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专题02 实数（考题猜想，11种高频易错重难点63题）
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题型一：利用算术平方根的非负性解题（易错）
1．（23-24七年级下·云南大理·期末）若，则的值是（ ）
A．10 B． C．3 D．
2．（23-24七年级下·广东广州·期末）若，则的值是 ．
3．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）如果和互为相反数，那么的平方根是 ．
4．（23-24七年级下·云南玉溪·期末）已知实数m，n满足，求的平方根．
5．（23-24七年级下·吉林白城·期末）已知：实数满足关系式求的值．
题型二：算术平方根的实际应用（新考向）
6．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）如果一个正方形的面积为10，那么它的边长为（　　）
A．10 B． C． D．
7．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）学校水房前有一个长、宽之比为5：2的长方形过道，其面积为，若用40块大小相同的正方形地砖把这个过道铺满，地砖的边长是 ．
8．（23-24七年级下·陕西延安·期末）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：），l表示摆长（单位：）．假如一台座钟摆针的摆长为．求摆针摆动的周期．（取3，）
9．（23-24七年级下·四川广安·期末）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长，宽的长方形绣布，刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，他能裁出来吗？请说明理由．（取3）
10．（23-24七年级下·福建·期末）依依需要一块长、宽比为且面积为120平方米的长方形舞台幕布．现有两块闲置的边长为9米的正方形布料，依依想按下图所示的方式将两块正方形布料裁开后缝合成一块大正方形布料，再将其大正方形沿边裁剪出长方形舞台幕布．（接缝处忽略不计）
(1)缝合后大正方形的边长为__________米；
(2)依依能否裁剪出符合条件的长方形舞台幕布，请说明理由．
题型三：已知一个数的平方根，求这个数（高频）
11．（23-24七年级下·广东惠州·期末）一个正数的两个平方根分别为与，则的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
12．（23-24七年级下·全国·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为 ．
13．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则
14．（23-24七年级下·湖北荆州·期末）已知一个正数的平方根是和，求这个正数及的平方根．
题型四：平方根的应用（新考向）
15．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离S（单位：）可用公式估计，其中h（单位：）是眼睛离海平面的高度
(1)如果一个人站在岸边观察，当眼睛离海平面的高度是时，能看到多远？
(2)若登上一个观望台，使看到的最远距离是（1）中的4倍，已知眼睛到脚底的高度为，求观望台离海平面的高度？
16．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形．
(1)求拼成的大正方形纸片的边长；
(2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？
17．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）阅读与思考
阅读下列材料，并完成相应的任务．
坐标系中两点间的距离公式
如果平面直角坐标系内有两点，那么两点的距离．
例如：若点，则．
任务：
(1)若点，则A，B两点间的距离为______．
(2)若点，点B在y轴上，且A，B两点间的距离是5，求点B的坐标．
题型五：立方根概念理解（易错）
18．（23-24七年级下·全国·期末）下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是2 B．9的算术平方根是3
C．是27的立方根 D．0无立方根
19．（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是
20．（23-24七年级下·广西百色·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和的立方根是．
(1)求a，b的值：
(2)求的算术平方根和立方根．
21．（23-24七年级下·河南许昌·期末）已知是的立方根，是的算术平方根，求的值．
22．（23-24七年级下·四川德阳·期末）我国著名的数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．
解：∵，
∴是两位整数；
∵整数的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有的末位数字是，
∴的末位数字是9；
又∵划去的后面三位319得到59，而，
∴的十位数字是；
∴请根据以上解题思路解方程：，得的值为 ．
题型六：已知一个数的立方根，求这个数（高频）
23．（23-24七年级下·广东广州·期末）若， ，则的所有可能值为（ ）
A． B． C．或 D．或
24．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）若的算术平方根为，的立方根为，是平方根等于本身的数，则的值为 ．
25．（23-24七年级下·甘肃平凉·期末）已知的平方根是，的立方根是2，求的值．
26．（23-24七年级下·江西赣州·期末）已知的平方根为，的立方根为2．
(1)求a、b的值；
(2)求的值．
27．（23-24七年级下·四川泸州·期末）已知：的相反数是，的立方根是．
(1)求m，n的值；
(2)求的平方根．
题型七：立方根的实际应用（新考向）
28．（23-24七年级下·广西南宁·期末）如图，由27个完全相同的小正方体组成的大正方体的体积为27，则小正方体的棱长是（ ）
A．1 B．3 C．9 D．27
29．（23-24七年级下·云南昭通·期末）解方程．
(1) (2)
30．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）要生产一种容积为的球形容器，则球形容器的半径的值是（球的体积公式是）（ ）
A．9 B．6 C． D．3
31．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）2024年的母亲节来临之际，小康和小明分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小康制作的正方体礼盒的表面积为，而小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小，则小明制作的正方体礼盒的表面积为（　　）
A． B． C． D．
32．（23-24七年级下·云南昆明·期末）地球仪的主体结构是球体，根据球体体积公式（R为球体半径），计算得到下表数据：
地球仪的体积V（单位：） 地球仪的半径R（单位：）
地球仪A
地球仪B
已知地球仪C的体积为，则它的半径约为（ ）
A． B． C． D．
33．（23-24七年级下·新疆巴音郭楞·期末）为了制作某城市雕塑，需要把一根截面面积为高为的长方体钢体熔铸成两个正方体，其中大正方体的棱长是小正方体的棱长的3倍，求这两个正方体的棱长．
34．（23-24七年级下·广东东莞·期末）我国著名数学家华罗庚在杂志上看到这样的问题：求59319的立方根．他脱口而出：39．他是怎样快速准确算出来的呢？
整数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100
整数的立方 1 8 27 216 729 103 106
(1)【知识储备】开立方与立方互为逆运算，如：因为所以因为所以因此，我们需要熟悉一些数及其立方．请补全表格：
(2)【思路探究】尝试求出19683的立方根是哪个整数：
①确定立方根的位数：由猜想是 位数；
②确定个位的数字：根据（1）中各整数的立方的个位数字，确定的个位上的数字是 ；
③确定十位的数字：由且确定的十位上的数字是 ；
④确定立方根的值：由可得的值为 ．
(3)【尝试应用】某商场拟建一个棱长为整数、容积为373248的正方体玻璃柜放置东莞迎思门（西城楼）模型，请问这个正方形棱长是多少？请写出求解过程．
题型八：实数的有关概念（高频）
35．（23-24七年级下·青海海东·期末）下列实数中，是无理数的是（ ）
A． B． C．3.14 D．
36．（23-24七年级下·重庆丰都·期末）是一个（ ）
A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数
37．（23-24七年级下·广西南宁·期末）等于（ ）
A． B． C．10 D．
38．（23-24七年级下·广西南宁·期末）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
39．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，以2个单位长度作正方形，连接各边中点作小正方形．在数轴上以对应的点为圆心，小正方形边长为半径画圆弧，交数轴于原点右侧点，点所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
40．（23-24七年级下·全国·期末）请你写出一个大于的无理数 ．
41．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）比较与的大小，其结果是M N．（填“>”，“<”或“=”）
42．（23-24七年级下·重庆开州·期末）有一个数值转换器，流程如图：
当输入x的值为81时，输出y的值是 ．
43．（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积（溢出水的体积即为正方体的体积）为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于 两个相邻的整数之间．
44．（23-24七年级下·全国·期末）若，且n是正整数，则 ．
45．（23-24七年级下·全国·期末）与最接近的整数是 ．
题型九：实数的运算（高频）
46．（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）计算： ．
47．（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）计算：
(1) (2)
48．（23-24七年级下·全国·期末）计算：
49．（23-24七年级下·吉林松原·期末）计算：．
50．（23-24七年级下·云南大理·期末）计算：．
题型十：实数的整数部分与小数部分（重难点）
51．（23-24七年级下·山东济宁·期末），已知a为整数，，求b的值 ．
52．（23-24七年级下·内蒙古通辽·期末）已知的小数部分为a，的小数部分为b，则 ．
53．（23-24七年级下·吉林·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根．
54．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）已知的平方根是的立方根是2．
(1)求和的值；
(2)若是的整数部分，是的小数部分，求的值．
55．（23-24七年级下·山西朔州·期末）阅读与理解
下面是小茗同学的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务．
因为没有任何一个有理数的平方等于2，所以是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，的小数部分我们不能全部写出来，就用来表示的小数部分．原因是的整数部分为1，将这个数减去其整数部分，差就是它的小数部分． 又如： ∵，∴． ∴． ∴的整数部分为2，小数部分为．
任务：
(1)根据小茗笔记内容知，的整数部分是______，小数部分是______；
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
(3)已知，x是整数，，求的值．
56．（23-24七年级下·广西南宁·期末）阅读材料，完成下列任务：
材料一： 材料二：
我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数）．
， ，即 的整数部分为2． 的小数部分为． 面积为107的正方形的边长是，且， 设，其中． 画出边长为的正方形，如图： 根据图中面积，得． 当较小时，忽略，得． 解得．
任务：
(1)利用材料一中的方法，的小数部分是____________；
(2)是的小数部分，是的小数部分，则的值是多少？
(3)利用材料二中的方法，探究的近似值（保留两位小数，并写出求解过程）
57．（23-24七年级下·河南安阳·期末）观察与探究：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
(1)的整数部分是________，小数部分是_______．
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
(3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数．
58．（23-24七年级下·重庆巴南·期末）阅读下面文字，然后回答问题．
给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个数的最大整数，这个实数的小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：2.4 的整数部分为2，小数部分为 的整数部分为1，小数部分可用 表示；再如，的整数部分为，小数部分为．
由此我们得到：如果 其中x是整数， 且， 那么
(1)如果， 其中a是整数， 且， 那么 ， ；
(2)如果 其中C是整数，且，那么 ，
(3)已知 其中m是整数，且，求的平方根．
题型十一：实数的规律探究（重难点）
59．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）将一组数…按以下方式进行排列：
第一行
第二行 2
第三行
… ……
则第八行左起第1个数是（ ）．
A． B． C． D．
60．（23-24七年级下·福建龙岩·期末）若，，则的值为 ．
61．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）已知，则 ．
62．（22-23七年级下·山东滨州·期末）下列各式是求个位数为5的整数的算术平方根的运算：，，观察这些运算都有规律，试利用该规律直接写出运算的结果为 ．
63．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如何迅速准确地计算出四位数的算术平方根呢？按照下面思路你也能办到．
(1)以下是小明探究的过程，请补充完整：
①由，可以确定是位数；
②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或；
③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而，所以选择较小的个位数字，则__________．
(2)已知也是一个整数的平方，请根据材料的方法求出，并说明理由．专题02 实数（考题猜想，11种高频易错重难点63题）
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题型一：利用算术平方根的非负性解题（易错）
1．（23-24七年级下·云南大理·期末）若，则的值是（ ）
A．10 B． C．3 D．
【答案】A
【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题主要考查了绝对值、平方、算术平方根的非负性，熟练掌握绝对值、平方、算术平方根的非负性是解题的关键．
根据绝对值、平方、二算术平方根的非负性，可得，再代入，即可求解．
【详解】解：，
，
，
解得：，
，
故选：A．
2．（23-24七年级下·广东广州·期末）若，则的值是 ．
【答案】或/2或3
【知识点】利用算术平方根的非负性解题
【分析】该题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，解题的关键是确定出算术平方根等于本身的数是1或0．
根据题意得出或，求解即可．
【详解】解：依题意得，或，
解得：或．
故答案为：或．
3．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）如果和互为相反数，那么的平方根是 ．
【答案】；
【知识点】利用算术平方根的非负性解题
【分析】本题考查了二次根式的非负性，根据非负式子和为0，它们分别等于0直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵，，且和互为相反数，
∴，，
解得：，，
∴，
∴的平方根是：，
故答案为：．
4．（23-24七年级下·云南玉溪·期末）已知实数m，n满足，求的平方根．
【答案】
【知识点】求一个数的平方根、利用算术平方根的非负性解题
【分析】本题考查非负数的性质、平方根，先根据平方、算术平方根的非负性求出m和n的值，进而求出的值，再求平方根即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴的平方根是．
5．（23-24七年级下·吉林白城·期末）已知：实数满足关系式求的值．
【答案】2027
【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题主要考查算术平方根，绝对值，偶次方的非负性，代数式求值，求解，，的值是解题的关键．根据算术平方根，绝对值，偶次方的非负性求解，，的值，再代入计算即可求解．
【详解】解：由题意得，
解得，，，
．
题型二：算术平方根的实际应用（新考向）
6．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）如果一个正方形的面积为10，那么它的边长为（　　）
A．10 B． C． D．
【答案】C
【知识点】算术平方根的实际应用
【分析】本题考查算术平方根的应用．根据正方形的边长等于面积的算术平方根计算即可．
【详解】解：∵正方形的面积为10，
∴正方形的边长为，
故选：C．
7．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）学校水房前有一个长、宽之比为5：2的长方形过道，其面积为，若用40块大小相同的正方形地砖把这个过道铺满，地砖的边长是 ．
【答案】/
【知识点】算术平方根的实际应用
【分析】本题考查算术平方根的应用，设长方形过道的长为，宽为，根据题意求得，再设地砖的边长是,根据题意求得，经过验证符合题意，进而可得结论．
【详解】解：由题意，设长方形过道的长为，宽为，
根据题意，得，即，
解得（负值已舍去），
∴该长方形的长为，宽为，
设地砖的边长是,
根据题意，，
解得，
由（块），（块），符合题意，
故地砖的边长是，
故答案为：．
8．（23-24七年级下·陕西延安·期末）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：），l表示摆长（单位：）．假如一台座钟摆针的摆长为．求摆针摆动的周期．（取3，）
【答案】
【知识点】算术平方根的实际应用
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，正确的计算是解题的关键．根据题意将已知数据代入公式进行计算即可求解．
【详解】解：把，代入，得：
，
即摆针摆动的周期．
9．（23-24七年级下·四川广安·期末）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长，宽的长方形绣布，刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，他能裁出来吗？请说明理由．（取3）
【答案】他不能裁出来，理由见解析
【知识点】算术平方根的实际应用、估计算术平方根的取值范围
【分析】本题考查了算术平方根，估算无理数的大小的应用．设完整圆形绣布的半径为，依题意，得，进而得出，根据，即可求解．
【详解】解：他不能裁出来．
理由：设完整圆形绣布的半径为．
依题意，得．
取3，，
解得（负值已舍去）．
，
，
他不能裁出来．
10．（23-24七年级下·福建·期末）依依需要一块长、宽比为且面积为120平方米的长方形舞台幕布．现有两块闲置的边长为9米的正方形布料，依依想按下图所示的方式将两块正方形布料裁开后缝合成一块大正方形布料，再将其大正方形沿边裁剪出长方形舞台幕布．（接缝处忽略不计）
(1)缝合后大正方形的边长为__________米；
(2)依依能否裁剪出符合条件的长方形舞台幕布，请说明理由．
【答案】(1)
(2)依依能裁剪出符合条件的长方形舞台幕布，理由见解析
【知识点】算术平方根的实际应用
【分析】本题考查了算术平方根的应用，理解算术平方根的意义是解此题的关键．
（1）设大正方形的边长是米．由题意得出，求解即可得出答案；
（2）设长方形的长为米，宽为米，由题意得出，计算即可得出长方形边长，再比较即可得出答案．
【详解】（1）解：设大正方形的边长是米．
由题意得：
解得：（舍去），
∴缝合后大正方形的边长为米；
（2）解：设长方形的长为米，宽为米
（舍去）
∴
∵
∴
答：依依能裁剪出符合条件的长方形舞台幕布．
题型三：已知一个数的平方根，求这个数（高频）
11．（23-24七年级下·广东惠州·期末）一个正数的两个平方根分别为与，则的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】已知一个数的平方根，求这个数
【分析】本题考查了平方根，根据平方根的定义列出关于的方程，求出的值即可，熟知一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为与，
∴，
解得：，
故选：C．
12．（23-24七年级下·全国·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为 ．
【答案】
【知识点】已知一个数的平方根，求这个数
【分析】根据两个数的平方根互余相反数，列出方程解方程即可，
本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握一个正数的平方根互为相反数．
【详解】解：由题意得，
解得：，
所以这个正数是．
故答案为：．
13．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则
【答案】
【知识点】已知一个数的平方根，求这个数
【分析】本题考查了平方根；
根据一个正数的两个平方根互为相反数列式计算即可．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴，
∴，
故答案为：．
14．（23-24七年级下·湖北荆州·期末）已知一个正数的平方根是和，求这个正数及的平方根．
【答案】这个正数是；的平方根是．
【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的平方根
【分析】本题考查了平方根．由题意得，，可求，则这个正数是，再计算的平方根即可．
【详解】解：由题意得，，
解得，，
∴，
∴这个正数是，
∴，这个正数是；
∴，
∴的平方根是．
题型四：平方根的应用（新考向）
15．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离S（单位：）可用公式估计，其中h（单位：）是眼睛离海平面的高度
(1)如果一个人站在岸边观察，当眼睛离海平面的高度是时，能看到多远？
(2)若登上一个观望台，使看到的最远距离是（1）中的4倍，已知眼睛到脚底的高度为，求观望台离海平面的高度？
【答案】(1)能看
(2)观望台离海平面的高度为
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、平方根的应用
【分析】（1）将代入，即可求解；
（2）根据题意可得，代入求出h的值，即可求解．
【详解】（1）解：将代入得：，
解得：或，
∴能看．
（2）解：∵看到的最远距离是（1）中的4倍，
∴，
∴，解得：，
∵眼睛到脚底的高度为，
∴观望台离海平面的高度，
答：观望台离海平面的高度为．
【点睛】本题主要考查了求代数式的值和平方根，解题的关键是正确理解题意，掌握平方根的定义．
16．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形．
(1)求拼成的大正方形纸片的边长；
(2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？
【答案】(1)
(2)解：不同意小明的说法，我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片，理由见解析
【知识点】平方根的应用、利用平方根解方程、算术平方根的实际应用
【分析】本题考查平方根的实际应用，读懂题意，由算术平方根及平方根定义列式求解即可得到答案，读懂题意，由平方根定义列式求解是解决问题的关键．
（1）根据题意，利用算术平方根列式求解即可得到答案；
（2）设长方形纸片的长为，宽为，由题意得到求解即可得到答案．
【详解】（1）解：用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形，
大正方形的边长为；
（2）解：不同意小明的说法；我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片．
理由如下：
设长方形纸片的长为，宽为，根据题意得，解得或（负值，舍去），即长方形的长为，宽为，
∵，不符合题意，
∴小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片．
17．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）阅读与思考
阅读下列材料，并完成相应的任务．
坐标系中两点间的距离公式
如果平面直角坐标系内有两点，那么两点的距离．
例如：若点，则．
任务：
(1)若点，则A，B两点间的距离为______．
(2)若点，点B在y轴上，且A，B两点间的距离是5，求点B的坐标．
【答案】(1)
(2)点B的坐标为或
【知识点】求一个数的算术平方根、平方根的应用
【分析】本题考查了两点间的距离公，算术平方根的应用；
（1）直接根据两点间的距离公式求解即可；
（2）设点B的坐标为，再利用两点间的距离公式列方程求解即可．
【详解】（1）由两点间距离公式得：
∴点，则A，B两点间的距离为
（2）设点B的坐标为
由两点间距离公式得：，解得：
∴点B的坐标为或
题型五：立方根概念理解（易错）
18．（23-24七年级下·全国·期末）下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是2 B．9的算术平方根是3
C．是27的立方根 D．0无立方根
【答案】B
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、立方根概念理解、求一个数的立方根
【分析】本题考查了算术平方根、平方根以及立方根，掌握相关概念是解题关键，根据算术平方根、平方根以及立方根的概念逐一判断即可．
【详解】解：A、，4的平方根是，原说法错误，不符合题意；
B、9的算术平方根是，原说法正确，符合题意；
C、3是27的立方根，原说法错误，不符合题意；
D、0的立方根是0，原说法错误，不符合题意；
故选：B．
19．（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是
【答案】
【知识点】立方根概念理解、平方根概念理解
【分析】此题主要考查了平方根和立方根的定义和性质，任意一个数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是．根据平方根和立方根的性质解答即可．
【详解】解：∵的平方根是它本身，的立方根是它本身，
∴一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是．
故答案为：．
20．（23-24七年级下·广西百色·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和的立方根是．
(1)求a，b的值：
(2)求的算术平方根和立方根．
【答案】(1)，
(2)8，4
【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的平方根，求这个数、立方根概念理解、求一个数的立方根
【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根，立方根，解题的关键是根据定义列出方程．
（1）根据平方根的定义、立方根的定义列出方程进行解答便可；
（2）根据算术平方根、立方根的定义进行计算便可．
【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和的立方根是
∴，，
∴，；
（2）解：当，时，，
∴的算术平方根为，立方根为．
21．（23-24七年级下·河南许昌·期末）已知是的立方根，是的算术平方根，求的值．
【答案】
【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、立方根概念理解、求一个数的立方根
【分析】此题主要考查了立方根以及算术平方根，正确得出的值是解题关键．
首先利用算术平方根的定义以及结合立方根的定义得出的值，再求出即可求出答案．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
则，
．
22．（23-24七年级下·四川德阳·期末）我国著名的数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．
解：∵，
∴是两位整数；
∵整数的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有的末位数字是，
∴的末位数字是9；
又∵划去的后面三位319得到59，而，
∴的十位数字是；
∴请根据以上解题思路解方程：，得的值为 ．
【答案】
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求一个数的立方根、立方根概念理解
【分析】本题考查了立方根的估算，一元一次方程的解法，熟练掌握估算方法，灵活解方程是解题的关键．先运用学到的方法，进行估算，再解一元一次方程即可．
【详解】解∵，
∴，
∵，
∴是两位整数；
∵整数的末位上的数字是3，而整数0至的立方中，只有的末位数字是3，
∴的末位数字是7；
又∵划去的后面三位得到19，
而，
∴的十位数字是2；
∴；
∴，
解得，
故答案为：
题型六：已知一个数的立方根，求这个数（高频）
23．（23-24七年级下·广东广州·期末）若， ，则的所有可能值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题考查的是平方根与立方根的含义，代数式求值，根据平方根与立方根的含义可得，，再进一步的计算即可.
【详解】解：，，
，，
则或，
故选C.
24．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）若的算术平方根为，的立方根为，是平方根等于本身的数，则的值为 ．
【答案】
【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、已知一个数的立方根，求这个数
【分析】本题考查了算术平方根，平方根，立方根概念，根据算术平方根，平方根，立方根的定义求出的，，的值，代入计算即可得出答案，熟练掌握算术平方根，平方根，立方根概念及运算是解题的关键．
【详解】∵的算术平方根为，
∴，
∵的立方根为，
∴，
∵是平方根等于本身的数，
∴，
∴，
故答案为：．
25．（23-24七年级下·甘肃平凉·期末）已知的平方根是，的立方根是2，求的值．
【答案】2
【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、已知一个数的立方根，求这个数、已知一个数的平方根，求这个数
【分析】本题考查了平方根、立方根、熟练掌握平方根、立方根的定义、求出a、b的值是解题的关键．
先利用平方根、立方根的定义、求出a、b的值，再把它们的值代入代数式计算算术平方根即可．
【详解】解：∵的平方根是，的立方根是2，
∴，，
解得，，
∴．
26．（23-24七年级下·江西赣州·期末）已知的平方根为，的立方根为2．
(1)求a、b的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2)5
【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数
【分析】本题考查平方根与立方根的定义，求算术平方根，掌握平方根与立方根的定义是关键；
（1）由平方根的定义得，即可求得a的值；由立方根的定义得，则可求得b的值；
（2）由（1）中所求即可求得结果．
【详解】（1）解：由于的平方根为，则，
解得：；
由的立方根为2，则，
即，
解得：；
（2）解：当时，．
27．（23-24七年级下·四川泸州·期末）已知：的相反数是，的立方根是．
(1)求m，n的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，
(2)
【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的平方根、相反数的定义
【分析】本题考查平方根、相反数、立方根的知识．
（1）根据相反数的概念和立方根的概念得到，，然后求解即可；
（2）将，代入利用平方根的概念求解即可．
【详解】（1）∵的相反数是，的立方根是
∴，
∴，；
（2）∵，
∴
∴16的平方根为
∴的平方根．
题型七：立方根的实际应用（新考向）
28．（23-24七年级下·广西南宁·期末）如图，由27个完全相同的小正方体组成的大正方体的体积为27，则小正方体的棱长是（ ）
A．1 B．3 C．9 D．27
【答案】A
【知识点】立方根的实际应用
【分析】本题主要考查了立方根的应用，求得每个小正方体的体积成为解题的关键．
先求出每个小正方体的体积，利用立方根定义求出棱长即可．
【详解】解：根据题意得每个小正方体的体积为，
∴每个小正方体的棱长为，
故选：A．
29．（23-24七年级下·云南昭通·期末）解方程．
(1)
(2)
【答案】(1)或
(2)
【知识点】利用平方根解方程、立方根的实际应用
【分析】本题主要考查了根据求平方根和求立方根的方法解方程，正确记忆相关知识点是解题关键．
（1）先把方程两边同时除以2，再根据求平方根的方法解方程即可；
（2）先把方程两边同时减去27，然后再根据求立方根的方法解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，
∴或；
（2）解：，
，
∴
30．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）要生产一种容积为的球形容器，则球形容器的半径的值是（球的体积公式是）（ ）
A．9 B．6 C． D．3
【答案】D
【知识点】立方根的实际应用
【分析】本题考查了立方根的应用，熟练掌握立方根的概念是解题的关键．
由球的体积公式是，将代入即可求得R的值．
【详解】解：由题意得，
．
故选：D．
31．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）2024年的母亲节来临之际，小康和小明分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小康制作的正方体礼盒的表面积为，而小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小，则小明制作的正方体礼盒的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】立方根的实际应用
【分析】本题考查立方根的实际应用；
设小康制作的正方体礼盒的边长为a，根据表面积公式先求出，从而求出小康制作的正方体礼盒的体积，再根据小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小即可求解．
【详解】设小康制作的正方体礼盒的边长为a，
则，解得：
∴小康制作的正方体礼盒的体积为：
∵小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小
∴小明制作的正方体礼盒的体积为
∴小明制作的正方体礼盒的边长为
∴小明制作的正方体礼盒的表面积为
故选：C．
32．（23-24七年级下·云南昆明·期末）地球仪的主体结构是球体，根据球体体积公式（R为球体半径），计算得到下表数据：
地球仪的体积V（单位：） 地球仪的半径R（单位：）
地球仪A
地球仪B
已知地球仪C的体积为，则它的半径约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】立方根的实际应用
【分析】根据立方根的定义及性质即可求得答案．本题考查立方根，熟练掌握其定义及性质是解题的关键．
【详解】解：设地球仪的半径为，
则，
那么，
，
由表格数据可得，
则，
即它的半径约为，
故选：B．
33．（23-24七年级下·新疆巴音郭楞·期末）为了制作某城市雕塑，需要把一根截面面积为高为的长方体钢体熔铸成两个正方体，其中大正方体的棱长是小正方体的棱长的3倍，求这两个正方体的棱长．
【答案】这两个正方体的棱长分别为和
【知识点】立方根的实际应用
【分析】此题主要考查了正方体的体积公式和立方根的定义．解决本题的关键是理解铸造前后总体积不变，需注意正方体的棱长应是体积的三次方根．因为长方体钢块铸成两个正方体后体积不发生改变，可设小正方体棱长为，由题意列方程即可求出其棱长的值．
【详解】解：设小正方体棱长为，则大正方体的棱长为，由题意得：
，
即，
，
，
，
答：这两个正方体的棱长分别为和．
34．（23-24七年级下·广东东莞·期末）我国著名数学家华罗庚在杂志上看到这样的问题：求59319的立方根．他脱口而出：39．他是怎样快速准确算出来的呢？
整数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100
整数的立方 1 8 27 216 729 103 106
(1)【知识储备】开立方与立方互为逆运算，如：因为所以因为所以因此，我们需要熟悉一些数及其立方．请补全表格：
(2)【思路探究】尝试求出19683的立方根是哪个整数：
①确定立方根的位数：由猜想是 位数；
②确定个位的数字：根据（1）中各整数的立方的个位数字，确定的个位上的数字是 ；
③确定十位的数字：由且确定的十位上的数字是 ；
④确定立方根的值：由可得的值为 ．
(3)【尝试应用】某商场拟建一个棱长为整数、容积为373248的正方体玻璃柜放置东莞迎思门（西城楼）模型，请问这个正方形棱长是多少？请写出求解过程．
【答案】(1)
(2)①两；②7；③2；④27
(3)这个正方形棱长是72
【知识点】立方根的实际应用
【分析】本题考查立方根的应用，理解立方根的定义是正确解答的前提．
（1）根据立方根的意义进行计算即可；
（2）利用题目提供的方法进行计算即可；
（3）利用立方根的定义进行计算即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：要得到的结果，可以按如下步骤思考：
①∵，而，
∴，
由此得是两位数；
②∵19683的个位上的数是3，而只有7的立方的个位上的数是3，
∴的个位上的数是7；
③∵，且，
所以的十位上的数字是2；
④综合以上可得，；
（3）解：设这个正方形棱长是x，
根据题意得：，
故，
求解如下：
第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数；
第二步：确定个位数字，因为373248的个位上的数是8，而2的立方的个位上的数是8，所以的个位上的数是2；
第三步：确定十位数字，划去373248后面的三位248得到373，因为，而，所以的十位上的数字是7；
综合以上可得，，
故这个正方形棱长是72．
题型八：实数的有关概念（高频）
35．（23-24七年级下·青海海东·期末）下列实数中，是无理数的是（ ）
A． B． C．3.14 D．
【答案】D
【知识点】求一个数的算术平方根、无理数
【分析】本题考查了无理数“无限不循环小数是无理数”、算术平方根，熟练掌握无理数的定义是解题关键．根据无理数的定义、算术平方根逐项判断即可得．
【详解】解：A、，是正整数，属于有理数，则此项不符合题意；
B、是负分数，属于有理数，则此项不符合题意；
C、是有限小数，属于有理数，则此项不符合题意；
D、是无理数，则此项符合题意；
故选：D．
36．（23-24七年级下·重庆丰都·期末）是一个（ ）
A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数
【答案】D
【知识点】实数的分类、无理数
【分析】本题主要考查了实数的分类．根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【详解】解：是一个无理数．
故选：D
37．（23-24七年级下·广西南宁·期末）等于（ ）
A． B． C．10 D．
【答案】A
【知识点】实数的性质
【分析】本题考查了实数绝对值的计算，掌握绝对值的性质是关键；根据负数的绝对值等于它的相反数即可求解．
【详解】解：；
故选：A．
38．（23-24七年级下·广西南宁·期末）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数的性质
【分析】本题主要考查了实数的性质．根据相反数的定义，即可求解．
【详解】解：的相反数是．
故选：B
39．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，以2个单位长度作正方形，连接各边中点作小正方形．在数轴上以对应的点为圆心，小正方形边长为半径画圆弧，交数轴于原点右侧点，点所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数与数轴
【分析】本题考查了实数与数轴、算术平方根的意义，由算术平方根的意义可得小正方形的边长为，再根据题意并结合数轴即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵边长为2的正方形的面积为4，
∴小正方形的面积为2，
∴小正方形的边长为，
∵在数轴上以对应的点为圆心，小正方形边长为半径画圆弧，交数轴于原点右侧点，
∴点所表示的数是，
故选：A．
40．（23-24七年级下·全国·期末）请你写出一个大于的无理数 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算
【分析】本题考查无理数的估算，根据无理数的估算，写出一个满足题意的无理数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴大于的无理数可以是：；
故答案为：（答案不唯一）．
41．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）比较与的大小，其结果是M N．（填“>”，“<”或“=”）
【答案】
【知识点】求一个数的算术平方根、实数的大小比较
【分析】本题考查了算术平方根的运算．先利用算术平方根的性质求得M和N的值，再比较大小即可．
【详解】解：，，
∴，
故答案为：．
42．（23-24七年级下·重庆开州·期末）有一个数值转换器，流程如图：
当输入x的值为81时，输出y的值是 ．
【答案】
【知识点】求一个数的算术平方根、无理数
【分析】本题考查了求算术平方根、无理数，根据算术平方根并结合无理数计算即可得解．
【详解】解：当输入x的值为81时，，不是无理数，
，不是无理数，
是无理数，故输出y的值是，
故答案为：．
43．（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积（溢出水的体积即为正方体的体积）为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于 两个相邻的整数之间．
【答案】3和4/4和3
【知识点】立方根的实际应用、无理数的大小估算
【分析】本题主要考查估算无理数的大小，掌握正方体体积的计算方法以及立方根的定义是正确解答的关键．根据正方体体积的计算方法以及立方根的定义得出正方体的棱长为，再利用立方根的定义估算无理数的大小即可．
【详解】解：由题意可知，这个正方体的体积为，
∴这个正方体的棱长为，
由于，即，
∴该正方体铁块的棱长大约位于至之间．
故答案为：3和4．
44．（23-24七年级下·全国·期末）若，且n是正整数，则 ．
【答案】
【知识点】无理数的大小估算
【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．估算出的范围，即可得出答案．
【详解】解：，
，
故答案为：3．
45．（23-24七年级下·全国·期末）与最接近的整数是 ．
【答案】4
【知识点】无理数的大小估算
【分析】本题考查了无理数的估算，根据，得出最接近的整数是4，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴最接近的整数是4,
故答案为：4．
题型九：实数的运算（高频）
46．（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）计算： ．
【答案】
【知识点】求一个数的算术平方根、实数的混合运算
【分析】本题考查了二次根式的加减法：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
先化简，再去绝对值，然后合并即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
47．（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根、实数的混合运算
【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根的定义以及立方根的定义是解题的关键．
（1）根据平方根的性质求解即可；
（2）按顺序分别进行立方根的计算、算术平方的计算，然后再按运算顺序计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
48．（23-24七年级下·全国·期末）计算：
【答案】
【知识点】求一个数的立方根、实数的混合运算
【分析】本题考查实数混合运算，熟练掌握实数混合运算法则是解题的关键．
先计算开方，并求绝对值，再计算加减即可．
【详解】解：原式
．
49．（23-24七年级下·吉林松原·期末）计算：．
【答案】3
【知识点】实数的混合运算
【分析】本题考查了实数的混合运算，先算开方和乘方，再算加减．
【详解】解：原式．
50．（23-24七年级下·云南大理·期末）计算：．
【答案】
【知识点】实数的混合运算
【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．利用实数的混合运算法则计算即可．
【详解】解：
．
题型十：实数的整数部分与小数部分（重难点）
51．（23-24七年级下·山东济宁·期末），已知a为整数，，求b的值 ．
【答案】/
【知识点】无理数整数部分的有关计算
【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法可得，再根据，a为整数，，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，a为整数，，
∴，
故答案为：．
52．（23-24七年级下·内蒙古通辽·期末）已知的小数部分为a，的小数部分为b，则 ．
【答案】1
【知识点】无理数整数部分的有关计算、无理数的大小估算
【分析】本题主要考查估算无理数的大小，求得a，b的值是解题的关键．先估算出的整数部分，然后可求得a的值，在估算出的整数部分，可求得b的值，最后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：1．
53．（23-24七年级下·吉林·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根．
【答案】
【知识点】无理数整数部分的有关计算、求一个数的立方根、求一个数的平方根、求一个数的算术平方根
【分析】利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出、、的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
【详解】解：的立方根是，的算术平方根是，
，，
解得：，
是的整数部分，
，
，
的平方根是．
【点睛】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．
54．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）已知的平方根是的立方根是2．
(1)求和的值；
(2)若是的整数部分，是的小数部分，求的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】无理数整数部分的有关计算、无理数的大小估算、已知一个数的立方根，求这个数
【分析】本题主要考查平方根、立方根的概念、无理数的估算、代数式求值等知识点，掌握平方根、立方根的相关知识成为解题的关键．
（1）根据平方根、立方根的定义列式计算即可；
（2）由c是的整数部分求出c的值，d是的小数部分确定d的值，然后代入计算即可．
【详解】（1）解：的平方根是，
，解得：，
的立方根是，
，解得：，
．
（2）解：∵，
，即，
是的整数部分，
，
，
，即，
的整数部分是2，
是的小数部分，
，
；即的值是2．
55．（23-24七年级下·山西朔州·期末）阅读与理解
下面是小茗同学的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务．
因为没有任何一个有理数的平方等于2，所以是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，的小数部分我们不能全部写出来，就用来表示的小数部分．原因是的整数部分为1，将这个数减去其整数部分，差就是它的小数部分． 又如： ∵，∴． ∴． ∴的整数部分为2，小数部分为．
任务：
(1)根据小茗笔记内容知，的整数部分是______，小数部分是______；
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
(3)已知，x是整数，，求的值．
【答案】(1)6，
(2)
(3)
【知识点】无理数整数部分的有关计算
【分析】本题考查无理数整数部分及小数部分的计算：
（1）仿照题干中的做法即可求解；
（2）仿照题干中的做法求出a和b的值，再代入求值；
（3）求出的整数部分x和小数部分y，再代入求值．
【详解】（1）解：∵，∴，
∴，
∴的整数部分为6，小数部分为，
故答案为：6，；
（2）解：∵，∴，
∴，
∴的整数部分为3，小数部分为，
∴；
同理，∵，∴，
∴，
∴的整数部分为5，
∴，
∴；
（3）解：∵，∴，
∴，
∴，即
∴的整数部分为4，小数部分为，
∵，x是整数，，
∴，，
∴．
56．（23-24七年级下·广西南宁·期末）阅读材料，完成下列任务：
材料一： 材料二：
我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数）．
， ，即 的整数部分为2． 的小数部分为． 面积为107的正方形的边长是，且， 设，其中． 画出边长为的正方形，如图： 根据图中面积，得． 当较小时，忽略，得． 解得．
任务：
(1)利用材料一中的方法，的小数部分是____________；
(2)是的小数部分，是的小数部分，则的值是多少？
(3)利用材料二中的方法，探究的近似值（保留两位小数，并写出求解过程）
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算
【分析】本题考查了无理数的小数部分，无理数的估算．解题的关键在于理解题意并正确的运算．
（1）根据材料一中的解题过程进行求解即可；
（2）先估算出的范围，再求出、的值，最后代入值计算即可；
（3）根据材料二中的解题过程进行求解即可．
【详解】（1）解：，
，即，
的整数部分是，
的小数部分是，
故答案为：；
（2），
，即，
的整数部分是，
的整数部分是，的整数部分是，
的小数部分是，即；
的小数部分是，即，
；
（3）解：面积为的正方形的边长是，且，
设，其中．
画出边长为的正方形，如图：
根据图中面积得：，
当较小时，忽略，得，
解得：，
．
57．（23-24七年级下·河南安阳·期末）观察与探究：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
(1)的整数部分是________，小数部分是_______．
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
(3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数．
【答案】(1)4，
(2)1
(3)
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、无理数整数部分的有关计算、相反数的定义
【分析】本题考查无理数的估算、相反数的定义、代数值求值，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．
（1）根据题目中的方法求解即可；
（2）根据题中的方法求得，，再代入求解即可；
（3）根据题目中的方法求得，，从而求得，再根据相反数的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵，即，
∴的整数部分是4，小数部分是，
故答案为：4，；
（2）解：∵，，
∴，，
∴；
（3）解：∵，
∴，
又∵x是整数，且，
∴，，
∴，
∴的相反数是．
58．（23-24七年级下·重庆巴南·期末）阅读下面文字，然后回答问题．
给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个数的最大整数，这个实数的小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：2.4 的整数部分为2，小数部分为 的整数部分为1，小数部分可用 表示；再如，的整数部分为，小数部分为．
由此我们得到：如果 其中x是整数， 且， 那么
(1)如果， 其中a是整数， 且， 那么 ， ；
(2)如果 其中C是整数，且，那么 ，
(3)已知 其中m是整数，且，求的平方根．
【答案】(1)2，
(2)，
(3)
【知识点】无理数整数部分的有关计算、无理数的大小估算、求一个数的平方根
【分析】此题考查了估算无理数的大小，解题的关键是确定无理数的整数部分．
（1）估算出，即可确定，的值；
（2）估算出，可得，即可确定，的值；
（3）根据题意确定出、的值，代入求值并求出其平方根即可．
【详解】（1），其中是整数，且，，
，，
故答案为：2，；
（2），其中是整数，且，
又，
，，
故答案为：，；
（3），其中是整数，且，
，，
，
的平方根是．
题型十一：实数的规律探究（重难点）
59．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）将一组数…按以下方式进行排列：
第一行
第二行 2
第三行
… ……
则第八行左起第1个数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】与算术平方根有关的规律探索题
【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得．
【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数，
归纳类推得：第七行共有个数，
则第八行左起第1个数是，
故选：C．
60．（23-24七年级下·福建龙岩·期末）若，，则的值为 ．
【答案】
【知识点】与算术平方根有关的规律探索题
【分析】本题考查了算术平方根，根据被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍．可得答案．
【详解】解：，
，
故答案为：．
61．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）已知，则 ．
【答案】0.15
【知识点】与算术平方根有关的规律探索题
【分析】根据“被开方数的小数点向左移动两位，则算术平方根的小数点向左移动一位”即可解答．本题考查了算术平方根，仔细观察和分析是解答本题的关键．
【详解】解：被开方数的小数点向左移动两位，则算术平方根的小数点向左移动一位，
观察可知，被开方数22500的小数点向左移动6位变成0.0225，所以算术平方根的小数点向左移动三位，
，
故答案为：0.15
62．（22-23七年级下·山东滨州·期末）下列各式是求个位数为5的整数的算术平方根的运算：，，观察这些运算都有规律，试利用该规律直接写出运算的结果为 ．
【答案】
【知识点】与算术平方根有关的规律探索题
【分析】根据已知计算，推出相应的计算规律，根据规律进行计算即可．
【详解】解：∵，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查算术平方根计算中的规律探究．根据已知计算，推断出相应的数字规律，是解题的关键．
63．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如何迅速准确地计算出四位数的算术平方根呢？按照下面思路你也能办到．
(1)以下是小明探究的过程，请补充完整：
①由，可以确定是位数；
②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或；
③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而，所以选择较小的个位数字，则__________．
(2)已知也是一个整数的平方，请根据材料的方法求出，并说明理由．
【答案】(1)①两；②，；③
(2)，理由见解析
【知识点】与算术平方根有关的规律探索题
【分析】本题考查算术平方根；
（1）根据所提供的方法进行计算即可；
（2）按照（1）中的步骤和方法进行计解答即可．
【详解】（1）解：①由，可以确定是两位数；
②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或；
③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而，
所以选择较小的个位数字，则．
故答案为：①两；②，；③；
（2）已知也是一个整数的平方，根据材料的方法求出的过程如下：
①由，可以确定是两位数；
②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或；
③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而，
所以选择较大的个位数字，则．

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