】
四、解答题
24．六（2）班同学按下面的规律为教室挂上气球。
第20个气球是什么颜色的？第27个呢？
【答案】第20个气球是黄色，第27个气球是黄色。
【分析】观察可知，5个气球为一组，用，能整除，最后一个气球就是一组中的最后一个；用，最后一个气球就是一组中的第2个。据此判断颜色。
【解答】（组）
答：第20个气球是黄色，第27个气球是黄色。
25．观察下面的算式：
32－1＝4×2＝8
42－1＝5×3＝15
72－1＝8×6＝48
92－1＝10×8＝80
（1）根据你发现的规律，再写一道这样的算式。
（2）运用这个规律计算101×99。
【答案】（1）52－1＝6×4＝24
（2）9999
【分析】（1）观察32－1＝4×2＝8可得：4＝3＋1，2＝3－1，4和2相差2。
可将算式改写成：32－1＝（3＋1）×（3－1）＝4×2＝8
那么42－1＝5×3＝15可改写成：42－1＝（4＋1）×（4－1）＝5×3＝15
72－1＝8×6＝48可改写成：72－1＝（7＋1）×（7－1）＝8×6＝48
92－1＝10×8＝80可改写成：92－1＝（9＋1）×（9－1）＝10×8＝80
可得规律：n2－1＝（n＋1）×（n－1），据此写出这样的算式即可。
（2）101和99相差2，101＝100＋1，99＝100－1，根据算式的规律n2－1＝（n＋1）×（n－1），可得101×99＝（100＋1）×（100－1）＝1002－1，据此求解即可。
【解答】（1）根据分析可得规律：n2－1＝（n＋1）×（n－1）
52－1＝6×4＝24（答案不唯一）
（2）101×99
＝（100＋1）×（100－1）
＝1002－1
＝10000－1
＝9999
26．有若干张相同的长方形纸条，长方形纸条的长比宽长16厘米。如果把这些纸条按图1所示排成一排，总长度是651厘米；如果按图2所示排列，总长度是395厘米。
（1）共有多少张长方形纸条？
（2）如果将这些纸条按图3所示排列，总长度是多少厘米？
【答案】（1）31张；
（2）265厘米
【分析】（1）图1中都是朝一个方向摆放，总长度＝每张小长方形的长×张数，651＝3×7×31，可以确定长方形的纸片的张数是一个奇数。图2是有竖、有横，对比两个图形的长度相差256厘米，因为一个长比宽长16厘米，256里面出16张16厘米，也就是说竖的是16张，根据摆放的规律，横要么就是15张，则一共就是31张，能被651整除，要么就是17张，则一共就是33张，不能被651整除。
（2）由（1）中可知，31张长方形651厘米，长是21厘米，宽是5厘米，则是由3张长方形纸形成一组，是31÷3＝10（组）……1（张），且每组的长是26厘米，余的1张用该是竖着放的。所以像图3那样排列时，图形的总长＝每组的长度×10＋每张长方形纸片的宽。
【解答】（1）（651－395）÷16
＝256÷16
＝16（张）
16×2－1
＝32－1
＝31（张）
答：共有31张长方形纸条。
（2）651÷31＝21（厘米）
21－16＝5（厘米）
31÷3＝10（组）……1（张）
（5＋21）×10＋5
＝26×10＋5
＝260＋5
＝265（厘米）
答：按图3排列总长度是265厘米。
27．用小棒摆六边形，如下图所示。
六边形的个数 图形 小棒的根数
1 6
2
3
…… …… ……
（1）你能发现什么规律？按这个规律摆n个六边形，需要__________根小棒。
（2）按这个规律摆150个六边形，需要__________根小棒。
【答案】（1）（5n＋1）根
（2）751根
【分析】由观察发现每增加一个六边形就多加5根小棒。则摆n个六边形就需要（5n＋1）根小棒。当n＝150时，将150带入含有字母的式子里面。
【解答】（1）据分析，摆n个六边形就需要5n＋1根小棒；
（2）将150带入含有字母的式子中
5×150＋1
＝750＋1
＝751（根）
答：需要751根小棒。
28．把一张纸剪成6块，从中取几块，将每一块又剪成6块，再任取几块，又将每一块剪成6块……如此剪下去，经过有限次后，能否恰好剪成2009块？说明理由。
【答案】不能经过有限次操作，将一张纸恰好剪成2009块，因为2009被5除余4，余数不是1
【分析】根据题意可知，每次增加操作后，纸张的数量都增加了5的整数倍，纸张的数量为被5除余1的整数。据此判断即可。
【解答】2009÷5＝401……4
2009被5除余4，所以不能经过有限次操作，将一张纸恰好剪成2009块。
答：不能经过有限次操作，将一张纸恰好剪成2009块，因为2009被5除余4，余数不是1。
【点评】本题考查了带余除法的灵活应用，明确纸张增加的规律是解答本题的关键。
29．一张长方形桌子可坐6人，按下列方式将桌子拼在一起。
（1）3张桌子拼在一起可坐（ ）人，5张桌子拼在一起可坐（ ）人。
（2）依据上面桌子的拼摆规律，如果是n张桌子拼在一起，那么可以坐多少人？
【答案】（1）10；14
（2）（2n＋4）人
【分析】1张长方形桌子可坐6人，6＝2×1＋4；2张桌子拼在一起可坐8人，8＝2×2＋4；依此类推，每多一张桌子可多坐2人，所以n张桌子拼在一起可坐（2n＋4）人。据此解答即可。
【解答】（1）2×3＋4
＝6＋4
＝10（人）
2×5＋4
＝10＋4
＝14（人）
则3张桌子拼在一起可坐10人，5张桌子拼在一起可坐14人。
（2）n×2＋4＝（2n＋4）人
答：如果是n张桌子拼在一起，那么可以坐（2n＋4）人。
30．三千多年前，埃及人发明了一种记录分数的方法，这些分数的分子为1，它们被称为“单位分数”，通过研究，小明发现一些分数可以很容易地拆分为两个不同的“单位分数”之和（或差）例如：
，；
，；
（1）请根据上述拆分方法将下列分数拆分为“单位分数”的和或差：
＝ ；＝ ；
（2）请运用上述拆分方法计算：。
【答案】（1）；
（2）
【分析】（1）观察算式可知，若该分数的分子不是1，则把分数的分母拆成相邻的两个自然数的乘积形式，分子是这两个自然数和的形式，进而写成分母是两个数的乘积形式，分子分别是这两个数，再化简成分子为1的分数形式；若该分数的分子是1，则把分数的分母拆成相邻的两个自然数的乘积形式，分子是这两个自然数差的形式，而写成分母是两个数的乘积形式，分子分别是这两个数，再化简成分子为1的分数形式；
（2） 根据（1）中发现的规律，把算式中的每个分数进行拆分，去括号后，再运用加法结合律进行计算即可。
【解答】（1）＝；＝；
（2）
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
【点评】本题主要考查算式的规律，数字的变化类，解答的关键是理解清楚所给的规律并灵活运用。
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