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第5讲 计数问题（一） 强化训练
一．选择题（共10小题）
1．运动会上，在5分钟投篮比赛中，六年（1）班的10名同学共投中了82个，总有一名队员至少投中（　　）个球。
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】将10名同学作为抽屉，将82个球放入抽屉中，利用抽屉原理最差情况：要使每个抽屉里的个数最少，只要使每个抽屉里的元素数尽量平均分即可。
【解答】解：82÷10=8（个）……2（个）
8+1=9（个）
答：总有一名队员至少投中9个球。
故选：C。
2．图书角书架分上、中、下三层，明明把新买的16本书放入书架，放书最多的一层至少要放入（　　）本书。
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】D
【分析】在此类抽屉问题中，至少数=被分配的物体数除以抽屉数的商+1（有余的情况下）。在本题中，被分配的物体数是16，抽屉数是3，据此计算即可。
【解答】解：16÷3=5（本）……1（本）
5+1=6（本）
答：放书最多的一层至少要放入6本书。
故选：D。
3．某饭店推出新菜系，荤菜有：红烧肉、糖醋排骨；素菜有：烧茄子、麻辣豆腐、香菇油菜．小亮想买一道荤菜一道素菜，有（　　）种不同的搭配方法．
A．6 B．5 C．4
【答案】A
【分析】先考虑荤菜有2种选择，每一种荤菜和素菜有3种搭配方法，则2种荤菜和3种素菜共有3×2=6（种）搭配方法．
【解答】解：3×2=6（种）；
答：一共有6种不同配菜方法．
故选：A．
4．体育比赛中，小王、小李、小张获得了前三名，名次没有并列，他们三人获得前三名的情况共有（　　）
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
【答案】A
【分析】如果先确定第一名，有3种选择；那么第二名就有2种选择；第三名就有1种选择；然后根据乘法原理，就可求出获得前三名的可能不同的情况，即3×2×1，然后解答即可．
【解答】解：因为没有并列名次，所以可得：
3×2×1=6（种）
答：他们三人获得前三名的情况共有6种．
故选：A．
5．一把钥匙开一把锁，现有3把钥匙和3把锁弄混了，最多试开（　　）次，就能把锁和钥匙配起来．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】首先开第一把锁，最多需要两次即可，开第二把锁只要一次即可，由此相加解决问题．
【解答】解：2+1=3（次）；
答：最多试开3次，就能把锁和钥匙配起来．
故选：A．
6．某次比赛中三（1）班获得“阅读之星”称号的有22人，获得“速算小能手”称号的有35人，两种称号都获得的有15人，全班每人至少获得了一种称号。三（1）班一共有（　　）人。
A．57 B．62 C．42 D．55
【答案】C
【分析】由题可得，用获得“阅读之星”称号的人数加上获得“速算小能手”称号的人数，再减去两种称号都获得的人数，即可求出总人数。
【解答】解：22+35-15
=57-15
=42（人）
答：三（1）班一共有42人。
故选：C。
7．三年级1班有25人订《学写作文》，有18人订《数学报》，有10人这两种杂志都订了。订这两种杂志的学生共有（　　）人。
A．43 B．33 C．34 D．5
【答案】B
【分析】根据“A类人数+B类人数-既A又B人数”求出该班人数即可。
【解答】解：25+18-10=33（人）
答：订这两种杂志的学生共有33人。
故选：B。
8．垃圾一般分为：有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾、可回收垃圾。依依把10件垃圾分类投放，总有一个垃圾桶至少投放了（　　）件垃圾。
A．3 B．4 C．5
【答案】A
【分析】把4类垃圾看作4个抽屉，把10件垃圾看作10个元素，利用抽屉原理最差情况：要使同一月出生的人数最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均分即可。
【解答】解：10÷4=2（件）……2（件）
2+1=3（件）
答：总有一个垃圾桶至少投放了3件垃圾。
故选：A。
9．高老师有件事要通知24名同学，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，最少用（　　）分钟就能通知到每个人．
A．24 B．12 C．6 D．5
【答案】D
【分析】第一分钟老师和学生一共有2人；
第二分钟老师和学生每人都通知一人，又增加了1×2=2人，第二分钟老师和学生一共有：2+2=4=2×2人；
第三分钟老师和学生每人都通知一人，又增加了1×4=4人，第二分钟老师和学生一共有：4+4=8=2×2×2人；
第四分钟老师和学生每人都通知一人，又增加了1×8=8人，第二分钟老师和学生一共有：8+8=16=2×2×2×2人；
同理，每次通知的学生和老师的总人数，总是前一次的2倍，
所以，2×2×2×2＜24+1＜2×2×2×2×2，因此，4分钟通知不完，只能5分钟；所以最少用5分钟就能通知到每个人．
【解答】解：根据分析可知：每增加1分钟收到通知的学生和老师的人数是前一分钟收到通知的学生和老师的人数的2倍，
所以2×2×2×2＜24+1＜2×2×2×2×2，即16＜25＜32；
因此，4分钟通知不完，只能5分钟；所以最少用5分钟就能通知到每个人．
故选：D．
10．三（1）班共有48名学生，喜欢唱歌的有26人，喜欢跳舞的有28人。图中①、②、③处应填的数分别是（　　）
A．26，48，28 B．20，6，22 C．26，6，28 D．无法确定
【答案】B
【分析】喜欢唱歌的人数+喜欢跳舞的人数-总人数=两种都喜欢的人数；喜欢唱歌的人数-两种都喜欢的人数=只喜欢唱歌的人数，喜欢跳舞的人数-两种都喜欢的人数=只喜欢跳舞的人数，据此选择即可。
【解答】解：两种都喜欢的人数：
26+28-48
=54-48
=6（人）
只喜欢唱歌的人数：26-6=20（人）
只喜欢跳舞的人数：28-6=22（人）
结合选项，图中①、②、③处应填的数分别是20，6，22。
故选：B。
二．填空题（共5小题）
11．小丁，小亮，小敏3位同学排成一排照相，共有______种排法．如果从他们三个人中任选两人参加校文艺队，有______种不同的选法．
【分析】（1）分3步，先排左边，有3种排法；再排中间，有2种排法；再排右边，有1种排法，根据乘法原理可得，共有3×2×1=6种．
（2）如果从他们三个人中任选两人参加校文艺队，每个同学都可以和另外2个人组合，共有3×2=6种组合，因为重复计算了一次，所以再除以2即可．
【解答】解：（1）3×2×1=6（种）
答：共有6种不同的排法．
（2）3×（3-1）÷2
=6÷2
=3（种）
答：如果从他们三个人中任选两人参加校文艺队，有3种不同的选法．
故答案为：6，3．
12．将1，2，3，4，5分别填入图中的格子，要求填在黑格里的数比它旁边的两个数都大．共有 ______种不同的填法．
【分析】5，4填在黑格里，根据乘法原理共有6×2=12种填法；5，3填在黑格里，根据乘法原理共有2×2=4种填法；根据加法原理可得共有12+4=16种填法．
【解答】解：5，4填在黑格里，有6×2=12种；
5，3填在黑格里，有2×2=4种；
12+4=16种．
故答案为：16．
13．望谟县位于黔西南州东部，因布依方言“王母”谐音而得名。2024年贵州望谟“三月三”第二届乡村山地马拉松设置四个项目，共计1350人，总有一个项目至少有 ______人参跑。
【答案】338。
【分析】把1350人看作1350个元素，四个项目看作4个抽屉，1350÷4=337（人）……2（人），即平均每个项目有337人参加，还余2人，所以总有一个项目至少有：337+1=338（人），据此即可解答。
【解答】解：1350÷4=337（人）……2（人）
337+1=338（人）
答：总有一个项目至少有338人参跑。
故答案为：338。
14．一个袋中有红、黄、蓝、绿四种颜色的球各6个（每个球的大小、形状都相同），每次至少摸出 ______个球才能保证一定有两个相同颜色的球；如果这些球中只有一个比较轻的，其他的一样重，那么用天平至少称 ______次就可以找到这个较轻的球。
【答案】5，3。
【分析】（1）把红、黄、蓝、绿四种颜色看作4个抽屉，把红、黄、蓝、绿四种颜色的球的个数看作元素，从最不利情况考虑，红、黄、蓝、绿四种颜色的球各取出1个，共取出4个，那么再取一个，不论是什么颜色，总有一个球的颜色和它是同色的，所以至少要摸出：4+1=5（个）。
（2）因为天平是一个等臂杠杆，所以如果左右两盘质量不一样，则天平不平衡，利用此特点进行分组称量；据此解答即可。
【解答】解：（1）4+1=5（个）
（2）将24个球分成（8，8，8）组，
第一次：选两组分别放在天平两侧称量，若天平平衡，则较轻的那个就在剩下的那组中；若天平不平衡，则较轻的那个球就在天平托盘上升的那一端；
第二次：将较轻的那一组再分成（3，3，2）三组称量，先称量（3，3）两组：
若天平平衡，则较轻的那个就在剩下的2个中，然后分成（1，1）两组称量，即可找到比较轻的那个，所以需要称量3次；
若天平不平衡，则较轻的那个球就在天平托盘上升的那一端；将较轻的那一组再分成（1，1，1）三组称量，即可找到比较轻的那个，所以需要称量3次。
答：每次至少摸出5个球才能保证一定有两个相同颜色的球；用天平至少称3次就可以找到这个较轻的球。
故答案为：5，3。
15．三（1）班统计全班学生阅读数学书籍情况如上图（每人至少阅读一本）。只阅读《数学营养菜》这一本书的有 ______人，全班一共有 ______人。
【答案】21，49。
【分析】用26减去5就是只阅读《数学营养菜》这一本书的人数，求全班人数，根据容斥原理公式：总人数=A+B-既A又B解答即可。
【解答】解：26-5=21（人）
26+28-5
=54-5
=49（人）
答：只阅读《数学营养菜》这一本书的有21人，全班一共有49人。
故答案为：21，49。
三．应用题（共7小题）
16．三（2）班有38人，林老师出了两道题，每个同学都至少做对了一题，只做对第一题的有15人，两题都做对的有18人。只做对第二题的有多少人？
【答案】5人。
【分析】总人数-只做对第一题的人数-两题都做对的人数=只做对第二题的人数。
【解答】解：38-15-18=5（人）
答：只做对第二题的有5人。
17．五年级课后兴趣班有36人，其中喜欢踢足球的有19人，喜欢打篮球的有21人，既不喜欢踢足球又不喜欢打篮球的有4人，那么既喜欢踢足球又喜欢打篮球的有几人？
【答案】8人。
【分析】既喜欢踢足球又喜欢打篮球的人数=喜欢踢足球的人数+喜欢打篮球的人数-总人数+既不喜欢踢足球又不喜欢打篮球的人数。据此计算即可。
【解答】解：19+21-36+4
=40-36+4
=8（人）
答：既喜欢踢足球又喜欢打篮球的有8人。
18．外卖小哥送一份早餐到壮壮家（如图），他一共有多少条不同的路线？
【分析】从早餐店到依依家有3条路，选择1条，有3种选择；从依依家到壮壮家有3条路，选择1条，有3种选择；根据乘法原理，那么可以有3×3=9条不同的路线，由此解答即可．
【解答】解：3×3=9（条）
答：他一共有9条不同的路线．
19．明明、芳芳、东东、丽丽四个好朋友一起到公园去游玩，四个人站成一排拍一张照片，如果明明不站在最右边，有多少种不同的站队方法？简要说明理由．
【分析】先排明明，明明不站在最右边，所以从右向左，第一个位置有3种选择，第二个位置有3种选择，第三个位置有2种选择，第四个位置有1种选择，根据乘法原理可得，共有3×3×2×1=18（种）不同的站队方法．
【解答】解：从右向左，第一个位置有3种选择，第二个位置有3种选择，第三个位置有2种选择，第四个位置有1种选择，根据乘法原理可得，共有：
3×3×2×1=18（种）
答：如果明明不站在最右边，有18种不同的站队方法．
20．把红、白、蓝三种颜色的小球各10个混在一起放入一个不透明的箱子里，每次至少拿出几个才能保证一定有2个同色的小球？如果要保证有4个同色小球呢？
【分析】（1）根据题意可知，小球的颜色共有3种，利用抽屉原理最差情况：每种颜色的各拿出1个，共需要3个，再任意拿出一个，就能保证一定有2个同色的小球，即一次至少要拿出3+1=4个小球才能保证两个小球是同色的．
（2）利用抽屉原理最差情况：每种颜色的各拿出3个，共需要3×3=9个，再任意拿出一个，就能保证一定有4个同色的小球，即一次至少要拿出9+1=10个小球才能保证4个小球是同色的；据此即可解答．
【解答】解：（1）3+1=4（个）
答：每次至少拿出4个才能保证一定有2个同色的小球．
（2）3×3+1
=9+1
=10（个）
答：每次至少拿出10个才能保证一定有4个同色的小球．
21．一个盒子里放了质地、形状、大小都相同的红、黄、绿三种颜色的粉笔各8支，当你蒙上眼睛去盒子中取粉笔时，为了确保自己取出的粉笔中至少有5支颜色相同，应至少取出多少支粉笔？
【分析】把三种颜色看作三个抽屉，从极端考虑：先摸出红、黄、绿粉笔各4支，再摸出1支粉笔，才能保证得到任意一种颜色的粉笔至少有5支．
【解答】解：（5-1）×3+1
=12+1
=13（支）
答：为了确保自己取出的粉笔中至少有5支颜色相同，应至少取出13支粉笔．
22．聪聪和明明比赛，看谁用“雨”字组的词多。聪聪写出了13个，明明写出了17个，两人一共写出了20个不同的词语。
（1）请把如图补充完整。
（2）聪聪写出的词语中有几个明明也写出来了？
【答案】（1）
（2）10个。
【分析】（1）根据容斥原理公式：既A又B=A+B-总数，求出两个人都写的个数，再求出单独写的个数，然后填图即可。
（2）求聪聪写出的词语中有几个明明也写出来了，即求两个人都写的个数。
【解答】解：（1）13+17-20
=30-20
=10（个）
13-10=3（个）
17-10=7（个）
（2）13+17-20
=30-20
=10（个）
答：聪聪写出的词语中有10个明明也写出来了。
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第5讲 计数问题（一） 强化训练
一．选择题（共10小题）
1．运动会上，在5分钟投篮比赛中，六年（1）班的10名同学共投中了82个，总有一名队员至少投中（　　）个球。
A．7 B．8 C．9 D．10
2．图书角书架分上、中、下三层，明明把新买的16本书放入书架，放书最多的一层至少要放入（　　）本书。
A．2 B．3 C．5 D．6
3．某饭店推出新菜系，荤菜有：红烧肉、糖醋排骨；素菜有：烧茄子、麻辣豆腐、香菇油菜．小亮想买一道荤菜一道素菜，有（　　）种不同的搭配方法．
A．6 B．5 C．4
4．体育比赛中，小王、小李、小张获得了前三名，名次没有并列，他们三人获得前三名的情况共有（　　）
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
5．一把钥匙开一把锁，现有3把钥匙和3把锁弄混了，最多试开（　　）次，就能把锁和钥匙配起来．
A．3 B．4 C．5 D．6
6．某次比赛中三（1）班获得“阅读之星”称号的有22人，获得“速算小能手”称号的有35人，两种称号都获得的有15人，全班每人至少获得了一种称号。三（1）班一共有（　　）人。
A．57 B．62 C．42 D．55
7．三年级1班有25人订《学写作文》，有18人订《数学报》，有10人这两种杂志都订了。订这两种杂志的学生共有（　　）人。
A．43 B．33 C．34 D．5
8．垃圾一般分为：有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾、可回收垃圾。依依把10件垃圾分类投放，总有一个垃圾桶至少投放了（　　）件垃圾。
A．3 B．4 C．5
9．高老师有件事要通知24名同学，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，最少用（　　）分钟就能通知到每个人．
A．24 B．12 C．6 D．5
10．三（1）班共有48名学生，喜欢唱歌的有26人，喜欢跳舞的有28人。图中①、②、③处应填的数分别是（　　）
A．26，48，28 B．20，6，22 C．26，6，28 D．无法确定
二．填空题（共5小题）
11．小丁，小亮，小敏3位同学排成一排照相，共有______种排法．如果从他们三个人中任选两人参加校文艺队，有______种不同的选法．
12．将1，2，3，4，5分别填入图中的格子，要求填在黑格里的数比它旁边的两个数都大．共有 ______种不同的填法．
13．望谟县位于黔西南州东部，因布依方言“王母”谐音而得名。2024年贵州望谟“三月三”第二届乡村山地马拉松设置四个项目，共计1350人，总有一个项目至少有 ______人参跑。
14．一个袋中有红、黄、蓝、绿四种颜色的球各6个（每个球的大小、形状都相同），每次至少摸出 ______个球才能保证一定有两个相同颜色的球；如果这些球中只有一个比较轻的，其他的一样重，那么用天平至少称 ______次就可以找到这个较轻的球。
15．三（1）班统计全班学生阅读数学书籍情况如上图（每人至少阅读一本）。只阅读《数学营养菜》这一本书的有 ______人，全班一共有 ______人。
三．应用题（共7小题）
16．三（2）班有38人，林老师出了两道题，每个同学都至少做对了一题，只做对第一题的有15人，两题都做对的有18人。只做对第二题的有多少人？
五年级课后兴趣班有36人，其中喜欢踢足球的有19人，喜欢打篮球的有21人，既不喜欢踢足球又不喜欢打篮球的有4人，那么既喜欢踢足球又喜欢打篮球的有几人？
外卖小哥送一份早餐到壮壮家（如图），他一共有多少条不同的路线？
明明、芳芳、东东、丽丽四个好朋友一起到公园去游玩，四个人站成一排拍一张照片，如果明明不站在最右边，有多少种不同的站队方法？简要说明理由．
把红、白、蓝三种颜色的小球各10个混在一起放入一个不透明的箱子里，每次至少拿出几个才能保证一定有2个同色的小球？如果要保证有4个同色小球呢？
一个盒子里放了质地、形状、大小都相同的红、黄、绿三种颜色的粉笔各8支，当你蒙上眼睛去盒子中取粉笔时，为了确保自己取出的粉笔中至少有5支颜色相同，应至少取出多少支粉笔？
22．聪聪和明明比赛，看谁用“雨”字组的词多。聪聪写出了13个，明明写出了17个，两人一共写出了20个不同的词语。
（1）请把如图补充完整。
（2）聪聪写出的词语中有几个明明也写出来了？
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