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2024-2025学年人教版七年级数学下学期期末模拟试卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷共24题，选择10题，填空6题，解答8题
2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
4．回答客观题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题。（共10小题，每小题3分，共30分）
1．在下列各组由运动项目的图标组成的图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键，根据平移的性质即可得出答案．
【详解】解：A、图形不是由平移得到，故选项不符合题意；
B、图形不是由平移得到，故选项不符合题意；
C、图形不是由平移得到，故选项不符合题意；
D、图形是由平移得到，故选项符合题意；
故选：D．
2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了不等式的解集在数轴上表示的方法，根据数轴实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右，小于向左，求解即可．
【详解】解：可知解集在数轴上表示为：
故选：C．
3．下列各点中，在第四象限的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了各象限点坐标的特征，根据第四象限的点横坐标大于0，纵坐标小于0即可求解．
【详解】解：A．在第三象限，故此选项不符合题意；
B．在第二象限，故此选项不符合题意；
C．在第一象限，故此选项不符合题意；
D．在第四象限，故此选项符合题意．
故选：D．
4．下列调查中，调查方式选择合理的是（ ）
A．为了解我国七年级学生的视力情况，采用普查的方式
B．为了解一批笔芯的使用寿命，采用普查的方式
C．为了解班级同学中哪个月份出生的人数最多，采用普查的方式
D．为了解乘客是否携带危险物品，地铁站工作人员对部分乘客进行抽样调查
【答案】C
【分析】本题考查全面调查（普查）和抽样调查的选择．调查方式的选择需要将全面调查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，全面调查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择全面调查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
【详解】解：A、为了解我国七年级学生的视力情况，适宜采用抽样调查的方式，故此选项不符合题意；
B、为了解一批笔芯的使用寿命，适宜采用抽样调查的方式，故此选项不符合题意；
C、为了解班级同学中哪个月份出生的人数最多，采用普查的方式，故此选项符合题意；
D、为了解乘客是否携带危险物品，地铁站工作人员对部分乘客适宜采用普查的方式，故此选项不符合题意；
故选：C．
5．在实数（每两个1之间的3依次多1）中，其中无理数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】此题主要考查了立方根和无理数的定义，熟知无理数的常见形式是解题的关键．首先计算，然后根据无理数是无限不循环小数判断即可．
【详解】解：，
根据无理数的定义可知：，，（每两个1之间的3依次多1）是无理数，
无理数的个数是个．
故选：B．
6．如图，运动会上，同学们在操场列队，建立适当的平面直角坐标系后，小研所在位置的坐标为，小白所在位置的坐标为，则下列关于同学们坐标的说法正确的是（ ）

A．小面所在位置的坐标为
B．小万所在位置的坐标为
C．小鹿所在位置的坐标为
D．小唯所在位置的坐标为
【答案】C
【分析】本题考查了平面直角坐标系，解题的关键在于根据已知条件确定原点．根据已知条件，确定平面直角坐标系原点，最后即可求出答案．
【详解】解：如图，小研所在位置的坐标为，小白所在位置的坐标为，建立坐标系如下：

∴小面所在位置的坐标为，故A不符合题意；
小万所在位置的坐标为，故B不符合题意；
小鹿所在位置的坐标为，故C符合题意；
小唯所在位置的坐标为，故D不符合题意；
故选：C．
7．若关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，把方程组中两个方程相加可得，再根据，可得，解不等式即可得到答案．
【详解】解：
得：，
∴，
∵，
∴，
解得，
故选：A．
8．如图所示，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理是解题关键．
【详解】解：A、 若，根据内错角相等，两直线平行，可判定，不合题意；
B、，根据内错角相等，两直线平行，可判定，不合题意；
C、，根据内错角相等两直线平行，可判定，符合题意；
D、，根据同旁内角互补，两直线平行，可判定，不合题意；
故选：C．
9．如关于，的方程组和有相同的解，则的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2024
【答案】B
【分析】本题考查了方程组相同解问题，理解方程组有相同解的意义并熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．将方程组中不含、的两个方程联立，求得、的值，联立含有、的两个方程，把、的值代入，求得、的值，即可求得答案．
【详解】解：方程组和有相同的解，
则有，
，得，
解得，
把代入①，解得，
把，，代入，
得，
，得，
解得，
把代入④，解得，
当，时，．
故选：B．
10．如图，，平分，平分，点、、共线，点、、、共线，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，平角的定义，熟练掌握知识点是解题关键．根据角平分线的定义和平角的定义即可判断①；根据平行线的性质，得出，，再根据得出，故②正确；根据角的和差关系，得出，，即可判断③④．
【详解】解：∵，
∴，．
∵，
∴．
∵平分，平分，
∴，．
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵，，
∴，故④错误．
故选：A．
二、填空题。（共6小题，每小题3分，共18分）
11．牛奶中含有丰富的营养成分，其中水分约占，蛋白质约占，脂肪约占，乳糖约占，其他约占，对人体的健康有非常重要的作用．为直观地表示出各成分在总体中所占的百分比，最合适的统计图是 统计图．（填“条形”“折线”或“扇形”）．
【答案】 扇形
【分析】本题主要考查了统计图的选择，掌握条形、折线和扇形统计图的特点是解答的关键．条形统计图的特点：能清楚的表示出数量的多少；折线统计图的特点：不但可以表示出数量的多少，而且能看出各种数量的增减变化情况； 扇形统计图的特点：比较清楚地反映出部分与部分、部分与整体之间的数量关系； 据此进行解答即可．
【详解】解：牛奶中含有丰富的营养成分，其中水分约占，蛋白质约占，脂肪约占，乳糖约占，其他约占，对人体的健康有非常重要的作用，
为直观地表示出各成分在总体中所占的百分比，最合适的统计图是扇形统计图，
故答案为： 扇形．
12．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．将方程组两个方程相加得到，整理得到，结合方程组的解满足，得到关于的方程，解出的值即可．
【详解】解：，
得，，
整理得，，
方程组的解满足，
，
解得：．
故答案为：．
13．如图是古诗《登飞来峰》，如果“浮”用表示，“上”用表示，那么“升”可以表示为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查用坐标表示位置．根据点的坐标确定坐标系的位置，是解题的关键．根据“浮”和“上”的坐标，可建立平面直角坐标系，即可解答．
【详解】解：∵“浮”用表示，“上”用表示
∴可建立如图所示的平面直角坐标系，
∴“升”可以表示为．
故答案为：．
14．如图，直线、被直线、所截，若，则的大小是 度．
【答案】
【分析】本题考查了查了平行线的判定和性质．熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
先根据同位相等，两直线平行得出，由邻补角的定义求出的度数，根据两直线平行，同位角相等得即可得出答案．
【详解】解：如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
15．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先解不等式组，根据不等式组无解进行计算即可解答．熟练掌握不等式组无解是解题的关键．
【详解】解：，
解不等式①得：，
由不等式②得：，
不等式组无解，
，
故答案为：．
16．高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数．例如：；．则下列结论：①；②；③若，则的取值范围是；④当时，的值为0、1、2．其中正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）．
【答案】①
【分析】本题考查了一元一次不等式组和有理数的混合运算、新定义，解题的关键是明确表示不超过的最大整数．
根据表示不超过的最大整数来进行求解．
【详解】解：①，故此项正确；
②错误，例如：，，；
③若，则，所以，故此项错误；
④当时，，，
分类讨论：
当时，，，
，或，或；
当时，，，
，或，或；
∴或，故此项错误．
综上所述，错误的有②③④．
故答案为：①．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．计算
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了实数的混合运算．注意有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
（1）依次利用平方根以及立方根定义对原式计算，然后再依次计算，即可得到结果．
（2）先计算乘方，立方根，化简绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．解下列方程组：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了用加减消元法和代入消元法解二元一次方程组的能力，熟练掌握并求出方程组的解是本题的关键．
（1）用代入消元法解方程组；
（2）用加减消元法解方程组．
【详解】（1）解：
把代入，得，
，
把代入，得，
故原方程组的解为；
（2）解：
，得，
把代入，得，
故原方程组的解为．
19．（1）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上．
（2）解不等式组：，并求它的非正整数解．
【答案】（1），数轴见解析；（2），非正整数解为，0
【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，用数轴表示不等式解集，熟练掌握解一元一次不等式和解一元一次不等式组的解法是解题的关键．
（1）先两边同时乘以6去分母得，然后去分母，移项，合并同类项，最后把的系数化为1得到解集，再在数轴上表示出解集即可；
（2）先解不等式①得，解不等式②得，得到不等式组的解集，再写出不等式组的非正整数解即可．
【详解】解：（1）
不等式的解集在数轴上表示如图所示：
（2）
解不等式①，得，
解不等式②，得
该不等式组得解集为，
非正整数解为，0．
20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在边长为1的小正方形网格中的格点上，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请画出将向上平移4个单位长度后得到的图形；直接写出的坐标是 ；
(2)请画出将向左平移4个单位长度后得到的图形；直接写出的坐标是 ．
(3)归结第（1）、（2）小题，请问将平移到有几种平移变换的方法，并分别用自己的语言表述出来．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，正确根据平移方式找到对应点位置是解题的关键．
（1）先根据平移方式确定A、B、C对应点的位置，然后顺次连接，再根据点的位置求出对应点坐标即可
（2）先根据平移方式确定对应点的位置，然后顺次连接，再根据点的位置求出对应点坐标即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
∴．
（2）解：即为所求；
∴．
（3）解：将先向上平移4个单位长度后，再向左平移4个单位长度或将先向左平移4个单位长度后，再向上平移4个单位长度即可得到．
21．“校园防溺水安全”知识关系到千家万户，某中学对部分学生就校园防溺水安全知识的了解程度，采用了随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅不完整的统计图．请根据统计图中所提供的信息解答下列问题．
(1)接受问卷调查的学生共有______人；
(2)补全条形统计图；
(3)若该中学有3000名学生，估计该中学学生对校园防溺水知识不了解的人数是多少？
【答案】(1)60
(2)见解析
(3)250人
【分析】本题考查条形图与扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键：
（1）用基本了解的人数除以所占的比例进行求解即可；
（2）求出了解很少的人数，补全条形图即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可．
【详解】（1）解：（人）；
故答案为：60；
（2）解：了解很少的人数为：，
补全图形，如图所示：
（3）解：（人）．
即该中学学生对校园防溺水知识不了解的人数是250人．
22．冬天来临，某超市以每台80元和70元的价格购进A和B两种型号的取暖器，表格是该超市近两天出售取暖器的情况（注：利润=销售收入-进货成本）：
销售时段 销售数量 销售收入
A型号 B型号
第一天 3台 4台 760元
第二天 5台 7台 1300元
(1)分别求A，B两种型号的取暖器的销售单价．
(2)该超市准备用不超过3020元的资金购进这两种型号的取暖器共40台，则A型号的取暖器最多能采购多少台？
(3)在（2）的条件下，超市销售完这40台取暖器能否实现利润超过1400元的目标？若能，通过计算给出相应的购进方案；若不能，请说明理由．
【答案】(1)A，B两种型号取暖器的销售单价分别为120元、100元
(2)A型号的取暖器最多能采购22台
(3)能，购进方案：方案一：购进A型号取暖器21台，B型号取暖器19台；方案二：购进A型号取暖器22台，B型号取暖器18台
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是正确列出二元一次方程组和根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；
（1）设A，B两种型号取暖器的销售单价分别为x元、y元，根据销售3台A型号、4台B型号取暖器的收入为760元，销售5台A型号、7台B型号取暖器的收入为1300元，得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A型号的取暖器购进a台，则B型号的取暖器购进台，根据总价单价数量结合总价不多于3020元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（3）根据总利润每台的利润销售数量(购进数量)，结合总利润超过1400元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再结合（2）的结论即可得出结论．
【详解】（1）解：设A，B两种型号取暖器的销售单价分别为x元、y元，根据题意，得
解得
答：A，B两种型号取暖器的销售单价分别为120元、100元．
（2）解：设购进A型号取暖器a台，则购进B型号取暖器台．
根据题意，得，
解得．
答：A型号的取暖器最多能采购22台．
（3）解：由（2）可得，
解得，
因为且a为整数，
所以a可取21或22，
所以在（2）的条件下该超市能实现利润超过1400元的目标．
购进方案：
方案一：购进A型号取暖器21台，B型号取暖器19台．
方案二：购进A型号取暖器22台，B型号取暖器18台．
23．如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足 ，线段交y轴于点D，点E为y轴上一动点（点E不与点O重合）．
(1)求点A、B、C的坐标．
(2)如图2，当点E在y轴负半轴上运动时，过点E作，分别作的平分线交于点M，试问在点E的运动过程中， 的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出的值．
(3)在y轴上是否存在这样的E点，使 ，若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了坐标与图形，非负数的性质，平行线的性质与判定，角平分线的定义：
（1）根据非负数的性质分别求出、、，得到点、、的坐标．
（2）作，根据平行线的性质得到，，，根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义计算，得到答案；
（3）设点的坐标为，再分点E在x轴上方和下方两种情况，用含的代数式表示出的面积和的面积，根据题意列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：，，，，
，，，
解得，，，
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；
（2）解：过点作，如图2，
∵，
，
，，，
，
，
、分别为，的平分线，
，，
；
（3）解：设
如图所示，当点E在x轴上方时，过点B作轴于H，
∵，
∴，，，，，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当点E在y轴下方时，过点B作轴于H，
同理可得，
，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，点E的坐标为或．
24．【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题：
（1）如图1所示，已知，点E为，之间一点，连接，，得到．请猜想与，之间的数量关系，并证明；
（2）如图2所示，已知，点E为，之间一点，和的平分线相交于点F，若，求的度数；
【类比迁移】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点E的位置移到上方，点F在延长线上，且平分与的平分线相交于点G，请直接写出与之间的数量关系 ；
【变式挑战】小颖在本次探究的最后将条件去掉，提出了以下问题：
已知与不平行，如图4，点M在上，点N在上，连接，且同时平分和，请直接写出，，之间的数量关系 ．
【答案】（1），证明见解析
（2）
类比迁移：
变式挑战：
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义．
（1）过E点作，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可；
（2）如图2，作，，根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论；
类比迁移：如图3，过E作，过G作，根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论；
变式挑战：延长，，交于点P，过M作射线，过E作，过P作，过N作，根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】问题提出：
（1）猜想：，
证明：过E点作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）如图2，作，，
∵，
∴，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∵和的平分线相交于F，
∴，，
∴，
∴；
类比迁移：
．理由如下：
如图3，过E作，过G作，
∵，
∴，
∴，，，
∵平分与的平分线相交于点G，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：；
变式挑战：
，理由如下：
如图4，延长，，交于点P，
过M作射线，过E作，过P作，过N作，
∴，，，
∴，
同理得，
∴，
∵同时平分和，
∴，，
∴，
即．
故答案为：．
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（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
本试卷共24题，选择10题，填空6题，解答8题
一、选择题。（共10小题，每小题3分，共30分）
1．在下列各组由运动项目的图标组成的图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各点中，在第四象限的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列调查中，调查方式选择合理的是（ ）
A．为了解我国七年级学生的视力情况，采用普查的方式
B．为了解一批笔芯的使用寿命，采用普查的方式
C．为了解班级同学中哪个月份出生的人数最多，采用普查的方式
D．为了解乘客是否携带危险物品，地铁站工作人员对部分乘客进行抽样调查
5．在实数（每两个1之间的3依次多1）中，其中无理数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，运动会上，同学们在操场列队，建立适当的平面直角坐标系后，小研所在位置的坐标为，小白所在位置的坐标为，则下列关于同学们坐标的说法正确的是（ ）

A．小面所在位置的坐标为 B．小万所在位置的坐标为
C．小鹿所在位置的坐标为 D．小唯所在位置的坐标为
7．若关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（　　）
A． B． C． D．
9．如关于，的方程组和有相同的解，则的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2024
10．如图，，平分，平分，点、、共线，点、、、共线，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题。（共6小题，每小题3分，共18分）
11．牛奶中含有丰富的营养成分，其中水分约占，蛋白质约占，脂肪约占，乳糖约占，其他约占，对人体的健康有非常重要的作用．为直观地表示出各成分在总体中所占的百分比，最合适的统计图是 统计图．（填“条形”“折线”或“扇形”）．
12．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ．
13．如图是古诗《登飞来峰》，如果“浮”用表示，“上”用表示，那么“升”可以表示为 ．
14．如图，直线、被直线、所截，若，则的大小是 度．
15．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 ．
16．高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数．例如：；．则下列结论：①；②；③若，则的取值范围是；④当时，的值为0、1、2．其中正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．计算
(1) (2)
18．解下列方程组：
(1) (2)
19．（1）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上．
（2）解不等式组：，并求它的非正整数解．
20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在边长为1的小正方形网格中的格点上，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请画出将向上平移4个单位长度后得到的图形；直接写出的坐标是 ；
(2)请画出将向左平移4个单位长度后得到的图形；直接写出的坐标是 ．
(3)归结第（1）、（2）小题，请问将平移到有几种平移变换的方法，并分别用自己的语言表述出来．
21．“校园防溺水安全”知识关系到千家万户，某中学对部分学生就校园防溺水安全知识的了解程度，采用了随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅不完整的统计图．请根据统计图中所提供的信息解答下列问题．
(1)接受问卷调查的学生共有______人；
(2)补全条形统计图；
(3)若该中学有3000名学生，估计该中学学生对校园防溺水知识不了解的人数是多少？
22．冬天来临，某超市以每台80元和70元的价格购进A和B两种型号的取暖器，表格是该超市近两天出售取暖器的情况（注：利润=销售收入-进货成本）：
销售时段 销售数量 销售收入
A型号 B型号
第一天 3台 4台 760元
第二天 5台 7台 1300元
(1)分别求A，B两种型号的取暖器的销售单价．
(2)该超市准备用不超过3020元的资金购进这两种型号的取暖器共40台，则A型号的取暖器最多能采购多少台？
(3)在（2）的条件下，超市销售完这40台取暖器能否实现利润超过1400元的目标？若能，通过计算给出相应的购进方案；若不能，请说明理由．
23．如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足 ，线段交y轴于点D，点E为y轴上一动点（点E不与点O重合）．
(1)求点A、B、C的坐标．
(2)如图2，当点E在y轴负半轴上运动时，过点E作，分别作的平分线交于点M，试问在点E的运动过程中， 的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出的值．
(3)在y轴上是否存在这样的E点，使 ，若存在，请求出点E坐标，若不存在，请说明理由．
24．【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题：
（1）如图1所示，已知，点E为，之间一点，连接，，得到．请猜想与，之间的数量关系，并证明；
（2）如图2所示，已知，点E为，之间一点，和的平分线相交于点F，若，求的度数；
【类比迁移】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点E的位置移到上方，点F在延长线上，且平分与的平分线相交于点G，请直接写出与之间的数量关系 ；
【变式挑战】小颖在本次探究的最后将条件去掉，提出了以下问题：
已知与不平行，如图4，点M在上，点N在上，连接，且同时平分和，请直接写出，，之间的数量关系 ．
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