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第3讲 分数问题（一）强化训练
一．选择题（共10小题）
1．如图所示各图中的圆表示“1”，则的和最接近图（　　）中的阴影部分。
A． B． C． D．
2．计算+++++++……，照这样不断加下去，总和接近（　　）
A．1 B．2 C．10 D．100
3．将2000减去它的，再减去余下的，又减去余下的，…最后减去余下的，结果是（　　）
A．1 B．20 C．200 D．2000
4．将一根绳子截断，第一段占这根绳子的，第二段长米，这两段绳子相比（　　）
A．第一段长 B．第二段长 C．一样长 D．无法比较
5．甲、乙两人进行骑车比赛，同时出发，当甲骑到全程的，乙骑到全程的时，这时两人相距70米，如果继续按各人的速度骑下去，当甲到达终点时，两人最大距离是（　　）
A．1600米 B．70米 C．80米 D．无法确定
6．在，，，这四个数中，最大的数是（　　）
A． B． C． D．
7．从，，，，中去掉两个数，使得剩下的三个数之和与最接近，去掉的两个数是（　　）
A．， B．， C．， D．，
8．再加上（　　）后，结果就是1．
A． B． C．
9．有三堆棋子，每堆棋子42枚，并且只有黑白两色棋子．第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占，把这三堆棋子集中在一起，白棋子占全部棋子的（　　）
A． B． C． D．
10．已知a、b、c三个数均大于0，且a＞b＞c,下列式子正确的是（　　）
A．＞1 B．＞1 C．＜1 D．＜1
二．填空题（共5小题）
11．把下列分数按大小顺序排列：，，，，______．
12．比较、、的大小（n＞0）：______．
13．我们把分子为1的分数称为“单位分数”，一个单位分数可以分成两个单位分数之和，例如，请将分成两个分母不同的单位分数之和：=______．
14．如果a和b都是非零自然数，并且满足，那么a+b=______．
15．某校美术社团原有2个班，现在要重新编为3个班，将原一班的与原二班的组成新一班，将原一班的与原二班的组成新二班，余下的30人组成新三班。如果新一班的人数比新二班的人数多10%，那么新一班有 ______人。
三．应用题（共5小题）
16．在一次200米达标检测中，小丽用了分钟，小杰用了分钟，小峰用了0.6分钟。谁跑得最快？
明天就是我国的传统节日“端午节”，小卖部的王阿姨准备了一些红枣粽子和蛋黄粽子，如果红枣粽子增加，这时红枣粽子和蛋黄粽子的数量比是3：4；如果红枣粽子增加50%，蛋黄粽子减少5个，红枣粽子和蛋黄粽子的数量刚好相等。王阿姨一共准备了多少个红枣粽子？
甲、乙、丙、丁四人平均有36本课外书，甲的本数是乙的，乙的本数是丙的，丁比甲多3本。
（1）丙有多少本课外书？
（2）丙的课外书中，故事书占，科技书占除故事书外其他书的，绘画书占故事书与科技书总本数的一半，绘画书有多少本？
因为1-=，，，所以=1-=，=1-=
（1）依照这个规律，你能写出下一道这样的算式与计算过程吗？
（2）根据这个规律计算下面算式。
++
20．某出租车公司有出租车100辆，平均每天每辆出租车消耗的汽油费为140元，为了充分利用当地丰富的天然气资源，该公司决定安装改烧汽油为天然气的装置。公司第一次改装部分出租车后核算，已改装的车辆每天的燃料费占剩下没有改装车辆每天燃料费的。
（1）设第一次改装的出租车为x辆，试用含x的代数式表示改装后的车辆每天的燃料费。
（2）若公司第二次改装同样多的出租车后，所有改装后的车辆每天的燃料费占剩下没有改装车辆每天燃料费的，问：该公司两次共改装了多少辆出租车？
（3）若每辆车的改装费为8400元，公司全部车辆的改装费用向银行贷款，对银行实行分期还款形式，首次（第一年）还款为14万元，从第二年起，以后每年还款为5万元与上一年剩余欠款的利息之和。已知剩余款的贷款年利率为5%，问：第几年公司需还款6万元？
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一．选择题（共10小题）
1．如图所示各图中的圆表示“1”，则的和最接近图（　　）中的阴影部分。
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把圆平均分成360份，就是把圆以圆周角来分，就是其中的60份，就是其中的45份，是其中的40份，是其中的36份，则的和是其中181份又份，也就是占圆面积的一半又.。
【解答】解：
=++++
=+
+＞
故选：C。
2．计算+++++++……，照这样不断加下去，总和接近（　　）
A．1 B．2 C．10 D．100
【答案】A
【分析】根据拆项公式：，拆项后通过加减相互抵消，根据分母越大分数值越小即可确定这个算式的和越来越接近1。
【解答】解：+++++……
=1-++-+++……+
=1-
当n的值越来越大，那么越接近0，
所以1-就越接近1，
所以照这样的规律加下去，这个算式的和越来越接近 1。
故选：A。
3．将2000减去它的，再减去余下的，又减去余下的，…最后减去余下的，结果是（　　）
A．1 B．20 C．200 D．2000
【答案】B
【分析】先列出算式为2000×（1-）×（1-）×（1-）×…×（1-）然后求出各个括号内的得数，这时可以通过约分，即可得出答案．
【解答】解：根据题意列式得，
第一次剩下：2000×（1-）
第二次剩下：2000×（1-）×（1-）
第三次剩下：2000×（1-）×（1-）×（1-）
…
最后一次剩下：2000×（1-）×（1-）×（1-）×（1-）
=2000××××…××
=2000×
=20．
故选：B．
4．将一根绳子截断，第一段占这根绳子的，第二段长米，这两段绳子相比（　　）
A．第一段长 B．第二段长 C．一样长 D．无法比较
【答案】A
【分析】第一段占这根绳子的，是把全长看成单位“1”，第一段占这根绳子的，那么第二段就占这根绳子的1-=，比较这两段绳子占全长的分率即可求解。
【解答】解：第一段占这根绳子的，
第二段占这根绳子的1-=，
＞
答：这两段绳子相比第一段长。
故选：A。
5．甲、乙两人进行骑车比赛，同时出发，当甲骑到全程的，乙骑到全程的时，这时两人相距70米，如果继续按各人的速度骑下去，当甲到达终点时，两人最大距离是（　　）
A．1600米 B．70米 C．80米 D．无法确定
【答案】C
【分析】，当甲骑到全程的，乙骑到全程的时，这时两人相距70米，则70米占全程的-，则全程是70÷（-）=1680米，又相同时间内，甲骑到全程的，乙骑到全程的，则两人的速度比是：=21：20，所以，当甲到达终点时，两人最大距离是1680×（1-）米．
【解答】解：：=21：20
=70÷（-）×（1-）
=70×
=80（米）
答：两人最大距离是80米．
故选：C．
6．在，，，这四个数中，最大的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】因为假分数的值都大于真分数的值，比较题中两个假分数的大小，把假分数化成带分数，带分数的整数部分相同，只要比较带分数的真分数即可。
【解答】解：=1
=1
因为＞
所以＞
所以在，，，这四个数中，最大的数是。
故选：A。
7．从，，，，中去掉两个数，使得剩下的三个数之和与最接近，去掉的两个数是（　　）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】这五个数的总和为1.45，≈0.857，1.45比0.857大0.593，所以从五个数当中选出两个，使它们的和接近0.593，比较后即可求解。
【解答】解：++++=++=1=1.45
≈0.857
1.45-0.857=0.593
+=0.7
+≈0.67
+≈0.583
+≈0.367
所以只有和的和最接近0.593，去掉和这两个数，剩下的三个数之和与最接近。
故选：C。
8．再加上（　　）后，结果就是1．
A． B． C．
【答案】B
【分析】根据分数拆项公式拆项后，通过加减相互抵消即可简算，然后再与1作差。
【解答】解：+++++
=1-+-+-+-+-+-
=1-
1-（1-）=
故选：B。
9．有三堆棋子，每堆棋子42枚，并且只有黑白两色棋子．第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占，把这三堆棋子集中在一起，白棋子占全部棋子的（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】因为每堆棋子的数量相等都是42个，第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多设为a个，那么第一堆的白子就是42-a个，第一堆和第二堆的白子数量就是42-a+a=42个；
根据第三堆黑子占，可知第三堆的白子就是42的（1-），由此用乘法求出第三堆的白子，然后把三堆的白子相加求出白子的总数量，再求出棋子的总数量，用白子的总数量除以棋子的总数量即可求解．
【解答】解：第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，那么这两堆中白子就是这两堆总数量的一半，是42个；
第三堆的白子：
42×（1-）
=42×
=24（个）
（42+24）÷（42×3）
=66÷126
=
答：白棋子占全部棋子的．
故选：A．
10．已知a、b、c三个数均大于0，且a＞b＞c,下列式子正确的是（　　）
A．＞1 B．＞1 C．＜1 D．＜1
【答案】B
【分析】观察选项，发现是一些分数与1比较大小，如果是一个分子大于分母的假分数，那么这个数就大于1，如果是分子小于分母的真分数这个数就小于1，所以只要比较每个分数的分子与分母的大小关系即可判断．
【解答】解：因为只知道a＞b＞c,
所以无法比较a与b+c的大小；
即：选项A、D中与1的大小关系无法比较；
同理也无法得出a与b×c的大小关系；
选项C中与1的大小关系无法比较；
a最大，那么a一定大于b-c的差；
即：的分子大于分母，＞1是正确的．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．把下列分数按大小顺序排列：，，，，______．
【答案】见试题解答内容
【分析】把分数的分子都化为相同的数，而2，5，15，10，12的最小公倍数是60，根据分数的基本性质，分子扩大多少倍，分母就扩大多少倍，再利用分子相同时，分母大的分数反而小即可．
【解答】解：因为：
==
==
==
==
==
且90＜92＜95＜96＜102
所以：＞＞＞＞
故答案为：＞＞＞＞．
12．比较、、的大小（n＞0）：______．
【答案】见试题解答内容
【分析】把、、这三个分数转化成分子相同的分数，再根据同分子分数大小比较的方法进行比较．据此解答．
【解答】解：=，
=，
=，
因分子相同，18n+12＞16n+12＞15n+12，
所以＜＜．
故答案为：＜＜．
13．我们把分子为1的分数称为“单位分数”，一个单位分数可以分成两个单位分数之和，例如，请将分成两个分母不同的单位分数之和：=______．
【分析】先把的分子和分母同时乘3，变成，看能否分成两个不同的分数单位之和，如果不能，再同时乘4，化成分母是12的分数看能否分成两个不同的分数单位之和，如果不能再同时乘5……．
【解答】解：=
不能分成两个不同的分数单位之和；
==+=+
所以：将分成两个分母不同的单位分数之和：=+．
故答案为：．
14．如果a和b都是非零自然数，并且满足，那么a+b=______．
【分析】由可变形为：7a+4b=27，因为a和b都是非零的自然数，这里只要求出这个二元一次方程的整数解即可．
【解答】解：可变形为：7a+4b=27，即b=，
因为a和b都是非零的自然数，所以a＞0，7a＜27，
即0＜a＜，那么a是1，2，3，
则a=1时，b=5，
a+b=1+5=6；
a=2时，b=（不合题意舍去）；
a=3时，b=1.5（不合题意舍去）．
故a+b=6．
故答案为：6．
15．某校美术社团原有2个班，现在要重新编为3个班，将原一班的与原二班的组成新一班，将原一班的与原二班的组成新二班，余下的30人组成新三班。如果新一班的人数比新二班的人数多10%，那么新一班有 ______人。
【答案】22。
【分析】由题意可知，原一班的与原二班的+原一班的+与原二班的=总人数，所以余下的30人占总人数的1-=，所以总人数有30+=72（人）；72-30=42（人），即新一班与新二班的人数和为42人，新一班的人数比新二班的人数多10%，则新二班的人数是42÷（1+1+10%）=20（人），则新一班有42-20=22（人），据此解答。.
【解答】解：原一班和二班总人数：
30÷（1--）
=30÷
=72（人）
新一班和二班总人数：72-30=42（人）
新二班的人数：
42÷（1+1+10%）
=42÷2.1
=20（人）
新一班的人数：42-20=22（人）
答：新一班有22人。
故答案为：22。
三．应用题（共5小题）
16．在一次200米达标检测中，小丽用了分钟，小杰用了分钟，小峰用了0.6分钟。谁跑得最快？
【答案】小峰。
【分析】根据题意，都是跑200米，比较三人跑的时间，时间越短，速度越快，由此求解。
【解答】解：=
0.6==
＜＜，所以：0.6分钟＜分钟＜分钟
小峰用的时间最短，所以小峰跑的最快。
17．明天就是我国的传统节日“端午节”，小卖部的王阿姨准备了一些红枣粽子和蛋黄粽子，如果红枣粽子增加，这时红枣粽子和蛋黄粽子的数量比是3：4；如果红枣粽子增加50%，蛋黄粽子减少5个，红枣粽子和蛋黄粽子的数量刚好相等。王阿姨一共准备了多少个红枣粽子？
【答案】30个。
【分析】读题发现一个很明显的等量关系，“红枣粽子和蛋黄粽子的数量刚好相等”可以根据这一等量关系列方程求解；设原来红枣粽子的数量是x个，它的数量增加后，就是（1+）x个，这时红枣粽子和蛋黄粽子的数量比是3：4，也就是这时蛋黄粽子的数量是红枣粽子的，用（1+）x乘就是蛋黄粽子的个数，再减去5个，就是后来蛋黄粽子的个数，后来红枣粽子增加50%，那么后来红枣粽子的个数就是（1+50%）x个，这与后来蛋黄粽子的个数相等，由此列出方程求解。
【解答】解：设王阿姨一共准备了x个红枣粽子。
（1+）x×-5=（1+50%）x
x×-5=1.5x
x-1.5x=5
x=5
x=30
答：王阿姨一共准备了30个红枣粽子。
18．甲、乙、丙、丁四人平均有36本课外书，甲的本数是乙的，乙的本数是丙的，丁比甲多3本。
（1）丙有多少本课外书？
（2）丙的课外书中，故事书占，科技书占除故事书外其他书的，绘画书占故事书与科技书总本数的一半，绘画书有多少本？
【答案】（1）36本；（2）9本。
【分析】（1）由题意可知，丁比甲多3本，如果把丁和甲看成同样多，则新的总数就是36×4-3=141（本）；甲的本数是乙的，则甲与乙的本数比是2：3，乙的本数是丙的，乙与丙的本数比是5：4，3：2=10：15，5：4=15：12，甲、乙、丙的本数比是10：15：12，那么在新的总数中，甲，乙，丙、丁四人的课外书本数之比是10：15：12：10，丙占新总数的，用新总数乘这个分率即可求出丙的本数；
（2）先把丙的课外书的本数看成单位“1”，故事书占，用总本数乘这个分率即可求出故事书的本数，再把除故事书外其他书的本数看成单位“1”，科技书占除故事书外其他书的，再用乘法求出科技书的本数，然后把科技书和故事书的本数相加，再乘，就是绘画书的本数。
【解答】解：（1）如果丁的本数和甲的本数同样多，总本数就是：
36×4-3
=144-3
=141（本）
甲：乙=2：3=10：15
乙：丙=5：4=15：12
甲：乙：丙：丁=10：15：12：10
141×=36（本）
答：丙有36本课外书。
（2）36×=9（本）
（36-9）×=9（本）
（9+9）×=9（本）
答：绘画书有9本。
19．因为1-=，，，所以=1-=，=1-=
（1）依照这个规律，你能写出下一道这样的算式与计算过程吗？
（2）根据这个规律计算下面算式。
++
【答案】（1）；（2）。
【分析】（1）根据题干信息，前两个式子是+和++，且1-=，-=，-=，所以下一个式子的第三加数应等于-，即，下一个式子是：+++，根据规律计算即可；
（2）因为=-，所以++=-+-+-，据此计算出结果即可。
【解答】解：（1）+++
=1-+-+-+-
=1-
=
（2）++
=-+-+-
=-
=
20．某出租车公司有出租车100辆，平均每天每辆出租车消耗的汽油费为140元，为了充分利用当地丰富的天然气资源，该公司决定安装改烧汽油为天然气的装置。公司第一次改装部分出租车后核算，已改装的车辆每天的燃料费占剩下没有改装车辆每天燃料费的。
（1）设第一次改装的出租车为x辆，试用含x的代数式表示改装后的车辆每天的燃料费。
（2）若公司第二次改装同样多的出租车后，所有改装后的车辆每天的燃料费占剩下没有改装车辆每天燃料费的，问：该公司两次共改装了多少辆出租车？
（3）若每辆车的改装费为8400元，公司全部车辆的改装费用向银行贷款，对银行实行分期还款形式，首次（第一年）还款为14万元，从第二年起，以后每年还款为5万元与上一年剩余欠款的利息之和。已知剩余款的贷款年利率为5%，问：第几年公司需还款6万元？
【答案】（1）2100-21x；
（2）40辆；
（3）6万元。
【分析】（1）未改装车辆每辆每天的燃料费×未改装车辆数量=未改装车辆总的燃油费，未改装车辆总的燃油费×=已改装车辆总的燃油费，据此表示出已改装车辆每辆每天的燃油费即可；
（2）根据（1）中的结果列出方程求解即可；
（3）第n年的还款额可以表示为5+[70-5（n-2）]×5%，据此列出方程求解即可。
【解答】解：（1）（100-x）×140×
=（2100-21x）元
答：改装后的车辆每天燃料费为（2100-21x）元。
（2）设公司每次改装的车辆数为x辆。
2（2100-21x）=140×（100-2x）×
2100-21x=28（100-2x）
2100-21x=2800-56x
35x=700
x=20
20×2=40（辆）
答：两次共改装了40辆出租车。
（3）设第n年公司需还款6万元。
5+[70-5（n-2）]×5%=6
[70-5（n-2）]×5%=1
70-5（n-2）=20
70-5n+10=20
5n=60
n=12
答：第12年公司需要还款6万元。
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