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2025年小升初数学总复习·核心考点·经典题型冲刺特训
专题37 鸽巢问题
（思维导图+知识梳理+40道真题特训）
1、把n+1(n是大于0的自然数)个物体放进n个“鸽笼”中，总有一个“鸽笼”至少放进了2个物体。
2、把多于kn(k、n都是大于0的自然数)个物体放进n个“鸽笼”中，总有一个“鸽笼”至少放进(k+1)个物体。
3、如果有n(n是大于0的自然数)个“鸽笼”，要保证有一个“鸽笼”至少放进了2个物品，那么至少需要有n+1个物品。
4、如果有n(n是大于0的自然数)个“鸽笼”，要保证有一个“鸽笼”至少放进了(k+1)(k是大于0的自然数)个物品，那么至少需要有(kn+1)个物品。
5、(分放的物体总数-1)÷(其中一个鸽笼里至少有的物体个数-1)=a……b(b6、利用“鸽巢问题”解决问题的思路和方法:①构造“鸽巢”，建立“数学模型”;②把物体放入“鸽巢”，进行比较分析;③说明理由，得出结论。
一、填空题
1．口袋里有6个白球和3个黑球，它们只有颜色不同。要保证摸出2个白球，至少一次摸出（ ）个球；要保证摸出2个同色球，至少一次摸出（ ）个球。
【答案】5 3
【分析】把白、黑两种颜色看作2个抽屉，要保证摸出两个白球，考虑最差情况：3个黑球全部摸出，再摸出2个即可保证摸出2个白球；要保证摸出两个同色的球，摸3个球时，必有两球同色，因此至少需要摸3个球。据此作答。
【解答】3＋2＝5（个）
要保证摸出2个白球，至少一次摸出5个球。
2＋1＝3（个）
要保证摸出2个同色球，至少一次摸出3个球。
2．端午节是中国首个入选世界非遗的节日，各地都有包粽子的习俗。小明、倩倩两家制作了三种口味粽子的数量如表。从小明家的粽子里任意拿一个吃，吃到（ ）口味的可能性最大。从倩倩家粽子里至少从中拿出（ ）个才能保证有2个粽子的口味是相同的。
种类 小明 倩倩
豆沙 15个 15个
红枣 10个 15个
花生 5个 15个
【答案】豆沙 4
【分析】根据小明家里粽子的种类和数量进行判断，数量多，吃到的可能性就越大；倩倩家粽子的种类数量相同，所以每一种都拿出一次，再拿一次就会出现口味相同的，据此解答。
【解答】从小明家的粽子里任意拿一个吃，吃到豆沙口味的可能性最大。3＋1＝4（个），因此从倩倩家粽子里至少从中拿出4个才能保证有2个粽子的口味是相同的。
3．有红、黄、蓝、紫4种颜色的帽子各5顶放入一个盒子里。要保证取出的帽子有2种颜色，至少应取出（ ）顶帽子；要保证取出的帽子中至少有2顶是同色的，至少应取出（ ）顶帽子。
【答案】6 5
【分析】已知有红、黄、蓝、紫4种颜色的帽子各5顶放入一个盒子里，考虑最不利原则，把一种颜色的帽子5顶全部取完，再任意取一顶，一定有2种颜色的帽子；
考虑最不利原则，把4种颜色的帽子各取1顶，再任意取1顶，则至少有2顶帽子是同色的。
【解答】5＋1＝6（顶）
4＋1＝5（顶）
要保证取出的帽子有2种颜色，至少应取出（6）顶帽子；要保证取出的帽子中至少有2顶是同色的，至少应取出（5）顶帽子。
4．有2016名学生参加了某次数学竞赛，试题一共12道填空题，每做对一题得10分，不做或做错均得0分。这次考试至少有（ ）名学生的分数是相同的。
【答案】156
【分析】抽屉原理的问题，试题得分有几种情况，就是有几个抽屉。将2016名学生尽量平均分在这些抽屉里面，每个抽屉分了155名学生，还剩1名学生，随意放在哪个抽屉里面都是156名。
【解答】试题得分有120、110、100、…、10、0这13种情况。
2016÷13＝155（名）……1（名）
155＋1＝156（名）
这次考试至少有156名学生的分数是相同的。
5．六年级有100名同学订阅A、B、C三种杂志。如果他们都只订阅了其中一种，至少有（ ）名同学订阅的杂志种类相同；如果他们订阅了其中的一种或两种杂志，至少有（ ）名同学订阅的杂志种类相同。
【答案】34 17
【分析】（1）如果他们都只订阅了其中一种，则有A、B、C三种订阅方式；用除法求出100里有多少个3，商是33，还余1名同学，那么这1名同学无论订阅哪种杂志，都会出现有一种杂志至少有（33＋1）名同学订阅；
（2）如果他们订阅了其中的一种或两种杂志，则会出现A、B、C、AB、AC、BC，一共6种不同的订阅方式；用除法求出100里有多少个6，商是16，还余4名同学，那么这4名同学无论选取哪种订阅方式，都会出现有一种杂志种类至少有（16＋1）名同学订阅。
【解答】（1）100÷3＝33（名）……1（名）
33＋1＝34（名）
如果他们都只订阅了其中一种，至少有34名同学订阅的杂志种类相同；
（2）如果他们订阅了其中的一种或两种杂志，共有6种不同的订阅方式；
100÷6＝16（名）……4（名）
16＋1＝17（名）
如果他们订阅了其中的一种或两种杂志，至少有17名同学订阅的杂志种类相同。
【点评】本题考查鸽巢问题，采用最不利原则来解题。
6．“全城志愿”正成为鹿城文明新风尚，某志愿小队有25名队员，那么他们中至少有（ ）人是同一个月出生的。在他们中选择5人担任小组长，那么至少有（ ）人的性别是相同的。
【答案】3 3
【分析】抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：
（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体。
（2）当n能被m整除时，k＝个物体。
【解答】25÷12＝2（人）……1（人）
2＋1＝3（人）
5÷2＝2（人）……1（人）
2＋1＝3（人）
【点评】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。
7．贤鲁岛是以“生态花岛＋水乡人家”为主题的生态旅游度假区，学校组织50名同学参观贤鲁岛上的“万顷园艺世界”、“鲁岗村”、“贤僚村”三个景点。行程安排每人至少参观一个景点，那么至少有（ ）人游玩的景点相同。
【答案】8
【分析】行程安排每人至少参观一个景点，有“万顷园艺世界”、“鲁岗村”、“贤僚村”、“万顷园艺世界”和“鲁岗村”、“万顷园艺世界”和“贤僚村”、“鲁岗村”和“贤僚村”、“万顷园艺世界”和“鲁岗村”和“贤僚村”，共7种情况。
【解答】50÷7＝7（人）……1（人）
7＋1＝8（人）
至少有8人游玩的景点相同。
【点评】本题主要考查抽屉原理的应用。
8．把红、黄、蓝三种颜色的袜子各10只混合在一起。如果让你闭上眼睛，最少拿出（ ）只才能保证一定有一双同色的袜子。如果要保证有两双同色的袜子，则至少要拿出（ ）只。
【答案】4 10
【分析】考虑最倒霉的情况，第一个空，拿出的前3只都是不同颜色的袜子，再拿1只，无论什么颜色，都可组成一双同色的袜子；第二个空，3种颜色各拿出3只，再拿1只，无论是什么颜色，都可组成两双同色的袜子，据此分析。
【解答】3＋1＝4（只）
3×3＋1
＝9＋1
＝10（只）
【点评】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。
9．“六一”儿童节那天，幼儿园买来了许多的苹果、桃子、桔子和香蕉，每个小朋友可以任意选择一种水果，那么至少要有（ ）个小朋友才能保证有两人选的水果是相同的。
【答案】5
【分析】有4种水果，每个小朋友任意选择一种有4种选择方法，最差情况是4个小朋友选择的水果都不相同，此时只要再有一个小朋友任意选择一种水果，就能保证有两人选的水果是一样的，据此解答。
【解答】4＋1＝5（个）
所以，至少要有5个小朋友才能保证有两人选的水果是相同的。
【点评】掌握抽屉原理的解题方法是解答题目的关键。
10．从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中至少抽出（ ）张，才能保证至少有2张是不同花色的；至少抽出（ ）张，才能保证至少有2张是相同花色的。
【答案】14 5
【分析】同花色的牌有13张，最不利的情况是取出的前13张都是同一花色，再取一张无论什么花色都有2张是不同花色的；共有4种花色，最不利的情况是取出的前4张花色都不同，再取一张无论什么花色都能保证2张是相同花色的。
【解答】13＋1＝14（张）
4＋1＝5（张）
【点评】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。
二、选择题
11．运动会上，在5分钟投篮比赛中，六（2）班的10名同学共投中了83个，总有一名队员至少投中（ ）个球。
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】根据题意，将投中的83个球平均分给10名队员，每名队员投中8个球，还剩下3个球，这3个球，无论分给哪名队员，总有一名队员至少抽中（8＋1）个球。
【解答】83÷10＝8（个）……3（个）
8＋1＝9（个）
总有一名队员至少投中9个球。
故答案为：C
12．口袋里有9个红球、4个白球、1个黑球，球除颜色外完全相同，每次从中摸一个球不放回，至少要摸出（ ）个球，才能保证取到的球里有两个颜色相同。
A．2 B．5 C．10 D．4
【答案】D
【分析】分析题目，要保证取到两个颜色的球，则最不利的情况是3种颜色的球各取了1个，最后再取1个一定能保证有2个球的颜色相同，据此解答。
【解答】3＋1＝4（个）
至少要摸出4个球，才能保证取到的球里有两个颜色相同。
故答案为：D
13．有红、白、蓝三种颜色的卡片各5张，至少随意抽取（ ）张卡片，才能保证取到两张不同颜色的卡片。
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】运用最不利原则，先考虑最糟糕的抽取情况，就是先把一种颜色的卡片全部抽完，因为每种颜色卡片有5张，所以先把一种颜色（比如红色）的5张卡片全部抽出来，此时再抽一张，无论抽到白色还是蓝色卡片，都能保证取到两张不同颜色的卡片，所以至少要抽取（5＋1）张卡片，据此解答。
【解答】根据分析：
5＋1＝6（张）
即至少取6张卡片，才能保证取到两张不同颜色的卡片。
故答案为：D
14．六年级1班的一个书架分上、中、下三层，李老师把新买的31本书放入书架，放书最多的一层至少要放（ ）本书。
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】把3层书架看作3个抽屉，把31本书看作31个元素，从最不利情况考虑，每层书架放10本，共放10×3＝30（本），剩下1本无论放在哪个书架，总有一个书架放10＋1＝11（本），据此解答。
【解答】31÷3＝10（本）……1（本）
10＋1＝11（本）
六年级1班的一个书架分上、中、下三层，李老师把新买的31本书放入书架，放书最多的一层至少要放11本书。
故答案为：C
15．幼儿园老师给10个孩子分香蕉，无论怎么分总有一个孩子至少分到2根香蕉，老师至少拿来了（ ）根香蕉。
A．21 B．11 C．20 D．10
【答案】B
【分析】根据抽屉原理，从最极端情况分析：假设每个孩子得到1根香蕉，这时再多一根香蕉，则至少有1个孩子得到2根香蕉，所以至少有（10＋1）根香蕉。由此解答即可。
【解答】10＋1＝11（根）
老师至少拿来了11根香蕉。
故答案为：B。
【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。
16．一副扑克牌去掉大、小王后，有4种花色，每种花色13张。从中至少抽取（ ）张，才能保证有2张是同一种花色。
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】最坏情况是4种花色各取出一张，此时再取出1张，一定有2张是同一种花色，一共需要取出5张。
【解答】从中至少抽取5张，才能保证有2张是同一种花色。
故答案为：C
【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。
17．将20个苹果放到3个盘子里，总有一个盘子至少放进了（ ）个苹果。
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】根据题意，先将20个苹果平均放到3个盘子里，每个盘子里放6个，还剩下2个，这2个苹果，不管放进哪个盘子里，总有一个盘子至少有7个苹果。
【解答】20÷3＝6（个）……2（个）
6＋1＝7（个）
总有一个盘子至少放进了7个苹果。
故答案为：B
【点评】本题考查鸽巢问题（抽屉问题），根据“至少数＝物体数÷抽屉的个数＋1（有余数的情况下）”解答。
18．六年级甲班59名同学中至少有（ ）名同学是同一个月份出生的。
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】把59名同学看作被分放物体，一年中的12个月份看作抽屉数，被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量……剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1，据此解答。
【解答】一年一共有12个月。
59÷12＝4……11
4＋1＝5（名）
所以，至少有5名同学是同一个月份出生的。
故答案为：B
【点评】本题主要考查利用抽屉原理解决实际问题，找出被分放物体数和抽屉数是解答题目的关键。
19．教室里有10名学生正在做作业，今天有语文、数学和英语三科作业，总有一科作业至少有（ ）名学生在做。
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据题意，把10名学生看作被分配的物体数，三科作业看作3个抽屉，平均每个抽屉先放3名学生，还剩下1名学生，无论放在哪个抽屉，总有一个抽屉至少有（3＋1）名学生在做。
【解答】10÷3＝3（名）……1（名）
3＋1＝4（名）
故答案为：B
【点评】本题是鸽巢问题，采用最不利原则来解题。
20．给一个正方体木块的6个面分别涂色，颜色从红、黄、蓝、绿四种中选择一种或几种。不论怎么涂，至少有（ ）个面涂的颜色相同。
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】把正方体的六个面看作6个被分放物体，四种颜色看作4个抽屉，被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量……剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1，据此解答。
【解答】6÷4＝1（个）……2（个）
1＋1＝2（个）
所以，至少有2个面涂的颜色相同。
故答案为：A
【点评】本题主要考查利用抽屉原理解决实际问题，准确找出抽屉数和被分放物体数是解答题目的关键。
三、解答题
21．为了发展和培养同学们的能力，学校开设了航模、科技、漫画三个社团，规定每个学生最多可以参加其中的两个社团（也可不参加）。那么，至少有多少名学生，才能保证有不少于30名学生参加社团的情况完全相同？
【答案】204名
【分析】根据题意，学生参加社团的情况有：不参加社团的；只参加其中的一个社团的，有航模、科技、漫画3种；参加其中的两个社团的，有航模和科技、航模和漫画、科技和漫画3种。一共有1＋3＋3＝7种情况。把这7种情况看作7个抽屉，从最不利情况考虑，每个抽屉需要放30－1＝29（名）学生，共需要29×7＝203（名），再增加1个学生不论参加什么社团，总有一个抽屉的学生数量是29＋1＝30（名），所以至少有203＋1＝204（名）学生，才能保证有不少于30名学生参加社团的情况完全相同。
【解答】通过分析可得：
1＋3＋3＝7
（30－1）×7＋1
＝29×7＋1
＝203＋1
＝204（名）
答：至少有204名学生，才能保证有不少于30名学生参加社团的情况完全相同。
22．某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几名学生才能保证一定有同学买到相同的书（每种书最多买一本）？
【答案】8名
【分析】首先考虑买书的几种可能性，买一本、二本、三本共有7种类型：
买一本的：有语文、数学、外语3种。
买二本的：有语文和数学、语文和外语、数学和外语3种。
买三本的：有语文、数学和外语1种。
把这7种类型看成7个抽屉，去的人数看作物品。要保证有抽屉里有2人，那么去的人数至少是抽屉数加1。
【解答】抽屉：3＋3＋1＝7（个）
学生：7＋1＝8（名）
答：至少要去8名学生。
23．弘扬书法艺术，宣扬中国传统文化。某小学开设了书法兴趣小组，在这些学生中最大的13岁，最小的7岁，最少从中挑选几名学生，才能保证有两名学生年龄相同？
想：在解决这个问题时，是把（ ）看作抽屉，共有（ ）个抽屉。
我的解答：
【答案】年龄；7；8名
【分析】根据题意可知，在解决这个问题时，是把年龄看作抽屉，共有7个抽屉。所以至少要挑选（7＋1）名学生，才能保证有两名学生年龄相同。
【解答】根据题意，把年龄看作抽屉，共有7个抽屉。
7＋1＝8（名）
答：最少从中挑选8名学生。
24．7名学生去图书馆借书，图书馆有A、B、C三类图书，每名学生最多可以借两本不同类的书，最少可以借一本，那么至少有几名学生所借书的种类完全相同？
【答案】2名
【分析】根据题意可知，有6种不同的借书方式，用7除以6可知商为1，余数也为1，用1＋1即可知道至少有2名学生所借书的种类完全相同。
【解答】7÷6＝1（组）……1（名）
1＋1＝2（名）
答：至少有2名学生所借书的种类完全相同。
25．东东在玩掷骰子游戏（骰子为正方体，六个面上标有1～6个点），东东至少掷几次才能保证有两次的点数相同？请说明理由。
【答案】7次；见详解
【分析】从最有利的情况考虑，掷出2次就可能点数相同。从最不利的情况考虑，如果前6次掷出的点数分别是1、2、3、4、5、6，那么再掷1次无论是几点都能保证有两次的点数相同。
【解答】6＋1＝7（次）
答：东东至少掷7次才能保证有两次的点数相同。因为如果前6次掷出的点数都不相同，那么再掷1次无论是几点都能保证有两次的点数相同。
【点评】根据抽屉原理中的“最不利原则”进行分析是完成本题的关键。
26．1只口袋里装有10个黄球和10个红球（这些球除颜色不同外其它都相同）。小明1次从袋子中摸出3个球。他至少摸几次，才能保证有2次摸出的球相同？
【答案】5次
【分析】小明1次从袋子中摸出3个球，可能是3黄、3红、2黄1红或1黄2红，共4种可能，从最不利的情况考虑，如果前4次各摸出1种可能，那么第5次无论摸出的是哪种情况，都能保证有2次摸出的球相同，据此解答。
【解答】4＋1＝5（次）
答：他至少摸5次，才能保证有2次摸出的球相同。
【点评】本题主要考查鸽巢原理，找出摸出三种球的所有可能性是解答题目的关键。
27．箱子里有大小形状一样的卡片，其中红卡30张，白卡20张，黄卡15张，蓝卡25张，那么最少要从箱子里摸出多少张卡，才能保证摸出的卡有红卡、白卡、黄卡和蓝卡。
【答案】76张
【分析】根据题意，要保证摸出的卡有红卡、白卡、黄卡和蓝卡，按数量从多到小依次是红卡30张、蓝卡25张、白卡20张、黄卡15张；根据最不利原则即运气最差，把数量多的卡依次摸出来，即摸出了30张红卡、25张蓝卡、20张白卡，此时再任意摸一张，一定是黄卡，这时满足摸出的卡有红卡、白卡、黄卡和蓝卡；据此解答。
【解答】30＋25＋20＋1
＝55＋20＋1
＝75＋1
＝76（张）
答：最少要从箱子里摸出76张卡，才能保证摸出的卡有红卡、白卡、黄卡和蓝卡。
【点评】本题考查鸽巣问题，采取最不利原则解题。
28．幼儿园某班有32名小朋友，现有各种玩具108个，把这些玩具全部分给这32名小朋友，总有一名小朋友至少得到多少个玩具？
【答案】4个
【分析】（个）……12（个），将108个玩具平均分给32名小朋友，每名小朋友分到3个，还剩12个。把剩余的12个继续分给32名小朋友中的某几名，总有一名小朋友至少得到个玩具。
【解答】（个）……12（个）
（个）
答∶总有一名小朋友至少得到4个玩具。
【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。
29．学校图书馆有科普读物、故事书、连环画三种图书。每个学生从中借阅两本。那么至少要多少个学生借阅才能保证其中一定有2个人所借阅的图书属于同一种类。
【答案】4个
【分析】首先把科普读物、故事书、连环画三种图书任意两本排列，一共有（科普读物，故事书），（科普读物，连环画），（故事书，连环画）三种情况，看做三个抽屉，只要学生数比抽屉多1就可以达到要求。
【解答】按（科普读物，故事书），（科普读物，连环画），（故事书，连环画）三种情况，构造三个抽屉，
3+1=4（个），
答：至少要4个学生借阅才能保证其中一定有2个人所借阅的图书属于同一种类。
【点评】此题属于典型的抽屉原理习题，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可。
30．一次考试有10道题，每道题的评分标准是：回答完全正确得5分，回答不完全正确得3分；回答错误或不回答得0分．至少有多少人参加考试，才能保证至少有3人得分相同？试说明原因．
【答案】至少有91人参加考试，才能保证至少有3人得分相同
【分析】最低得分为0分，最高得分为50分，分数在0～50分之间，由于1分，2分，4分，7分，47分，49分都不可能出现，所以共有45种得分情况，求至少有多少人参加考试，才能保证至少有3人得分相同，最坏的打算是每种得分情况都有2人，那么再有1个，才能保证至少有3人得分相同，从而得出问题答案．
【解答】最低得分为0分，最高得分为50分，分数在0～50分之间，由于1分，2分，4分，7分，47分，49分都不可能出现，所以共有45种得分情况，
至少：45×2+1=91（人）；
答：至少有91人参加考试，才能保证至少有3人得分相同．
31．有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同。现在请你挑选若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子？
【答案】18个
【分析】找出1~49中，乘积小于100的两个数的组合，根据任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100这一要求，选择出合适的数进行构造。
【解答】将1至49中相乘小于100的两个数，按被乘数分成9组，如下：
（1×2）、（1×3）、（1×4）、…、（1×49）
（2×3）、（2×4）、（2×5）、…、（2×49）
……
（8×9）、（8×10）、（8×11）、（8×12）
（9×10）、（9×11）
因为每个数只能与左右两个数相乘，也就是每个数作为被乘数或乘数最多两次，所以每一组中最多会有两对数出现在圆圈中，最多可以取出18个数对，共18×2＝36次，但是每个数都出现两次，故出现了18个数。
例如：（10×9）、（9×11）、（1×8）、（8×12）、（12×7）、（7×13）、（13×6）、（6×14）、（14×5）、（5×15）、（15×4）、（4×16）、（16 × 3）、（3×17）、（17×2）、（2×18）、（18×1）、（1×10），共出现l~18号，共18个孩子。
若随意选取出19个孩子，那么共有19个号码，由于每个号码数要与旁边两数分别相乘，则会形成19个相乘的数对。
那么在9组中取出19个数时，有19＝9×2＋1，由抽屉原则知，必有三个数对落入同一组中，这样某个数字会在数对中出现三次（或三次以上），由分析知，这是不允许的。故最多挑出18个孩子。
答：最多能挑选出18个孩子。
【点评】本题考查的是抽屉原理的问题，抽屉原理是最不利原则和平均原则的体现。
32．一个袋子里装有白帽子和黄帽子各7顶，闭着眼睛摸。
（1）从袋中至少摸出几顶帽子，才能保证有2顶同色的帽子？
（2）从袋中至少摸出几顶帽子，才能保证有2种颜色的帽子？
【答案】（1）3顶；
（2）8顶
【分析】（1）根据最不利原则考虑，先摸出2顶不同颜色的帽子，此时只要再任意摸出一顶，就能保证有2顶是同色的，即至少要摸出（顶）。
（2）根据最不利原则考虑，先摸出7顶同种颜色的帽子，此时只要再任意摸出一顶，就能保证摸出2种颜色的帽子，即至少要摸（顶）。
【解答】（1）（顶）
答：从袋中至少摸出3顶帽子，才能保证有2顶同色的帽子。
（2）（顶）
答：从袋中至少摸出8顶帽子，才能保证有2种颜色的帽子。
【点评】本题考查了抽屉原理，抽屉原理的解答思路，从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数。
33．10个小朋友相约去游乐场，共有碰碰车、摩天轮、旋转木马三种游乐设施可选择，每个小朋友可选一个游乐设施组合（不重复的两种游乐设施）游玩，至少有几个小朋友选的游乐设施组合相同？
【答案】4个
【分析】根据题意，三种游乐设施可组合成：碰碰车和摩天轮、碰碰车和旋转木马、摩天轮和旋转木马，共有3种组合；把10个小朋友平均分配给3种游乐设施组合，那么每种组合有3个小朋友，还剩下1个小朋友，无论把他放在哪个组合，总有一个组合至少有4个小朋友。
【解答】10÷3＝3（个）……1（个）
3＋1＝4（个）
答：至少有4个小朋友选的游乐设施组合相同。
【点评】本题考查鸽巣问题，采用最不利原则解题。
34．一副扑克牌有四种花色（除去大王和小王），每种13张，从中任意抽出5张，那至少有几张牌花色相同？如果抽出13张牌，那至少有几张牌花色相同？如果抽出24张牌，至少有几张牌花色相同？如果抽出14张牌。那至少有几张牌花色不相同？
【答案】2张；4张；6张；10张
【分析】用物体数除以抽屉数，有余数时，至少数等于商＋1，没有余数时至少数等于商；抽出14张牌，至少有4张花色相同，用14减去4，求出至少有10张牌花色不相同，据此解答即可。
【解答】（1）（张）（张）
（张）
答：那至少有2张牌花色相同；
（2）（张）（张）
（张）
答：那至少有4张牌花色相同；
（3）（张）
答：那至少有6张牌花色相同；
（4）（张）（张）
（张）
（张）
答：那至少有10张牌花色不相同。
【点评】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握鸽巢问题的计算方法。
35．六（1）班有6名同学参加知识竞赛，满分100分。如果他们的成绩中最低分为96分，那么参赛的同学中至少有2人成绩相同。这种说法对吗？六（2）班有7名同学参加知识竞赛，他们的成绩中最低分也是96分，六（2）班参赛的学生中至少有几人成绩相同？（竞赛成绩的分数均为整数）
【答案】对；2人
【分析】得分为整数，最低分是96分，那么得分的可能是96、97、98、99、100分，共5种分数。从最不利的情况考虑，如果前5名同学得分都不相同，那么第6名或第7名无论得分是多少，都至少有2人成绩相同。
【解答】如果5名同学的成绩分别是96、97、98、99、100分，共5种分数；
6÷5＝1（名）……1（名）
1＋1＝2（名）
六（1）班参赛的同学中至少有2人成绩相同，这种说法是对的。
7÷5＝1（名）……2（名）
1＋1＝2（名）
答：六（1）班有6名同学参加，参赛的学生中至少有2人成绩相同，这种说法是对的。
六（2）班有7名同学参加，参赛的学生中至少有2人成绩相同。
【点评】本题考查鸽巣问题，采用最不利原则解答。
36．文学、数学、英语、美术等4个课外学习小组共有51人，它们当中有参加1个、2个、3个和4个课外学习小组的，其中至少有几位同学参加的学习小组相同？
【答案】4位
【分析】文学、数学、英语、美术等4个课外学习小组参加1个课外学习小组的情况数为①文学、②数学、③英语、④美术的4种；参加2个课外学习小组的情况数为①文学、数学、②文学、英语、③文学、美术、④数学、文学、⑤数学、英语、⑥数学、美术的6种；参加3个课外学习小组的情况数为①文学、数学、英语、②文学、数学、美术、③文学、英语、美术、④数学、英语、美术的4种，参加4个课外学习小组的情况数为1种，情况数一共有15种，也就是抽屉数为15，再用物体数除以15，求出商，用商＋1就是至少数。
【解答】情况数一共：（种）
（位）
答：至少有4位同学参加的学习小组相同。
【点评】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握解决鸽巢问题的计算方法。
37．植树节，育才小学有41名老师和381名学生参加义务植树活动。参加植树的老师至少有4人是同一个月出生的。参加植树的学生至少有2人的生日是同一天。他们说得对吗？
【答案】对
【分析】每年有12个月是固定的，每年365天或366天，用41除以12，用381除以365或366，根据是否有余数进行判断。
【解答】
（人）
所以参加植树的老师至少有4人是同一个月出生的；
（人）
不论这一年是多少天，参加植树的学生至少有2人的生日是同一天；
答：他们说得对。
【点评】本题考查的是抽屉原理，解决此类问题，首先要找出抽屉数和总数分别是多少。
38．宁宁到舅舅家去做客。舅妈端出一大盘水果，对他说：“这些都是你爱吃的水果，不过我要先考考你。盘子里有苹果、柚子、菠萝三种水果共12个，其中柚子的个数是菠萝的2倍。随便拿出4个，其中至少有1个苹果，你知道这三种水果各有几个吗？”
【答案】苹果有9个；菠萝有1个；柚子有2个
【分析】根据抽屉原理，随便拿出4个，其中至少有1个苹果，除苹果以外的其它水果共有3个，可知苹果有12－3＝9个，又因为柚子的个数是菠萝的2倍，且柚子与菠萝共有3个，可求得柚子有2个，菠萝有1个，据此解答即可。
【解答】苹果有：12－3＝9（个）
菠萝有：3÷（1＋2）
＝3÷3
＝1 （个）
柚子有：3－1＝2（个）
答：柚子有2个，菠萝有1个，苹果有9个。
【点评】理解抽屉原理，读清题意，运用规律灵活解题。
39．一个盒子里装有黑、白两种颜色的跳棋各10枚。
①从中最少摸出几枚才能保证有2枚颜色相同？
②从中至少摸出几枚，才能保证有3枚颜色相同？
③从中至少摸出几枚，才能保证有7枚颜色相同？
【答案】①3枚；②5枚；③13枚
【分析】①把2种不同颜色看作2个抽屉，把2种不同颜色的跳棋看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放1个，共需要2个，再取出1个不论是什么颜色，总有一个抽屉里的和它同色。
②把2种不同颜色看作2个抽屉，把2种不同颜色的跳棋看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放2个，共需要4个，再取出1个不论是什么颜色，总有一个抽屉里的和它同色。
③把2种不同颜色看作2个抽屉，把2种不同颜色的跳棋看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放6个，共需要12个，再取出1个不论是什么颜色，总有一个抽屉里的和它同色。
【解答】①2＋1＝3（枚）
答：从中最少摸出3枚才能保证有2枚颜色相同。
②2×2＋1
＝4＋1
＝5（枚）
答：从中至少摸出5枚，才能保证有3枚颜色相同。
③6×2＋1
＝12＋1
＝13（枚）
答：从中至少摸出13枚，才能保证有7枚颜色相同。
【点评】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“抽屉原理1：把多于n＋1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。”
40．从一副扑克牌（去掉大、小王）中抽牌。
（1）要想抽出的牌中一定有2张不同花色的，至少要抽几张？
（2）要想抽出的牌中一定有2张同种花色的，至少要抽几张？
（3）要想抽出的牌中一定有2张同样点数的，至少要抽几张？
（4）要想抽出的牌中一定有2张梅花，至少要抽几张？
【答案】（1）14张；（2）5张；（3）14张；（4）41张。
【分析】（1）每种花色都有13张牌，最不理想的情况下，先抽出13张同种花色的牌，再任抽1张，一定有2张不同花色的牌。所以至少要抽（张）。
（2）一副扑克牌有红桃、梅花、黑桃和方片四种花色，要想抽出的牌中一定有2张同种花色的，最不理想的情况下，先抽4张，每种花色抽到1张，再抽1张，无论是什么花色的，都能保证一定有2张同种花色的。
（3）一副扑克牌有13种点数，要想抽出的牌中一定有2张同样点数的，最不理想的情况下，先抽13张，点数各不相同，再抽1张，无论是什么点数的，都能保证一定有2张同样点数的。
（4）一副扑克牌中四种花色的牌各有13张，最不理想的情况下，抽39张都不是梅花，再抽2张一定都是梅花，所以至少要抽41张，才能保证一定有2张梅花。
【解答】（1）（张）
答:至少要抽14张。
（2）（张）
答:至少要抽5张。
（3）（张）
答:至少要抽14张。
（4）13×3＋2
＝39＋2
＝41（张）
答:至少要抽41张。
【点评】此类问题关键是根据花色、颜色、点数的张数与种类，建立抽屉，这里要注意考虑最差情况。
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)2025年小升初数学总复习·核心考点·经典题型冲刺特训
专题37 鸽巢问题
（思维导图+知识梳理+40道真题特训）
1、把n+1(n是大于0的自然数)个物体放进n个“鸽笼”中，总有一个“鸽笼”至少放进了2个物体。
2、把多于kn(k、n都是大于0的自然数)个物体放进n个“鸽笼”中，总有一个“鸽笼”至少放进(k+1)个物体。
3、如果有n(n是大于0的自然数)个“鸽笼”，要保证有一个“鸽笼”至少放进了2个物品，那么至少需要有n+1个物品。
4、如果有n(n是大于0的自然数)个“鸽笼”，要保证有一个“鸽笼”至少放进了(k+1)(k是大于0的自然数)个物品，那么至少需要有(kn+1)个物品。
5、(分放的物体总数-1)÷(其中一个鸽笼里至少有的物体个数-1)=a……b(b6、利用“鸽巢问题”解决问题的思路和方法:①构造“鸽巢”，建立“数学模型”;②把物体放入“鸽巢”，进行比较分析;③说明理由，得出结论。
一、填空题
1．口袋里有6个白球和3个黑球，它们只有颜色不同。要保证摸出2个白球，至少一次摸出（ ）个球；要保证摸出2个同色球，至少一次摸出（ ）个球。
2．端午节是中国首个入选世界非遗的节日，各地都有包粽子的习俗。小明、倩倩两家制作了三种口味粽子的数量如表。从小明家的粽子里任意拿一个吃，吃到（ ）口味的可能性最大。从倩倩家粽子里至少从中拿出（ ）个才能保证有2个粽子的口味是相同的。
种类 小明 倩倩
豆沙 15个 15个
红枣 10个 15个
花生 5个 15个
3．有红、黄、蓝、紫4种颜色的帽子各5顶放入一个盒子里。要保证取出的帽子有2种颜色，至少应取出（ ）顶帽子；要保证取出的帽子中至少有2顶是同色的，至少应取出（ ）顶帽子。
4．有2016名学生参加了某次数学竞赛，试题一共12道填空题，每做对一题得10分，不做或做错均得0分。这次考试至少有（ ）名学生的分数是相同的。
5．六年级有100名同学订阅A、B、C三种杂志。如果他们都只订阅了其中一种，至少有（ ）名同学订阅的杂志种类相同；如果他们订阅了其中的一种或两种杂志，至少有（ ）名同学订阅的杂志种类相同。
6．“全城志愿”正成为鹿城文明新风尚，某志愿小队有25名队员，那么他们中至少有（ ）人是同一个月出生的。在他们中选择5人担任小组长，那么至少有（ ）人的性别是相同的。
7．贤鲁岛是以“生态花岛＋水乡人家”为主题的生态旅游度假区，学校组织50名同学参观贤鲁岛上的“万顷园艺世界”、“鲁岗村”、“贤僚村”三个景点。行程安排每人至少参观一个景点，那么至少有（ ）人游玩的景点相同。
8．把红、黄、蓝三种颜色的袜子各10只混合在一起。如果让你闭上眼睛，最少拿出（ ）只才能保证一定有一双同色的袜子。如果要保证有两双同色的袜子，则至少要拿出（ ）只。
9．“六一”儿童节那天，幼儿园买来了许多的苹果、桃子、桔子和香蕉，每个小朋友可以任意选择一种水果，那么至少要有（ ）个小朋友才能保证有两人选的水果是相同的。
10．从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中至少抽出（ ）张，才能保证至少有2张是不同花色的；至少抽出（ ）张，才能保证至少有2张是相同花色的。
二、选择题
11．运动会上，在5分钟投篮比赛中，六（2）班的10名同学共投中了83个，总有一名队员至少投中（ ）个球。
A．7 B．8 C．9 D．10
12．口袋里有9个红球、4个白球、1个黑球，球除颜色外完全相同，每次从中摸一个球不放回，至少要摸出（ ）个球，才能保证取到的球里有两个颜色相同。
A．2 B．5 C．10 D．4
13．有红、白、蓝三种颜色的卡片各5张，至少随意抽取（ ）张卡片，才能保证取到两张不同颜色的卡片。
A．3 B．4 C．5 D．6
14．六年级1班的一个书架分上、中、下三层，李老师把新买的31本书放入书架，放书最多的一层至少要放（ ）本书。
A．9 B．10 C．11 D．12
15．幼儿园老师给10个孩子分香蕉，无论怎么分总有一个孩子至少分到2根香蕉，老师至少拿来了（ ）根香蕉。
A．21 B．11 C．20 D．10
16．一副扑克牌去掉大、小王后，有4种花色，每种花色13张。从中至少抽取（ ）张，才能保证有2张是同一种花色。
A．3 B．4 C．5 D．6
17．将20个苹果放到3个盘子里，总有一个盘子至少放进了（ ）个苹果。
A．6 B．7 C．8 D．9
18．六年级甲班59名同学中至少有（ ）名同学是同一个月份出生的。
A．4 B．5 C．6 D．7
19．教室里有10名学生正在做作业，今天有语文、数学和英语三科作业，总有一科作业至少有（ ）名学生在做。
A．3 B．4 C．5 D．6
20．给一个正方体木块的6个面分别涂色，颜色从红、黄、蓝、绿四种中选择一种或几种。不论怎么涂，至少有（ ）个面涂的颜色相同。
A．2 B．3 C．4 D．5
三、解答题
21．为了发展和培养同学们的能力，学校开设了航模、科技、漫画三个社团，规定每个学生最多可以参加其中的两个社团（也可不参加）。那么，至少有多少名学生，才能保证有不少于30名学生参加社团的情况完全相同？
22．某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几名学生才能保证一定有同学买到相同的书（每种书最多买一本）？
23．弘扬书法艺术，宣扬中国传统文化。某小学开设了书法兴趣小组，在这些学生中最大的13岁，最小的7岁，最少从中挑选几名学生，才能保证有两名学生年龄相同？
想：在解决这个问题时，是把（ ）看作抽屉，共有（ ）个抽屉。
我的解答：
24．7名学生去图书馆借书，图书馆有A、B、C三类图书，每名学生最多可以借两本不同类的书，最少可以借一本，那么至少有几名学生所借书的种类完全相同？
25．东东在玩掷骰子游戏（骰子为正方体，六个面上标有1～6个点），东东至少掷几次才能保证有两次的点数相同？请说明理由。
26．1只口袋里装有10个黄球和10个红球（这些球除颜色不同外其它都相同）。小明1次从袋子中摸出3个球。他至少摸几次，才能保证有2次摸出的球相同？
27．箱子里有大小形状一样的卡片，其中红卡30张，白卡20张，黄卡15张，蓝卡25张，那么最少要从箱子里摸出多少张卡，才能保证摸出的卡有红卡、白卡、黄卡和蓝卡。
28．幼儿园某班有32名小朋友，现有各种玩具108个，把这些玩具全部分给这32名小朋友，总有一名小朋友至少得到多少个玩具？
29．学校图书馆有科普读物、故事书、连环画三种图书。每个学生从中借阅两本。那么至少要多少个学生借阅才能保证其中一定有2个人所借阅的图书属于同一种类。
30．一次考试有10道题，每道题的评分标准是：回答完全正确得5分，回答不完全正确得3分；回答错误或不回答得0分．至少有多少人参加考试，才能保证至少有3人得分相同？试说明原因．
31．有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同。现在请你挑选若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子？
32．一个袋子里装有白帽子和黄帽子各7顶，闭着眼睛摸。
（1）从袋中至少摸出几顶帽子，才能保证有2顶同色的帽子？
（2）从袋中至少摸出几顶帽子，才能保证有2种颜色的帽子？
33．10个小朋友相约去游乐场，共有碰碰车、摩天轮、旋转木马三种游乐设施可选择，每个小朋友可选一个游乐设施组合（不重复的两种游乐设施）游玩，至少有几个小朋友选的游乐设施组合相同？
34．一副扑克牌有四种花色（除去大王和小王），每种13张，从中任意抽出5张，那至少有几张牌花色相同？如果抽出13张牌，那至少有几张牌花色相同？如果抽出24张牌，至少有几张牌花色相同？如果抽出14张牌。那至少有几张牌花色不相同？
35．六（1）班有6名同学参加知识竞赛，满分100分。如果他们的成绩中最低分为96分，那么参赛的同学中至少有2人成绩相同。这种说法对吗？六（2）班有7名同学参加知识竞赛，他们的成绩中最低分也是96分，六（2）班参赛的学生中至少有几人成绩相同？（竞赛成绩的分数均为整数）
36．文学、数学、英语、美术等4个课外学习小组共有51人，它们当中有参加1个、2个、3个和4个课外学习小组的，其中至少有几位同学参加的学习小组相同？
37．植树节，育才小学有41名老师和381名学生参加义务植树活动。参加植树的老师至少有4人是同一个月出生的。参加植树的学生至少有2人的生日是同一天。他们说得对吗？
38．宁宁到舅舅家去做客。舅妈端出一大盘水果，对他说：“这些都是你爱吃的水果，不过我要先考考你。盘子里有苹果、柚子、菠萝三种水果共12个，其中柚子的个数是菠萝的2倍。随便拿出4个，其中至少有1个苹果，你知道这三种水果各有几个吗？”
39．一个盒子里装有黑、白两种颜色的跳棋各10枚。
①从中最少摸出几枚才能保证有2枚颜色相同？
②从中至少摸出几枚，才能保证有3枚颜色相同？
③从中至少摸出几枚，才能保证有7枚颜色相同？
40．从一副扑克牌（去掉大、小王）中抽牌。
（1）要想抽出的牌中一定有2张不同花色的，至少要抽几张？
（2）要想抽出的牌中一定有2张同种花色的，至少要抽几张？
（3）要想抽出的牌中一定有2张同样点数的，至少要抽几张？
（4）要想抽出的牌中一定有2张梅花，至少要抽几张？
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