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2025年小升初数学总复习·核心考点·经典题型冲刺特训
专题34 找次品问题
（思维导图+知识梳理+30道真题特训）
1、找次品的基本思路
通过推理，在天平的两边各放一个物品称。
2、探索找次品的一般方法：
在找次品时，把待测物品分成3份，每份数量尽量平均时，可以保证找出次品时，称量的次数最少。
3、利用天平找次品的最优策略：
（1）把待测的物品平均分成3份。
（2）不能平均分的也应保证有2份相同，并且与另一份只相差1。这样可以保证找出次品时称量的次数最少。
4、归纳总结。
通过观察“要辨别的物品数目”和“保证能找出次品至少需要测的次数”之间的关系，就可以发现；只要带测物品（有一个次品且已知轻重的数目介于（3×3×……×3+1）【（n-1）个3】和3×3×……×3【n个3】之间，最多只要测试n次就能保证找出次品。
一、填空题
1．洛阳一家仪器工厂借助天平检测精密零件的质量是否合格。在12个精密零件中有一个不合格零件（不合格零件略轻些）。用天平至少称（ ）次，就能保证找出那个不合格零件。
【答案】3
【分析】把12个精密零件平均分成3份，每份4个，即（4，4，4），第一次称，天平两边各放4个，如果天平不平衡，次品就在较轻的4个中；如果天平平衡，次品在剩下的4个中；再把有次品的4个精密零件分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1个，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一个；如果天平平衡，次品在剩下的2个中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，最后把有次品的2个精密零件分成（1，1），第三次称，天平两边各放1个，次品就是较轻的那一个。至少称3次就能保证找出那个不合格的零件。
【解答】
用天平至少称3次，就能保证找出那个不合格零件。
2．在生产过程中，工人发现：8瓶钙片中有1瓶是次品（轻一些），用天平称，至少称（ ）次能保证找出次品钙片；82瓶钙片中有1瓶是次品（轻一些），用天平称，至少称（ ）次能保证找出次品钙片。
【答案】2 5
【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差l。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。
【解答】把8瓶钙片分成3份，即（3，3，2）；
第一次称，天平两边各放3瓶，如果天平不平衡，次品就在较轻的3瓶中；如果天平平衡，次品在剩下的2瓶中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的3瓶钙片分成3份，即（1，1，1）；
第二次称，天平两边各放l瓶，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一瓶；如果天平平衡，次品是剩下的那一瓶；
所以分成3份（3，3，2），用天平称2次，就一定能找出次品。
把82瓶钙片分成3份，即（27，27，28）；
第一次称，天平两边各放27瓶，如果天平不平衡，次品就在较轻的27瓶中；如果天平平衡，次品在剩下的28瓶中。考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的28瓶钙片分成3份，即（9，9，10）；
第二次称，天平两边各放9瓶，如果天平不平衡，次品就是较轻的那9瓶；如果天平平衡，次品是剩下的那10瓶。考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的10瓶钙片分成3份，即（3，3，4）；
第三次称，天平两边各放3瓶，如果天平不平衡，次品就是较轻的那3瓶；如果天平平衡，次品是剩下的那4瓶。考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的4瓶钙片分成2份，即（2，2）；
第四次称，天平两边各放2瓶，天平不平衡，次品就是较轻的那2瓶。再把有次品的2瓶钙片分成2份，即（1，1）；
第五次称，天平两边各放1瓶，天平不平衡，次品就是较轻的那1瓶；
所以，至少称5次能保证找出次品钙片。
【点评】在找次品问题中，为确保用最少的次数能够找到次品，考虑最不利原则并且每次把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。
3．有5个外观相同的零件，其中只有一个是次品，重量稍重。根据如图所示，可以推断（ ）号零件是次品。
【答案】2
【分析】次品稍重，根据题意可知，1号零件和2号零件其中有一个稍重，次品可能是1号零件和2号零件中的一个；由于5号零件和1号零件相等，5号零件是正品，所以1号零件也是正品，那么2号零件就是次品，据此解答。
【解答】根据分析可知，有5个外观相同的零件，其中只有一个是次品，重量稍重。根据如图所示，可以推断②号零件是次品。
4．1箱糖果有24袋，其中有23袋质量相同，另有1袋质量不足，轻一些。至少称（ ）次才能保证找出这袋糖果来。
【答案】3
【分析】根据题意，本题和找次品是同类型题目，解题的关键是利用天平平衡原理来逐步进行排除，从而达到缩小范围的目的。找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【解答】将24袋糖果平均分成3份，每份8袋。
第一次把其中的两份8袋放在天平上称一称，如天平平衡，则这些称的糖果中没有轻的一袋，如天平不平衡，拿出轻一些的那8袋，继续称；
第二次把有1袋质量不足的糖果分成3袋、3袋和2袋，把其中的两份3袋放在天平上称一称，如天平平衡，则没有称的2袋里有1袋质量不足，如天平不平衡，则拿出轻一些的那3袋继续称；
第三次根据最不利原则，假设轻一些的在那3袋中，把其中2袋放在天平上称一称，如天平平衡，则没有称的那一袋是质量不足的，如天平不平衡，则轻一些的1袋是质量不足的。在上述描述中，找出质量不足的糖果的规律为：2~3个物品，至少称1次；4~9个物品，至少称2次；10~27个物品，至少称3次；28~81个物品，至少称4次；
24在10~27这个范围内，至少称3次才能保证找出这袋糖果来。
5．利用天平秤次品的方法，下列数量的物品分成3份应该怎样分？请把分的数量写在圆圈里。

【答案】见详解
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【解答】如图所示：

【点评】本题考查找次品问题，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。
6．用天平找次品的方法很多，在众多的方法中，我们发现了分（ ）份称的方法最好。已知一堆物品中有1个次品（比正品轻），如果至少称3次就能保证找出这个次品，这堆物品最少有（ ）个，最多有（ ）个。
【答案】3/三 10 27
【分析】解决找次品的方法很多，在众多的方法中，我们发现了分3份称的方法是最好的。因为分3份称找到次品用的次数最少。用天平找次品时，所测物品数目与测试的次数有以下关系。（只含有一个次品，已知次品比正品轻）
要辨别的数目 保证能找出次品需要的次数
2~3 1
4~9 2
10~27 3
28~81 4
82~243 5
… …
观察表格中物品数目的每一组数据中的第二个数字可得，2~3个需要1次；9＝3×3，需要2次；27＝3×3×3，需要3次；81＝3×3×3×3，需要4次； 据此可得需要3次测出的次品，数量在3×3＋1和3×3×3之间。
【解答】根据分析得，用天平找次品的方法很多，在众多的方法中，我们发现了分3份称的方法最好。
3×3＋1
＝9＋1
＝10（个）
3×3×3＝27（个）
所以这堆物品最少有10个，最多有27个。
【点评】本题考查了找次品，掌握找次品的方法是解题的关键。
7．在原来已经合格的26颗螺丝钉中，聪聪不小心把1颗不合格的螺丝钉（次品）掉了进来，它与合格螺丝钉的外形一模一样，但质量略重一些，如果用天平称，最少称（ ）次能保证找出这个次品。
【答案】3
【分析】在找次品时，把物体分成3份，每份数量尽量平均时，可以保证找出次品时称量的次数最少。
【解答】26＋1＝27（颗），先把27颗平均分成3组，每组9颗，通过称量1次可找出次品所在的组；再把次品所在组的9颗平均分成3组，每组3颗，通过称量1次可找出次品所在的组；再把次品所在组的3颗平均分成3组，每组1颗，通过称量1次可找出次品。即最少要称3次能保证找出这个次品。
【点评】用天平找次品时，所测物品数目与测试的次数有以下关系。（只含有一个次品，已知次品比正品重或轻）
8．有3袋白糖，其中2袋为1千克，另一袋不是1千克，但不知道比1千克轻还是重，利用天平，至少需要 次才能保证把它找出来。
【答案】2
【分析】三袋白糖分成3份，任取2袋，分别放在天平两端，若平衡，剩下一袋即是质量不同的那袋；若不平衡，根据天平的平衡原理，继续称量，即可得出答案。
【解答】①第一次：从3袋白糖中任取2袋，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那袋白糖即是重量不同的那袋；
②若天平秤不平衡，第二次：把在天平秤两端的白糖，任取一袋，与未取那袋，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则第一次称量时的另一袋即为重量不一样的白糖；若不平衡，从天平秤拿出再称量的那袋即为重量不一样的白糖。
所以利用天平，至少需要2次才能保证把它找出来。
【点评】此题考查的是用天平找次品的规律，依据天平平衡原理，合理地分组可解答问题。
9．用天平找次品，如果待测物品在3个或3个以上，其中有1个比正品轻或重，我们可以先把待测物品分成（ ）份，能平均分的要（ ），不能平均分的要使多的那一份与少的那一份相差（ ），这样可以保证找出次品所称的次数最少。
【答案】3 平均分 1个
【分析】根据找次品的方法，结合题干，直接填空即可。
【解答】用天平找次品，如果待测物品在3个或3个以上，其中有1个比正品轻或重，我们可以先把待测物品分成3份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使多的那一份与少的那一份相差1个，这样可以保证找出次品所称的次数最少。
【点评】本题考查了找次品，掌握找次品的方法是解题的关键。
10．称一称。
有8支牙膏（编号分别为①②③④⑤⑥⑦⑧），其中7支质量相同，1支是次品（轻一些）。用天平找出这支牙膏，至少要称（ ）次。试着在下图中表示出称的过程。
【答案】2；⑦；⑧；次品；③；次品
【分析】将①②③④⑤⑥平均分成2部分，平衡，说明次品在⑦⑧中，称⑦⑧，不平衡，轻的是次品；如果将①②③④⑤⑥平均分成2部分，不平衡，次品在轻的一侧，称①②，平衡，③是次品，不平衡，轻的是次品。
【解答】至少要称2次。
【点评】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
二、选择题
11．一批零件有81个，按要求它们的质量应该相同，已知有一个内部有缺陷，如果要求用天平称量找到有缺陷的零件，要使称量的次数最少，最合理的分组是（ ）。
A．（40、41） B．（20、20、20、21）
C．（27、27、27） D．（25、25、31）
【答案】C
【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1，这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少，据此解答。
【解答】有81个零件，其中有一件是次品，比其它略轻。
第一次称重：先分成（27，27，27），天平两边各放27个，①若天平平衡，则次品就在剩下的27个中；②若天平不平衡，次品就在较轻的那27个中；
第二次称重：把27个分成（9，9，9），天平两边各放9个，①若天平平衡，则次品就在剩下的那9个中；②若天平不平衡，次品就在较轻的那9个中；
第三次称重：先分成（3，3，3），天平两边各放3个，①若天平平衡，则次品就在剩下的3个中；②若天平不平衡，次品就在较轻的那3个中；
第四次称重：先分成（1，1，1），天平两边各放1个，①若天平平衡，则次品就是剩下的1个；②若天平不平衡，次品就是较轻的那1个。
一批零件有81个，按要求它们的质量应该相同，已知有一个内部有缺陷，如果要求用天平称量找到有缺陷的零件，要使称量的次数最少，最合理的分组是（27、27、27）。
故答案为：C
12．12个羽毛球特征相同，其中只有一个质量异常。现在要用一架没有砝码的天平去称，至少要称（ ）次才能找出那个质量异常的羽毛球。
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据题意，12个羽毛球特征相同，其中只有一个质量异常，但不知轻重，分组称重时，考虑天平平衡或不平衡时的各种情况，逐一讨论，得出至少称的次数。
【解答】第1次称量，将12个羽毛球平均分为三份①②③（每份4个），先把①和②放在天平的两边，如果天平平衡，则③里面有异常球；如果天平不平衡，则①和②中有异常羽毛球，③都是正常羽毛球；第2次称量，把①和②中的任意一份取下来，把③放上去，即可判断异常羽毛球在哪一份里，并且知道异常羽毛球的轻重；第3次称量，把有异常羽毛球的4个球平均分成两份（每份2个），把它们放在天平的两边，天平不平衡，根据轻重，判断出异常羽毛球在哪一份里；第4次称量，再把有异常羽毛球的2个球分成两份（每份1个），把它们放在天平的两边，天平不平衡，根据轻重，判断出异常羽毛球是哪一个。
所以至少要称4次才能找出那个质量异常的羽毛球。
故答案为：A
13．8个乒乓球里面有一个是次品（次品轻一些），根据下图找次品的过程，可以推断出（ ）。
A．次品在⑦⑧里面 B．①②里面有次品 C．⑥是次品
【答案】A
【分析】观察可知，①②③和④⑤⑥一样重，由题意可知，次品轻一些，可知次品在⑦⑧里面。据此解答。
【解答】据分析可知，8个乒乓球里面有一个是次品（次品轻一些），根据下图找次品的过程，可以推断出次品在⑦⑧里面。
故答案为：A
14．一箱牛奶有12盒，其中有11盒质量相同，另有1盒质量略轻，如果能用天平称，至少称（ ）次可以保证找出这盒牛奶。
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【解答】先把12分成（4、4、4）；第一次称量：在天平两边各放4盒，可能出现两种情况：（把轻一些的那盒看做次品）①如果天平平衡，则次品在剩余的那4盒，分成（2、2）；
第二次称量：在左、右盘中分别放2盒，上升者有次品；
第三次称量：在左、右盘中分别放1盒，上升者是次品。
②如果天平不平衡，次品在托盘上升那边的4盒里；
第二次称量：取托盘上升的4盒，在左、右盘中分别放2盒，上升者有次品；
第三次称量：取托盘上升的2盒，每一盒分别放在天平的左、右盘中，则上升者是次品。
如果用天平称，至少称3次可以保证找出这盒牛奶。
故答案为：B
15．“鉴宝”节目中，一位收藏者拿出了他收集的16枚古铜钱，这些古铜钱外形、质地完全相同，其中有1枚假铜钱，质量比其他真铜钱轻一些。利用一架天平则至少称（ ）次才能保证找出这枚假铜钱。
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】把16枚古铜钱分成5枚、5枚、6枚，第一次称，把两份5枚的放在天平的两端，会出现两种情况：
（1）如果天平平衡，则假铜钱在6枚中，再把6枚平均分成3份，每份2枚，把两份放在天平的两端，出现两种情况：①如果天平平衡，则假铜钱在剩下的2枚中，把这2枚放在天平的两端，轻的那枚是假铜钱；②如果天平不平衡，则假铜钱在轻的那2枚中，把这2枚放在天平的两端，轻的那枚是假铜钱；
（2）如果天平不平衡，则假铜钱在轻的那5枚中，把这5枚分成2枚、2枚、1枚，把两份2枚的放在天平的两端，如果天平平衡，则假铜钱是剩下的那枚；如果天平不平衡，则假铜钱在轻的那2枚中，再把这2枚放在天平的两端，轻的那枚是假铜钱。
所以至少称3次才能保证找出这枚假铜钱。
【解答】根据分析可知，至少称3次才能保证找出这枚假铜钱。
故答案为：B
16．某品牌在售的散装粽子中，一个肉粽重140克，一个红枣粽重100克，只有一个肉粽，其余都是红枣粽。他想用天平称一称，那么最合适的称重分组方法是（ ）。
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，题中所求的是天平找次品的最优策略，在解答时，应把待测物品尽量平均分成3份，如果不能平均分的，也应使多的与少的一份只相差1，这样可以保证找出次品的次数最少，首先，我们考虑如何将8个粽子分组以最小化称重次数。
A．8个粽子分成1个、1个、6个，6个又分成2个、2个、2个。
这种方法需要至少3次称重：首先称1个和1个，如果不平衡，则找到肉粽；如果平衡，再称2个和2个，最后称剩下的2个，但是这种方法不是最优的，因为一开始的分组就不平衡。
B．8个粽子分成2个、2个、4个，4个又分成2个、2个。
这种方法需要至少3次称重：首先称2个和2个，如果不平衡，则找出肉粽所在的组；如果平衡，再称剩下的4个中的2个和2个，但这种方法也不是最优的。
C．8个粽子分成2个、3个、3个，3个又分成1个、1个、1个。
这种方法只需要2次称重：首先称3个和3个，如果平衡，则肉粽在剩下的2个中；如果不平衡，则肉粽在较重的那一组中，再把较重的分成1个、1个、1个，先称1个和1个，如果平衡，则剩下的就是肉粽，如果不平衡，较重的就是肉粽，这种方法最优。
D．把8个粽子分成2组各4个进行称重。
肉粽在较重的所在组；把较重的4个粽子分成1个、1个、2个，如果2个粽子平衡，则肉粽在剩下的2个粽子里，再称剩下的2个粽子，较重的那个粽子就是肉粽；如果不平衡，则较重的那个就是肉粽；这种方法需要至少3次，不是最优的。据此解答。
【解答】
根据分析可知，某品牌在售的散装粽子中，一个肉粽重140克，一个红枣粽重100克，只有一个肉粽，其余都是红枣粽。他想用天平称一称，那么最合适的称重分组方法是。
故答案为：C
17．有21个零件，其中有一个是次品，它的质量比合格品轻，如果用天平称，至少（ ）次才能找出这个次品。
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份：
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【解答】将21个零件分成（7、7、7），先称（7、7），可确定次品在7个中：将7个分成（2、2、3），称（2、2），平衡则次品在3个中：再将3个分成（1、1、1），再称1次即可确定次品，共3次。不平衡，次品在轻的一组，再将2个分成1、1，再称一次，次品是较轻的那个，共3次。
综上可得：至少3次才能找出这个次品。
故答案为：B
18．至少称3次，就可以保证从零件中找到那一个次品，零件个数的范围是（ ）。
A．2个~3个 B．4个~9个 C．10个~27个 D．不能确定
【答案】C
【分析】把27个零件分成9个，9个，9个的三份，第一次：把其中两份分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则次品即在未取的9个零件中（按照下面方法继续操作），若不平衡，则次品在天平秤较高端的9个零件中；第二次：把天平秤较高端的9个零件分成3个，3个，3个的三份，把其中两份分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则次品即在未取的个零件中（按照下面方法继续操作），若不平衡，则次品在天平秤较高端的3个零件中；第三次：从天平秤较高端的3个零件中，任取2个，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取的那个零件即为次品，若不平衡，天平秤较高端的零件即为次品，所以取值范围最大是27，据此解答即可。
【解答】A．2个～3个，称一次就可以找到次品；
B．4个～9个，称两次就可以找到次品；
C．至少称3次，就可以保证从零件中找到那一个次品，零件个数的范围是10个～27个。
故答案为：C
19．有3袋食盐，其中2袋每袋450克，另1袋不是450克，但不知道比450克轻还是重。用天平至少称（ ）次能保证称出这袋食盐比450克重还是轻。
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】用天平找次品时，如果待测物品有3个或3个以上，首先要把待测物品分成3份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使多的那份的个数与少的那份的个数相差最少，这样可以保证找出次品需要称量的次数最少；依此解答。
【解答】从3袋中任取2袋，分别放在天平的两端，若天平平衡，则剩下未称的那袋的质量不是450克；若天平不平衡，从天平两端任取一袋与未取那袋分别放在天平的两端，进行第二次称量。若天平平衡，则现在未称的那袋的质量不是450克；若天平不平衡，从天平取出再称量的那袋的质量不是450克。
综上所述，用天平至少称2次能保证称出这袋食盐比450克重还是轻。
故答案为：B
20．要在6个外观完全一样的黄球中，找出质量稍重的1个次品。用天平称，要保证2次能找出次品。第一次分，比较合适的分法是（ ）。
A．分成3份，分别是2，2，2 B．分成3份，分别是1，2，3
C．分成3份，分别是1，1，4 D．分成4份，分别是1，1，1，3
【答案】A
【分析】找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份；
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【解答】由分析可得：要在6个外观完全一样的黄球中，找出质量稍重的1个次品。用天平称，要保证2次能找出次品。第一次分，比较合适的分法是分成3份，分别是2，2，2。
故答案为：A
三、解答题
21．一箱糖果有12袋，其中有11袋质量相同，另有1袋质量不足，轻一些。至少称几次能保证找出这袋糖果？
【答案】3次
【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此解答。
【解答】把12袋糖果平均分成3份，每份4袋，即（4，4，4），第一次称，天平两边各放4袋，如果天平不平衡，次品就在较轻的4袋中；如果天平平衡，次品在剩下的4袋中；再把有次品的4袋糖果分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1袋，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一袋；如果天平平衡，次品在剩下的2袋中；最后把有次品的2袋糖果分成（1，1），第三次称，天平两边各放1袋，次品就是较轻的那一袋。至少称3次能保证找出这袋糖果。
答：至少称3次能保证找出这袋糖果。
22．某工厂生产的18个羽毛球中有一个重一些，这样的球会影响运动员的比赛水平。用天平称，至少称几次能保证找出这个羽毛球？
【答案】3次
【分析】找次品的方法：一般是把待测物品分成3份，能平均分的就平均分，不能平均分的，使其中的2份相同，第3份尽量与这两份相同，再称其中的2份，根据天平平衡、不平衡进行判断，如果不能找出次品，继续把含有次品的份数再分成3份，方法同上，直到找出次品。
【解答】18分成（6，6，6），把任意两组的放在天平上称，考虑最不利原则，可找出有次品的一组；再把有次品的一组6分成（2，2，2）放在天平上称，可找出有次品的一组；再把2分成（1，1），放在天平上称，可找出次品；共需3次。
答：至少称3次能保证找出这人羽毛球。
23．有12袋奶粉，其中有一袋质量不足，轻一些。如果用天平秤，至少秤多少次才能保证找出这袋次品？（写出分组的方法，并把找的过程表示出来）
【答案】3次；方法和过程见详解
【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【解答】把12袋奶粉分成（4、4、4），称（4、4），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中4袋；
将4袋分成（1、1、2），称（1、1），不平衡，轻的是次品，平衡，次品在2袋中；
将2袋分成（1、1），再称1次，轻的是次品，共3次。
答：至少秤3次才能保证找出这袋次品。
24．如果有5瓶编号分别为1－5的钙片，其中有一瓶少了3片。如果用天平称，至少称（ ）次能保证找到次品。请你在下面写出找次品的过程，也可以画图。
【答案】2；过程见详解
【分析】把5瓶钙片分成三组（2，2，1），先称前两组，如果天平平衡，那么剩下的一瓶为质量较轻的钙片；如果天平不平衡，较轻的钙片在天平上翘的一组里面，称2（1，1）天平上翘的一端为那瓶较轻的钙片，据此解答。
【解答】
所以，如果用天平称，至少称2次能保证找到次品。
【点评】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
25．在100个玻璃球中，有一个比其他的99个重，其他99个同样重。现有一架等臂天平，最少称多少次，就一定能把这个超重的球找出来？
【答案】5次
【分析】根据找次品的方法，将玻璃球不断分堆称重，逐渐缩小次品所在的范围，直到找出超重的玻璃球。
【解答】第一次：将100个玻璃球分成3堆，前两堆各33个，后一堆34个，将前两堆分别放在天平两端，如果平衡，那么超重的球在未称重的一堆中，如果不平衡，那么哪端较重哪端就含有超重球；
第二次：将含有超重球的34个球分成3堆，前两堆各11个，后一堆12个，将前两堆分别放在天平两端，如果平衡，那么超重的球在未称重的一堆中，如果不平衡，那么哪端较重哪端就含有超重球；
第三次：将含有超重球的12个球分成3堆，每堆4个，任选两堆放在天平两端，如果平衡，那么超重的球在未称重的一堆中，如果不平衡，那么哪端较重哪端就含有超重球；
第四次：将含有超重球的4个球平均分成两堆，每堆2个，如果平衡，那么超重的球在未称重的一堆中，如果不平衡，那么哪端较重哪端就含有超重球；
第五次：将含有超重球的2个球放在天平两端，哪端较重哪端就是超重的球。
答：最少称5次，就一定能把这个超重的球找出来。
【点评】本题考查了找次品，会利用天平找次品是解题的关键。
26．一个商人有10袋金子，每袋里有10锭金子，有9个袋子里的金子每锭是10两，只有一个袋子里的金子每锭只有9两，你能只用天平称一次，就能称出哪袋装的是每锭9两的金子吗？
【答案】能
【分析】将每袋金子标号，1、2、3…，1号取1锭金子，2号取2锭金子，……，将取出的金子一起称，少了几两就是第几号袋子。
【解答】由分析可得：将每袋金子标号，1、2、3…，1号取1锭金子，2号取2锭金子，……，将取出的金子一起称，少了几两就是第几号袋子。
答：能一次称出哪袋装的是每锭9两的金子。
27．
（1）用无砝码的天平称，至少称几次就能找出小猴吃的是哪一筐？
（2）你能用图表示称的过程吗？
【答案】（1）3；
（2）见详解。
【分析】（1）①把12筐分成两组：6个1组，进行第一次称量，那么小猴吃的那筐就在较轻的那一组中；
②由此再把较轻的6筐分成2组：3个为1组，进行第二次称量，那么小猴吃的那筐就在较轻的那一组中；
③再把较轻的3筐分成3组：天平两边各放1个还剩1个，如果左右相等，那么说明剩下的一个是小猴吃的那筐，如果左右不等，那么较轻的那个是小猴吃的那筐，
（2）根据上面的分析，用图表示出称的过程即可。
【解答】（1）根据分析得，至少称3次。
答：用无砝码的天平称，至少称3次就能找出小猴吃的是哪一筐。
（2）画图如下：
【点评】此题主要依据天平秤平衡原理正确解决问题。
28．我国是世界上最早发现和利用茶树的国家，中国是茶的故乡。某茶厂对茶叶进行抽检，在抽检的15盒茶叶中，其中有14盒质量相同，另有一盒质量较轻一些为不合格产品，如果用天平称，至少称几次能保证将这盒不合格产品找出来？
【答案】3次
【分析】要尽快找到这盒次品，可把15盒茶叶分成5、5、5三组，通过将等量的茶叶盒放到天平两端逐次称重，期间根据天平的平衡情况，随时调整下一次的称量对象，直至找到次品为止，据此解答。
【解答】第一次：每边放5盒，若天平平衡，则未拿的那组里有次品，若天平不平衡，则次品在天平较高端的5盒中；
第二次：将天平较高的那端5盒茶叶分成2、2、1三组，先把数量是2盒的两份放入天平两端，若天平平衡，则次品是未拿的1盒，若天平不平衡，次品在天平较高端的2盒中；
第三次：将含有次品的2盒茶叶，分成2份，放入天平两端，天平较高端的茶叶是次品；
因此，至少称3次可以保证找出次品。
【点评】依据天平平衡原理解决问题是解答本题的关键，分组时要尽量平均分，不能平均分的最多和最少只能相差1。
29．中医，是我国的瑰宝，中药学是我国古代优秀文化遗产的重要组成部分。奶奶因病需到中药馆买中药9副，每副药共计重200g，但由于药师的疏忽，其中一副中药少放了一味药。
（1）用天平称几次，能保证找到这副中药？请写出过程。
（2）如果两边各放4副药，称一次，有可能找出来这副药吗？为什么？
【答案】（1）2次；见详解；（2）可能；见详解
【分析】（1）把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平上翘的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。
（2）称一次是可能找出这副药，因为如果天平两端平衡的话，这8幅中药就没有次品，就说明次品就是没称的那副中药。据此解答。
【解答】（1）答：用天平称2次，能保证找到这副中药。
过程如下：
（2）答：有可能找出来这副药，因为如果两边各放4副药，称一次，如果平衡的话，则没有称的一副药是要找的次品。
【点评】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。
30．吃粽子：说到粽子，就不得不“南咸北甜”了，即北方人爱吃豆沙粽，枣子粽等甜味粽子，南方人喜欢加入火腿或排骨等的咸味粽子，将100克的糯米和2个6克的蜜枣放棕叶中包成一个四面体，这样一个甜甜的枣子粽就完成了，而火腿粽则需要把2个蜜枣换成50克的火腿肉即可。
（1）在一个枣子粽中，要知道“蜜枣的质量是糯米的几分之几？”下面列式正确的是（ ）。
A．
B．
C．
（2）根据上面的信息，算式解决的问题是： 。
（3）某公司按照配料标准分别生产了一批外观一样的火腿粽和枣子粽，每12个装一袋，但其中一袋火腿粽中混入了1个枣子粽，如果用天平称，至少称（ ）次，能保证找到这个枣子粽。
（4）聪聪想用排水法测量一个枣子粽的体积，在只有尺子、水和足够大的透明正方体玻璃容器的情况下，请你帮他设计一个实验方案，并用语言叙述出来。
【答案】（1）B
（2）糯米的质量是火腿粽质量的几分之几
（3）3
（4）见详解
【分析】（1）由题意可知，蜜枣有2×6＝12克，根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算，要知道“蜜枣的质量是糯米的几分之几？”用蜜枣的质量除以糯米的质量即可；
（2）由题意可知，100克是糯米的质量，（100＋50）克是火腿粽的质量，再根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算，则解决的问题是：糯米的质量是火腿粽质量的几分之几；
（3）由题意可知，火腿粽的质量要大于枣子粽的质量，即枣子粽的质量较轻，把12个粽子平均分成三份（4，4，4），在天平两端各放1份，若平衡，枣子粽在剩下的那份中，若不平衡，枣子粽在轻的那一份中；再将含有枣子粽的这一份分成2份（2，2），在天平两端各放1份，若不平衡，枣子粽在轻的那一份中，再称一次即可，即至少称3次即可找到这个枣子粽；
（4）根据排水法的方法，枣子粽的体积即是一个底面积等于容器底面积、高为放粽子前后容器内水位变化高度的长方体的体积。
【解答】（1）在一个枣子粽中，要知道“蜜枣的质量是糯米的几分之几？”可列式为。
故答案为：B
（2）根据上面的信息，算式解决的问题是：糯米的质量是火腿粽质量的几分之几。
（3）由分析可知：
如果用天平称，至少称3次，能保证找到这个枣子粽。
（4）在玻璃容器中放入能淹没枣子粽的水，用尺子测量放枣子粽前后水面的高度h1、h2，再测量出正方体容器的棱长a，最后用a×a×（h2－h1）求出枣子粽的体积。
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)2025年小升初数学总复习·核心考点·经典题型冲刺特训
专题34 找次品问题
（思维导图+知识梳理+30道真题特训）
1、找次品的基本思路
通过推理，在天平的两边各放一个物品称。
2、探索找次品的一般方法：
在找次品时，把待测物品分成3份，每份数量尽量平均时，可以保证找出次品时，称量的次数最少。
3、利用天平找次品的最优策略：
（1）把待测的物品平均分成3份。
（2）不能平均分的也应保证有2份相同，并且与另一份只相差1。这样可以保证找出次品时称量的次数最少。
4、归纳总结。
通过观察“要辨别的物品数目”和“保证能找出次品至少需要测的次数”之间的关系，就可以发现；只要带测物品（有一个次品且已知轻重的数目介于（3×3×……×3+1）【（n-1）个3】和3×3×……×3【n个3】之间，最多只要测试n次就能保证找出次品。
一、填空题
1．洛阳一家仪器工厂借助天平检测精密零件的质量是否合格。在12个精密零件中有一个不合格零件（不合格零件略轻些）。用天平至少称（ ）次，就能保证找出那个不合格零件。
2．在生产过程中，工人发现：8瓶钙片中有1瓶是次品（轻一些），用天平称，至少称（ ）次能保证找出次品钙片；82瓶钙片中有1瓶是次品（轻一些），用天平称，至少称（ ）次能保证找出次品钙片。
3．有5个外观相同的零件，其中只有一个是次品，重量稍重。根据如图所示，可以推断（ ）号零件是次品。
4．1箱糖果有24袋，其中有23袋质量相同，另有1袋质量不足，轻一些。至少称（ ）次才能保证找出这袋糖果来。
5．利用天平秤次品的方法，下列数量的物品分成3份应该怎样分？请把分的数量写在圆圈里。

6．用天平找次品的方法很多，在众多的方法中，我们发现了分（ ）份称的方法最好。已知一堆物品中有1个次品（比正品轻），如果至少称3次就能保证找出这个次品，这堆物品最少有（ ）个，最多有（ ）个。
7．在原来已经合格的26颗螺丝钉中，聪聪不小心把1颗不合格的螺丝钉（次品）掉了进来，它与合格螺丝钉的外形一模一样，但质量略重一些，如果用天平称，最少称（ ）次能保证找出这个次品。
8．有3袋白糖，其中2袋为1千克，另一袋不是1千克，但不知道比1千克轻还是重，利用天平，至少需要 次才能保证把它找出来。
9．用天平找次品，如果待测物品在3个或3个以上，其中有1个比正品轻或重，我们可以先把待测物品分成（ ）份，能平均分的要（ ），不能平均分的要使多的那一份与少的那一份相差（ ），这样可以保证找出次品所称的次数最少。
10．称一称。
有8支牙膏（编号分别为①②③④⑤⑥⑦⑧），其中7支质量相同，1支是次品（轻一些）。用天平找出这支牙膏，至少要称（ ）次。试着在下图中表示出称的过程。
二、选择题
11．一批零件有81个，按要求它们的质量应该相同，已知有一个内部有缺陷，如果要求用天平称量找到有缺陷的零件，要使称量的次数最少，最合理的分组是（ ）。
A．（40、41） B．（20、20、20、21）
C．（27、27、27） D．（25、25、31）
12．12个羽毛球特征相同，其中只有一个质量异常。现在要用一架没有砝码的天平去称，至少要称（ ）次才能找出那个质量异常的羽毛球。
A．4 B．3 C．2 D．1
13．8个乒乓球里面有一个是次品（次品轻一些），根据下图找次品的过程，可以推断出（ ）。
A．次品在⑦⑧里面 B．①②里面有次品 C．⑥是次品
14．一箱牛奶有12盒，其中有11盒质量相同，另有1盒质量略轻，如果能用天平称，至少称（ ）次可以保证找出这盒牛奶。
A．2 B．3 C．4 D．5
15．“鉴宝”节目中，一位收藏者拿出了他收集的16枚古铜钱，这些古铜钱外形、质地完全相同，其中有1枚假铜钱，质量比其他真铜钱轻一些。利用一架天平则至少称（ ）次才能保证找出这枚假铜钱。
A．2 B．3 C．4 D．5
16．某品牌在售的散装粽子中，一个肉粽重140克，一个红枣粽重100克，只有一个肉粽，其余都是红枣粽。他想用天平称一称，那么最合适的称重分组方法是（ ）。
A． B．
C． D．
17．有21个零件，其中有一个是次品，它的质量比合格品轻，如果用天平称，至少（ ）次才能找出这个次品。
A．2 B．3 C．4 D．5
18．至少称3次，就可以保证从零件中找到那一个次品，零件个数的范围是（ ）。
A．2个~3个 B．4个~9个 C．10个~27个 D．不能确定
19．有3袋食盐，其中2袋每袋450克，另1袋不是450克，但不知道比450克轻还是重。用天平至少称（ ）次能保证称出这袋食盐比450克重还是轻。
A．1 B．2 C．3 D．4
20．要在6个外观完全一样的黄球中，找出质量稍重的1个次品。用天平称，要保证2次能找出次品。第一次分，比较合适的分法是（ ）。
A．分成3份，分别是2，2，2 B．分成3份，分别是1，2，3
C．分成3份，分别是1，1，4 D．分成4份，分别是1，1，1，3
三、解答题
21．一箱糖果有12袋，其中有11袋质量相同，另有1袋质量不足，轻一些。至少称几次能保证找出这袋糖果？
22．某工厂生产的18个羽毛球中有一个重一些，这样的球会影响运动员的比赛水平。用天平称，至少称几次能保证找出这个羽毛球？
23．有12袋奶粉，其中有一袋质量不足，轻一些。如果用天平秤，至少秤多少次才能保证找出这袋次品？（写出分组的方法，并把找的过程表示出来）
24．如果有5瓶编号分别为1－5的钙片，其中有一瓶少了3片。如果用天平称，至少称（ ）次能保证找到次品。请你在下面写出找次品的过程，也可以画图。
25．在100个玻璃球中，有一个比其他的99个重，其他99个同样重。现有一架等臂天平，最少称多少次，就一定能把这个超重的球找出来？
26．一个商人有10袋金子，每袋里有10锭金子，有9个袋子里的金子每锭是10两，只有一个袋子里的金子每锭只有9两，你能只用天平称一次，就能称出哪袋装的是每锭9两的金子吗？
27．
（1）用无砝码的天平称，至少称几次就能找出小猴吃的是哪一筐？
（2）你能用图表示称的过程吗？
28．我国是世界上最早发现和利用茶树的国家，中国是茶的故乡。某茶厂对茶叶进行抽检，在抽检的15盒茶叶中，其中有14盒质量相同，另有一盒质量较轻一些为不合格产品，如果用天平称，至少称几次能保证将这盒不合格产品找出来？
29．中医，是我国的瑰宝，中药学是我国古代优秀文化遗产的重要组成部分。奶奶因病需到中药馆买中药9副，每副药共计重200g，但由于药师的疏忽，其中一副中药少放了一味药。
（1）用天平称几次，能保证找到这副中药？请写出过程。
（2）如果两边各放4副药，称一次，有可能找出来这副药吗？为什么？
30．吃粽子：说到粽子，就不得不“南咸北甜”了，即北方人爱吃豆沙粽，枣子粽等甜味粽子，南方人喜欢加入火腿或排骨等的咸味粽子，将100克的糯米和2个6克的蜜枣放棕叶中包成一个四面体，这样一个甜甜的枣子粽就完成了，而火腿粽则需要把2个蜜枣换成50克的火腿肉即可。
（1）在一个枣子粽中，要知道“蜜枣的质量是糯米的几分之几？”下面列式正确的是（ ）。
A．
B．
C．
（2）根据上面的信息，算式解决的问题是： 。
（3）某公司按照配料标准分别生产了一批外观一样的火腿粽和枣子粽，每12个装一袋，但其中一袋火腿粽中混入了1个枣子粽，如果用天平称，至少称（ ）次，能保证找到这个枣子粽。
（4）聪聪想用排水法测量一个枣子粽的体积，在只有尺子、水和足够大的透明正方体玻璃容器的情况下，请你帮他设计一个实验方案，并用语言叙述出来。
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