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专题05 不等式与不等式组
（考点清单，4考点梳理+7题型解读）
清单01 不等式及其解集
1．用不等号“”、“”、“”、“”表示的关系式，叫做不等式．
2．在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
3．不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式的解集．
解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示：
4．求不等式的解集的过程叫做解不等式．
清单02 不等式的性质
1．不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．即如果，那么；如果，那么．
2．不等式性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。即：如果，且，那么（或）；如果，且，那么（或）．
3．不等式性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变。即：如果，且，那么（或）；如果，且，那么（或）．
清单03 一元一次不等式
1．只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式．
2．解一元一次不等式的一般步骤可概括为：
（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）化成（或）的形式（其中）；（5）两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集．
清单04 一元一次不等式组
1．由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．
2．求不等式组的解集的过程叫做解不等式组．
3.不等式组解集的确定有两种方法：
1）数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.
2）口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了．
4．解一元一次不等式组的一般步骤是：
（1）求出不等式组中各个不等式的解集；（2）在数轴上表示各个不等式的解集；（3）确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集．
由两个一元一次不等式组成的不等式组，可以归结为下述四种基本类型：(表中)
不等式 图示 解集
(大大取大)
(小小取小)
(大小小大中间找)
无解 (大大小小解不了)
注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.
5.一元一次不等式（组）的应用：审题设未知数找不等关系列不等式（组）解不等式（组）检验回答
6.一元一次不等式（组）的应用题的关键语句：
1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.
7.用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
【考点题型一】不等式的定义（）
【例1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列数学表达式中，不等式有（ ）．
①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1-1】（23-24七年级下·河南信阳·期末）秦岭是中国南北方的界山，秦岭的大散岭，凤岭，紫柏山的海拔均在1500米以上．若用米表示这些山岭的海拔，则满足的条件为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（23-24七年级下·山东淄博·期末）一种药品的说明书上写着：“每日用量，分次服用”，一次服用这种药品的有效剂量不可以为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（23-24七年级下·山西长治·期末）某双向六车道高速公路，分车道、分车型组合限速，其标牌版面如图所示．每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）．王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速的范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】（23-24七年级下·浙江台州·期末）北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是 ．
【考点题型二】不等式的解集（）
【例2】（22-23七年级下·河南周口·期末）请写出适合不等式的一组整数解 ．
【变式2-1】（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解
C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解
【变式2-2】（23-24七年级下·江苏泰州·期末）若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（七年级下·广东广州·期末）已知点在第二象限，且，为整数，则点P的个数是（ ）
A．3 B．6 C． D．无数个
【考点题型三】不等式的性质（）
【例3】（23-24七年级下·云南昭通·期末）已知，下列各式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（23-24七年级下·山东威海·期末）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【变式3-2】（22-23七年级下·福建厦门·期末）如果，，那么下列不等式不成立的是（　　）
A． B． C． D．
【变式3-3】（23-24七年级下·全国·期末）已知，则 ．（填>、=或<）
【变式3-4】（22-23七年级下·重庆江津·期末）已知不等式，当 时，不等式的解集是．
【考点题型四】一元一次不等式及其解法（）
【例4-1】（23-24七年级下·河南许昌·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．1
【例4-2】（23-24七年级下·广东湛江·期末）与17的和比的5倍小，用不等式表示为 ．
【例4-3】（23-24七年级下·广西河池·期末）解不等式并把它的解集在数轴上表示出来：．
【例4-4】（23-24七年级下·吉林长春·期末）求满足不等式的所有正整数x．
【例4-5】（24-25七年级下·全国·期末）下面是小颖同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：去分母，得…第一步 去括号，得______……第二步 移项，得…………第三步 合并同类项，得……第四步 系数化为1，得______……第五步
任务一：
（1）以上解题过程中，第一步“去分母”的变形依据是______；
（2）请将第二步和第五步补充完整，并在数轴上表示不等式的解集．
任务二：
请你根据平时的学习经验，就解不等式时需要注意的事项给其他同学提一条建议．
【变式4-1】（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为 ．
【变式4-2】（23-24七年级下·北京东城·期末）语句“a的三分之一与b的和是非负数”可以列不等式表示为 ．
【变式4-3】（23-24七年级下·山东烟台·期末）若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，请求出代数式的值．
【变式4-4】（23-24七年级下·河南商丘·期末）【情境再现】
（1）某七年级下册数学课外巩固练习《数学作业设计》的部分内容如下：
已知关于的方程的解是负数，求的取值范围．
【拓展】
（2）若关于，的方程组的解满足，求的最大整数值．
【考点题型五】用一元一次不等式解决实际问题（）
【例5】（23-24七年级下·广西河池·期末）综合与实践
某乡政府为巩固脱贫攻坚与乡村振兴有效衔接赋能，营造营销便利环境，促进乡村特色产品的销售；准备在辖区内新建一条长600米的公路，计划由甲、乙两个工程队来完成；若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程，设甲、乙两个工程队每天分别施工x和y米．
【问题分析】（1）甲工程队单独施工10天完成的工程量是 米；乙工程队单独施工15天完成的工程量是 米；甲、乙两个工程队同时共同施工m天完成的工程量是 米；（用含有字母的代数式表示）
【问题解决】（2）求甲、乙两个工程队每天各施工多少米？
【问题拓展】（3）已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，当甲、乙两个工程队同时共同施工10天后甲队因另有任务离开，剩下的工程由乙队单独施工完成，若甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过12万元，则乙工程队每天的施工费用最多是多少万元？
【变式5-1】（24-25七年级下·全国·期末）某校开展了科技知识竞赛活动，共有20道选择题，每道题的四个选项中，有且只有一个答案正确，选对得5分，不选或错选倒扣2分，如果得分不低于80分才能得奖，那么要得奖至少应选对的题数是（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【变式5-2】（24-25七年级下·全国·期末）冬天来临，某超市以每台80元和70元的价格购进A和B两种型号的取暖器，表格是该超市近两天出售取暖器的情况（注：利润=销售收入-进货成本）：
销售时段 销售数量 销售收入
A型号 B型号
第一天 3台 4台 760元
第二天 5台 7台 1300元
(1)分别求A，B两种型号的取暖器的销售单价．
(2)该超市准备用不超过3020元的资金购进这两种型号的取暖器共40台，则A型号的取暖器最多能采购多少台？
(3)在（2）的条件下，超市销售完这40台取暖器能否实现利润超过1400元的目标？若能，通过计算给出相应的购进方案；若不能，请说明理由．
【变式5-3】（22-23七年级下·贵州黔南·期末）2023年是农历癸卯年（兔年），生肖兔的挂件成了热销品．某商店准备购进A、B两种型号的兔子挂件．已知购进2件A型号兔子挂件和1件B型号兔子挂件共需105元，3件A型号兔子挂件比1件B型号兔子挂件贵95元．
(1)该商店购进的A、B两种型号的兔子挂件的单价分别为多少元？
(2)该商店计划购进A型号兔子挂件600件，B型号兔子挂件件，甲、乙两个厂家的优惠方式如下：
甲厂家：每购买10件A型号兔子挂件赠送一件B型号兔子挂件；
乙厂家：A型号兔子挂件不打折，B型号兔子挂件打九折．
若你是商家的采购员，在只能选择一个厂家采购的条件下，如何采购较省钱？
【变式5-4】（24-25七年级下·全国·期末）某城市义务绿化小队决定在植树节当天进行义务植树活动，现决定采购“女贞”和“小叶黄杨”两种类型的树苗共1000棵，已知一棵“女贞”树苗比一棵“小叶黄杨”树苗贵4元，100元可以购买5棵“女贞“和35棵“小叶黄杨”树苗．
(1)求“女贞”树苗和“小叶黄杨”树苗的单价；
(2)若要求购买“女贞”树苗的数量不少于“小叶黄杨”树苗数量的，则至少购买“女贞”树苗多少棵？
(3)在（2）的条件下，若购买树苗的预算不超过3010元，则一共有几种购买方案？哪一种最省钱？
【考点题型六】一元一次不等式组及其解法（）
【例6-1】（24-25七年级下·全国·期末）已知不等式组的解集是，则关于的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【例6-2】（24-25七年级下·全国·期末）若关于的不等式组的解集为，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例6-3】（23-24七年级下·辽宁·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例6-4】（23-24七年级下·河南安阳·期末）关于x的不等式组，至少有4个整数解，且关于x，y的方程组的解中，x的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ．
【例6-5】（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
【例6-6】（24-25七年级下·全国·期末）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程．
(1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号）
(2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值；
(3)①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由．
【变式6-1】（23-24七年级下·陕西延安·期末）已知关于x的不等式组的解集为，则a，b的值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式6-2】（22-23七年级下·贵州黔南·期末）若不等式组恰有三个整数解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（24-25七年级下·四川宜宾·期末）已知不等式组的解为，则的值为 ．
【变式6-4】（24-25七年级下·全国·期末）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
【变式6-5】（23-24七年级下·福建·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足．
(1)求k的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请写出符合条件的k的整数值．
【变式6-6】（23-24七年级下·江西南昌·期末）已知不等式组
(1)若该不等式组的解集为，求 a的值；
(2)若该不等式组无解，求 a的取值范围．
【考点题型七】一元一次不等式组的应用（）
【例7】（24-25七年级下·四川宜宾·期末）数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息：
信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为．
信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列．

如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题：
(1)当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）；
(2)求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车；
(3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由．
【变式7-1】（24-25七年级下·全国·期末）某医院安排护士若干名负责护理病人，若每名护士护理名病人，则有名病人没人护理，如果每名护士护理名病人，有一名护士护理的病人多于人不足人，那么这个医院安排了 名护士护理病人．
【变式7-2】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习半程马拉松，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是 ．
【变式7-3】（23-24七年级下·河南信阳·期末）某大型企业为了保护环境，准备购A、B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万，一台B型设备的单价为10万元，经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，如果该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，而且使这两种设备每月的污水处理量不低于2005吨，请通过计算说明这种方案是否可行．
【变式7-4】（24-25七年级下·全国·期末）某玩具店销售甲、乙两种型号的玩具汽车，已知卖出甲、乙两种型号的玩具汽车各2辆，收款共88元；卖出3辆甲型号玩具汽车和1辆乙型号玩具汽车，共收款84元．
(1)求每辆甲型号和乙型号玩具汽车的单价；
(2)某人想在该店购买甲、乙两种型号的玩具汽车共6辆，花费不少于130元，且不超过140元，则有哪几种购买方案？
【变式7-5】（22-23七年级下·湖南湘西·期末）中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务﹐拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，4辆大型渣土运输车与5辆小型渣土运输车一次共运输土方57吨．
(1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？
(2)该渣土运输公司决定派出大，小两种型号的渣土运输车共10辆参与运输土方，每辆大型渣土车一次需费用200元，每辆小型渣土车一次需费用180元．若运输土方总量不少于65吨，且总费用小于1960元．你作为渣土运输公司的经理，列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
【变式7-6】（23-24七年级下·贵州黔南·期末）黔南州某市通过网络直播带货助力乡村振兴，在直播间销售黔南州特色农产品．两名顾客在该直播间购买了一些独山盐酸菜扣肉和龙里辣子鸡，下面是他们的一段对话．
(1)请你运用所学知识求出独山盐酸菜扣肉和龙里辣子鸡的单价；
(2)小明爸爸准备去该直播间购买独山盐酸菜扣肉和龙里辣子鸡两种特色农产品共13盒，其中购买独山盐酸菜扣肉至少4盒，并且总费用不低于1440元，请帮小明爸爸计算并写出所有符合条件的购买方案．
【变式7-7】（23-24七年级下·重庆·期末）为了支持一次大型活动，某物流公司需要运输一批展览材料．根据调查得知，辆重型卡车与辆轻型卡车可以一次共同运输箱：辆重型卡车与辆轻型卡车可以一次共同运输箱．
(1)求辆重型卡车和辆轻型卡车分别能够单独运输多少箱展览材料？
(2)计划用两种类型的货车总共辆来完成这批物资的运输任务，每趟每辆重型货车的费用为元，每趟每辆轻型货车的费用为元．如果要求至少使用台重型货车，并且总费用不超过元，请列出所有可能的配送方案，并指出哪种方案最经济实惠以及所需最低费用是多少？
【变式7-8】（24-25七年级下·上海·期中）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人．
(1)求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？
(2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围．
【变式7-9】（22-23七年级下·广西南宁·期末）围棋是中国传统棋种，古代称为“弈”，距今已有四千多年的历史．中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．某学校为丰富学生课余生活，计划到甲超市购买一批象棋和围棋．已知购买2副象棋和3副围棋共需140元，购买4副象棋和1副围棋共需130元．
(1)求每副象棋和围棋的单价．
(2)若学校准备购买象棋和围棋共80副，总费用不超过2250元，那么最多能购买多少副围棋？
(3)若甲超市对围棋进行促销，方案一：围棋一律打九折；方案二：办理超市会员卡60元，围棋一律打七折．若学校购买10副象棋和若干副围棋，则学校选用哪种方案购买围棋花费少？
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题05 不等式与不等式组
（考点清单，4考点梳理+7题型解读）
清单01 不等式及其解集
1．用不等号“”、“”、“”、“”表示的关系式，叫做不等式．
2．在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
3．不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式的解集．
解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示：
4．求不等式的解集的过程叫做解不等式．
清单02 不等式的性质
1．不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．即如果，那么；如果，那么．
2．不等式性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。即：如果，且，那么（或）；如果，且，那么（或）．
3．不等式性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变。即：如果，且，那么（或）；如果，且，那么（或）．
清单03 一元一次不等式
1．只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式．
2．解一元一次不等式的一般步骤可概括为：
（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）化成（或）的形式（其中）；（5）两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集．
清单04 一元一次不等式组
1．由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．
2．求不等式组的解集的过程叫做解不等式组．
3.不等式组解集的确定有两种方法：
1）数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.
2）口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了．
4．解一元一次不等式组的一般步骤是：
（1）求出不等式组中各个不等式的解集；（2）在数轴上表示各个不等式的解集；（3）确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集．
由两个一元一次不等式组成的不等式组，可以归结为下述四种基本类型：(表中)
不等式 图示 解集
(大大取大)
(小小取小)
(大小小大中间找)
无解 (大大小小解不了)
注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.
5.一元一次不等式（组）的应用：审题设未知数找不等关系列不等式（组）解不等式（组）检验回答
6.一元一次不等式（组）的应用题的关键语句：
1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.
7.用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
【考点题型一】不等式的定义（）
【例1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列数学表达式中，不等式有（ ）．
①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】不等式的定义
【分析】本题主要考查了不等式．根据不等式的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：不等式有①②⑤⑥，共4个．
故选：C
【变式1-1】（23-24七年级下·河南信阳·期末）秦岭是中国南北方的界山，秦岭的大散岭，凤岭，紫柏山的海拔均在1500米以上．若用米表示这些山岭的海拔，则满足的条件为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的定义
【分析】本题考查了不等式的定义．根据题意列出不等式即可求解．
【详解】解：∵山岭主峰海拔超过1500米．
∴，
故选：B．
【变式1-2】（23-24七年级下·山东淄博·期末）一种药品的说明书上写着：“每日用量，分次服用”，一次服用这种药品的有效剂量不可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的定义
【分析】本题考查的是不等式的定义，本题需注意应找到每天服用时4次每次的剂量；每天服用时3次每次的剂量，然后找到最大值与最小值即可．
【详解】解：根据题意，由“每日用量，分次服用”，
用（/次），（/次）
得到一次服用这种药的剂量为：，
则没在此范围内，
故选：A．
【变式1-3】（23-24七年级下·山西长治·期末）某双向六车道高速公路，分车道、分车型组合限速，其标牌版面如图所示．每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）．王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的定义
【分析】本题考查了不等式的定义．由王师傅驾驶的车辆是货车，可得出王师傅应走右侧两车道，结合右侧两车道标牌上速度，即可得出车速的范围．
【详解】解：王师傅驾驶的车辆是货车，
王师傅应走右侧两车道，
车速的范围是．
故选：C．
【变式1-4】（23-24七年级下·浙江台州·期末）北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】不等式的定义
【分析】本题考查的是路程、速度、时间之间关系及用不等式表示范围，先求出要在内通过时的速度，再根据按照当前时速行驶能通过下一路口求出此时速度，即可解决．
【详解】解：，
当距离下一路口时，以速度通过需要的时间为：，
要在内通过，
小车的速度至少为，
因为导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，
则小车当前行驶速度的取值范围是．
【考点题型二】不等式的解集（）
【例2】（22-23七年级下·河南周口·期末）请写出适合不等式的一组整数解 ．
【答案】（不唯一）
【知识点】不等式的解集
【分析】本题考查的是不等式的整数解，根据不等式的整数解的含义可得其中的一组整数解为．
【详解】解：不等式的一组整数解为，
故答案为：（答案不唯一）．
【变式2-1】（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解
C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解
【答案】D
【知识点】不等式的定义、不等式的解集
【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，(是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案．
【详解】解：解不等式，
可得．
A.由于，故不是不等式的解，故选项错误；
B.由于，故是不等式的一个解，但不是唯一解，故选项错误；
C.由于，故不是不等式的一个解，但不是解集，故选项错误；
D.由于，故不是不等式的一个解，故选项正确；
故选D．
【变式2-2】（23-24七年级下·江苏泰州·期末）若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的解集
【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可．
【详解】解：A、中不包含，不符合题意；
B、中不包含，不符合题意；
C、中包含，符合题意；
D、中不包含，不符合题意；
故选：C．
【变式2-3】（七年级下·广东广州·期末）已知点在第二象限，且，为整数，则点P的个数是（ ）
A．3 B．6 C． D．无数个
【答案】B
【知识点】不等式的解集、写出直角坐标系中点的坐标
【分析】本题主要考查了不等式的解法及坐标系内点的坐标特点．熟练掌握根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值是解题的关键．
先根据第二象限点的坐标特征求出x，y的取值范围，再根据y的取值范围求出x的整数解，进而可求出符合条件的y的值．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，
∴，
解得，，
∴当时，，此时点P为，，
当时，，此时点P为，，， ，
综上所述，点P的个数是6个，
故选：B ．
【考点题型三】不等式的性质（）
【例3】（23-24七年级下·云南昭通·期末）已知，下列各式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．根据不等式的基本性质“不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变”逐项判断即可得．
【详解】解：A、（不等式的两边同减去一个数，不改变不等号的方向），则此项一定不成立，不符合题意；
B、（不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向），则此项一定成立，符合题意；
C、当时，；当时，，则此项不一定成立，不符合题意；
D、（不等式的两边同减去一个数，不改变不等号的方向），则此项一定不成立，不符合题意；
故选：B．
【变式3-1】（23-24七年级下·山东威海·期末）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、不等式的性质
【分析】本题考查了数轴、不等式的基本性质，熟练掌握数轴的定义是解题关键．先根据数轴的定义可得，且，再根据不等式的基本性质逐项判断即可得．
【详解】解：由实数a，b，c在数轴上的对应点的位置可知，，且，
A．，是成立的，因此选项A不符合题意；
B．由于，而，所以，是成立的，因此选项B不符合题意；
C．由于，则，而，则，所以是成立的，因此选项C不符合题意；
D．由于，则，而，所以，因此选项D符合题意．
故选：D．
【变式3-2】（22-23七年级下·福建厦门·期末）如果，，那么下列不等式不成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【分析】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质定理是解题的关键，注意不等式两边同时乘或除同一个负数，不等号的方向发生改变．
本题根据不等式的两条性质即可得出答案．
【详解】解：、根据“不等式的两边同时乘以同一个负数，不等号的方向发生改变”，可得，故原题正确，不符合题意；
、根据“不等式的两边同时除以同一个正数，不等号的方向不发生改变”，可得，故原题正确，不符合题意；
、根据“不等式的两边同时加上（或减去）同一个数，不等号的方向不发生改变”，可得，故原题正确，不符合题意；
、与，无法判断大小，故原题错误，符合题意．
故选：．
【变式3-3】（23-24七年级下·全国·期末）已知，则 ．（填>、=或<）
【答案】
【知识点】不等式的性质
【分析】本题考查了不等式的性质．根据不等式的性质“不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变”即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【变式3-4】（22-23七年级下·重庆江津·期末）已知不等式，当 时，不等式的解集是．
【答案】
【知识点】不等式的性质
【分析】本题考查了不等式的解集以及不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质即可求解
【详解】解：
移项：，
当时，
解得：
故答案为：
【考点题型四】一元一次不等式及其解法（）
【例4-1】（23-24七年级下·河南许昌·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义、绝对值等知识点，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．
利用一元一次不等式和绝对值的定义列式求解即可．
【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式，
∴且，
∴．
故选D．
【例4-2】（23-24七年级下·广东湛江·期末）与17的和比的5倍小，用不等式表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式．正确理解题意是解题关键．由题意知，不等式为，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，不等式为，
故答案为：．
【例4-3】（23-24七年级下·广西河池·期末）解不等式并把它的解集在数轴上表示出来：．
【答案】，见解析
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
数轴表示如下所示：
【例4-4】（23-24七年级下·吉林长春·期末）求满足不等式的所有正整数x．
【答案】1，2，3
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再取正整数解即可．
【详解】解：
去分母，得，
去括号得，
移项，合并得，
系数化为1，得，
∵x为正整数，
∴x取1，2，3．
【例4-5】（24-25七年级下·全国·期末）下面是小颖同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：去分母，得…第一步 去括号，得______……第二步 移项，得…………第三步 合并同类项，得……第四步 系数化为1，得______……第五步
任务一：
（1）以上解题过程中，第一步“去分母”的变形依据是______；
（2）请将第二步和第五步补充完整，并在数轴上表示不等式的解集．
任务二：
请你根据平时的学习经验，就解不等式时需要注意的事项给其他同学提一条建议．
【答案】任务一：（1）不等式的基本性质2；（2），，数轴见解析；任务二：见解析
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，掌握一元一次不等式的解法是解题关键．
任务一：（1）根据不等式的性质作答即可；
（2）根据不等式的解法补充步骤，再在数轴上表示不等式的解集即可；
任务二：根据不等式的解法作答即可．
【详解】解：任务一：（1）以上解题过程中，第一步“去分母”的变形依据是不等式的性质2，
故答案为：不等式的性质2；
（2）去分母，得…第一步
去括号，得……第二步
移项，得…………第三步
合并同类项，得……第四步
系数化为1，得……第五步
在数轴上表示如图所示：
任务二：不等式两边乘以（或除以）一个负数时，不等号要改变方向等．（答案不唯一）
【变式4-1】（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据一元一次不等式定义，抓住一元一次不等式只含有一个未知数，并且未知数最高次数为1次列式求解即可得到答案．
【详解】解：是关于的一元一次不等式，
，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义列出方程与不等式求解是解决问题的关键．
【变式4-2】（23-24七年级下·北京东城·期末）语句“a的三分之一与b的和是非负数”可以列不等式表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查列不等式，根据非负数大于等于0列式即可．
【详解】解：a的三分之一与b的和表示为：，非负数大于等于0，
因此“a的三分之一与b的和是非负数”可以列不等式表示为，
故答案为：．
【变式4-3】（23-24七年级下·山东烟台·期末）若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，请求出代数式的值．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次不等式的整数解、解一元一次方程、代数式求值，先解一元一次不等式求得不等式的最小整数解是，再代入方程求得，最后代入代数式求值即可．
【详解】解：，
解得，
∴不等式的最小整数解是，
∵不等式的最小整数解是关于x的方程的解，
∴把代入得，，
解得，
把代入得，．
【变式4-4】（23-24七年级下·河南商丘·期末）【情境再现】
（1）某七年级下册数学课外巩固练习《数学作业设计》的部分内容如下：
已知关于的方程的解是负数，求的取值范围．
【拓展】
（2）若关于，的方程组的解满足，求的最大整数值．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了解一元一次方程，二元一次方程组，一元一次不等式；
（1）先解一元一次方程，根据方程的解是负数，列出不等式，解不等式，即可求解；
（2）先解二元一次方程组，得出，根据，列出不等式，解不等式，即可求解．
【详解】解：（1）由，解得．
∵关于的方程的解是负数，
∴，解得，即的取值范围为．
（2）
由①，得③．
由②③，得，解得．
由题意，得，解得，
∴的最大整数值是．
【考点题型五】用一元一次不等式解决实际问题（）
【例5】（23-24七年级下·广西河池·期末）综合与实践
某乡政府为巩固脱贫攻坚与乡村振兴有效衔接赋能，营造营销便利环境，促进乡村特色产品的销售；准备在辖区内新建一条长600米的公路，计划由甲、乙两个工程队来完成；若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程，设甲、乙两个工程队每天分别施工x和y米．
【问题分析】（1）甲工程队单独施工10天完成的工程量是 米；乙工程队单独施工15天完成的工程量是 米；甲、乙两个工程队同时共同施工m天完成的工程量是 米；（用含有字母的代数式表示）
【问题解决】（2）求甲、乙两个工程队每天各施工多少米？
【问题拓展】（3）已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，当甲、乙两个工程队同时共同施工10天后甲队因另有任务离开，剩下的工程由乙队单独施工完成，若甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过12万元，则乙工程队每天的施工费用最多是多少万元？
【答案】（1），，；（2）甲工程队每天施工30米，乙工程队每天施工20米；（3）0.4万元
【分析】本题主要考查列代数式，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用．
（1）根据题意可得答案；
（2）根据若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程，列出方程组，解方程组求解即可；
（3）设乙工程队每天的施工费用为a万元，根据甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过12万元列不等式，解不等式可求解．
【详解】解：（1）甲工程队单独施工10天完成的工程量是米；乙工程队单独施工15天完成的工程量是米；甲、乙两个工程队同时共同施工m天完成的工程量是米，
故答案为：；；；
（2）由题意得：，
解得：，
答：甲工程队每天施工30米，乙工程队每天施工20米；
（3）设乙工程队每天的施工费用为a万元，
由题意得：，
解得，
答：乙工程队每天的施工费用最多为0.4万元．
【变式5-1】（24-25七年级下·全国·期末）某校开展了科技知识竞赛活动，共有20道选择题，每道题的四个选项中，有且只有一个答案正确，选对得5分，不选或错选倒扣2分，如果得分不低于80分才能得奖，那么要得奖至少应选对的题数是（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用；设至少答对x道题才能获奖，根据题意列出不等式，解不等式求得其最小整数解即可.
【详解】解：设答对x道题才能获奖，根据题意得：
，
解得：，
∵只能取整数，
∴的最小整数解为，即至少要选对道题才能获奖.
故选：C．
【变式5-2】（24-25七年级下·全国·期末）冬天来临，某超市以每台80元和70元的价格购进A和B两种型号的取暖器，表格是该超市近两天出售取暖器的情况（注：利润=销售收入-进货成本）：
销售时段 销售数量 销售收入
A型号 B型号
第一天 3台 4台 760元
第二天 5台 7台 1300元
(1)分别求A，B两种型号的取暖器的销售单价．
(2)该超市准备用不超过3020元的资金购进这两种型号的取暖器共40台，则A型号的取暖器最多能采购多少台？
(3)在（2）的条件下，超市销售完这40台取暖器能否实现利润超过1400元的目标？若能，通过计算给出相应的购进方案；若不能，请说明理由．
【答案】(1)A，B两种型号取暖器的销售单价分别为120元、100元
(2)A型号的取暖器最多能采购22台
(3)能，购进方案：方案一：购进A型号取暖器21台，B型号取暖器19台；方案二：购进A型号取暖器22台，B型号取暖器18台
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是正确列出二元一次方程组和根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；
（1）设A，B两种型号取暖器的销售单价分别为x元、y元，根据销售3台A型号、4台B型号取暖器的收入为760元，销售5台A型号、7台B型号取暖器的收入为1300元，得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A型号的取暖器购进a台，则B型号的取暖器购进台，根据总价单价数量结合总价不多于3020元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（3）根据总利润每台的利润销售数量(购进数量)，结合总利润超过1400元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再结合（2）的结论即可得出结论．
【详解】（1）解：设A，B两种型号取暖器的销售单价分别为x元、y元，根据题意，得
解得
答：A，B两种型号取暖器的销售单价分别为120元、100元．
（2）解：设购进A型号取暖器a台，则购进B型号取暖器台．
根据题意，得，
解得．
答：A型号的取暖器最多能采购22台．
（3）解：由（2）可得，
解得，
因为且a为整数，
所以a可取21或22，
所以在（2）的条件下该超市能实现利润超过1400元的目标．
购进方案：
方案一：购进A型号取暖器21台，B型号取暖器19台．
方案二：购进A型号取暖器22台，B型号取暖器18台．
【变式5-3】（22-23七年级下·贵州黔南·期末）2023年是农历癸卯年（兔年），生肖兔的挂件成了热销品．某商店准备购进A、B两种型号的兔子挂件．已知购进2件A型号兔子挂件和1件B型号兔子挂件共需105元，3件A型号兔子挂件比1件B型号兔子挂件贵95元．
(1)该商店购进的A、B两种型号的兔子挂件的单价分别为多少元？
(2)该商店计划购进A型号兔子挂件600件，B型号兔子挂件件，甲、乙两个厂家的优惠方式如下：
甲厂家：每购买10件A型号兔子挂件赠送一件B型号兔子挂件；
乙厂家：A型号兔子挂件不打折，B型号兔子挂件打九折．
若你是商家的采购员，在只能选择一个厂家采购的条件下，如何采购较省钱？
【答案】(1)A型号兔子挂件的单价为40元，B型号兔子挂件的单价为25元
(2)当时，在甲厂家购买较省钱；
当时，在甲、乙两个厂家购买花费一样；
当时，在乙厂家购买较省钱
【分析】（1）设A型号兔子挂件的单价为元，B型号兔子挂件的单价为元.
由题意，得，解方程组即可．
（2）根据题意，得在甲厂家购买需：（元）；
在乙厂家购买需：，分类计算解答即可．
本题考查了方程组的应用，不等式的应用，正确理解题意，建立不等式模型，方程组模型是解题的关键．
【详解】（1）设A型号兔子挂件的单价为元，B型号兔子挂件的单价为元.
由题意，得，
解得，
答：A型号兔子挂件的单价为40元，B型号兔子挂件的单价为25元.．
（2）解：在甲厂家购买需：（元）；
在乙厂家购买需：（元）.
当在甲厂家购买较省钱时：
，解得，
当时，在甲厂家购买较省钱.
当在甲、乙两个厂家购买花费一样时：
，解得，
当时，在甲、乙两个厂家购买花费一样.
当在乙厂家购买较省钱时：
，解得，
当时，在乙厂家购买较省钱.
综上所述：当时，在甲厂家购买较省钱；
当时，在甲、乙两个厂家购买花费一样；
当时，在乙厂家购买较省钱.
【变式5-4】（24-25七年级下·全国·期末）某城市义务绿化小队决定在植树节当天进行义务植树活动，现决定采购“女贞”和“小叶黄杨”两种类型的树苗共1000棵，已知一棵“女贞”树苗比一棵“小叶黄杨”树苗贵4元，100元可以购买5棵“女贞“和35棵“小叶黄杨”树苗．
(1)求“女贞”树苗和“小叶黄杨”树苗的单价；
(2)若要求购买“女贞”树苗的数量不少于“小叶黄杨”树苗数量的，则至少购买“女贞”树苗多少棵？
(3)在（2）的条件下，若购买树苗的预算不超过3010元，则一共有几种购买方案？哪一种最省钱？
【答案】(1)女贞树苗的单价为6元，小叶黄杨树苗的单价为2元
(2)250棵
(3)一共有三种购买方案，最省钱的方案是购买女贞树苗250棵，购买“小叶黄杨”树苗750棵
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，审清题意、正确列出二元一次方程组和不等式是解题的关键．
（1）设“女贞”树苗的单价为元，“小叶黄杨”树苗的单价为元，然后根据题意二元一次方程组求解即可；
（2）设购买“女贞”树苗棵，则购买“小叶黄杨”树苗棵．然后根据题意列不等式求解即可；
（3）由题意列不等式可得，再结合（2）的结论可得，即的取值可以是250、251、252，据此确定方案即可．
【详解】（1）解：设“女贞”树苗的单价为元，“小叶黄杨”树苗的单价为元，
根据题意，得，解得：
答：“女贞”树苗的单价为6元，“小叶黄杨”树苗的单价为2元．
（2）解：设购买“女贞”树苗棵，则购买“小叶黄杨”树苗棵．
由题意可得：，解得．
答：至少购买“女贞”树苗250棵．
（3）解：由题意：可列不等式，解得：．
由（2）可知，
．
为整数，
的取值可以是250，251，252，
有三种购买方案，
方案一：购买“女贞”树苗250棵，“小叶黄杨”树苗750棵，费用为（元）；
方案二：购买“女贞”树苗251棵，“小叶黄杨”树苗749棵，费用为（元）；
方案三：购买“女贞”树苗252棵，“小叶黄杨”树苗748棵，费用为（元）．
，
方案一最省钱．
答：一共有三种购买方案，最省钱的方案是购买“女贞”树苗250棵，购买“小叶黄杨”树苗750棵．
【考点题型六】一元一次不等式组及其解法（）
【例6-1】（24-25七年级下·全国·期末）已知不等式组的解集是，则关于的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查解一元一次方程，解一元一次不等式组．解题关键在于掌握其方法步骤．
解不等式组，根据其解集得出关于a、b的方程，解之求得a、b的值，再还原方程，解方程即可．
【详解】解：，
解不等式①，得；
解不等式②，得．
∵不等式组的解集是，
∴．
∴，．
∴．
∴方程为．
解得．
故选：D．
【例6-2】（24-25七年级下·全国·期末）若关于的不等式组的解集为，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式组，得出，然后根据不等式组的解集为，求出m的取值范围即可．
【详解】解：解不等组式得：，
∵不等式组的解集为，
∴的范围为．
故选：D．
【例6-3】（23-24七年级下·辽宁·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，准确求出每个不等式的解集是解题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解可得答案．
【详解】解：由得：，
由得：，
不等式组无解，
，
故选：D．
【例6-4】（23-24七年级下·河南安阳·期末）关于x的不等式组，至少有4个整数解，且关于x，y的方程组的解中，x的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、解二元一次方程组，根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数得到即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，，
不等式组至少有4个整数解，
∴，
∴，
解方程组，
得：，解得，
将代入④得：，解得
方程组的解为：，
关于的方程组的解为整数，
，解得：，
当时，，符合题意；
所有满足条件的整数的值为．
故答案为：．
【例6-5】（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
【答案】数轴见解析，
【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题关键．先解出每个不等式的解集，再取公共解集，最后在数轴上表示出来即可．
【详解】解：，
解不等式：
，
解不等式：
，
在数轴上表示为：
不等式组的解集为．
【例6-6】（24-25七年级下·全国·期末）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程．
(1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号）
(2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值；
(3)①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)③
(2)2
(3)①，；②不存在，见解析
【分析】本题考查一元一次方程、一元一次不等式组的解．
（1）分别求出方程①②③的解，再求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义进行判断即可；
（2）先求出不等式组的解集，再根据不等式组的一个关联方程的解是整数，进而求出m的值即可；
（3）①根据一元一次方程的解法解这两个方程即可；
②求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义得出关于m的不等式组，解不等式组即可得出结论．
【详解】（1）解：方程①的解为；
方程②的解为；
方程③的解为；
不等式组的解集为，
∵，
∴不等式组的关联方程是方程③，
故答案为：③；
（2）解：解不等式组，得，
因此不等式组的整数解为．
将代入关联方程0，
得；
（3）解：①，
解得；
，
解得；
②不存在．理由如下：
解不等式组，
得，
假如方程和都是关于的不等式组的关联方程，
则且．
解得：且
∴不等式组无解，
不存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程．
【变式6-1】（23-24七年级下·陕西延安·期末）已知关于x的不等式组的解集为，则a，b的值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】本题考查的是一元一次不等式组与二元一次方程组的综合．分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集得出关于a、b的方程组，解之求得a、b的值即可得出答案．
【详解】解： ，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
∵不等式组的解集为，
∴，
解得：．
故选：D
【变式6-2】（22-23七年级下·贵州黔南·期末）若不等式组恰有三个整数解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解不等式组，掌握不等式的性质，不等式组的取值方法是解题的关键．
根据不等式的性质分别求解，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”得到解集，由此即可求解．
【详解】解：，
解①得，，
∴，
∵不等式组恰有三个整数解，即，
∴，
故选：C ．
【变式6-3】（24-25七年级下·四川宜宾·期末）已知不等式组的解为，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据不等式组解集求参数，代数式求值，熟练掌握根据不等式组解集求出、值是解题的关键．先解不等式组得到，，然后根据该不等式组解集为求出、值，再代入计算即可．
【详解】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解为，
，解得：，，
．
故答案为：．
【变式6-4】（24-25七年级下·全国·期末）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴表示见解析
【分析】本题考查求不等式组解集，并在数轴上表示出不等式组的解集．正确的解出每一个不等式，确定不等式组的解集，是解题的关键．分别解两个一元一次不等式，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，在数轴上将解集表示出来即可．
【详解】解：
由①得，
由②得，
∴不等式组的解集为，
不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【变式6-5】（23-24七年级下·福建·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足．
(1)求k的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请写出符合条件的k的整数值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查二元一次方程组的解及解一元一次不等式组，根据数量关系列出一元一次不等式组是解决本题的关键．
（1）根据题目中方程组的特点，将两个方程作差，即可用含k的代数式表示出，再根据，即可求得k的取值范围，本题得以解决．
（2）不等式的解集为，根据不等式得性质得到，得到k的取值范围，再根据（1）中k的范围，求得k最终的取值范围，即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，得，
∵，
∴，
解得，；
（2）解：不等式移项得：，
∵不等式的解集为，
∴，
解得：，
又∵，
∴k的取值范围为，
∴整数k的值为．
【变式6-6】（23-24七年级下·江西南昌·期末）已知不等式组
(1)若该不等式组的解集为，求 a的值；
(2)若该不等式组无解，求 a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）解不等式组中两个不等式后根据不等式组的解集可得关于a的方程，解之可得；
（2）根据“大小小大无解了”可确定关于a的不等式，解之可得．
【详解】（1）解：
解不等式得：，
解不等式得：，
∵不等式组的解集是，
∴，
解得：；
（2）解：∵不等式组无解，
∴，
解得：．
【考点题型七】一元一次不等式组的应用（）
【例7】（24-25七年级下·四川宜宾·期末）数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息：
信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为．
信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列．

如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题：
(1)当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）；
(2)求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车；
(3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由．
【答案】(1)
(2)16
(3)见解析
【分析】本题考查了列代数式的应用，解一元一次方程，一元一次不等式组的应用，读懂题意列出代数式和不等式组是解题的关键．
（1）根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加，从而得到辆购物车叠放时长，化简即可得到答案；
（2）根据该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列，由（1）可得，解出进而可求得答案；
（3）设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，根据题意得到，解出的取值范围，然后根据为正整数，即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加，
所以辆购物车叠放时长，
故答案为：．
（2）解：因为该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列，
因此由（1）可得，
解得，
（辆）
答：该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车．
（3）解：有3种方案，
设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，
由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车，
，
解得：，
为正整数，
，4，5，
共有3种运输方案：
①扶手电梯运3次，直立电梯运2次；
②扶手电梯运4次，直立电梯运1次；
③扶手电梯运5次．
【变式7-1】（24-25七年级下·全国·期末）某医院安排护士若干名负责护理病人，若每名护士护理名病人，则有名病人没人护理，如果每名护士护理名病人，有一名护士护理的病人多于人不足人，那么这个医院安排了 名护士护理病人．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，正确列出不等式组．设这个医院安排了名护士护理病人，根据题意列不等式组即可求解．
【详解】解：设这个医院安排了名护士护理病人，
根据题意可得：，
解得：，
为整数，
，
故答案为：．
【变式7-2】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习半程马拉松，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是 ．
【答案】15
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了x圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值即可．
【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，
∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数小于，
设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了x圈，根据题意，得，
解得，
∴，
又，
∴，
∴，
∴整数，
即他一共跑的圈数是15，
故答案为：15．
【变式7-3】（23-24七年级下·河南信阳·期末）某大型企业为了保护环境，准备购A、B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万，一台B型设备的单价为10万元，经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，如果该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，而且使这两种设备每月的污水处理量不低于2005吨，请通过计算说明这种方案是否可行．
【答案】该企业计划投入不超过106万购买这两种设备不可行．
【分析】本题考查的是不等式组的实际应用．设购买型污水处理设备台，根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以解答本题．
【详解】解：该企业投入106万购买这两种设备不可行，
理由：设购买型污水处理设备台，
，
解得且，
该不等式组无解，
∴该企业计划投入不超过106万购买这两种设备不可行．
【变式7-4】（24-25七年级下·全国·期末）某玩具店销售甲、乙两种型号的玩具汽车，已知卖出甲、乙两种型号的玩具汽车各2辆，收款共88元；卖出3辆甲型号玩具汽车和1辆乙型号玩具汽车，共收款84元．
(1)求每辆甲型号和乙型号玩具汽车的单价；
(2)某人想在该店购买甲、乙两种型号的玩具汽车共6辆，花费不少于130元，且不超过140元，则有哪几种购买方案？
【答案】(1)每辆甲型号和乙型号玩具汽车的单价分别是20元和24元
(2)共有三种购买方案，分别为甲型号1辆，乙型号5辆；甲型号2辆，乙型号4辆；甲型号3辆，乙型号3辆
【分析】（1）设每辆甲型号和乙型号玩具汽车的单价分别为元，元．由题意，得，解方程组即可；
（2）设购买甲型号玩具汽车辆，则购买乙型号玩具汽车辆，依题意，得，求整数解即可.
本题主要考查列二元一次方程组解应用题，以及列一元一次不等式组解应用题，并设计方案.
读懂题意，正确的列出方程组和不等式组是解题的关键.
【详解】（1）解：设每辆甲型号和乙型号玩具汽车的单价分别为元，元．
根据题意得,
解得，
答：每辆甲型号和乙型号玩具汽车的单价分别是20元和24元；
（2）解：设购买甲型号玩具汽车辆，则购买乙型号玩具汽车辆，
根据题意得，
解得．
为正整数，
取1、2、3．
答：共有三种购买方案，分别为甲型号1辆，乙型号5辆；甲型号2辆，乙型号4辆；甲型号3辆，乙型号3辆．
【变式7-5】（22-23七年级下·湖南湘西·期末）中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务﹐拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，4辆大型渣土运输车与5辆小型渣土运输车一次共运输土方57吨．
(1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？
(2)该渣土运输公司决定派出大，小两种型号的渣土运输车共10辆参与运输土方，每辆大型渣土车一次需费用200元，每辆小型渣土车一次需费用180元．若运输土方总量不少于65吨，且总费用小于1960元．你作为渣土运输公司的经理，列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
【答案】(1)一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨
(2)第一种方案：大型运输车5辆，小型运输车5辆；第二种方案：大型运输车6辆，小型运输车4辆；第三种方案：大型运输车7辆，小型运输车3辆．大型运输车5辆，小型运输车5辆所需费用最少，最少费用是1900元．
【分析】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
（1）设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输y吨，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设该渣土运输公司决定派出大型渣土运输车分别为m辆，则小型渣土运输车辆，根据题意可以列出不等式组，从而可以求得有几种方案，然后求出各方案的费用即可得出结论．
【详解】（1）设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输y吨，则
，
解得．
即一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨；
（2）设该渣土运输公司决定派出大型渣土运输车分别为m辆，则小型渣土运输车（）辆，由题意可得，
解得：
故有三种派车方案，
第一种方案：大型运输车5辆，小型运输车5辆；
第二种方案：大型运输车6辆，小型运输车4辆；
第三种方案：大型运输车7辆，小型运输车3辆．
元；
元；
元；
∵
∴大型运输车5辆，小型运输车5辆所需费用最少，最少费用是1900元．
【变式7-6】（23-24七年级下·贵州黔南·期末）黔南州某市通过网络直播带货助力乡村振兴，在直播间销售黔南州特色农产品．两名顾客在该直播间购买了一些独山盐酸菜扣肉和龙里辣子鸡，下面是他们的一段对话．
(1)请你运用所学知识求出独山盐酸菜扣肉和龙里辣子鸡的单价；
(2)小明爸爸准备去该直播间购买独山盐酸菜扣肉和龙里辣子鸡两种特色农产品共13盒，其中购买独山盐酸菜扣肉至少4盒，并且总费用不低于1440元，请帮小明爸爸计算并写出所有符合条件的购买方案．
【答案】(1)独山盐酸菜扣肉，龙里辣子鸡的单价分别为元，元；
(2)共有3种购买方案：方案一，购买独山盐酸菜扣肉4盒，则购买龙里辣子鸡的数量9盒；方案二，购买独山盐酸菜扣肉5盒，则购买龙里辣子鸡的数量8盒；方案一，购买独山盐酸菜扣肉6盒，则购买龙里辣子鸡的数量7盒．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系和不等关系．
（1）设独山盐酸菜扣肉，龙里辣子鸡的单价分别为元，元，然后根据题意列出方程组即可求解；
（2）设购买独山盐酸菜扣肉盒，则购买龙里辣子鸡的数量盒，然后根据题意列出不等式组即可求解．
【详解】（1）解：设出独山盐酸菜扣肉，龙里辣子鸡的单价分别为元，元，
依题意得，
解得，
∴独山盐酸菜扣肉，龙里辣子鸡的单价分别为元，元；
（2）解：设购买独山盐酸菜扣肉盒，则购买龙里辣子鸡的数量盒，
依题意得，
解得，
∵取正整数，
∴可取，5，6，
∴共有3种购买方案：方案一，购买独山盐酸菜扣肉4盒，则购买龙里辣子鸡的数量9盒；方案二，购买独山盐酸菜扣肉5盒，则购买龙里辣子鸡的数量8盒；方案一，购买独山盐酸菜扣肉6盒，则购买龙里辣子鸡的数量7盒．
【变式7-7】（23-24七年级下·重庆·期末）为了支持一次大型活动，某物流公司需要运输一批展览材料．根据调查得知，辆重型卡车与辆轻型卡车可以一次共同运输箱：辆重型卡车与辆轻型卡车可以一次共同运输箱．
(1)求辆重型卡车和辆轻型卡车分别能够单独运输多少箱展览材料？
(2)计划用两种类型的货车总共辆来完成这批物资的运输任务，每趟每辆重型货车的费用为元，每趟每辆轻型货车的费用为元．如果要求至少使用台重型货车，并且总费用不超过元，请列出所有可能的配送方案，并指出哪种方案最经济实惠以及所需最低费用是多少？
【答案】(1)辆重型卡车能够单独运输箱展览材料，辆轻型卡车能够单独运输箱展览材料；
(2)方案：使用辆重型货车，台轻型货车；方案：使用辆重型货车，台轻型货车；方案：使用辆重型货车，台轻型货车；使用辆重型货车，台轻型货车最经济实惠，所需最低费用是元．
【分析】
（）设辆重型卡车能够单独运输箱展览材料，辆轻型卡车能够单独运输箱展览材料，
根据题意可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（）设使用台重型货车，则使用台轻型货车，根据题意列出不等式组即可求解；
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组．
【详解】（1）
设辆重型卡车能够单独运输箱展览材料，辆轻型卡车能够单独运输箱展览材料，
根据题意得：，
解得： ，
答：辆重型卡车能够单独运输箱展览材料，辆轻型卡车能够单独运输箱展览材料；
（2）设使用台重型货车，则使用台轻型货车，
根据题意得：，
解得：，
又∵为正整数，
∴可以为，，，
∴共有种配送方案，
方案：使用辆重型货车，台轻型货车；
方案：使用辆重型货车，台轻型货车；
方案：使用辆重型货车，台轻型货车；
选择方案所需费用为（元）；
选择方案所需费用为（元）；
选择方案所需费用为（元）；
∵，
∴使用辆重型货车，台轻型货车最经济实惠，所需最低费用是元．
【变式7-8】（24-25七年级下·上海·期中）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人．
(1)求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？
(2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围．
【答案】(1)采购一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元
(2)该公司可以采购A种机器人数量的范围
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用．
（1）设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元，根据“用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人”列出一元一次方程解方程即可；
（2）设采购A种机器人a个，则采购B种机器人个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可．
【详解】（1）解：设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元，
由题意得，，
解得，
∴，
答：采购一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元；
（2）解：设采购A种机器人a个，则采购B种机器人个，
根据题意得，
解得，
∴该公司可以采购A种机器人数量的范围．
【变式7-9】（22-23七年级下·广西南宁·期末）围棋是中国传统棋种，古代称为“弈”，距今已有四千多年的历史．中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．某学校为丰富学生课余生活，计划到甲超市购买一批象棋和围棋．已知购买2副象棋和3副围棋共需140元，购买4副象棋和1副围棋共需130元．
(1)求每副象棋和围棋的单价．
(2)若学校准备购买象棋和围棋共80副，总费用不超过2250元，那么最多能购买多少副围棋？
(3)若甲超市对围棋进行促销，方案一：围棋一律打九折；方案二：办理超市会员卡60元，围棋一律打七折．若学校购买10副象棋和若干副围棋，则学校选用哪种方案购买围棋花费少？
【答案】(1)每副象棋的价格是25元，每副围棋的价格是30元
(2)最多能购买 50 副围棋
(3)当购买围棋少于10副时，选用方案一购买围棋花费少；当购买围棋等于10副时，选择两个方案购买围棋花费相同；当购买围棋多于10副时，选用方案二购买围棋花费少
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及数学常识，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）分，及三种情况，求出的取值范围或的值．
（1）设每副象棋的价格是元，每副围棋的价格是元，根据“购买2副象棋和3副围棋共需140元，购买4副象棋和1副围棋共需130元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买副围棋，则购买副象棋，利用总价单价数量，结合总价不超过2250元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论；
（3）设学校购买副围棋，则选用方案一所需费用为元，选用方案二所需费用为元，分，及三种情况，求出的取值范围或的值，此问得解．
【详解】（1）解：设每副象棋的价格是元，每副围棋的价格是元，
根据题意得，解得，
答：每副象棋的价格是25元，每副围棋的价格是30元；
（2）解：设购买副围棋，则购买副象棋，
根据题意得，解得，
的最大值为50，
答：最多能购买50副围棋；
（3）解：设学校购买副围棋，则若学校购买10副象棋和副围棋，
选用方案一所需费用为元；
选用方案二所需费用为元．
当时，，
当时，选用方案一购买围棋花费少；
当时，，
当时，选用两个方案购买围棋花费相同；
当时，，
当时，选用方案二购买围棋花费少；
答：当购买围棋少于10副时，选用方案一购买围棋花费少；当购买围棋等于10副时，选择两个方案购买围棋花费相同；当购买围棋多于10副时，选用方案二购买围棋花费少．
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