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七下期末真题百题大通关（12题型）（压轴版）
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选填压轴 题型一 三线八角的构造 题型二 判断真假命题 题型三 平面直角坐标系中规律探究 题型四 含参方程组、整数解和方程组综合题 题型五 方程（组）的应用 题型六 方程整数解得应用 题型七 新情境和新定义 题型八 面积问题与面积方法 题型九 多结论题（代数） 题型十 多结论题（几何） 解答压轴 题型十一 几何计算与证明综合题 题型十二 坐标系中的几何综合题
题型一 三线八角的构造
1．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，，，则，与之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，在一次数学实践活动课中某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠．折痕分别为，若，且，则为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束CH与天花板所形成的角（）不可能取到的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）如图，在长方形纸带中， ，，将长方形沿折叠，，两点的对应点分别为，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25七年级下·全国·期末）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为．第二次拐弯的度数为，到了点P后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则 ．
7．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图，其中．若，则的度数是 ．
8．（23-24七年级下·全国·期末）如图，，，若，则的度数为 ．
9．（22-23七年级下·安徽马鞍山·期末）已知，如图平行，O为平面内一点，，的角平分线相交于G点，则 °

10．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在长方形中，在线段上任取一点点不和点，重合，连接，过点作交的延长线于点，的平分线和的平分线交于点，则
11．（24-25七年级上·河南新乡·期末）如图，，在的两边上分别过点和点向同方向作射线和，且．
（1）若，则的度数为 ．
（2）若和的平分线所在的直线交于点（与不重合），则的度数为 ．
题型二 判断真假命题
11．（21-22七年级下·江苏镇江·期末）命题：①质数都是奇数；②如果、，那么；③多边形的外角和小于内角和；④如果，那么．其中假命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（23-24七年级下·河南省直辖县级单位·期末）下列命题是真命题的有（ ）
①实数与数轴上的点一一对应；
②直线外一点到这条直线的垂线段，就是这一点到这条直线的距离；
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④若，的两边与的两边分别平行，则；
⑤两直线被第三条直线所截，同旁内角互补．
A．①③ B．①②③④⑤ C．①②③④ D．①③④
14．（23-24七年级下·重庆江津·期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．一个二元一次方程有无数个解 B．相等的角是对顶角
C．过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．同旁内角互补
15．（21-22七年级下·山东德州·期末）下列四个命题：①对顶角相等；②点到直线的垂线段叫做点到直线的距离；③如果，，那么；④三角形的一个外角大于任何一个内角；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中真命题有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
16．（21-22七年级下·福建龙岩·期末）下列四个命题中真命题的个数是（ ）
①两直线平行，同旁内角相等
②点到轴的距离是2
③立方根等于本身的数是0和1
④若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
17．（23-24七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）下列命题中，假命题有（ ）
①若两个角的两边分别平行，则这两个角相等；
②平方根等于本身的数有0和1；
③二元一次方程组有无数个解；
④有序数对和表示相同的位置；
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
18．（23-24七年级下·河南新乡·期末）下列命题中，真命题个数是（ ）
①两条直线被第三条直线所截，同位角相等．
②若的近似值取2.646，则的近似值取26.46．
③平面直角坐标系内的点和有序有理数对一一对应．
④如果关于x的一元一次不等式有3个整数解，那么．
A．1 B．2 C．3 D．4
19．（23-24七年级下·吉林四平·期末）给出下列5个命题：①垂线段最短；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③互补的角是邻补角；④同旁内角相等，两直线平行；⑤同旁内角的两个角的平分线互相垂直．其中是真命题的是 ．（填写命题的序号即可）
20．（21-22七年级下·北京延庆·期末）已知：在同一平面内，三条直线a，b，c．下列四个命题为真命题的是 ．（填写所有真命题的序号）
①如果ab，，那么； ②如果，，那么；
③如果ab，cb，那么ac； ④如果，，那么bc．
题型三 平面直角坐标系中的规律探究
21．（23-24七年级下·河南漯河·期中）如图，长方形的各边分别平行于轴、轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿长方形的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动则两个物体运动后的第2024次相遇地点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
22．（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…顶点依次用，，，，…表示，（在第三象限，顺时针依次为，，，在第三象限顺时针依次为，依此类推…）则顶点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
23．（22-23七年级下·广东·期末）如图，一个机器人从点O出发，向正西方向走到达点；再向正北方向走到达点；再向正东方向走到达点；再向正南方向走到达点；再向正西方向走到达点，按如此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
24．（23-24七年级下·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，某机器人从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向每次移动1个单位长度，行走路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，第3次移动到，第4次移动到…则第2024次移动至点的坐标是 ．
25．（22-23七年级下·河南周口·期末）将一组数，，，，按下面的方法进行排列：


……
若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为 ．
26．（23-24七年级下·湖北随州·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，，…．若点的坐标为，则点的坐标为 ；若点的坐标为，对于任意的正整数n，点均在轴上方，则a，b应满足的条件为 ．
题型四 含参方程组、整数解和方程组综合题
27．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）对于关于x，y的二元一次方程组，甲、乙两人的判断如下．甲：当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；乙：无论a取何值，的值始终不变．则（ ）
A．甲的判断正确 B．乙的判断正确
C．甲、乙的判断都正确 D．甲、乙的判断都不正确
28．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
29．（24-25七年级上·湖南常德·期末）已知关于，的二元一次方程组的解为且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
30．（21-22七年级下·浙江嘉兴·期末）关于x，y的方程组有以下两个结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②不论a取什么实数，代数式的值始终不变．则（ ）
A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误
31．（21-22七年级下·浙江杭州·期末）已知正数a，b，c满足则可判断（　　）
A．a最小，c最大 B．a最小，b最大
C．b最小，c最大 D．c最小，b最大
32．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）已知关于的二元一次方程组的解为，小强因看错了系数，得到的解为，则 ．
33．（23-24七年级下·湖北黄冈·期末）若方程组的解是（其中），则方程组的解是 ．
题型五 方程（组）的应用
34．（23-24七年级上·湖南娄底·期末）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？译成白话文，其意思是：有100个和尚分100只馒头．正好分完．如果大和尚一人分3只，小和尚3人分一只，试问大小和尚各有几人？那么大和尚比小和尚少多少人？（ ）
A．25 B．35 C．50 D．75
35．（23-24七年级上·湖北十堰·期末）幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图为一个三阶幻方的一部分，则x的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
36．（23-24七年级下·重庆·期末）甲、乙、丙三家艺术中心为表彰进步学生，准备去文具店采购签字笔、笔记本、钢笔三种文具，签字笔、笔记本、钢笔单价分别为8元、10元、25元．乙艺术中心采购签字笔数量是甲的6倍，笔记本数量是甲的12倍，钢笔数量是甲的8倍，丙采购的签字笔数量是甲的3倍，笔记本数量是甲的9倍，钢笔数量和甲相同．三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，则甲艺术中心采购总费用为（ ）元
A．237 B．350 C．425 D．901
37．（24-25七年级上·湖南常德·期末）幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如表为一个三阶幻方的一部分，则图中右上角空格中的值为 ．
38．（24-25七年级上·重庆·期末）簪花在我国已有两、三千年的历史．热爱传统文化的涵涵购买了若干支丁香花、海棠花、玉兰花用于手工制作三款簪花头饰各一套（每款均用到三种花）．已知每款簪花中海棠花的用量等于玉兰花用量．A款丁香花用量为3枝，B款丁香花用量比C款丁香花用量少2枝；A款中玉兰花的用量为2枝，B款玉兰花的用量是它的丁香花用量的3倍；制作完成后统计发现，三款簪花丁香花的总用量与玉兰花总用量比为．已知每款簪花成本等于所用花朵成本之和．若每枝丁香花、海棠花、玉兰花的成本分别是元、元、元，则C款簪花的成本是 元（用含、、的代数式表示）．若A款簪花的成本为49元，B款簪花的成本为63元，则C款簪花的成本是 元．
39．（22-23七年级上·四川成都·期末）王老师购进159个糖果，奖励期末考试最优异的三个小组，期末考试第一名的小组每人获得13颗糖，第二名的小组每人获得12颗糖，第三名的小组每人获得11颗糖，则这三个小组学生的总人数为 ．（每个组人数大于1人）
40．（24-25七年级上·全国·期末）某生鲜店推出了A、B、C三类蔬菜包以方便居家生活的市民购买，A、B、C三类蔬菜包内均由萝卜、白菜、洋葱三种蔬菜搭配而成，每袋蔬菜包的成本也均为萝卜、白菜、洋葱三种蔬菜成本之和．每袋A蔬菜包有5公斤萝卜、4公斤白菜、6公斤洋葱；每袋C蔬菜包有7公斤萝卜、2公斤白菜、3公斤洋葱．已知每袋A的成本是该袋中萝卜成本的3倍，利润率为，每袋B的成本是其售价的，每袋C的利润是每袋A利润的．若该生鲜店1月2日当天销售A、B、C三种蔬菜包袋数之比为，则当天该生鲜店销售A、B、C三种蔬菜包的总利润与总成本的比值为 ．
41．（23-24七年级上·重庆垫江·期末）在传统佳节春节即将来临之际，糖果店推出三种糖果礼盒，每种礼盒都有劲仔小鱼、旺旺糖、小小酥、果冻4种糖果．礼盒一：劲仔小鱼4袋，旺旺糖3袋，小小酥2袋，果冻a袋；礼盒二：劲仔小鱼6袋，旺旺糖2袋，小小酥6袋，果冻3a袋；礼盒三：旺旺糖4袋，小小酥4袋，果冻6袋，已知劲仔小鱼每袋成本为a元，所有糖果成本均为整数，每种礼盒的成本费由糖果总成本和10元加工费组成．礼盒一成本费50元；礼盒二成本费70元；礼盒三成本费69元．则礼盒三中劲仔小鱼的数量是 袋．
42．（23-24七年级下·河南安阳·期末）关于x的不等式组，至少有4个整数解，且关于x，y的方程组的解中，x的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ．
43．（23-24七年级下·重庆梁平·期末）如果关于x的不等式组的解集为，且整数m使得关于x，y的二元一次方程组的解为整数（x，y均为整数），则符合条件的所有整数m的积是 ．
题型六 方程整数解得应用
44．（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数之和为 ．
45．（23-24七年级下·全国·期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，那么所有符合条件的整数a的个数为 ．
题型七 新情境和新定义
46．（22-23七年级下·重庆彭水·期末）对实数，定义一种新运算，规定：（其中为非零常数）；例如：；已知，给出下列结论：①；②若，则；③若，则；④有最小值，最小值为3；以上结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
47．（24-25七年级上·福建三明·期末）我们把对非负数“四舍五入”到个位的值记为，例如，，…下列结论中：①；②；③；④满足的非负数只有三个．其中结论正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
48．（22-23七年级下·重庆·期末）我们用表示不大于a的最大整数；用表示大于a的最小整数．下列说法：
①，；
②如果，则满足条件的所有正整数x只有7和8；
③已知x，y满足方程组，则x，y的取值范围，．
其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
49．（23-24七年级下·重庆巴南·期末）定义一种新运算： ，下列说法：
①若， 则
②若， 则该不等式的解集为或；
③代数式 有最小值6；
④若关于x，y的二元一次方程组 的解为 则a的值为0或4．以上结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
50．（22-23七年级下·重庆江津·期末）对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与的商记为．例如，对调百位与十位上的数字得到，对调百位与个位上的数字得到，对调十位与个位上的数字得到，这三个新三位数的和为，，所以．若，都是“相异数”，其中，（，，，都是正整数），规定：，当时，则的最大值为 ．
51．（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦，发明了一个魔术盒：当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数，例如把放入其中，就会得到，现将实数对放入其中，得到实数，则 ．
52．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数．例如：；．则下列结论：①；②；③若，则的取值范围是；④当时，的值为0、1、2．其中正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）．
题型八 面积问题与面积方法
53．（23-24七年级下·湖南永州·期末）如图，在三角形中，，将三角形沿BC方向平移得到三角形，其中，，，则阴影部分的面积是（ ）
A．15 B．18 C．21 D．24
54．（21-22七年级下·福建厦门·期末）如图，△的边在x轴的正半轴上，点B的坐标为，把△沿x轴向右平移2个单位长度，得到，连接，若△的面积为4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．1 C．2 D．
55．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，将直角梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，其中，，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积为 ．
56．（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，在长，宽的长方形草坪上建有两条等宽的弯曲小路，把草坪分成了4部分．若每条小路的宽度为，则草坪的面积为 ．
57．（24-25七年级下·四川南充·期中）如图，某公园里一处长方形风景欣赏区，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米．若米，米，小明沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，则他所走的路线（图中虚线）长为 ，阴影部分的面积为 ．
题型九 多结论题（代数）
58．（24-25七年级上·山东东营·期末）下列说法：①负数没有立方根；②实数和数轴上的点是一一对应的；③；④正数的两个平方根互为相反数；⑤任意实数都存在倒数；⑥算术平方根等于它本身的数只有0．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
59．（23-24七年级下·山东德州·期末）已知关于，的方程组，下列结论：①当时，，的值互为相反数：②若是方程组的解，则；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
60．（21-22七年级下·重庆江津·期末）阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．
例：由，得：（、均为正整数），要使为正整数，则为整数，且．可知：为的倍数，且．从而，把代入．所以的正整数解为．
则下列说法正确的有（ ）
①是方程正整数解；②若为整数，则满足条件的整数的值有个；③关于、的二元一次方程方程组的解是正整数，则整数的值为．
A．个 B．个 C．个 D．个
61．（21-22七年级下·黑龙江七台河·期末）下面说法错误的个数有（　 　）
①若﹥，则﹥；②如果﹥，那么﹥；③﹥4是不等式+3≥6的解的一部分；④不等式两边乘（或除以）同一个数，不等号的方向不变；⑤不等式+3﹤3的整数解是0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
62．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）下列说法：①如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；②若，且，则；③若关于x的不等式组无解，则；④若关于x的不等式组有解且每个解都不在的范围内，．其中正确说法是 ．（填正确结论的序号）
63.（20-21七年级下·湖北武汉·期末）下列命题：①对顶角相等；②为了了解某校七年级600名学生的体重情况，从中抽查了50名学生的体重进行统计分析，在这个问题中，总体是指600名学生的体重；③已知正实数的平方根是和，若，则；④若不等式对一切实数都成立，则的最大值是5；其中真命题是： ．（请填序号）
题型十一 多结论题（几何）
64．（24-25七年级上·福建漳州·期末）如图，，平分交于点E，于点E，．下列结论：①；②与互余；③；④平分．其中结论正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④
65．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，，点B在上，点F在上，连接，平分，平分交于点H，．给出下面四个结论：
①；
②平分；
③；
④．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
66．（23-24七年级下·湖北荆州·期末）将一块三角板（，）按如图方式放置，使，两点分别落在直线，上，对于给出的五个条件：①；②；③，；④；⑤；能判断直线的有 ．（填序号）
67．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
68．（22-23七年级上·黑龙江鸡西·期末）如图AB，交于点O，，，平分，则下列结论：①图中的余角有四个；②∠AOF的补角有2个；③为的平分线；④．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①④ D．②③④
69．（24-25七年级下·全国·期末）将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
70．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
71．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，在四边形中，H为四边形内部一点，连接，点E在线段的延长线上，，，点F在内部，连接，连接交于点G，，的余角比大．则下列结论：①；②；③；④其中所有正确的结论是 ．（填序号）
72．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，，点在上，，平分，且平分．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（请填写序号）
73．（24-25七年级上·四川眉山·期末）已知直线，点在直线之间，连接．下面结论正确的个数为（ ）
①如图1，若，，则；
②如图2，点在之间，当，，则；
③如图2，点在之间，当，，则；
④如图3，的角平分线交于，且，点在直线之间，连接，，，，则和的关系为（用含的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）．
A．1 B．2 C．3 D．4
74．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）将一个三角板如图所示摆放，直线与直线相交于点，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当 时，与三角板的直角边平行．
题型十一 几何计算与证明综合题
75．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，．
(1)如图1，若，直接写出的度数；
(2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；（结果可用含的式子表示）
(3)如图3，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数．
76．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）已知直线，在三角形纸板中，．
(1)将三角形按如图1放置，点和点分别在直线上，若，则__________；
(2)将三角形按图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，．试求之间的数量关系；
(3)在图2中，若，将三角形绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为秒．当三角形的一条直角边分别与平行时，求出相应的值（直接写出答案）．
77．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图1，在同一个平面上，已知点O为直线上一点，将三角板按如图所示放置，且直角顶点与O重合，点P在线段上，设．
(1)【问题探究】已知：且，，通过计算说明：平分；
(2)【类比探究】当三角板按图2放置时，平分，求的度数（结果用含α的代数式表示）；
(3)【拓展应用】在（2）的条件下，请直接写出与存在的数量关系．
78．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，，的平分线交于点G．
(1)试说明：；
(2)如图，线段上有一点P，满足，过点A作交于点H．
①若，试判断与的位置关系，并说明理由；
②在①的条件下，在射线上取一点M，使得，直线交直线于点Q，求的值．
79．（21-22七年级下·江西赣州·期末）【感知】（1）如图①，，求的度数．
小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程．
解：如图①，过点P作，
【探究】（2）如图②，，求的度数；
【应用】（3）如图③，在以上【探究】条件下，的平分线和的平分线交于点G，求的度数．
（4）已知直线，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上（点C在点D的左侧），连接，的平分线与的平分线所在的直线交于点E，设，请画出图形并求出的度数（用含的式子表示）．
80．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知分别在上．
(1)如图（1），求证：；
(2)如图（2），若F在之间，平分，若，求与的数量关系；
(3)如图（3），射线从开始，绕M点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕N点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于P，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间t秒的值．
81．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，．
(1)如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数．
(3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数．
82．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【问题情境】在数学课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动．
已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是与之间任意一点，连按、．直线，直线l分别交、于M、N两点．
【探索发现】（1）如图1，求证：；
【深入探究】（2）如图2，求证：；
【拓广探索】（3）如图3，平分，平分，过点F作的垂线交于点H，连接，，，求的度数．
83．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图（1），直线与直线、分别交于点、．为钝角，．
(1)求证：；
(2)如图（2），点、分别在直线、上，点（不在直线上）是直线、之间一点，连接、、．若，，求等于多少度？
(3)如图（3），在（2）的条件下，平分交直线于点，平分交于点，交直线于点，若，，求的度数．
84．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足．
(1)______，______；
(2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直．
(3)若射线绕点顺时针先转动15秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线第一次到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？
85．（24-25七年级上·四川眉山·期末）如图，已知，．
(1)如图1，试说明：；
(2)如图2，连接，若点在线段上，且满足平分，平分，，求的度数：
(3)①如图2，在（2）中，若，其他条件不变，求的度数（直接写出答案，用含的代数式表示）；
②如图3，在（3）①的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当平分时，若，求的度数（直接写出答案，用含的代数式表示）；
③如图3，在（3）①的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当时，若，求的度数（直接写出答案，用含的代数式表示）；
86．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图1，在一张正方形纸片（正方形的两组对边分别平行）的两边上分别有A，B两点，连接，点P是正方形纸片上一点，过点P翻折纸片，使点B落在直线上的点处，折痕交于点Q．

(1)①判断折痕与的位置关系，并说明理由；
②通过不断地尝试，除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是_______；
(2)在图1的基础上，展平纸片，得到图2，在图2中过点P折出并画出与平行的折痕（折痕左端点记为点D，右端点记为点E），请简要阐述折叠方法并说明理由；
(3)将图2的纸片展平得到图3，点S是线段上一动点（不与点E重合），若，，，请直接写出的度数．（用、β的代数式表示）
87．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知，如图，点在、两线之间，且在所在直线的左侧．
(1)如图1，当，时，
①若平分，平分，则________；
②若，，则________；
③若，，则________．
(2)如图2，当与相交，点、点重合时，猜想、、与之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，直接运用（2）的结论探究下列问题：
①若平分，平分，当，时，求的度数；
②若，，当，时，求的度数．
88．（23-24七年级下·福建福州·期末）已知，点分别是直线上的两点，点在之间，连接．

(1)如图（），若，，求证：；
(2)若点是下方一点，平分，平分．请在图（）中补全图形，并探究，与之间的数量关系．
89．（23-24七年级上·山东济南·期末）【阅读探究】
（1）如图1，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数．
解：过点作，
所以______，
因为，
所以，
所以______，
因为，
所以．
（2）从上面的推理过程中，我们发现平行线可将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系为________．
【方法应用】
（3）如图2，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数．
【应用拓展】
（4）如图3，分别是上的点，点在两平行线之间，作和的平分线，交于点（交点在两平行线之间），若，则的度数为________（用含的式子表示）．
90．（24-25七年级下·全国·期末）如图，某段铁路两旁安置了，两盏可旋转探照灯．已知，，为上两点，连接， ，平分交于点，为上一点，连接．
(1)__________；
(2)如图，为上一点，连接．当，时，试说明：；
(3)探照灯，射出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线从出发以每秒 的速度逆时针转动，探照灯射出的光线从出发以每秒 的速度逆时针转动，转至射线后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当与互相平行或垂直时，请直接写出此时的值．
91．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）【实验操作】七年级同学“探寻古城墙、研读长安城”研学时，小明发现城墙某段道路（）两旁安置了两盏可旋转探照灯，课后利用所学知识进行了综合实践学习．经观察，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停旋转照射，当两条光束相交时，记交点为．
【猜想验证】（1）如图，转至某刻，，，则∠CFG为多少度？请说明理由；
【应用迁移】（2）灯、灯转动的速度分别是每秒、每秒．若两灯同时开始转动，则在灯射线第一次到达之前，灯转动几秒时，？请画图分析并计算．
92．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）已知，如图，平行，直线交于点，交于点，点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分．
(1)如图1，当时，直接写出的度数；
(2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在（1）问的条件下，若，，过点作交的延长线于点，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为△，当首次与重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的的值______．
题型十二 坐标系中的几何综合题
93．（23-24七年级下·天津·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，连接．若a，b满足．平移线段，使点A与点C重合，点B对应点为点D．
(1)填空：______，______，点D的坐标为______；
(2)如图2，延长线段至点．连接，请利用，，的面积关系，求出m，n满足的关系式；
(3)过点D作射线轴，交y轴于点F，动点P从点D出发沿射线以每秒2个单位的速度向右运动，连接交x轴于点Q，设运动时间为t秒，的面积为S，若，求t的取值范围．
94．（23-24七年级下·福建龙岩·期末）如图1，在平面直角坐标系中，，，将线段沿轴向右平移12个单位得到线段，动点在直线上．
(1)填空：点的坐标为______，点的坐标为______；
(2)如图1，点是线段上一点（不与点、重合），连接，请用等式表示，，之间满足的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，点在轴上，且，连接，当的面积等于的面积时，请求出点P的坐标．
95．（23-24七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，对于点，点，定义与中的较大值为点，的“绝对距离”，记为．特别地，当时，规定．
(1)已知，，
① ；
②点是坐标系内一动点，当时，直接写出满足条件的绝对距离最小时的点坐标；
(2)已知点，点，当时，的最小值是 ，的最大值是 ；
(3)已知点，点，点在线段上，点的坐标是，点向右平移1个单位长度得到点，对于线段上任意一点，存在点满足，直接写出的取值范围．
96．（20-21七年级下·陕西安康·期末）如图①，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2m-6，0)，B(4，0)，C(-1，2)，点A，B分别在原点两侧，且A，B两点间的距离等于6个单位长度．
(1)m的值为_________；
(2)在x轴上是否存在点M，使△COM的面积=△ABC的面积，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图②，把线段AB向上平移2个单位得到线段EF，连接AE，BF，EF交y轴于点G，过点C作CD⊥AB于点D，将长方形GOBF和长方形AECD分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右平移，同时，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线AECDA运动，当长方形GOBF与长方形AECD重叠面积为1时，求此时点M的坐标．
97．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，其中a、b满足关系式．
(1)求点A、B的坐标；
(2)如图（1），将三角形先向上平移2个单位长度，再向左平移k个单位长度至三角形，线段交y轴于点，求k的值；
(3)如图（2），在（2）的条件下，点是直线上一动点，且，求n的取值范围．
98．（21-22七年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，，，且满足
(1)若没有平方根，判断点位于第几象限，并说明理由；
(2)若为直线上一点，且的最小值为3，求点的坐标；
(3)已知坐标系内有两点，，为线段上一点，将点平移至点．若点在线段上，记的最小值为，最大值为，当时，请判断是否为定值？若是，求出该定值，若不是，试讨论的取值范围．
99．（21-22七年级下·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴正半轴，到轴的距离为，点的坐标为，点在轴上点A的右侧，且，过点作平行于轴的直线，点是直线上的一个动点．
(1)若点在第一象限，且到轴的距离为．
①点的坐标为______；
②线段的长为______；
③如图，连接、、，平移线段，使A到的位置、到的位置，则点的坐标为______．
(2)平移图中的线段，点始终在直线上，设点的纵坐标为．
①在点运动的过程中，若线段与轴有一个交点，则点的纵坐标的取值范围是______．
②当三角形的面积等于时，求点的坐标．
100．（21-22七年级下·湖北武汉·期中）如图1， 四边形ABCD为正方形（四个边相等， 四个内角都是90°） ， AB平行于y轴．
(1)如图1，已知 ，正方形ABCD的边长为4， 直接写出点A，D，C的坐标；
(2)如图2，已知，，， 点Q从C出发，以每秒2个单位长度的速度延射线CD方向运动，运动时间为t秒，若
①当t=1时，求△BPQ的面积；
②当时，求t的值．七下期末真题百题大通关（12题型）（压轴版）
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选填压轴 题型一 三线八角的构造 题型二 判断真假命题 题型三 平面直角坐标系中规律探究 题型四 含参方程组、整数解和方程组综合题 题型五 方程（组）的应用 题型六 方程整数解得应用 题型七 新情境和新定义 题型八 面积问题与面积方法 题型九 多结论题（代数） 题型十 多结论题（几何） 解答压轴 题型十一 几何计算与证明综合题 题型十二 坐标系中的几何综合题
题型一 三线八角的构造
1．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，，，则，与之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、平行公理的应用
【分析】本题考查了平行线的性质，添加平行线是解题的关键．过点E作，过点F作，根据平行线的性质可求得，，，所以，再证明，即可代入得到答案．
【详解】过点E作，过点F作，
，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
2．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查平行线的性质．过作，得到，由，推出，由垂直的定义得到，由平行线的性质得出，即可求出结果．
【详解】解：过作，
∵，
∴，
，
，
，
∵，
，
，
故选：C．
3．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，在一次数学实践活动课中某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠．折痕分别为，若，且，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题
【分析】本题主要考查了折叠问题．熟练掌握折叠性质，平行线性质，是解题的关键．
两向延长到N和M，由折叠的性质得到，由平角定义求出，由平行线的性质推出，得到，即可求出．
【详解】解：两向延长到N和M，
由折叠的性质得到：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴．
故选：D．
4．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束CH与天花板所形成的角（）不可能取到的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线和利用分类讨论的思想是解题的关键．
分和，分别利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：当时，如图1所示，过点C作，
∵，
∴，
∴，
∴，
由反射定理可知，，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图2所示，过点C作，
同理可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，或．
故选B．
5．（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）如图，在长方形纸带中， ，，将长方形沿折叠，，两点的对应点分别为，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题
【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质，关键是由平行线的性质得到，，由折叠的性质得到，．
过作，得到，推出，，由折叠的性质得到，，因此，求出，由邻补角的性质得到，因此，于是得到．
【详解】解：过作，
，
，
，，
，
由折叠的性质得到，，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
6．（24-25七年级下·全国·期末）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为．第二次拐弯的度数为，到了点P后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则 ．
【答案】
【知识点】根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题考查平行线的判定和性质，当题目中的已知条件和已有的图形不能解决问题时，往往考虑添加辅助线，将不相关，分散的条件进行转移与转化，构造出一些基本的几何图形，搭建已知和未知之间的桥梁．本题可以过点作后借助平行线的知识进行解答．
【详解】解：过点作．由题可知，
，
，．
．
故答案为：．
7．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图，其中．若，则的度数是 ．
【答案】/80度
【知识点】根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题考查的是平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定并灵活运用．
过点作，得出，即可得，结合，得出，然后根据得出，即可求解．
【详解】解：过点作，
∵，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
8．（23-24七年级下·全国·期末）如图，，，若，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分及三角形内角和，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先求出，进而得出，再利用三角形内角和求出结论即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
9．（22-23七年级下·安徽马鞍山·期末）已知，如图平行，O为平面内一点，，的角平分线相交于G点，则 °

【答案】或
【知识点】平行公理的应用、角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数
【分析】根据O的位置，分两种情况讨论：再分别画出图形，当在，之间，当不在，之间，再利用数形结合的方法解答即可．
【详解】解：如图，过作，而，
∴，

∴，，
∵，
∴，
∵的角平分线相交于G点，
∴，
过作，
同理：，
同理可得：．
如图，过作，而，
∴，

∴，，
∵，
∴，
∵的角平分线相交于G点，
设，，
∴，
∴，即，
过作，则，
∴，，
∴；
故答案为：或
【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，清晰的分类讨论是解本题的关键．
10．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在长方形中，在线段上任取一点点不和点，重合，连接，过点作交的延长线于点，的平分线和的平分线交于点，则
【答案】
【知识点】两直线平行同旁内角互补、与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线定义以及三角形内角和定理等知识，先证，再由角平分线定义得，，设，则，得，然后求出，即可解决问题．
【详解】解：如图所示，
四边形是长方形，
∴，
，
∵，
，
，
是的角平分线，是的角平分线，
，，
设，则，
，
，
，
，
故答案为：．
11．（24-25七年级上·河南新乡·期末）如图，，在的两边上分别过点和点向同方向作射线和，且．
（1）若，则的度数为 ．
（2）若和的平分线所在的直线交于点（与不重合），则的度数为 ．
【答案】 或
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解决问题的关键．
（1）过点作，而，可得，证明，，再进一步解答即可；
（2）分两种情况当为锐角时，过点作，过点作，利用平行线的性质可得，，再结合角平分线即可求得；当为钝角时，，，再根据角平分线及平行线性质得．
【详解】解：（1）过点作，而，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：
（2）①当为锐角时，如图所示：
过点作，过点作，
，
，
，，
，，
，即，
，，
，，
，即，
又点为和的角平分线所在的直线的交点，
，，
，
②当为钝角时，如图所示：
过点作，过点作，
，
，
，，
，，
，
，
，
，，
，，
又点为和的角平分线所在的直线的交点，
，，
，
综上所述或
故答案案为：或．
题型二 判断真假命题
11．（21-22七年级下·江苏镇江·期末）命题：①质数都是奇数；②如果、，那么；③多边形的外角和小于内角和；④如果，那么．其中假命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】判断命题真假、通过对完全平方公式变形求值、不等式的定义、多边形内角和与外角和综合
【分析】根据质数的定义、完全平方公式的变式、多边形内角与外角、不等式的判定，即可一一判定．
【详解】解：①质数都是奇数，错误，2是质数，但是偶数，故该命题是假例题；
②如果、，那么，故该命题是假例题；
③多边形的外角和小于内角和，错误，如三角形的外角和为，内角和为，故该命题是假例题；
④如果，那么不一定成立，如a=-2，b=-3，，故该命题是假例题；
故共有4个假命题，
故选：D．
【点睛】本题考查了质数的定义、完全平方公式的变式、多边形内角与外角、不等式的判定，熟练掌握和运用真假命题的判定方法是解决本题的关键．
12．（23-24七年级下·河南省直辖县级单位·期末）下列命题是真命题的有（ ）
①实数与数轴上的点一一对应；
②直线外一点到这条直线的垂线段，就是这一点到这条直线的距离；
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④若，的两边与的两边分别平行，则；
⑤两直线被第三条直线所截，同旁内角互补．
A．①③ B．①②③④⑤ C．①②③④ D．①③④
【答案】A
【知识点】判断命题真假、实数与数轴、点到直线的距离、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了真假命题的判断，牢记相关定义与定理是解题的关键．根据实数与数轴的关系、点到直线的距离、垂线的定义、平行公理、平行线的性质逐项判断即可．
【详解】解：实数与数轴上的点一一对应，故①是真命题；
直线外的一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故②是假命题；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③是真命题；
，的两边与的两边分别平行，
如图
故④是假命题；
两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故⑤是假命题；
所以真命题有①③，
故选：A．
14．（23-24七年级下·重庆江津·期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．一个二元一次方程有无数个解 B．相等的角是对顶角
C．过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．同旁内角互补
【答案】A
【知识点】判断命题真假、二元一次方程的解、对顶角相等、同位角、内错角、同旁内角
【分析】此题考查了判断命题真假，根据相关知识逐项进行分析判断即可．
【详解】解：A．一个二元一次方程有无数个解,是真命题，故选项符合题意；
B．相等的角不一定是对顶角，故选项是假命题，不符合题意；
C．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故选项是假命题，不符合题意；
D．同旁内角不一定互补，故选项是假命题，不符合题意．
故选：A．
15．（21-22七年级下·山东德州·期末）下列四个命题：①对顶角相等；②点到直线的垂线段叫做点到直线的距离；③如果，，那么；④三角形的一个外角大于任何一个内角；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中真命题有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】判断命题真假、点到直线的距离、平行公理的应用、三角形的外角的定义及性质
【分析】利用对顶角的性质、点到直线的距离、平行线的判定方法及三角形的外角的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①对顶角相等，正确，是真命题，符合题意；
②点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
③如果ba，ca，那么bc，正确，是真命题，符合题意；
④三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
真命题有2个，
故选C．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、点到直线的距离、平行线的判定方法及三角形的外角的性质等知识．
16．（21-22七年级下·福建龙岩·期末）下列四个命题中真命题的个数是（ ）
①两直线平行，同旁内角相等
②点到轴的距离是2
③立方根等于本身的数是0和1
④若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】判断命题真假、两直线平行同旁内角互补、由不等式组解集的情况求参数、求点到坐标轴的距离
【分析】依次分析各命题即可；
【详解】两直线平行，同旁内角互补，故①错误；
点到轴的距离是3，故②错误；
立方根等于本身的数是0和1、-1，故③错误；
当，此时与没有公共部分，则关于的一元一次不等式组无解，故D正确；
故选：B
【点睛】本题考查了平行线的性质、坐标中的点到坐标轴的距离、立方根与解一元一次不等式组，掌握相关性质和运算规律是解答本题的关键.
17．（23-24七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）下列命题中，假命题有（ ）
①若两个角的两边分别平行，则这两个角相等；
②平方根等于本身的数有0和1；
③二元一次方程组有无数个解；
④有序数对和表示相同的位置；
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【知识点】用有序数对表示位置、二元一次方程的解、平方根概念理解、判断命题真假
【分析】本题考查命题的真假，掌握相关定理是本题关键．根据相关定理逐一判断真假即可．
【详解】①若两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，原命题为假命题；
②1的平方根有1和，平方根等于本身的数只有0，原命题为假命题；
③二元一次方程组有一个解或无数解或没有解，原命题是假命题；
④和表示不同的位置，原命题是假命题；
综上分析可知，假命题有4个，
故选：A．
18．（23-24七年级下·河南新乡·期末）下列命题中，真命题个数是（ ）
①两条直线被第三条直线所截，同位角相等．
②若的近似值取2.646，则的近似值取26.46．
③平面直角坐标系内的点和有序有理数对一一对应．
④如果关于x的一元一次不等式有3个整数解，那么．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】两直线平行同位角相等、与算术平方根有关的规律探索题、判断命题真假、由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题主要考查了有关判断命题真假的知识，掌握平行线的性质、算术平方根、平面直角坐标系中点的坐标，一元一次不等式的整数解是解决本题的关键；根据相关性质定义逐项判断，即可解题．
【详解】解：①两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．即①是假命题；
②若的近似值取2.646，则的近似值取26.46．是真命题；
③平面直角坐标系内的点和有序实数数对一一对应．即③是假命题；
④如果关于x的一元一次不等式有3个整数解，那么，是真命题；
综上所述，真命题个数是个，
故选：B．
19．（23-24七年级下·吉林四平·期末）给出下列5个命题：①垂线段最短；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③互补的角是邻补角；④同旁内角相等，两直线平行；⑤同旁内角的两个角的平分线互相垂直．其中是真命题的是 ．（填写命题的序号即可）
【答案】①
【知识点】垂线段最短、根据平行线判定与性质证明、判断命题真假
【分析】本题考查了真命题，平行线的判定与性质，垂线段最短，熟练掌握平行线的判定与性质及垂线段最短是解题的关键．根据平行线的判定与性质及垂线段最短公理，即可判断答案．
【详解】①是公理,正确；
②忽略了两条直线必须是平行线，故②错误；
③举反例，两直线平行，同旁内角互补，显然这两个角不是邻补角，故③错误；
④“同旁内角互补，两直线平行”，故④不符合平行线的判定，是错误的；
⑤当同旁内角互补时，它们的角的平分线才互相垂直，故⑤错误；
所以真命题是①．
故答案为：①．
20．（21-22七年级下·北京延庆·期末）已知：在同一平面内，三条直线a，b，c．下列四个命题为真命题的是 ．（填写所有真命题的序号）
①如果ab，，那么； ②如果，，那么；
③如果ab，cb，那么ac； ④如果，，那么bc．
【答案】①③④
【知识点】平行公理的应用、判断命题真假、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行
【分析】分别根据每种情况画出符合条件的图形，再结合垂直的定义，平行线的判定逐一判断即可．
【详解】解：如图，ab，，
则，故①符合题意；
如图，，，
则 故②不符合题意；④符合题意；
如图，ab，cb，
则ac；故③符合题意；
故答案为：①③④
【点睛】本题考查的是平面内直线与直线的位置关系，平行线的性质，垂直的定义，命题真假的判断，掌握“平行公理，平面内垂直于同一直线的两直线平行”是解本题的关键．
题型三 平面直角坐标系中的规律探究
21．（23-24七年级下·河南漯河·期中）如图，长方形的各边分别平行于轴、轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿长方形的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动则两个物体运动后的第2024次相遇地点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查了点坐标的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．
由图可知，矩形的周长为，则甲、乙两个物体每次相遇的时间间隔为秒，即甲、乙两个物体相遇点依次为，，，……，可知相遇点每3次为一个循环，由，求解作答即可．
【详解】解：由图可知，矩形的周长为，
∴甲、乙两个物体每次相遇的时间间隔为秒，
∴甲、乙两个物体相遇点依次为，，，……
∴相遇点每3次为一个循环，
∵，
∴第2024次相遇地点的坐标是，
故选：A．
22．（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…顶点依次用，，，，…表示，（在第三象限，顺时针依次为，，，在第三象限顺时针依次为，依此类推…）则顶点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题主要考查点坐标与图形的规律，掌握图形与点坐标的特点，规律是解题的关键．
根据坐标的变化找出变化规律“，为自然数”，依此即可得出结论．
【详解】解：观察发现：，…
∴为自然数．
∵，
∴．
故选：C．
23．（22-23七年级下·广东·期末）如图，一个机器人从点O出发，向正西方向走到达点；再向正北方向走到达点；再向正东方向走到达点；再向正南方向走到达点；再向正西方向走到达点，按如此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点坐标规律探索
【分析】根据题意可知，，……，由此得到，再由进行求解即可．
【详解】解： 由题意可得：，，
…，
以此类推可知当（k为正整数，后面的k一样），在第一象限，当时，在第二象限，当时，在第四象限，当时，在第三象限，
∵，，，
∴可以推出，
∵，
∴，即
故选A．
【点睛】此题考查了平面直角坐标系中点坐标规律的探索，理解题意找到坐标变化的规律是解题的关键．
24．（23-24七年级下·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，某机器人从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向每次移动1个单位长度，行走路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，第3次移动到，第4次移动到…则第2024次移动至点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查坐标规律探究，根据图象，得到动点的纵坐标，每4个一个循环，，进行求解即可．
【详解】解：由图可知，，的纵坐标以0，1，1，0四个一组进行循环，
∴
∵，，
∴的坐标是．
故答案为：．
25．（22-23七年级下·河南周口·期末）将一组数，，，，按下面的方法进行排列：


……
若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为 ．
【答案】
【知识点】求一个数的算术平方根、实际问题中用坐标表示位置、数字类规律探索
【分析】每相邻的二次根式的被开方数是的倍数，故求，一行个数，得，位于第五行第五个数，进而得位于第五行第三个数．
【详解】解：由题意可知，一行个数，每个数都为的倍数，
可得，，
位于第五行第五个数，记作，
这组数中最大的有理数是，
位于第五行第三个数，记作，
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平方根和数字变化规律，掌握算术平方根的定义，根据数字变化规律找出位于第五行第五个数是解题关键．
26．（23-24七年级下·湖北随州·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，，…．若点的坐标为，则点的坐标为 ；若点的坐标为，对于任意的正整数n，点均在轴上方，则a，b应满足的条件为 ．
【答案】 且
【知识点】点坐标规律探索、求不等式组的解集
【分析】本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键．
根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2015除以4，根据商和余数的情况确定点的坐标即可；再写出点的“伴随点”，然后根据x轴上方的点的纵坐标大于0列出不等式组求解即可．
【详解】因为的坐标为，依题意可得，，，，…，
依此类推，每4个点为一个循环节依次循环．
因为余1，
所以点的坐标与的坐标相同，即为；
点的坐标为，
，，，，…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
对于任意的正整数，点均在轴上方，
，，
解得，．
故答案为：；且．
题型四 含参方程组、整数解和方程组综合题
27．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）对于关于x，y的二元一次方程组，甲、乙两人的判断如下．甲：当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；乙：无论a取何值，的值始终不变．则（ ）
A．甲的判断正确 B．乙的判断正确
C．甲、乙的判断都正确 D．甲、乙的判断都不正确
【答案】C
【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】将方程组的两个方程相加，得出，当，的值互为相反数时，即可得出，得出甲判断正确；用表示出，解方程组得出，代入可得，得出乙判断正确；即可得出答案．
【详解】解：，
得：，
∴，
当，的值互为相反数时，，
∴，故甲判断正确；
解方程组得出，
∴
，故乙判断正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法，熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤是解决问题的关键．
28．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程变形后联立消掉a即可得出结论，将方程组中的两个方程联立消掉是解题的关键．
【详解】解：关于x，y的二元一次方程组，
可得，
即，
故k的值为，
故选：A．
29．（24-25七年级上·湖南常德·期末）已知关于，的二元一次方程组的解为且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的特殊解法
【分析】本题考查了二元一次方程组的解．利用关于x，y的二元一次方程组的解为得到，，据此求解即可．
【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
∴，
两式相加得，
∴，
∴，
故选：A．
30．（21-22七年级下·浙江嘉兴·期末）关于x，y的方程组有以下两个结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②不论a取什么实数，代数式的值始终不变．则（ ）
A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误
【答案】C
【知识点】二元一次方程的解、加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】先解得二元一次方程组的解为，再进行判断即可．
【详解】，
解方程组得：，
当a=1时，，即有x+y=0，
即x+y≠2，故①错误；
由可得：2x+y=2a+6-2a-2=4，
即2x+y=4为定值，故②正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的相关知识，正确解得是解答本题的关键．
31．（21-22七年级下·浙江杭州·期末）已知正数a，b，c满足则可判断（　　）
A．a最小，c最大 B．a最小，b最大
C．b最小，c最大 D．c最小，b最大
【答案】A
【知识点】三元一次方程组的定义及解、不等式的性质
【分析】设，，，则可得，求出可得，进而可得，即，然后根据a，b，c是正数得出，问题得解．
【详解】解：设，，，则x，y，z＞0，
∴，
∴，
∴，
∴，
由得：，
∴，
∴，
又∵a，b，c是正数，
∴，
∴，即a最小，c最大，
故选：A．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，不等式的性质等知识，熟练掌握换元法的应用是解题的关键．
32．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）已知关于的二元一次方程组的解为，小强因看错了系数，得到的解为，则 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的错解复原问题
【分析】本题考查了二元一次方程组的解．根据题意把代入二元一次方程组可得的值，根据小强看错系数得到解为，由此可得新的方程组，运用加减消元法可求出的值，代入计算即可求解．
【详解】解：把代入二元一次方程组得，
，
∴由得，，
∵小强看错了系数得到，
∴，
∴，
①②得，，
解得，，
把代入②得，，
解得，，
∴，
故答案为：11．
33．（23-24七年级下·湖北黄冈·期末）若方程组的解是（其中），则方程组的解是 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程的解、加减消元法
【分析】本题考查二元一次方程组的解，会用加减消元法解方程组，并能灵活将方程组变形是解题的关键．先将方程组的解代入方程组得到，，再将所求方程组用加减消元法求解即可．
【详解】解：∵方程组的解是，
∴，
∴，，
∴可化为，
① ②，得，
∴，
将代入①中，得，
∴方程组的解为，
故答案为：．
题型五 方程（组）的应用
34．（23-24七年级上·湖南娄底·期末）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？译成白话文，其意思是：有100个和尚分100只馒头．正好分完．如果大和尚一人分3只，小和尚3人分一只，试问大小和尚各有几人？那么大和尚比小和尚少多少人？（ ）
A．25 B．35 C．50 D．75
【答案】C
【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小和尚有x人，大和尚有y人，由题意：100个和尚分100个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设小和尚有x人，大和尚有y人，
由题意得：，
解得：，
即大和尚有25人，小和尚有75人，
（人），
即大和尚比小和尚少多50人，
故选：C．
35．（23-24七年级上·湖北十堰·期末）幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图为一个三阶幻方的一部分，则x的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)、三元一次方程组的应用
【分析】本题考查了三元一次方程组，解一元一次方差，根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等，得出，进而出，即可解答．
【详解】解：∵每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等，
∴，
整理得：，
则，
∴，
解得：，
故选：C．
36．（23-24七年级下·重庆·期末）甲、乙、丙三家艺术中心为表彰进步学生，准备去文具店采购签字笔、笔记本、钢笔三种文具，签字笔、笔记本、钢笔单价分别为8元、10元、25元．乙艺术中心采购签字笔数量是甲的6倍，笔记本数量是甲的12倍，钢笔数量是甲的8倍，丙采购的签字笔数量是甲的3倍，笔记本数量是甲的9倍，钢笔数量和甲相同．三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，则甲艺术中心采购总费用为（ ）元
A．237 B．350 C．425 D．901
【答案】A
【知识点】三元一次方程组的应用
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，解本题的关键在找出数量关系，列出方程组．
设甲采购签字笔x个、笔记本y个、钢笔z个，根据数量单价总价，分别表示出乙采购和并采购的费用，然后根据三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，列方程组，解方程组，再根据签字笔、笔记本、钢笔均为整数，求出答案即可．
【详解】解：设甲采购签字笔x个、笔记本y个、钢笔z个，则费用分别为元，元，元；
乙采购采购签字笔个、笔记本个、钢笔个，则费用分别为元，元，元；
丙采购采购签字笔个、笔记本个、钢笔个，则费用分别为元，元，元；
根据题意得
整理，得
由②得：，
∵x、y都是正整数，
∴y可能为1、2、3、4、5，
把③代入①整理，得
，
，
∵z为正整数，y可能为1、2、3、4、5，
∴当时，（不符合题意），
当时，（符合题意），
当时，（不符合题意），
当时，（不符合题意），
当时，（不符合题意），
把代入②得：，
甲艺术中心采购总费用为元，
故选：A．
37．（24-25七年级上·湖南常德·期末）幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如表为一个三阶幻方的一部分，则图中右上角空格中的值为 ．
【答案】4
【知识点】三元一次方程组的应用
【分析】本题考查三元一次方程组的应用，解题的关键是根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等列出方程组即可解得答案．
【详解】解：根据题意得：，
即，
，
；
故答案为：4．
38．（24-25七年级上·重庆·期末）簪花在我国已有两、三千年的历史．热爱传统文化的涵涵购买了若干支丁香花、海棠花、玉兰花用于手工制作三款簪花头饰各一套（每款均用到三种花）．已知每款簪花中海棠花的用量等于玉兰花用量．A款丁香花用量为3枝，B款丁香花用量比C款丁香花用量少2枝；A款中玉兰花的用量为2枝，B款玉兰花的用量是它的丁香花用量的3倍；制作完成后统计发现，三款簪花丁香花的总用量与玉兰花总用量比为．已知每款簪花成本等于所用花朵成本之和．若每枝丁香花、海棠花、玉兰花的成本分别是元、元、元，则C款簪花的成本是 元（用含、、的代数式表示）．若A款簪花的成本为49元，B款簪花的成本为63元，则C款簪花的成本是 元．
【答案】 79
【知识点】二元一次方程的解、其他问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程的整数解，二元一次方程组的应用，正确求解二元一次方程的整数解及利用整体思想求解二元一次方程组是解题的关键．
设B款玉兰花的用量为x枝，C款玉兰花的用量为y枝，则可求出每种款式簪花各种花的用量，再根据三款簪花丁香花的总用量与玉兰花总用量比为，可列出方程，化简得，可求得x与y的值，即可进一步求得答案；
若A款簪花的成本为49元，B款簪花的成本为63元，可列方程组，求解方程组得，将此解代入计算，即得答案．
【详解】解：设B款玉兰花的用量为x枝，C款玉兰花的用量为y枝，
则三款簪花的用量可列表为：
A款 B款 C款
丁香花（枝） 3 x
海棠花（枝） 2 y
玉兰花（枝） 2 y
所以，
化简，得，
，，
可求得方程的正整数解为，
故C款簪花的成本是（元）；
故答案为：；
同时，A款簪花的成本是（）元，B款簪花的成本是（）元，
若A款簪花的成本为49元，B款簪花的成本为63元，
则，
，得，
，
将代入①，得，
解得，
，
故C款簪花的成本是79元．
故答案为： 79．
39．（22-23七年级上·四川成都·期末）王老师购进159个糖果，奖励期末考试最优异的三个小组，期末考试第一名的小组每人获得13颗糖，第二名的小组每人获得12颗糖，第三名的小组每人获得11颗糖，则这三个小组学生的总人数为 ．（每个组人数大于1人）
【答案】13
【知识点】三元一次方程组的应用
【分析】本题主要考查了方程的应用，分类讨论思想，
先设第一名得小组有x人，第二名的小组有y人，第三名的小组有z人，可得，再根据已知得，然后从讨论，进而得出答案．
【详解】解：设期末考试第一名得小组有x人，第二名的小组有y人，第三名的小组有z人，则，
即，
∴．
∵为正整数，，
∴．
当时，，
即．
∵，且均为整数，
∴或或，
∴；
当时，，
即．
∵，且均为整数，
∴不符合题意，舍去．
随着的值的减小，的值不断增大，不符合题意．
故答案为：13．
40．（24-25七年级上·全国·期末）某生鲜店推出了A、B、C三类蔬菜包以方便居家生活的市民购买，A、B、C三类蔬菜包内均由萝卜、白菜、洋葱三种蔬菜搭配而成，每袋蔬菜包的成本也均为萝卜、白菜、洋葱三种蔬菜成本之和．每袋A蔬菜包有5公斤萝卜、4公斤白菜、6公斤洋葱；每袋C蔬菜包有7公斤萝卜、2公斤白菜、3公斤洋葱．已知每袋A的成本是该袋中萝卜成本的3倍，利润率为，每袋B的成本是其售价的，每袋C的利润是每袋A利润的．若该生鲜店1月2日当天销售A、B、C三种蔬菜包袋数之比为，则当天该生鲜店销售A、B、C三种蔬菜包的总利润与总成本的比值为 ．
【答案】
【知识点】三元一次方程组的应用
【分析】本题考查三元一次方程组的应用，弄清题意，通过所给的条件，理顺各量之间的关系，列出方程是解题的关键．
设萝卜、白菜、洋葱的成本分别为x元、y元、z元，根据题意可求A的成本为（元），利润为（元），C的利润为（元），成本为（元），设B的成本为m元，利润为W元，由题意可得，则，再求出1月2日的总利润为：元，总成本为：元，则可由求解．
【详解】解：设萝卜、白菜、洋葱的成本分别为x元、y元、z元，
∵每袋A的成本是该袋中萝卜成本的3倍，
∴，
∴，
∴A的成本为（元），利润为（元），
∵每袋C的利润是每袋A利润的，
∴C的利润为（元），成本为（元），
设B的成本为m元，利润为W元，
∵每袋B的成本是其售价的，
∴，
∴，
∵1月2日当天销售A、B、C三种蔬菜包袋数之比为，
∴1月2日的总利润为：元，
总成本为：元，
∴．
故答案为：.
41．（23-24七年级上·重庆垫江·期末）在传统佳节春节即将来临之际，糖果店推出三种糖果礼盒，每种礼盒都有劲仔小鱼、旺旺糖、小小酥、果冻4种糖果．礼盒一：劲仔小鱼4袋，旺旺糖3袋，小小酥2袋，果冻a袋；礼盒二：劲仔小鱼6袋，旺旺糖2袋，小小酥6袋，果冻3a袋；礼盒三：旺旺糖4袋，小小酥4袋，果冻6袋，已知劲仔小鱼每袋成本为a元，所有糖果成本均为整数，每种礼盒的成本费由糖果总成本和10元加工费组成．礼盒一成本费50元；礼盒二成本费70元；礼盒三成本费69元．则礼盒三中劲仔小鱼的数量是 袋．
【答案】5
【知识点】三元一次方程组的应用
【分析】本题考查的是方程组的应用．首先设旺旺糖每袋成本为元，小小酥每袋成本为元，果冻每袋成本为元，列方程，解得、、、的值，然后根据礼盒三的设置，列方程求解即可．
【详解】解：设旺旺糖每袋成本为元，小小酥每袋成本为元，果冻每袋成本为元，
由题意可知：，
解得，
所有糖果成本均为整数，
，，
，，
设礼盒三中劲仔小鱼的数量为袋，
由题意得：，
解得，
故答案为：5．
42．（23-24七年级下·河南安阳·期末）关于x的不等式组，至少有4个整数解，且关于x，y的方程组的解中，x的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ．
【答案】
【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解、已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、解二元一次方程组，根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数得到即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，，
不等式组至少有4个整数解，
∴，
∴，
解方程组，
得：，解得，
将代入④得：，解得
方程组的解为：，
关于的方程组的解为整数，
，解得：，
当时，，符合题意；
所有满足条件的整数的值为．
故答案为：．
43．（23-24七年级下·重庆梁平·期末）如果关于x的不等式组的解集为，且整数m使得关于x，y的二元一次方程组的解为整数（x，y均为整数），则符合条件的所有整数m的积是 ．
【答案】
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组和二元一次方程的方法和步骤．
先解一元一次不等式组，得出，再求出二元一次方程组的解，得出m的值，即可解答．
【详解】解：，
由①可得：，
由②可得：，
∵不等式组的解集为，
∴，
解方程组得：，
∵方程组的解为整数，
∴，，
∴，
综上，，
∴符合条件的所有整数m的积是，
故答案为：．
题型六 方程整数解得应用
44．（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数之和为 ．
【答案】5
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查解二元一次方程组的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解方程组和不等式的方法．
根据关于、的方程组的解满足，且关于的不等式组有解，可以求得的取值范围，从而可以求得符合条件的整数的值的和，本题得以解决．
【详解】解：，
①+②得，
，
关于、的方程组的解满足，
，得，
解不等式组，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组有解，
，得，由上可得，，
符合条件的整数的值的和为：．
故答案为：5．
45．（23-24七年级下·全国·期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，那么所有符合条件的整数a的个数为 ．
【答案】7
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、由不等式组解集的情况求参数、求不等式组的解集
【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式（组）的解法、不等式（组）的特殊解等知识点，熟知方程组、不等式（组）的解法是解题的关键．先求出二元一次方程组的解，由得出a的范围；再由给出的不等式组有解的条件求出a的范围．综合考虑a的范围，即可确定符合条件的整数a的个数．
【详解】解：方程组的解为 ，
，
，
解得，，
解不等式组，
不等式①的解集是，
不等式②的解集是，
∵不等式组有解，
∴，
解得，，
，
∵a取整数，
，
∴符合条件的整数a有7个．
故答案为：7．
题型七 新情境和新定义
46．（22-23七年级下·重庆彭水·期末）对实数，定义一种新运算，规定：（其中为非零常数）；例如：；已知，给出下列结论：①；②若，则；③若，则；④有最小值，最小值为3；以上结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】新定义下的实数运算、求一个数的平方根
【分析】根据新定义运算法则，一元一次不等式的解法，平方根的定义判断即可．
【详解】解：，
，
解得：，故①正确；
若，，
则，故②正确；
，
解得：，故③错误；
，
当时，有最小值，故④错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了新定义运算，一元一次不等式的解法，平方根的定义，理解新定义运算法则是本题的关键．
47．（24-25七年级上·福建三明·期末）我们把对非负数“四舍五入”到个位的值记为，例如，，…下列结论中：①；②；③；④满足的非负数只有三个．其中结论正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用和理解题意的能力，关键是看到所得值是个位数四舍五入后的值，问题可得解．对于①可直接判断，②可用举反例法判断，③、④我们可以根据题意所述利用不等式判断．
【详解】解：①由题意得，故①正确；
②如当时，，，所以，故②错误；
③当为非负整数时，不影响“四舍五入”，故，故③正确；
④为整数，
设为整数，则，
解得：，
，共3个，故④正确；
综上可得正确的有3个．
故选：C．
48．（22-23七年级下·重庆·期末）我们用表示不大于a的最大整数；用表示大于a的最小整数．下列说法：
①，；
②如果，则满足条件的所有正整数x只有7和8；
③已知x，y满足方程组，则x，y的取值范围，．
其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】加减消元法、一元一次不等式组的其他应用
【分析】按照题目所给的新定义逐一判断即可解题．
【详解】①，；正确，
∵，
∴，
解得：，
∴所有正整数x只有7和8，
故②正确；
解方程组得：
∴，，
故③错误，
∴正确的为①②，正确的个数为个，
故选C．
【点睛】本题考查新定义的运算，学会新定义并且掌握运算法则是解题的关键．
49．（23-24七年级下·重庆巴南·期末）定义一种新运算： ，下列说法：
①若， 则
②若， 则该不等式的解集为或；
③代数式 有最小值6；
④若关于x，y的二元一次方程组 的解为 则a的值为0或4．以上结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、求不等式组的解集、解一元一次方程（二）——去括号
【分析】本题考查了整式的混合运算，一元一次方程的解法，一元一次不等式的解法及二元一次方程组的解，理解新定义并且利用分类讨论的思想方法是解题的关键．根据新运算的规定，利用分类讨论的思想方法对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：①若，
当时，得，
解得，不符合题意，舍去；
当时，得，
解得，符合题意，
综上，若，则，
故说法①错误，不符合题意；
②，且，
，
，
解得或，
故说法②正确，符合题意；
③
可表示为在数轴上表示x的数与到数轴上表示3及的数的距离之和，可得其最小值为6，
故说法③正确，符合题意；
④的解为
当时，原方程组可化为，
将代入得，解得，
当时，原方程组可化为，
将代入得，解得，
a的值为0或4．
故说法④正确，符合题意．
正确的结论有：②③④，一共3个．
故选：C
50．（22-23七年级下·重庆江津·期末）对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与的商记为．例如，对调百位与十位上的数字得到，对调百位与个位上的数字得到，对调十位与个位上的数字得到，这三个新三位数的和为，，所以．若，都是“相异数”，其中，（，，，都是正整数），规定：，当时，则的最大值为 ．
【答案】
【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是根据方程求解；
由、结合，即可得出关于、的二元一次方程，解之即可得出、的值，再根据“相异数”的定义结合的定义式，即可求出、的值，将其代入中，找出最大值即可.
【详解】解：，都是“相异数”，，，
，
．
，
，
．
，，且，都是正整数，
或或或或或，
是“相异数”，
，．
，．
或或，
或或，
或或，
的最大值为：
故答案为：
51．（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦，发明了一个魔术盒：当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数，例如把放入其中，就会得到，现将实数对放入其中，得到实数，则 ．
【答案】
【知识点】新定义下的实数运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】此题考查实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
利用题中的新定义计算即可求出的值．
【详解】解：根据题中的新定义得：，
解得：．
故答案为：．
52．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数．例如：；．则下列结论：①；②；③若，则的取值范围是；④当时，的值为0、1、2．其中正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）．
【答案】①
【知识点】新定义下的实数运算、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了一元一次不等式组和有理数的混合运算、新定义，解题的关键是明确表示不超过的最大整数．
根据表示不超过的最大整数来进行求解．
【详解】解：①，故此项正确；
②错误，例如：，，；
③若，则，所以，故此项错误；
④当时，，，
分类讨论：
当时，，，
，或，或；
当时，，，
，或，或；
∴或，故此项错误．
综上所述，错误的有②③④．
故答案为：①．
题型八 面积问题与面积方法
53．（23-24七年级下·湖南永州·期末）如图，在三角形中，，将三角形沿BC方向平移得到三角形，其中，，，则阴影部分的面积是（ ）
A．15 B．18 C．21 D．24
【答案】B
【分析】本题主要考查平移的性质，掌握平移前后对应线段平行且相等，根据平移得出，是解题的关键．
由平移的性质可知：，，从而得出，，根据，得出，根据梯形面积公式求出结果即可．
【详解】解：由平移的性质可知：，，
∴，，
∴，
∴．
故选：B
54．（21-22七年级下·福建厦门·期末）如图，△的边在x轴的正半轴上，点B的坐标为，把△沿x轴向右平移2个单位长度，得到，连接，若△的面积为4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】C
【分析】设A(m，n)，由B(3，0)可知OB=3，由平移的性质可得CE=OB=3，BE=OC=2，由三角形面积公式可求出n，即可求出求出阴影部分的面积．
【详解】设A(m，n)
∵B(3，0)，
∴OB=3．
由平移的性质可得
CE=OB=3，BE=OC=2，
∴CB=CE-BE=1．
∵S△DBE==4，
∴，
∴n=4，
∴S阴影=S△ACB==．
故选：C
【点睛】本题主要考查了坐标系中的平移变换．掌握平移的性质并能求出n的值是解题的关键．
55．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，将直角梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，其中，，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】18
【分析】本题主要考查了平移的性质，直角梯形的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．根据平移的性质可得，再根据列式计算即可得解．
【详解】解：，
，
梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，
，
，
，
故答案为：．
56．（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，在长，宽的长方形草坪上建有两条等宽的弯曲小路，把草坪分成了4部分．若每条小路的宽度为，则草坪的面积为 ．
【答案】540
【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，由长方形的面积得，即可求解；能根据题意列出算式是解题的关键．
【详解】解：由题意得
（），
故答案为：．
57．（24-25七年级下·四川南充·期中）如图，某公园里一处长方形风景欣赏区，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米．若米，米，小明沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，则他所走的路线（图中虚线）长为 ，阴影部分的面积为 ．
【答案】 98米 1104 平方米
【分析】本题考查了平移的性质，由平移的性质可得图中虚线横向距离等于的长，纵向距离等于，据此计算求解即可；根据平移的性质可得，阴影部分的面积相当于一个长为米，宽为米的长方形面积．
【详解】解：由平移的性质可得，图中虚线横向距离等于的长，纵向距离等于，
∵米，宽米，
∴他所走的路线（图中虚线）长为（米），
根据平移的性质可得，阴影部分的面积相当于一个长为米，宽为米的长方形面积，
∴阴影部分的面积为平方米，
故答案为：98米；1104平方米．
题型九 多结论题（代数）
58．（24-25七年级上·山东东营·期末）下列说法：①负数没有立方根；②实数和数轴上的点是一一对应的；③；④正数的两个平方根互为相反数；⑤任意实数都存在倒数；⑥算术平方根等于它本身的数只有0．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】求一个数的立方根、实数与数轴、相反数的定义、求一个数的算术平方根
【分析】本题考查了立方根，平方根，算术平方根的定义，实数与倒数的定义，根据立方根，平方根，算术平方根的定义，实数与倒数的定义逐项判断即可．
【详解】解：①负数有立方根，故①不正确；
②实数和数轴上的点是一一对应的，故②正确；
③，故③不正确；
④正数的两个平方根互为相反数，故④正确；
⑤0是实数，但0没有倒数，故⑤不正确；
⑥算术平方根等于它本身的数有0或1，故⑥错误，
综上所述正确的个数有2个，
故选：B．
59．（23-24七年级下·山东德州·期末）已知关于，的方程组，下列结论：①当时，，的值互为相反数：②若是方程组的解，则；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、不等式的性质、二元一次方程的解、加减消元法
【分析】本题考查了二元一次方程组，不等式的运用，掌握解二元一次方程组的方法，根据不等式的性质进行求解是解题的关键，把代入方程组求解可判定①；把代入方程组求解，可判定②；把代入计算即可判定③；用含的式子表示出，再根据不等式的性质可判定④．
【详解】解：当时，方程组为，
⑴⑵得，，
解得，，
把代入⑵得，，
解得，；
∴的值互为相反数，故①正确；
当是方程组的解，则，
∴解⑴得，；
解⑵得，；故②正确；
当时，方程组得，
⑴⑵得，，
解得，，
把代入⑵得，，
解得，，
∴，故③正确；
方程组，
⑴⑵得，，
∵，
∴，
解得，，故④正确；
综上所述，正确的有：①②③④，共4个，
故选：D ．
60．（21-22七年级下·重庆江津·期末）阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．
例：由，得：（、均为正整数），要使为正整数，则为整数，且．可知：为的倍数，且．从而，把代入．所以的正整数解为．
则下列说法正确的有（ ）
①是方程正整数解；②若为整数，则满足条件的整数的值有个；③关于、的二元一次方程方程组的解是正整数，则整数的值为．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解、二元一次方程的解、求一元一次不等式的整数解
【分析】①根据二元一次方程的解得定义求出解即可判断；②由题意且是的倍数，得出或，从而得出或或或，即可判断；③两方程相减得 ，根据题意，即可判断．
【详解】解：由，得（、为正整数），
，
解得：，
∴当时，，
即是方程正整数解，故正确；
若为整数，则且是的倍数，
∴或，
解得：或或或．
∴满足条件的整数的值有个，故正确；
关于、的二元一次方程组中，两方程相减得，
∵关于、的二元一次方程组的解是正整数，
∴，
∴，故正确．
故选：D．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，一元一次不等式的整数解，二元一次方程组的解，二元一次方程的解的应用，能灵活运用知识点求出特殊解是解题的关键．
61．（21-22七年级下·黑龙江七台河·期末）下面说法错误的个数有（　 　）
①若﹥，则﹥；②如果﹥，那么﹥；③﹥4是不等式+3≥6的解的一部分；④不等式两边乘（或除以）同一个数，不等号的方向不变；⑤不等式+3﹤3的整数解是0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】不等式的解集、不等式的性质、求一元一次不等式组的整数解
【分析】利用不等式的基本性质，解集与解的定义判断即可．
【详解】解：①若m>n且a 0，则，故错误，符合题意；
②如果﹥，那么a>b，故正确，不符合题意；
③∵不等式x+3≥6的解集为x≥3，
∴x>4是不等式x+3≥6的解的一部分，故正确，不合题意；
④不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，故错误，符合题意；
⑤∵不等式x+3<3的解集为x<0，故错误，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，以及一元一次不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
62．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）下列说法：①如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；②若，且，则；③若关于x的不等式组无解，则；④若关于x的不等式组有解且每个解都不在的范围内，．其中正确说法是 ．（填正确结论的序号）
【答案】②④/④②
【知识点】求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数、平行公理的应用
【分析】本题考查算术平方根、解一元一次不等式组及平行线的判定与性质，掌握算术平方根的意义、一元一次不等式组的解法和平行线的判定与性质是解题的关键．
①根据“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”判断即可；
②根据“算术平方根的平方等于被开方数”计算即可；
③当时不等式组无解；
④根据题意，得或，求它们的解集即可．
【详解】解：①在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，
∴①不正确，不符合题意；
②
∴②正确，符合题意；
③若不等式组无解，则，解得，
∴③不正确，不符合题意；
④不等式组的解集为：
∵原不等式组有解，且每个解都不在的范围内，
或
解得第一个不等式组的解集为，第二个不等式组无解，
∴当时，原不等式组有解且每个解都不在的范围内，
∴④正确，符合题意．
综上，②④正确．
故答案为：②④．
63.（20-21七年级下·湖北武汉·期末）下列命题：①对顶角相等；②为了了解某校七年级600名学生的体重情况，从中抽查了50名学生的体重进行统计分析，在这个问题中，总体是指600名学生的体重；③已知正实数的平方根是和，若，则；④若不等式对一切实数都成立，则的最大值是5；其中真命题是： ．（请填序号）
【答案】①②③
【知识点】利用平方根解方程、判断命题真假、动点问题（一元一次方程的应用）、总体、个体、样本、样本容量
【分析】由对顶角的性质判断①，由总体的含义判断②，由平方根的含义及利用平方根解方程可判断③，利用数轴及绝对值的含义可判断④，从而可得答案.
【详解】解：①对顶角相等是对顶角的性质，是真命题；
②为了了解某校七年级600名学生的体重情况，从中抽查了50名学生的体重进行统计分析，在这个问题中，总体是指600名学生的体重；符合总体的含义，是真命题；
③由题可知，，
，
，则正实数；是真命题，
④不等式可以看作在数轴上，
其中点所表示的数是，
则数对应的点到数对应的点与对应的到数4对应的点的距离之和，
如图，
距离之和的最小值是，，则的最大值是3.故是假命题，
综上：真命题有：①②③
故答案为：①②③
【点睛】本题考查的是对顶角的性质，总体的概念，平方根的含义，利用平方根解方程，数轴，真假命题的判断，掌握以上知识是解题的关键.
题型十一 多结论题（几何）
64．（24-25七年级上·福建漳州·期末）如图，，平分交于点E，于点E，．下列结论：①；②与互余；③；④平分．其中结论正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的有关计算、垂线的定义理解
【分析】本题考查平行线的性质，垂直的定义，由平行得到，再根据余角的性质逐个判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即与互余，
故②正确；
∵，
∴，
∵平分交于点E，
∴，，
∵，
∴与不一定相等，即不一定成立，
故③错误；
∵，，，
∴，即平分，
故④正确，
综上所述，正确的有①②④，
故选：C．
65．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，，点B在上，点F在上，连接，平分，平分交于点H，．给出下面四个结论：
①；
②平分；
③；
④．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
【答案】①②④
【知识点】根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义等知识点．根据平行线的判定和性质以及图形中角度之间的关系逐项判断即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
∴平分；故②正确；
∵，，但不一定成立，
∴不一定成立，即③错误；
∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即；故④正确．
故答案为：①②④．
66．（23-24七年级下·湖北荆州·期末）将一块三角板（，）按如图方式放置，使，两点分别落在直线，上，对于给出的五个条件：①；②；③，；④；⑤；能判断直线的有 ．（填序号）
【答案】
【知识点】内错角相等两直线平行、两直线平行内错角相等
【分析】本题考查平行线的判定．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，逐一判断是否可以得到，从而可以解答本题．
【详解】解：①∵，，
∴不一定等于，
∴和不一定平行，故①不符合题意；
②∵，，
∴不一定等于，
∴和不一定平行，故②不符合题意；
③∵，，，
∴，
∴，故③符合题意；
④∵，
∴，
∴，故④符合题意；
⑤过点作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故⑤符合题意．
故答案为：③④⑤．
67．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线判定与性质求角度、三角形的外角的定义及性质
【分析】由内错角相等，两直线平行可判断①，由邻补角的定义可判断②，如图，延长交于 先求解 从而可判断③④，于是可得答案.
【详解】解：由题意得：
故①符合题意；
故②符合题意；
如图，延长交于
∴
故③④符合题意；
综上：符合题意的有①②③④,
故选D.
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行线的判定与性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的两个锐角都为，掌握以上基础知识是解本题的关键.
68．（22-23七年级上·黑龙江鸡西·期末）如图AB，交于点O，，，平分，则下列结论：①图中的余角有四个；②∠AOF的补角有2个；③为的平分线；④．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①④ D．②③④
【答案】C
【知识点】与余角、补角有关的计算、角平分线的有关计算、对顶角相等
【分析】①根据余角的定义可求解．②根据补角的定义可求解．③根据角平分线的定义无法证明．④根据对顶角及余角性质可求解．
【详解】①∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴余角有，
故①正确．
②根据补角的定义可知的补角为，故②错误．
③∵不能证明，∴无法证明OD为∠EOG的平分线．
④根据对顶角以及余角的性质可知，
由①得，
∴，故④正确．
故选C．
【点睛】本题考查了余角、补角、对顶角以及角平分线的性质，注意结合图形，发现角与角之间的联系是解题关键．
69．（24-25七年级下·全国·期末）将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】几何图形中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查平行线的性质、角的和差，解答本题的关键掌握平行线的性质．
方法一：根据平行线的性质，可以得到，再根据折叠的性质，即可得到，最后根据平角的性质即可得解；
方法二：根据折叠可得，求出，再根据平行线的性质即可得解．
【详解】解：方法一：∵四边形是长方形纸片，
，，
，
由题意知，
，
；
方法二：由题意知，
，，
，
，
，
．
故选：D．
70．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题考查了几何图中角度的计算、平行线的判定，由即可判断①；由即可判断②；求出即可判断③；求出即可判断④．
【详解】解：∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，故②正确；
如果，则，故，故③正确；
如果，则，故，故④正确；
综上所述，正确的有①②③④，共4个，
故选：D．
71．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，在四边形中，H为四边形内部一点，连接，点E在线段的延长线上，，，点F在内部，连接，连接交于点G，，的余角比大．则下列结论：①；②；③；④其中所有正确的结论是 ．（填序号）
【答案】①②④
【知识点】与余角、补角有关的计算、根据平行线判定与性质证明、对顶角相等
【分析】此题考查了平行线的判定和性质、余角的定义、对顶角的性质等知识，根据内错角相等两直线平行即判断①，由角之间的相等关系得到，根据同位角相等两直线平行即判断②，根据余角的定义和对顶角相等得到，求出，即可判断③，根据两直线平行内错角相等即可判断④．
【详解】解：∵，
∴；
故①正确；
∵，，
∴，
∴,
∴，
故②正确；
∵的余角比大．
∴，
∵，
∴，
解得
故③错误；
∵，
∴，
故④正确；
故答案为：①②④
72．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，，点在上，，平分，且平分．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（请填写序号）
【答案】①②③
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．①根据角平分线的定义得出，，再根据，即可得出，于是推出；②由角平分线的定义结合已知推出，再根据内错角相等，两直线平行即可得出；③由两直线平行，内错角相等得出，结合角平分线的定义得出，结合①的结论即可得出；④根据现有条件无法证明．
【详解】解：平分，
，
平分，
，
，
，
，即，故①正确；
平分，
，
，
，
，故②正确；
平分，
，
，
，
，
由①知，
，故③正确；
根据现有条件，无法证明，故④错误；
其中正确的有：①②③，
故答案为：①②③．
73．（24-25七年级上·四川眉山·期末）已知直线，点在直线之间，连接．下面结论正确的个数为（ ）
①如图1，若，，则；
②如图2，点在之间，当，，则；
③如图2，点在之间，当，，则；
④如图3，的角平分线交于，且，点在直线之间，连接，，，，则和的关系为（用含的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、角n等分线的有关计算
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质．①过点P作，则，根据平行线的性质即可求解；②过点P作，过点Q作，则，，结合，即可得到结论；③过点P作，过点Q作，则，，结合，即可得到结论；④过点P作，则，可得，过点N作，可得，即，结合，，可得，进而可得结论．
【详解】解：①过点P作，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；①正确；
②点P作，过点Q作，则，，
∴，
∴，即，
同理：，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，②正确；
③过点P作，过点Q作，则，，
∴，
∴，即，
同理：，
∵，
∴，
∴，
∴，即，③正确；
④过点P作，则，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴
过点N作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，④正确．
综上，正确的有4个，
故选：D．
74．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）将一个三角板如图所示摆放，直线与直线相交于点，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当 时，与三角板的直角边平行．
【答案】5或35或65或95或125
【知识点】根据旋转的性质求解、根据平行线的性质求角的度数、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】根据题意，分6种情况讨论：当时，当时，当第二次平行于时，当第二次平行于时，当第三次平行于时，当第三次平行于时，画出对应的图形，利用平行线的性质，计算得到答案．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解答本题的关键．
【详解】解：如图， 时，
延长交于D点，
则，，
，
，
，
，
，
解得；
②如图：时，
，，
，
，
，
解得；
③如图第二次平行于时，
设与的交点为E，
则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得；
④如图第二次平行于时，
，，
∵，
∴，
∴，
解得；
⑤如图：第三次平行于时，
则，，
，
，
又，
，
∴，
解得；
⑥如图：第三次平行于时，
，，
，
，
∴，
解得（舍去）．
综上，所有满足条件的t的值为：5或35或65或95或125．
故答案为：5或35或65或95或125
题型十一 几何计算与证明综合题
75．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，．
(1)如图1，若，直接写出的度数；
(2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；（结果可用含的式子表示）
(3)如图3，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)的度数为或
【分析】本题考查平行线的判定和性质，过拐点构造平行线是解题的关键：
（1）过点作，得到，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可；
（2）过点作，则：，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可；
（3）过点作，得到，利用平行线的性质结合角的和差和数量关系，分2种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：过点作，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴；
（2）过点作，
∵，
∴，
∴，
由（1）知：，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∵是的三等分线，分两种情况：
①当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，又由（1）知：，
∴，
∴，
∴；
②当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
综上：或．
76．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）已知直线，在三角形纸板中，．
(1)将三角形按如图1放置，点和点分别在直线上，若，则__________；
(2)将三角形按图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，．试求之间的数量关系；
(3)在图2中，若，将三角形绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为秒．当三角形的一条直角边分别与平行时，求出相应的值（直接写出答案）．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，过“拐点”构造平行线是解题关键．
（1）过F点作，根据、即可求解；
（2）过F点作，根据、即可求解；
（3）根据题意画出满足条件的几何图，分四种情况讨论，求出旋转的角度即可求解．
【详解】（1）解：过F点作，如图所示：
∵，，
∴，
∴，，
∴；
故答案为：；
（2）解：过F点作，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即：；
（3）解：∵，，
∴，
时，如图所示：
此时：，
旋转角度，
∴；
时，如图所示：
此时：旋转角度，
∴；
时，如图所示：
此时：，
旋转角度，
∴；
时，如图所示：
此时：，
旋转角度为：，
∴；
综上所述：的值为：或或或．
77．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图1，在同一个平面上，已知点O为直线上一点，将三角板按如图所示放置，且直角顶点与O重合，点P在线段上，设．
(1)【问题探究】已知：且，，通过计算说明：平分；
(2)【类比探究】当三角板按图2放置时，平分，求的度数（结果用含α的代数式表示）；
(3)【拓展应用】在（2）的条件下，请直接写出与存在的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】此题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，角的计算，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质，角的计算是解决问题的关键．
（1）先由，得进而得，则，继而得，再根据即可得出，由此根据角平分线的定义可得出平分；
（2）由得，再由得，根据角平分线的定义得，即，由此可得的度数；
（3）由（2）得，即，再根据邻补角的定义得，进而得，由此可得和存在的数量关系．
【详解】（1）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：，
，
，
，
平分，
，
即，
；
（3）解：与存在的数量关系为：．
由（2）得：，
，
，
又，，
，
，
与存在的数量关系为：．
78．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，，的平分线交于点G．
(1)试说明：；
(2)如图，线段上有一点P，满足，过点A作交于点H．
①若，试判断与的位置关系，并说明理由；
②在①的条件下，在射线上取一点M，使得，直线交直线于点Q，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)①，见解析；②或
【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，几何中角度的计算：
（1）根据平行线的性质几何角平分线的定义即可说明结论；
（2）①；设，则，，，由平行线的性质推出，再根据角平分线的定义得到，由①得，根据，推出，即可得到；②由①得，求出，过点M作，则，分点M在线段上，点M在线段的延长线上，两种情况讨论即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：①，理由如下：
如图1，设，
∵，，
∴，，．
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
由①得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②由①得，
∴，
过点M作，则
当点M在线段上时，如图2，
由①得，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当点M在线段的延长线上时，如图3，
同理可得，，
∵，
∴，
∴，
∴．
综上所述，的值为或．
79．（21-22七年级下·江西赣州·期末）【感知】（1）如图①，，求的度数．
小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程．
解：如图①，过点P作，
【探究】（2）如图②，，求的度数；
【应用】（3）如图③，在以上【探究】条件下，的平分线和的平分线交于点G，求的度数．
（4）已知直线，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上（点C在点D的左侧），连接，的平分线与的平分线所在的直线交于点E，设，请画出图形并求出的度数（用含的式子表示）．
【答案】（1）；推理过程见解析；（2）；（3）；（4）的度数为或或或或．
【详解】本题主要考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
（1）根据平行线的性质与判定可求解；
（2）过点P作，根据平行的性质求出，，由即可求解；
（3）依据题意，根据的平分线和的平分线交于点G，可得的度数；
（4）画出图形，分点A在点B左侧和点A在点B右侧，两种情况，分别求解．
解：（1）如图①所示，过点P作，
（ 两直线平行，内错角相等），
，
（平行于同一直线的两条直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
，
，
，即；
（2）如图②，过点P作，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴；
（3）如图③所示，
是的平分线，是的平分线，
， ，
过点G作，
（两直线平行，内错角相等）．
（已知），
（平行于同一条直线的两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
；
（4）当点A在B左侧时，如图，过点E作，则，
，
平分平分，
， ，
．
当点A在B右侧时，点E在上方时，如图，过点E作，则，
，
平分平分，
， ，
．
当点A在B右侧时，点E在和外时，点E在下方时，
同理可求．
当点A在B右侧时，点E在和内时，
过点E作，则，
，
平分平分，
， ，
，
，或，
综上，的度数为或或或或．
80．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知分别在上．
(1)如图（1），求证：；
(2)如图（2），若F在之间，平分，若，求与的数量关系；
(3)如图（3），射线从开始，绕M点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕N点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于P，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间t秒的值．
【答案】(1)详见解析
(2)
(3)或10或14
【分析】（1）过E作，由平行线的性质可得出，，可得，即．
（2）设，则，设，则，由(1)可知，，可列出，将和，代入化简可得；
（3）将直线的点M平移与直线的N点重合，根据运动的角度差为，结合题意将角度转化为角度差，结合题意分别列出对应的角度和差关系求解即可；
【详解】（1）解：如图，过E作，
∴，①
又，
∴，
∴．②
①②得，，
∴．
（2）解：如图，
设，则，设，则，
由(1)可知
同理可得
又，
∴，
则，
由，得，
由，得,
将，代入，得．
（3）解：将直线的点M平移与直线的N点重合，如图，
根据题意得，，，则，
∵直线与直线相交所夹的锐角为，
∴，
∴，解得，
根据题意得，，
∵直线与直线相交所夹的锐角为，
∴，
∴，即，解得，
根据题意得，，
∵直线与直线相交所夹的锐角为，
∴，
∴，即，解得，
故满足题意得或10或14．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、角平分的性质、角度和差倍积的关系以及运动的思想，解题的关键是利用已知的结论和使用动态的思想求解．
81．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，．
(1)如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数．
(3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、对顶角相等、角平分线等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
（1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差、等量代换即可得；
（2）过点作，先根据（1）的结论可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质、平行公理推论可得，由此即可得；
（3）过点作，先参考（1）的方法可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，，然后根据代入计算即可得．
【详解】（1）解：，理由如下：
如图1，过点作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：如图2，过点作，
由（1）可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图3，过点作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
，
∴，
由对顶角相等得：，
由（2）可知，
，
所以的度数为．
82．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【问题情境】在数学课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动．
已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是与之间任意一点，连按、．直线，直线l分别交、于M、N两点．
【探索发现】（1）如图1，求证：；
【深入探究】（2）如图2，求证：；
【拓广探索】（3）如图3，平分，平分，过点F作的垂线交于点H，连接，，，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，角平分线定义，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线的性质．
（1）根据平行线的性质得出，，然后证明结论即可；
（2）延长交于点 P，过点P作交于点 Q，根据平行线的性质得出，，证明，根据平行线的性质得出，即可证明结论；
（3）设，得出， 根据角平分线定义得出，过点作 ， 根据平行线的性质得出 ，过点作，根据平行线的性质得出，，求出，根据，求出结果即可．
【详解】（1）证明：直线，
，
∵，
，
∴；
（2）证明：延长交于点 P，过点P作交于点 Q，
，，
，
直线，
∴，
；
（3）解：设，
，
平分，
，
，
，
，
，
过点作，
，
，
平分，
，
过点作，
，
∵，，
∴，
∴，
，
，
∴．
83．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图（1），直线与直线、分别交于点、．为钝角，．
(1)求证：；
(2)如图（2），点、分别在直线、上，点（不在直线上）是直线、之间一点，连接、、．若，，求等于多少度？
(3)如图（3），在（2）的条件下，平分交直线于点，平分交于点，交直线于点，若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、几何图中角度的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由结合对顶角相等得出，即可得出；
（2）过点作，则，，从而得到，由得出，由平行线的性质可得，最后得出；
（3）过点作交于点，则，设，则，由，得出，从而得到，最后再根据角平分线的定义进行计算即可．
【详解】（1）证明：，．
，
；
（2）解：过点作，
，
，，
，
．
，
，
．
，
，
；
（3）解：过点作交于点，
，．
设，则，
，
．
，
．
，
，
平分，平分
，
．
84．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足．
(1)______，______；
(2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直．
(3)若射线绕点顺时针先转动15秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线第一次到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？
【答案】(1)8；2
(2)9秒
(3)6秒或10秒
【分析】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解方程的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0．
（1）依据非负数的性质即可得到，的值；
（2）依据，，即可得到射线、射线第一次互相垂直的时间；
（3）分两种情况讨论，依据时，，列出方程即可得到射线、射线互相平行时的时间．
【详解】（1）解：∵，，
∴
，，
，，
故答案为：8；2；
（2）解：设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直．
如图，设旋转后的射线、射线交于点，则，
，
，
，
，
又，，
，
，
∴至少旋转9秒时，射线、射线互相垂直；
（3）解：设射线再转动秒时，射线、射线互相平行．
如图，射线绕点顺时针先转动15秒后，转动至的位置，则，
∴；
分两种情况：
①当时，，，
∵，
∴，
，，
当时，，
∴，
解得；
②当时，，，
，，
当时，，
此时，，
解得；
综上所述，射线再转动6秒或10秒时，射线、射线互相平行．
85．（24-25七年级上·四川眉山·期末）如图，已知，．
(1)如图1，试说明：；
(2)如图2，连接，若点在线段上，且满足平分，平分，，求的度数：
(3)①如图2，在（2）中，若，其他条件不变，求的度数（直接写出答案，用含的代数式表示）；
②如图3，在（3）①的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当平分时，若，求的度数（直接写出答案，用含的代数式表示）；
③如图3，在（3）①的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当时，若，求的度数（直接写出答案，用含的代数式表示）；
【答案】(1)见解析
(2)
(3)①；②；③
【分析】本题主要考查了两直线平行的判定和性质，以及角的运算，解题的关键是弄清角与角之间的关系．
（1）利用两直线平行的判断和性质进行证明；
（2）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，，根据求出结果即可；
（3）①根据解析（2）的方法求出结果即可；
②根据角平分线定义证明，求出，根据平行线的性质得出；
③根据平行线的性质证明，求出，根据平行线的性质得出，即可求出结果．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分
∴，
∴
．
（3）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分
∴，
∴
．
②∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
③∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
86．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图1，在一张正方形纸片（正方形的两组对边分别平行）的两边上分别有A，B两点，连接，点P是正方形纸片上一点，过点P翻折纸片，使点B落在直线上的点处，折痕交于点Q．

(1)①判断折痕与的位置关系，并说明理由；
②通过不断地尝试，除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是_______；
(2)在图1的基础上，展平纸片，得到图2，在图2中过点P折出并画出与平行的折痕（折痕左端点记为点D，右端点记为点E），请简要阐述折叠方法并说明理由；
(3)将图2的纸片展平得到图3，点S是线段上一动点（不与点E重合），若，，，请直接写出的度数．（用、β的代数式表示）
【答案】(1)①，理由见解析；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
(2)折叠方法：过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为，理由见解析
(3)或
【分析】（1）①根据折叠的性质得出，根据，求出，即可得出结论；
②根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进行解答即可；
（2）过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为，根据平行线的判定进行证明即可；
（3）分两种情况进行讨论：当点S在线段上时，当点S在线段上时，分别画出图形，进行求解即可．
【详解】（1）解：①；理由如下：
根据折叠可知：，
∵，
∴，
∴；
②除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（2）解：折叠方法：过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为；如图所示：

理由：根据解析（1）可得：，
∵，
∴，
∴；
（3）解：当点S在线段上时，如图所示：

∵正方形纸片中，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴
，
∴
；
当点S在线段上时，如图所示：

∵正方形纸片中，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
；
综上分析可得：或．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质和判定，三角形内角和定理应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质，注意分类讨论．
87．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知，如图，点在、两线之间，且在所在直线的左侧．
(1)如图1，当，时，
①若平分，平分，则________；
②若，，则________；
③若，，则________．
(2)如图2，当与相交，点、点重合时，猜想、、与之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，直接运用（2）的结论探究下列问题：
①若平分，平分，当，时，求的度数；
②若，，当，时，求的度数．
【答案】(1)①；②；
(2)
(3)①；②
【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义．
（1）①分别过点作，根据平行线的性质结合角平分线的定义即可得出结论；②同理①，即可求解；③同理①，即可求解；
（2）如图，作射线，分别过点作，根据平行线的性质结合角平分线的定义即可得出结论；
（3）①结合（2）中结论，再利用角平分线的定义即可求解；②同理①，即可求解．
【详解】（1）解：①分别过点作，
，
，
，
，
，
平分，平分，
，
；
②同理①得：，
，，
；
③同理①得：，
，，，
；
（2）解：，理由如下：
如图，作射线，分别过点作，
则，
，
，
，
，
即原图中：，
（3）解： 由（2）可得：，，
平分，平分，
，
，
即，
，
；
②，，
，，
，
同理①的：，
，即，
．
88．（23-24七年级下·福建福州·期末）已知，点分别是直线上的两点，点在之间，连接．

(1)如图（），若，，求证：；
(2)若点是下方一点，平分，平分．请在图（）中补全图形，并探究，与之间的数量关系．
【答案】(1)证明见解析；
(2)补全图形见解析，．
【分析】（）过作

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