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专题05 不等式与不等式组
（考题猜想，易错常考重难点7大题型70题）
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题型一：不等式的性质（常考）
1．（24-25七年级上·吉林·期末）如图，三人分别坐在质地均匀且到中心点O距离相等的跷跷板上，则表示三人体重A，B，C的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了不等式的性质和应用，根据图示，可得，据此判断出三人体重A，B，C的大小关系即可．
【详解】解：根据图示，可得，
∴．
故选：C．
2．（22-23七年级上·四川绵阳·期末）已知是整数，并且，则的相反数是（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次不等式的性质和相反数的定义，根据题意可得，即可求解．
【详解】∵
∴
∴的相反数可能是4
故选：B．
3．（23-24七年级下·山东济宁·期末）下列四个不等式：（1）；（2）；（3）；（4），一定能推出的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向，据此求解即可．
【详解】解：（1）只有当时，才能由，推出，不符合题意；
（2）只有当时，才能由，推出，不符合题意；
（3）由可以推出，符合题意；
（4）只有当时，才能由，推出推出，不符合题意；
故选：A。
4．（24-25七年级下·全国·期末）如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了不等式的性质，（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质分别进行判断，即可求出答案．
【详解】解：A．若，则不等式两边同时减去3得，，原变形成立，故本选项符合题意；
B．若，则不等式两边同时减去得，，原变形不成立，故本选项不符合题意；
C．若，则不等式两边同时乘以得，，原变形不成立，故本选项不符合题意；
D．若，则不等式两边同时乘以得，，原变形不成立，故本选项不符合题意；
故选：A．
5．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知，．若，则与的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质，由，可推出，，即可得到答案．
【详解】解：
，
，
故选：B．
6．（23-24七年级下·广西河池·期末）若实数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的大小，不等式的性质．熟练掌握根据点在数轴的位置判断式子的大小，不等式的性质是解题的关键．
由数轴可得，，则，，，，然后判断作答即可．
【详解】解：由数轴可得，，
∴，，，，
∴A正确，故符合要求；B、C、D错误，故不符合要求；
故选：A．
7．（22-23七年级下·河南周口·期末）设，，，都是整数，且，，，，则的最大值是（　　）
A．207 B．208 C．209 D．239
【答案】A
【分析】本题考查不等式的基本性质，利用不等式的基本性质求得，，，的值即可，解答关键是熟知不等式的基本性质：不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变．
【详解】解：，是整数，
的最大值为；
，是整数，，
的最大值为；
，为整数，
的最大值为；
，为整数，，
的最大值为，
故选：A．
8．（23-24七年级下·全国·期末）若，则 ， ．
【答案】
【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．利用不等式的性质，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，．
故答案为：，．
9．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知实数，满足，当取最大值时，则的值是 ．
【答案】7
【分析】此题主要考查不等式组的应用与求解，解二元一次方程组，设，解二元一次方程组可求出m，n，故可求出有最大值时，a，b的值，代入故可求解．
【详解】解：设
则，解得
∴
∵
∴
∴
∴的最大值为1，
此时，解得：
∴
故答案为：7．
10．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义一种新运算：对于两个非零实数a、b，．
(1)若，且，求的值；
(2)若，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查定义新运算，解二元一次方程组：
（1）根据新运算的法则，列出二元一次方程组，进行求解即可；
（2）根据新定义，结合不等式的性质，即可得证．
【详解】（1）解：由题意，得
化简，得
，得．
（2）证明：由条件，得．
∴
∴．
题型二：求一元一次不等式（组）的解集（易错）
11．（22-23七年级下·西藏拉萨·期末）解下列不等式，并在数轴上表示解集．
(1)； (2)．
【答案】(1)，详见解析
(2)，详见解析
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组）、在数轴上表示不等式（组）的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法，会在数轴上表示不等式（组）的解集．
（1）根据解一元一次不等式的方法解答，并把解集表示在数上即可；
（2）根据解一元一次不等式组的方法解答，并把解集表示在数上即可．
【详解】（1）解：
不等式两边同乘以6，得，
去括号得，，
移项及合并同类项，得
∴原不等式的解集是，
在数轴表示如图所示，
（2）解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集是，
在数轴上表示如图所示，
12．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）解决下面问题
(1)解不等式；
(2)解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】(1)；
(2)，数轴见解析．
【分析】此题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集．解一元一次不等式组需分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
（1）不等式移项，合并同类项，化系数为1即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【详解】（1）解：将不等式两边同乘以得，
，
移项合并得，
解得；
（2）解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
则不等式组的解集为，
在数轴上表示：
13．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）（1）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上．
（2）解不等式组：，并求它的非正整数解．
【答案】（1），数轴见解析；（2），非正整数解为，0
【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，用数轴表示不等式解集，熟练掌握解一元一次不等式和解一元一次不等式组的解法是解题的关键．
（1）先两边同时乘以6去分母得，然后去分母，移项，合并同类项，最后把的系数化为1得到解集，再在数轴上表示出解集即可；
（2）先解不等式①得，解不等式②得，得到不等式组的解集，再写出不等式组的非正整数解即可．
【详解】解：（1）
不等式的解集在数轴上表示如图所示：
（2）
解不等式①，得，
解不等式②，得
该不等式组得解集为，
非正整数解为，0．
14．（24-25七年级下·全国·期末）【探究归纳】
解不等式：（1）；（2）．总结发现不等式（1）的解都是不等式（2）的解，我们称不等式（1）的解集是不等式（2）的解集的“子集”．
【问题解决】
(1)的解集 的解集的“子集”（填是或不是）；
(2)若关于的不等式的解集是的解集的“子集”，且是正整数，求的值．
【答案】(1)是
(2)1或2或3
【分析】本题考查了解一元一次不等式，理解题中新定义是解答的关键．
（1）先求得两个不等式的解集，再根据题中定义判断即可；
（2）先求得两个不等式的解集，再根据题中定义得到关于a的不等式，然后解不等式得到a的取值范围，进而可求解．
【详解】（1）解：解不等式得，
解不等式得，
∴的解集是解集的“子集”，
故答案为：是；
（2）解：解不等式，得，
解不等式，得．
关于的不等式的解集是的解集的“子集”，
，解得．
是正整数，
的值为1或2或3．
15．（23-24七年级下·四川内江·期末）解不等式（组）
(1)小英解不等式的过程如下，请指出她解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：①
去括号得：②
移项得：③
合并同类项得：④
两边都除以得：⑤
(2)解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】(1)错误的步骤有①②⑤，正确过程见解析
(2)，解集在数轴上表示见解析
【分析】本题考查的是解一元一次不等式（组），熟练掌握解一元一次不等式（组）的步骤和依据是解题的关键．
（1）根据小英的解题步骤找出错误的步骤；再根据解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1依次计算可得．
（2）分别求出每个不等式的解集，再取它们解集的公共部分，在数轴上表示出来即可．
【详解】（1）解：错误的步骤有①②⑤，
正确解答过程如下：
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
（2）解：，
由①得；
由②得；
∴不等式组的解集为，
不等式组的解集在数轴上表示为：
16．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”．问题解决：
(1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是___________（填序号）；
(2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围；
(3)若方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”，试求的取值范围．
【答案】(1)②
(2)
(3)
【分析】本题主要考查一元一次不等式组和一元一次方程相结合的问题，能根据题目中的已知条件构建一元一次不等式组是解题的关键．
（1）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据“相伴方程”的定义即可求得答案；
（2）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据“相伴方程”的定义，可得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求解；
（3）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据 “相伴方程”的定义，可得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】（1）解：方程①，
解得：，
方程②：，
解得：，
不等式组，
解得：，
在范围内，
方程②是不等式组的“相伴方程”，
故答案为：②；
（2）方程，
解得：，
不等式组，
解得：，
由题意可得：，
解得：；
（3）方程，
解得：，
方程，
解得：，
，
解得：，
和都在范围内，
，
解得：．
题型三：求一元一次不等式（组）的整数解（重点）
17．（22-23七年级下·山东临沂·期末）不等式的负整数解有 ．
【答案】，
【分析】首先解不等式求得不等式的解集，解集中的负整数就是所求的解．
【详解】解：解不等式不等式得：．
则负整数解是：，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
18．（23-24七年级下·陕西商洛·期末）不等式的正整数解为 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了求不等式的整数解，正确求得该不等式的解集是解题关键．按照去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤解该不等式，然后根据正整数的定义，即可获得答案．
【详解】解：，
去分母，可得 ，
去括号，可得 ，
移项、合并同类项，可得 ，
系数化为1，可得，
所以，该不等式的正整数解为1．
故答案为：1．
19．（23-24七年级下·天津南开·期末）关于x的不等式有2个正整数解，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算可得，然后再根据题意可得：，从而进行计算即可解答．
本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
【详解】解：，
∴，
∴，
∵不等式有2个正整数解，
∴，
解得：，
故答案为：．
20．（23-24七年级下·河南省直辖县级单位·期末）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：．如：．则不等式的负整数解的和是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了求不等式的解集，新定义运算，解题的关键是理解题意，列出不等式，然后求出不等式的负整数解求和即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
∴不等式的负整数解是，
负整数解的和为
故答案为：．
21．（23-24七年级下·广西百色·期末）解不等式组：，利用数轴确定不等式组的解集，并写出不等式组的非负整数解．
【答案】，数轴见解析，非负整数解有：
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后根据数轴写出不等式组的非负整数解即可．
【详解】解： ，
解①得，
解②得，
，
如图，
不等式组的非负整数解有：．
22．（23-24七年级下·全国·期末）求不等式组的最大整数解．
【答案】
【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其最大整数解即可．
【详解】解：，
解，得：，
解，得：，
∴该不等式组的解集是，
∴该不等式组的最大整数解是．
23．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）解不等式组，并求出它的所有整数解的和．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的正整数解，求其和即可．
【详解】解：
由①得，，
由②得，，
原不等式组的解集为：，
整数有，0，1，2，
所有整数解的和为：．
24．（22-23七年级下·北京·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”．
(1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号）
(2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围；
(3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围．
【答案】(1)①
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键．
（1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可；
（2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组，解不等式组可得答案；
（3）先解不等式组可得，再根据此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：，，，，，再求解，而为整数，则或0，分两种情况讨论，从而可得答案．
【详解】（1）解：①，
整理得：，
解得：；
②，
解得：；
③，
解得：；
，
解不等式可得：，
解不等式可得：，
所以不等式组的解集为：；
根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”．
故答案为：①；
（2）解：，
由①得：，
由②得：，
所以不等式组的解集为：，
，
，
根据“相依方程”的含义可得：
，
，
解得：；
（3）解：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为：，
此时不等式组有5个整数解，
令整数的值为：，，，，，
，
∴，
则，
解得：，而为整数，则或0，
当时，，
∴，
因为，
解得：，
根据“相依方程”的含义可得：，
解可得：，
解可得：，
所以不等式组的解集为：；
当时，，
∴，
综上：．
题型四：由一元一次不等式组的解集求参数（难点）
25．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如果关于x，y的不等式组的解集为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先算出每个不等式，则，，再结合关于x的不等式组的解集为列式，，即可求解．
【详解】解：解不等式，得，
∵不等式组的解集为，
∴，
故选：D．
26．（23-24七年级下·内蒙古通辽·期末）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由一元一次不等式组的整数解的情况求参数，解一元一次不等式组，由题意求得，根据不等式组的整数解仅有4个，可得，即可求解．
【详解】解：由题意得，，
解得，
∵不等式组的整数解仅有4个，
则其整数解为2、1、0、，
∴，
∴，
故选：A．
27．（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数之和为 ．
【答案】5
【分析】本题考查解二元一次方程组的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解方程组和不等式的方法．
根据关于、的方程组的解满足，且关于的不等式组有解，可以求得的取值范围，从而可以求得符合条件的整数的值的和，本题得以解决．
【详解】解：，
①+②得，
，
关于、的方程组的解满足，
，得，
解不等式组，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组有解，
，得，由上可得，，
符合条件的整数的值的和为：．
故答案为：5．
28．（23-24八年级下·河南焦作·期中）若不等式组的整数解有四个，则a的取值范围是
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解．先解每一个不等式，再根据不等式组解集的范围内有四个整数解，得出新的不等式，求a的取值范围．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∵不等式组有四个整数解，即为，
∴，
故答案为：．
29．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）若不等式组的解集为，则
【答案】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，解出不等式组的解集，与已知解集比较，可以求出a、b的值，再计算即可．
【详解】解：，
由得：．
由得：.
∵．
∴；．
解得：，
∴．
故答案为：．
30．（23-24七年级下·山东临沂·期末）已知不等式组的解集为，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组，代数式求值，解题的关键是掌握不等式组的解．先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据不等式组的解集列出求出、的值，再代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：，
解不等式①：
，
，
，
解不等式②：
，
，
不等式组的解集为：，
不等式组的解集为，
，，
解得：，，
，
故答案为：．
31．（23-24七年级下·云南红河·期末）已知关于的不等式组无解，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查不等式组的求解，掌握不等式组解集的确定规则是解题的关键．由不等式组解的情况，构建关于待定参数的不等式，求解得解．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
∵不等式组无解，
∴，
解得，；
故答案为：．
32．（22-23七年级下·重庆·期末）若关于x的不等式组无解，且关于x的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的和等于 ．
【答案】12
【分析】解不等式组可以得到，再解方程得到，根据题意可得或，计算得结果．
【详解】解：解不等式组得，
∵不等式组无解，
∴，解得，
解方程可得，
又∵方程的解为正整数，a为整数，
∴或
∴满足条件的整数a的和为：，
故答案为：12．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的解法，一元一次方程的解法，掌握不等式组无解时求参数的取值是解题的关键．
33．（23-24七年级下·重庆·期末）若关于的不等式组有且只有个奇数解，且关于的方程解为整数．则符合条件的所有整数的和为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据不等式组的解的情况求参数，一元一次方程的解，解不等式组得，由不等式组的解的情况得，即得，再由一元一次方程得，根据方程的解为整数可得或或，再把整数的值相加即可求解，根据不等式组确定出的取值范围是解题的关键．
【详解】解：，
由得，，
由得，，
∴，
∵不等式组有且只有个奇数解，
∴，
即，
解得，
由方程得，，
∵方程的解为整数，
∴或或，
∴符合条件的所有整数的和，
故答案为：．
34．（23-24七年级下·四川乐山·期末）若关于的一个一元一次不等式组的解集为（、为常数且），则称为这个不等式组的“解集中点”．
(1)不等式组的解集中点是______；
(2)若关于的不等式组的解集中点大于方程的解且小于方程的解，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查一元一次不等式组，一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和解一元一次方程的方法．
（1）先求出不等式组的解集，再根据“解集中点”的定义求解即可；
（2）先求出不等式组的解集，再求出解集中点，然后分别求出两个一元一次方程的解，最后根据题意得到关于的不等式，即可求解．
【详解】（1）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
不等式组的解集中点是，
故答案为：；
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
解集中点为：，
解方程，得，
解方程，得：，
关于的不等式组的解集中点大于方程的解且小于方程的解，
，
解得：，
即的取值范围是．
35．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如果两个不等式存在公共解，那么称这两个不等式互为“友好不等式”．
(1)在不等式①，②，③中，与不等式互为“友好不等式”的是________；（填序号）
(2)若关于的不等式与不是“友好不等式”，求的取值范围；
(3)若，关于的不等式与不等式互为“友好不等式”，求的取值范围．
【答案】(1)②③
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
（1）根据“友好不等式”的定义即可求解；
（2）解不等式可得，解不等式得，再根据“友好不等式”的定义可得，解不等式即可求解；
（3）分两种情况讨论根据“友好不等式”的定义得到含a的不等式，解得即可．
【详解】（1）解：①的解集为，②，③的解集为，
不等式和没有公共解，故①不是不等式的“友好不等式”；
不等式不等式和有公共解，故②是不等式的“友好不等式”；
不等式不等式和有公共解，故③是不等式的“友好不等式”；
故答案为：②③；
（2）解不等式可得，
解不等式得，
∵关于x的不等式不是的“友好不等式”，
∴，
解得，
故m的取值范围是；
（3）解不等式，得到；解不等式，得到
①当时，即时，依题意有，即，故；
②当时，即时，始终符合题意，故；
综上，a的取值范围为或．
36．（22-23七年级下·四川南充·期末）阅读下面材料：
关于x的不等式的所有解都满足，求a的取值范围．

解：∵，∴当时，，当时，．
∵x的不等式的所有解都满足，
∴．
根据材料，完成下列各题：
(1)解关于x的不等式．
(2)关于x不等式的所有解都满足不等式，求a的取值范围．
(3)如果不等式组非负整数解的和为3，求a的取值范围．
【答案】(1)当时，；当时，
(2)
(3)或
【分析】（1）分两种情况讨论解不等式即可；
（2）仿照阅读材料解答即可；
（3）解每个不等式，然后仿照阅读材料讨论，由于不等式组非负整数解的和为3，则不合题意，于是得到三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，，
当时，．
（2）解：∵，
∴，
∵关于x不等式的所有解都满足不等式，
∴且，
∴；
∴；
（3）解：
由①得，，
由②得，，
∵不等式组非负整数解的和为3，
∴不合题意，，
∵非负整数解的和为3，
∴①非负整数解为0,1,2，
∴，
解得，∴无解；
②非负整数解为1,2，
∴，
解得，
∴；
③非负整数解为3，
∴
∴，
解得，
综上或．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式（组），仿照阅读材料的解题思路求解是解题的关键．
37．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）我们定义：使方程(组)与不等式(组)同时成立的未知数的值称为此方程(组)和不等式(组)的“梦想解”．
例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”
(1)已知①，②，③，试判断方程解是否为它与它们中某个不等式的“梦想解”；
(2)若关于，的二元一次方程组的解是不等式组的梦想解，且为整数，求的值．
(3)若关于x的方程的解是关于x的不等式组的“梦想解”，且此时不等式组有7个整数解，试求m的取值范围．
【答案】(1)是不等式③的“梦想解”
(2)m为14或15
(3)m的取值范围是
【分析】本题考查了解一元一次不等式（组），解一元一次方程（组），
（1）先求出方程的解和不等式的解集，即可判断；
（2）先求出方程组的解和不等式组的解集，根据题意得出，解不等式组即可；
（3）先求出不等式组的解集，不等式组有7个整数解，即可得出，然后解方程得：，，根据“梦想解”的定义得出，即可得出．
【详解】（1）解方程得，
解①得：，故方程解不是①的“梦想解”；
解②得：，故方程解不是②“梦想解”；
解③得：，故方程解是③的“梦想解”；
即方程的解是不等式③的“梦想解”；
（2）解方程组
得：
∴
∵方程组的解是不等式组的梦想解
∴
∴
m为整数，
∴m为14或15；
（3）解不等式组得：，
不等式组的整数解有7个，
令整数的值为，，，，，，
则有：，．
故，
且，
，
，
，
，
解方程得：，
方程是关于的不等式组的“梦想解”，
，
解得，
综上的取值范围是．
38．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题：
(1)不等式组的“长度”______；“整点”为______；
(2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围；
(3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；，
(2)
(3)存在，
【分析】本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键．
（1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案；
（2）先整理不等式得出，分和两种情况，根据及列不等式完成不等式的解集即可得答案；
（3）分情况，根据得出值，得出不等式组，用表示不等式组的解集，根据恰有4个“整点”列不等式组求出解集即可得答案．
【详解】（1）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴，整点为，
故答案为：；，；
（2）解：
解不等式得：，
当时，即时，，
∵，，，
∴，
解得：，
∴，
当时，即时，，
∵，，，
∴，
解得，,
∴
当时，方程组解为：，
满足题意，
综上所述：的取值范围．
（3）解：存在，理由如下：
当时，不等式的解集为，
∴，不符合，
当时，不等式的解集为，
∵，
∴，
解得：，
当时，不等式的解集为，
∴，
解得：，
当，不等式的解集为，
∴，
解得：，当时，，不符合，
当或，方程组无解，
综上所述：，
∴为，
解不等式组得：，
∵关于y的不等式组恰有4个“整点”，
∴，
解得：．
题型五：不等式组和方程组结合的问题（重点）
39．（23-24七年级下·四川乐山·期末）已知关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组，恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】D
【分析】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，解题的关键是根据题意得出关于a的不等式组．根据不等式组求出a的范围，然后再根据方程组求出a的取值，从而确定的a的可能值即可得出答案．
【详解】解：解方程组得：，
∵方程组的解为整数，
∴、、，
解得：或0或1或或3或，
解不等式组，得：，
∵不等式组有且仅有3个整数解，即整数解为：，
∴，
解得：，满足条件的整数a有1、2、3、4，
综上所述：满足条件的整数a的值是1、3，
∴所有满足条件的整数a的值之和是．
故选：D．
40．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如果关于，的方程组的解是正数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了方程组与不等式组结合的问题，先利用加减消元法解方程组得到，再根据方程组的解为正数得到，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为，
∵方程组的解为正数，
∴，
∴，
故选：D．
41．（22-23七年级下·河南周口·期末）已知关于、的二元一次方程组的解满足且关于的不等式组无解，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先分别求出方程组的解和不等式组的解集，再结合已知条件求出的范围，即可求解．
【详解】解方程组得：
∵方程组的解满足
∴，解得
解不等式组得：
∵关于的不等式组无解
∴，解得
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式等知识点，能求出的取值范围是解此题的关键．
42．（23-24七年级下·重庆万州·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解为正数，则满足条件的所有整数a的和为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先解方程组得到，再根据方程组的解为正数，得到，据此求出，则满足条件的所有整数a有4、5、6，据此求和即可．
【详解】解：
得：，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为，
∵方程组的解为正数，
∴，
解得，
∴满足条件的所有整数a有4、5、6，
∴满足条件的所有整数a的和为，
故答案为：．
43．（23-24七年级下·江西新余·期末）若关于x的不等式有且只有3个整数解，且关于x，y方程组的解为整数，则满足条件的整数a的值为 ．
【答案】4或1或0
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组．根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数，列式计算，据此求解即可．
【详解】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
不等式组只有3个整数解，
∴，
∴，
解方程组，
得：，解得，
将代入④得：，解得
方程组的解为：，
∵，
∴，
关于的方程组的解为整数，
或或或或或，
或或或或，
当时，不是整数，不符合题意；
当时，是整数，符合题意；
当时，不是整数，不符合题意；
当时，是整数，符合题意；
当时，是整数，符合题意；
所有满足条件的整数的值为4或1或0，
故答案为：4或1或0．
44．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，根据题意列出不等式是解题的关键．先用代入消元法解方程得出、，然后再列不等式求解即可．
【详解】解：，
由②得：③，
将③代入①得：
，
，
，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
45．（23-24七年级下·天津和平·期末）已知关于x，y的方程组 ．
(1)当x、y互为相反数时， ；
(2)已知，求a的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若a为整数，求使x、y为自然数的a的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤及运算法则是解题的关键．
（1）解出二元一次方程组，然后根据，互为相反数列方程求解即可；
（2）将方程组的解代入，解不等式组即可；
（3）根据题意求出方程组的解即可得到答案．
【详解】（1）由得，
∵，互为相反数，
∴，则，
解得，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
解得，
即a的取值范围是；
（3）∵，a为整数，
∴或，
当时，，
当时，，
∴或都满足题意．
46．（23-24七年级下·江西南昌·期末）已知关于，的方程组．
(1)若该方程组的解满足，求的值；
(2)若该方程组的解满足，均为正数，求的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求的整数值．
【答案】(1)
(2)
(3)的整数值为或
【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组，熟练掌握计算方法是解此题的关键．
（1）由加减消元法解二元一次方程组得出，结合题意得出，计算即可得解；
（2）利用加减消元法得出，结合题意得出，解不等式组即可得出答案；
（3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解．
【详解】（1）解：，
由得：，
∴，
∵该方程组的解满足，
∴，
∴；
（2）解：，
由得：，
解得：，
将代入②得：，
解得：，
∴原方程组的解为，
∵该方程组的解满足，均为正数，
∴，
解得：；
（3）解：∵，
∴，
∵不等式的解为，
∴，
解得：，
由（2）可得，
∴，
∴的整数值为或．
47．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“完美解”.
(1)已知①，②，则方程的解是不等式 （填序号）的“完美解”；
(2)若是方程组与不等式的一组“完美解”，求a的取值范围；
(3)若是方程与不等式组的“完美解”，求的取值范围.
【答案】(1)②
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组，二元一次方程组等知识，正确理解“完美解”的含义，是解答本题的关键．
（1）根据“完美解”的定义代入计算即可判断；
（2）将上述两个方程相加可得：，再根据“完美解”得出关于a的一元一次不等式，解不等式即可求解；
（3）根据题意可得，即可得，，问题随之得解．
【详解】（1）解：由，得：，
①，则方程的解不是不等式①的“完美解”；
②，则方程的解是不等式②的“完美解”；
（2）解：，
将上述两个方程相加可得：，
即有，
∵是方程组与不等式的一组“完美解”，
∴，
解得：，
（3）解：根据题意有：，
解得：，，
∴，
即的取值范围为：．
48．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程组中x为非正数，y为负数．
(1)求a的取值范围；
(2)化简：；
(3)在（1）的范围中，当a为何整数时，不等式的解集为
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出方程组的解，即可得出不等式组，求出不等式组的解集即可；
（2）根据，再化简绝对值即可；
（3）根据不等式的解集求出的范围，即可得出答案．
【详解】（1）解：解方程组得：，
方程组中为非正数，为负数，
，
解得：，
即的取值范围是；
（2）解：∵，
∴，
∴,
∴
；
（3）解：，
∴，
要使不等式的解集为，
必须，
解得：，
，为整数，
，
所以当为时，不等式的解集为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式或解一元一次不等式组，化简绝对值等知识点，能求出的取值范围是解此题的关键．
49．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）已知关于的不等式组．
(1)当时，求该不等式组的解集．
(2)若该不等式组有且只有个整数解，求的所有整数解的和．
(3)在（）的条件下，已知关于的方程组的解满足不等式，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（）把代入不等式组，解不等式组即可求解；
（）求出不等式组的解集，根据不等式组解集的情况求出的取值范围，得到的整数解，相加即可求出的值；
（）求出方程组的解，把方程组的解和的值代入不等式，解不等式即可求解；
本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，解二元一次方程组，掌握解一元一次不等式组和二元一次方程组是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，不等式组为，
由得，，
由得，，
∴不等式组的解集为；
（2）解：，
由得，，
由得，，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组有且只有个整数解，
∴，
即，
解得，
∴的整数解为，，，
∴；
（3）解：，
方程组化简得，，
得，，
解得，
把代入得，，
∴，
∴方程组的解为，
把，代入不等式得，，
解得．
50．（23-24七年级下·北京·期末）已知二元一次方程组的解为，在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，若在线段上存在个整数，则称二元一次方程组为系方程组．
(1)二元一次方程组是______系方程组．
(2)关于，的二元一次方程组是3系方程组，直接写出的取值范围．
(3)关于，的二元一次方程是2系方程组，直接写出的取值范围．
【答案】(1)1
(2)或
(3)或
【分析】（1）代入消元法解方程组得，则在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，在线段上存在1个整数，然后作答即可；
（2）加减消元法解方程组得，由题意知，在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，在线段上存在3个整数，为，或，当整数为时，则，计算求解即可；当整数为时，则，计算求解即可；
（3）代入消元法解方程组得，由题意知，在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，在线段上存在2个整数，则，即，计算求解即可．
【详解】（1）解：，
②代入①得，，
解得，，
∴，
∴在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，在线段上存在1个整数，
∴二元一次方程组是1系方程组，
故答案为：1；
（2）解；，
得，，
解得，，
将代入①得，，
解得，，
∴，
∴在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，在线段上存在3个整数，为，或，
当整数为时，则，
解得，；
当整数为时，则，
解得，；
综上所述，或；
（3）解：，
将②代入①得，，
解得，，
∴，
由题意知，在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，在线段上存在2个整数，
∴，即，
当时，解得，；
当时，解得，；
综上所述，或 ．
【点睛】本题考查了加减消元法、代入消元法解二元一次方程组，在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，一元一次不等式组的应用等知识．熟练掌握加减消元法、代入消元法解二元一次方程组，在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，一元一次不等式组的应用是解题的关键．
51．（23-24七年级下·福建泉州·期末）阅读理解：
定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”．
(1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由；
(2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围；
(3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值．
【答案】(1)不是
(2)
(3)
【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根据方程组的解的情况，求参数的范围，掌握“友好解”的定义，是解题的关键：
（1）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，判断即可；
（2）两个方程相减后，结合不等式，得到关于的不等式，求解即可；
（3）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，求出的范围，进而求出的最小整数值即可．
【详解】（1）解：解，得：，
解，得：，
∴方程的解不是不等式的解，
∴不是；
（2），
，得：，
∵，
∴，
即：，
∴；
（3）由，得 ，
∵，
∴，
∴，即，
由，得 ．
∵方程的解是不等式的“友好解”．
∴，
解得 ，
∴的最小整数值为：．
52．（23-24七年级下·北京延庆·期末）我们把关于x，y的二元一次方程，叫作数对的“伴随方程”；若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则称数对是数对的“伴随数对”．
(1)已知数对，在数对中，是数对的“伴随数对”的是 ；
(2)若数对是数对和数对的“伴随数对”，求数对的“伴随方程”；
(3)若是n个不同的数对，满足前一个数对是后面所有数对的“伴随数对”，且n的最大值是t，如果关于x的不等式组恰好有2024个整数解，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了新定义，方程的解，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，正确理解新定义是解题的关键．
（1）由题意得“伴随方程”为：，将分别代入验证即可；
（2）由题意得，，解得：，故数对的“伴随方程”为：；
（3）解不等式组得：，由n的最大值是t， 得到，则，则，确定这2024个整数解为， 故，解得：．
【详解】（1）解：由题意得：“伴随方程”为：
将点代入得，
将点代入得，
将点代入得，
将点代入得，
∴点，是数对的“伴随数对”，
故答案为：；
（2）解：由题意得，，
解得：，
∴数对的“伴随方程”为：；
（3）解：解不等式组，
由①得，，
由②得，，
∴不等式组的解集为：
∵n的最大值是t，
∴，则，
∴，
∵关于x的不等式组恰好有2024个整数解，
∴这2024个整数解为，
∴，
解得：．
53．（23-24七年级下·广东广州·期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．
例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”．
(1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号）
，，；
(2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值．
(3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)．
【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，解二元一次方程组和一元一次不等式组，理解“梦想解”的定义是解题的关键．
（）分别把代入每个不等式，判断是否是不等式的解即可；
（）求出方程组的解，代入不等式组，再解不等式组求出的取值范围，最后结合为整数即可求解，
（）求出方程的解为，不等式组的解集为，由所有整数“梦想解”的和为可得，解得．
【详解】（1）解：把代入不等式得，左边，
∴不是不等式的解；
把代入不等式得，左边，
∴不是不等式的解；
把代入不等式得，左边，
∴是不等式的解；
故答案为：；
（2）解：解方程组得，
∵二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，
∴是不等式组的解，
把代入不等式组得，，
解不等式组得，
∵为整数，
∴或；
（3）解：由方程得，，
解不等式组得：，
∵所有整数“梦想解”的和为，
∴整数“梦想解”为1、2、3、4或0、1、2、3、4，
∵关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，
∴，解得∶．
综上，．
题型六：用一元一次不等式（组）解决实际问题（难点）
54．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）李庄古镇随着宜宾文旅的火爆“出圈”，已成为宜宾一大文旅IP．在今年“五一”假期5天时间里，古镇共迎来万游客．颇具古镇特色的“李庄三白”（李庄白肉，李庄白酒，李庄白糕）备受游客青睐，其中具有不同口味的李庄白糕备受美食爱好者喜爱．某特色专卖店将不同口味的李庄白糕包装成A，B两种礼品盒售卖．已知3件A类礼品盒和4件B类礼品盒的成本需要310元；5件A类礼品盒和8件B类礼品盒的成本需要570元．
(1)求一件A类礼品盒和一件B类礼品盒的成本价分别是多少元？
(2)已知A类礼品盒的销售单价为70元，B类礼品盒的销售单价为50元．该特色店计划在五一期间，每天包装A、B两类礼品盒共100件，要使每天成本总费用不超过4250元，且销售总额超过5440元，该特色店有几种包装方案？那种方案的总利润最高？总利润量高是多少钱？
【答案】(1)一件A类礼品盒成本价为50元，一件B类礼品盒的成本价是40元
(2)共有三种包装方案；当每天包装A类礼品盒25件，每天包装B类礼品盒75件时，其利润最高；最高利润为1250元
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，准确理解题意，正确列出方程组与不等式组是解题的关键．
（1）设一件A类礼品盒成本价为x元，一件B类礼品盒的成本价是y元，根据等量关系：3件A类礼品盒和4件B类礼品盒的成本需要310元；5件A类礼品盒和8件B类礼品盒的成本需要570元；列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设每天包装A类礼品盒m件，则每天包装B类礼品盒件，根据：每天成本总费用不超过4250元，且销售总额超过5440元，列出一元一次不等式组，解不等式组即可求得方案数；再求出每种方案的总利润并比较即可．
【详解】（1）解：设一件A类礼品盒成本价为x元，一件B类礼品盒的成本价是y元，
由题意，得：，
解得：；
答：一件A类礼品盒成本价为50元，一件B类礼品盒的成本价是40元；
（2）解：设每天包装A类礼品盒m件，则每天包装B类礼品盒件，
由题意，得：，
解不等式组得：；
由于m为正整数，所以m取23，24，25；
故共有三种包装方案：
第一种方案：每天包装A类礼品盒23件，每天包装B类礼品盒77件；
此时总利润为：（元）；
第二种方案：每天包装A类礼品盒24件，每天包装B类礼品盒76件；
此时总利润为：（元）；
第三种方案：每天包装A类礼品盒25件，每天包装B类礼品盒75件；
此时总利润为：（元）；
由上知，第三种方案：每天包装A类礼品盒25件，每天包装B类礼品盒75件时，其利润最高，最高利润为1250元．
55．（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）围绕“建设国家级现代农业产业示范园区”总体目标，吐鲁番农业产业区发展势头显现，引进多种口感好的葡萄品种，助推吐鲁番乡村振兴，某超市看好甲、乙两种葡萄的市场价值，经调查甲种葡萄进价每千克元，售价每千克元，乙种葡萄进价每千克元，售价每千克元．
(1)该超市购进甲种葡萄千克和乙种葡萄千克需要元；购进甲种葡萄千克和乙种葡萄千克需要元，求的值；
(2)超市决定每天购进甲、乙两种葡萄共千克，且投入资金不少于元又不多于元，设购买甲种葡萄千克（为正整数），求有几种购买方案？
【答案】(1)的值是，的值是；
(2)共有种购买方案．
【分析】（1）根据“购进甲种葡萄千克和乙种葡萄千克需要元；购进甲种葡萄千克和乙种葡萄千克需要元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用进货总价进货单价购进数量，结合投入资金不少于元又不多于元，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出共有种购买方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得：，
答：的值是，的值是；
（2）解：∵超市决定每天购进甲、乙两种葡萄共千克，且购买甲种葡萄千克（为正整数），
∴购买乙种葡萄千克，
根据题意得：，
解得，，
又∵为正整数，
∴可以为，
∴共有种购买方案．
56．（23-24七年级下·河北承德·期末）一次智力测验，共设20道选择题，评分标准为：对1题得a分，答错或不答1题扣b分．下表记录了2名参赛学生的得分情况．
参赛学生 答对题数 答错或不答题数 得分
甲 17 3 79
乙 11 9 37
(1)若参赛学生小亮只答对了16道选择题，则小亮的得分是多少？
(2)参赛学生至少要答对几道题，总分才不会低于60分．
(3)参赛学生小王获得二等奖（75~85分），请你算算小王答对了几道题？
【答案】(1)小亮的得分是72分
(2)参赛学生至少要答对15道题，总分才不会低于60分
(3)小王答对了17道题
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式和一元一次不等组的应用：
（1）先根据表格列出二元一次方程组，求出的值，进而根据得分规则，列出算式进行计算即可；
（2）设参赛学生要答对道题，总分才不会低于60分，列出不等式进行求解即可；
（3）设小王答对了道题，列出不等式组，求出整数解，即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，
解得：，
故对1题得5分，答错或不答1题扣2分，
，
答：小亮的得分是72分；
（2）设参赛学生要答对道题，由题意，得：
，
解得：，
∴参赛学生至少要答对15道题，总分才不会低于60分；
（3）设小王答对了道题，由题意，得：
，
解得：，
∵为整数，
∴，
答：小王答对了17道题．
57．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）2024年4月25 日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员叶光富、李聪和李广苏顺利送入太空，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进3个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要310 元；购进4个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要280 元．
(1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格；
(2)该销售店老板计划购进两种模型共80个，设购进“神舟”模型m个，如果购进“天宫”模型的数量不超过“神舟”模型数量的2倍，并且总费用不超过3490元，那么该销售店共有几种进货方案？
(3)该销售店计划每个“神舟”模型的售价为70 元，每个“天宫”模型的售价为55 元，在(2)的条件下，全部售完后，哪种进货方案获得的利润最大？ 最大利润是多少元？
【答案】(1)每个“神舟”模型的进货价为50元，每个“天宫”模型的进货价为40元
(2)该销售店共有3种进货方案，详见解析
(3)进货方案购进“神舟”模型29个，购进“天宫”模型51个的利润最大，最大利润为1345元
【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题，一元一次不等式组解决实际问题．
（1）设每个“神舟”模型的进货价为x元，每个“天宫”模型的进货价为y元，根据“购进3个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要310 元；购进4个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要280 元”即可列出方程，求解即可；
（2）根据“购进“天宫”模型的数量不超过“神舟”模型数量的2倍，并且总费用不超过3490元”列出不等式组，求出m的取值范围，再结合m为整数，即可解答；
（3）根据（2）分别求出各进货方案的利润，即可解答．
【详解】（1）解：设每个“神舟”模型的进货价为x元，每个“天宫”模型的进货价为y元，根据题意，得
，
解得：，
答：每个“神舟”模型的进货价为50元，每个“天宫”模型的进货价为40元．
（2）解：根据题意，得
，
解得：，
∵m取整数，
∴，
∴该销售店共有3种进货方案：
①购进“神舟”模型27个，购进“天宫”模型个；
②购进“神舟”模型28个，购进“天宫”模型个；
③购进“神舟”模型29个，购进“天宫”模型个．
（3）解：方案①的利润为：（元）；
方案②的利润为：（元）；
方案③的利润为：（元）；
∴方案③的利润最大，为1345元．
答：进货方案③：购进“神舟”模型29个，购进“天宫”模型51个的利润最大，最大利润为1345元．
58．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）某中学开学初到商场购买、两种品牌的足球，购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知购买一个种品牌的足球比购买一个钟品牌的足球多花元．
(1)求购买一个种品牌、一个种品牌的足球各需多少元．
(2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进、两种品牌足球共个，正好赶上商场对商品价格进行调整，品牌足球售价比第一次购买时提高元，品牌足球按第一次购买时售价的折出售，如果学校此次购买、两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的%，且保证这次购买的种品牌足球不少于个，则这次学校有哪几种购买方案？
(3)请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？
【答案】(1)购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元
(2)见解析
(3)学校在第二次购买活动中最多需要元资金
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，
（1）设A种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元，根据“总费用买种足球费用买种足球费用，以及种足球单价比种足球多花元”可得出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设第二次购买种足球个，则购买种足球个，根据“总费用买种足球费用买种足球费用，以及种足球不小于个”可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组可得出的取值范围，由此即可得出结论；
（3）分析第二次购买时，、种足球的单价，即可得出哪种方案花钱最多，求出花费最大值即可得出结论．
【详解】（1）解：设种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元，
依题意得：，解得：．
答：购买一个种品牌的足球需要元，购买一个种品牌的足球需要元．
（2）解：设第二次购买种足球个，则购买种足球个，
依题意得：，
解得：．
故这次学校购买足球有五种方案：
方案一：购买A种足球个，B种足球个；
方案二：购买A种足球个，B种足球个；
方案三：购买A种足球个，B种足球个．
方案四：购买A种足球个，B种足球个．
方案五：购买A种足球个，B种足球个．
（3）解：∵第二次购买足球时，A种足球单价为(元)，B种足球单价为(元)，
∴当购买方案中B种足球最多时，费用最高，即方案一花钱最多．
∴(元)．
答：学校在第二次购买活动中最多需要元资金．
59．（23-24七年级下·吉林松原·期末）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如下表：
类型 进价（元/个） 售价（元/个）
A款 120
B款 90
若该商场购进5个款足球和12个款足球共需1120元；若该商场购进10个款足球和15个款足球共需1700元．
(1)每个款足球的利润为______元；每个款足球的利润为______元．（用含、的式子表示）
(2)求和的值．
(3)已知商场购进10个款足球和20个款足球，售货员说：“每个款足球按售价进行打折销售，款足球不打折”．若两款足球全部售出后总盈利不少于640元，则每个款足球最多打几折？
【答案】(1)；；
(2)；
(3)每个款足球最多打7折．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，根据题意找出相等关系和不等关系是解题的关键．
（1）根据利润等于售价减去进价即可得解；
（2）根据“若该商场购进5个款足球和12个款足球共需1120元；若该商场购进10个款足球和15个款足球共需1700元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值；
（3）设每个款足球打折销售，根据两款足球全部售出后总盈利不少于640元，得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【详解】（1）解： 利润售价进价，
每个款足球的利润为元，每个款足球的利润为元．
（2）解：根据题意得：
解得：．
（3）解：设每个款足球打折销售，根据题意得
.
解得.
答：每个款足球最多打7折．
60．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）淮安香肠历史悠久，是闻名全国的香肠品种之一．某超市分别以18元/袋、30元/袋的价格购进A，B两种规格的淮安香肠销售，近两天的销售情况如表：
销售时段 销售数量 销售收入
A B
第一天 10袋 6袋 570元
第二天 5袋 8袋 510元
（说明：本题中，A，B两种规格淮安香肠的进价、售价均保持不变）
(1)求A，B两种规格香肠的销售单价；
(2)若该超市准备用不超过1800元再购进这两种规格香肠共80袋，求B规格香肠最多能采购多少袋？
(3)在（2）的条件下，销售完这80袋香肠，能否实现利润为1065元的目标？若能，直接写出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】(1)A规格香肠的销售单价是30元/袋，B规格香肠的销售单价是45元/袋
(2)B规格香肠最多能采购30袋
(3)不能实现利润为1065元的目标，理由见解析
【分析】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式．
（1）设A规格香肠的销售单价是x元/袋，B规格香肠的销售单价是y元/袋，根据表格中的数据列出方程组，解方程组即可；
（2）设采购B规格香肠m袋，则采购A规格香肠袋，根据两种规格香肠总价格不超过1800元，列出不等式，解不等式即可；
（3）根据利润为1065元，列出方程，求出m的值，然后再与（2）中m的范围进行比较即可得出答案．
【详解】（1）解：设A规格香肠的销售单价是x元/袋，B规格香肠的销售单价是y元/袋，
根据题意得：，
解得：．
答：A规格香肠的销售单价是30元/袋，B规格香肠的销售单价是45元/袋；
（2）解：设采购B规格香肠m袋，则采购A规格香肠袋，
根据题意得：，
解得：，
∴m的最大值为30，
答：B规格香肠最多能采购30袋；
（3）解：在（2）的条件下，销售完这80袋香肠，不能实现利润为1065元的目标，理由如下：
根据题意得：，
解得：，
又∵，
∴不符合题意，舍去，
∴在（2）的条件下，销售完这80袋香肠，不实现利润为1065元的目标．
61．（22-23七年级下·云南红河·期末）随着全国疫情防控取得阶段性进展，各学校进一步做好疫情防控工作．为方便师生测体温，某校计划购买A、B两种额温枪．经调研得知：购买1个A型额温枪和2个B型额温枪共需800元，购买2个A型额温枪和3个B型额温枪共需1300元．
(1)求每个A型额温枪和B型额温枪各多少元；
(2)若该学校准备购买A、B两种型号的额温枪共50个；要求总费用不超过12800元，则对购买A型号的额温枪在数量上有什么要求？说明理由．
(3)在（2）的条件下，若甲、乙两商店以同样价格出售这两种型号的额温枪，同时又各自推出不同的优惠方案：在甲店购买A型额温枪按原价收费，B型额温枪不优惠；在乙店购买A型额温枪不优惠，但购买B型额温枪按原价收费；则学校到哪家商店购买额温枪花费少？
【答案】(1)每个A型额温枪的价格是200元，每个B型额温枪的价格是300元
(2)最少可购进A型号额温枪22个，理由见解析
(3)当时，两商店花费一样多；当，乙商店购买额温枪花费少；当，甲商店购买额温枪花费少．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
（1）设A型额温枪的价格是x元，B型额温枪的价格是y元，由“购买1个A型额温枪和2个B型额温枪共需800元，购买2个A型额温枪和3个B型额温枪共需1300元”列出方程组可求解；
（2）设购进A型号额温枪a个，“购买两种额温枪的总资金不超过12800元”列出不等式可求解；
（3）根据“总价单价数量”得出两种优惠方案的表达式，再比较大小解答即可．
【详解】（1）解：设每个A型额温枪的价格是x元，每个B型额温枪的价格是y元，
由题意可得：，
解得：．
答：每个A型额温枪的价格是200元，每个B型额温枪的价格是300元；
（2）解：最少可购进A型号额温枪22个，理由如下：
设购进A型号额温枪a个，则购进B型号额温枪个
由题意得，，
∴，
∴最少可购进A型号额温枪22个；
（3）解：在甲店购买A型额温枪按原价收费，B型额温枪不优惠，
则甲商店的费用为元；
在乙店购买A型额温枪不优惠，但购买B型额温枪按原价收费，
则乙商店的费用为元；
当，解得，则此时两商店花费一样多；
当，解得，
当，解得
当，乙商店购买额温枪花费少；
当，甲商店购买额温枪花费少．
62．（23-24七年级下·宁夏·期末）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要630元，购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要700元．
(1)购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？
(2)若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，则最多可购进乙型头盔多少个？
(3)在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，乙，能否实现利润不少于6190元的目标？若能，请给出相应的采购方案，请说明理由．
【答案】(1)购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元
(2)最多可购进乙型头盔120个
(3)能，该商场有三种采购方案：①采购甲型头盔82个，采购乙型头盔118个；②采购甲型头盔81个，采购乙型头盔119个；③采购甲型头盔80个，采购乙型头盔120个
【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是根据题意找到关系式．
（1）设购进1个甲型头盔需要元，购进1个乙型头盔需要元，根据题意列二元一次方程组并求解即可；
（2）设乙型头盔个，根据所需费用数量单价，计算甲、乙头盔总费用列不等式，求得乙型头盔的最大值；
（3）根据利润单件利润数量，列不等式，求出乙型头盔的取值范围，结合（2）中答案确定的取值范围，即可得出可选方案．
【详解】（1）解：设购进1个甲型头盔需要元，购进1个乙型头盔需要元，
根据题意得，解得，
答：购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元；
（2）解：设购进乙型头盔个，则购进甲型头盔个，
根据题意得，解得，
的最大值为120，
答：最多可购进乙型头盔120个；
（3）解：能，
理由如下：根据题意得，解得，
，
为整数，
可取118，119或120，对应的的值分别为82，81或80，
因此能实现利润不少于6190元的目标，该商场有三种采购方案：
①采购甲型头盔82个，采购乙型头盔118个；
②采购甲型头盔81个，采购乙型头盔119个；
③采购甲型头盔80个，采购乙型头盔120个．
63．（23-24七年级下·全国·期末）班级书法小组购买“文房四宝”的数据如下，有部分数据因污损无法识别．
商品名 单价（元） 数量（件） 金额（元）
笔 20
墨 15 210
纸 24
砚 60 2
合计 43 922
(1)此次购买的笔和纸各多少件
(2)若再次购买墨和砚共10件，且总价不超过370元，最多购买砚多少件
(3)若用420元购买墨和纸，在420元恰好用完的条件下，有哪些购买方案
【答案】(1)此次购买笔件，纸件
(2)最多购买砚台件
(3)共有种购买方案，方案：购买件墨，件纸; 方案: 购买件墨, 件纸
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：
（1）设此次购买的笔件，纸件，根据总价单价数量结合表格中的数据，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买砚件，则购买墨件，根据总价单价数量结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中最大的整数值即可得出结论；
（3）设可以购买墨件，纸件，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为整数即可得出各购买方案.
【详解】（1）设此次购买的笔件，纸件，依题意，得：
，
解得：
答：此次购买笔件，纸件；
（2）设购买砚台m件，则购买墨件，
，
解得：，
∴最多购买砚台件；
（3）设可以购买墨件，纸件，
依题意，得：，
，
又∵， 均为整数，
或 ，
∴共有种购买方案，方案：购买件墨，件纸； 方案： 购买件墨， 件纸.
答：共有种购买方案，方案：购买件墨，件纸； 方案： 购买件墨， 件纸.
64．（22-23七年级下·福建莆田·期末）莆阳“开春、开河、开街、开村”活动中发放兴化府历史文化街“美食节”消费券．每人可领取A型消费券（满25减10元）张，B型消费券（满58减20元）张，C型消费券（满168减60元）1张．王明一家5人都领到了消费券，使用消费券共减了380元．
(1)若王明一家用了2张A型消费券，6张B型消费券，他们用了 张C型消费券．
(2)若王明一家用了12张A，B，C型的消费券消费，其中A型比C型的消费券多1张，求A，B，C型的消费券各用了多少张？
(3)若王明一家仅用两种不同类型的消费券消费，如何搭配使用消费券，使得实际支付的最少金额不超过680元？
【答案】(1)4
(2)A型消费券用了6张，B型消费券用了1张，C型消费券用了5张
(3)使用A型消费券8张，C型消费券5张使得实际支付的最少金额不超过680元
【分析】（1）可求型消费券减免的金额数，即可求解；
（2）设C型消费券为x张，则A型消费券张，B型消费券为张，由共共减了380元，列方程，即可求解；
（3）设用了C型消费券为x张，B型消费券用了y张，A型消费券用了z张，则，，且x，y，z为非负整数；进行分类讨论：①当用B，C型消费券时，②当用A、C型消费券时，③当用A、B型消费券时，分别求出符合的情况，进行比较即可求解．
【详解】（1）解：（元），
（张），
故答案：．
（2）解：设C型消费券为x张，则A型消费券张，B型消费券为张，由题意得，
，
解得：，
，，
答：A型消费券用了6张，B型消费券用了张，C型消费券用了张．
（3）解：设用了C型消费券为x张，B型消费券用了y张，A型消费券用了z张，则，，且x，y，z为非负整数；
①当用B，C型消费券时，
，
，
，
，
，
，
不合题意，舍去．
②当用A、C型消费券时，
，
，
，
，
，
，且x为整数，
又时，，不合题意，舍去，
则，此时，实际支付金额最少；
③当用A、B型消费券时，
，
，
，
，
，
，
，
不合题意，舍去．
综上所述：使用A型消费券8张，C型消费券5张使得实际支付的最少金额不超过680元．
【点睛】本题考查了一元一次方程、一元一次不等式的应用，根据题意找出相应的等量关系式、不等关系式是解题的关键．
65．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）一家电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型每台6000元、B型每台4000元、C型每台2500元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑．
(1)若该中学只购买A型电脑和B型电脑，且购买A型电脑的数量比购买B型电脑的数量的一半还少1台，要求购买的总价不超过90000元，则最多可以购买多少台A型电脑？
(2)若该中学现有专项资金100500元，计划从这家电脑公司购进36台两种型号的电脑，且这笔资金恰好全用完．请你设计几种不同的购买方案供这个学校选择，并说明理由．
(3)这家电脑公司为提高B型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台B型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买B型电脑，拿出的旧电脑和购买的B型电脑数量一共是30台．若要使购买B型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，且购买B型电脑的实际总费用不少于100000元，则要在计划的基础上再多买a台B型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？
【答案】(1)最多可以购买5台A型电脑
(2)有两种方案供这个学校选择：第一种方案是购进A型电脑3台、C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台、C型电脑29台
(3)该中学至少需要再拿出4台旧电脑进行抵值
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设购买台型电脑，则购买台型电脑，利用总价单价数量，结合总价不超过90000元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可找出的最大值；
（2）利用平均价格总价单价，可求出平均价格，结合，，三种型号电脑的单价，可得出可能有两种情况，①购买型电脑和型电脑，设购买台型电脑，台型电脑，利用总价单价数量，结合用100500元购买36台两种型号的电脑，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出结论；②购买型电脑和型电脑，设购买台型电脑，台型电脑，利用总价单价数量，结合用100500元购买36台两种型号的电脑，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出结论；
（3）设原计划购买台型电脑，则原计划拿出台旧电脑，根据购买型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，可列出关于，的二元一次方程，变形后可得出，利用总价单价数量，结合购买型电脑的实际总费用不少于100000元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可找出的最小值为6．
【详解】（1）解：设购买台型电脑，则购买台型电脑，
根据题意得：，
解得：，
，均为正整数，
的最大值为12，的最大值为5．
答：最多可以购买5台型电脑；
（2）解：共有2种购买方案，
方案1：购买3台型电脑，33台型电脑；
方案2：购买7台型电脑，29台型电脑，理由如下：
（元，，
可能有两种情况．
①购买型电脑和型电脑，设购买台型电脑，台型电脑，
根据题意得：，
解得：，
购买3台型电脑，33台型电脑；
②购买型电脑和型电脑，设购买台型电脑，台型电脑，
根据题意得：，
解得：，
购买7台型电脑，29台型电脑．
共有2种购买方案，
方案1：购买3台型电脑，33台型电脑；
方案2：购买7台型电脑，29台型电脑；
（3）解：设原计划购买台型电脑，则原计划拿出台旧电脑，
根据题意得：，
．
购买型电脑的实际总费用不少于100000元，
，
即，
解得：，
．
答：该中学至少需要再拿出4台旧电脑进行抵值．
题型七：用一元一次不等式（组）解决几何问题（难点）
66．（22-23七年级下·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，对于点，点，定义与中的值较大的为点，的“绝对距离”．记为．特别地，当时，规定，例如，点，点，因为，所以点，的“绝对距离”为，记为．

(1)已知点，点为轴上的一个动点．
①若，求点的坐标；
②的最小值为______；
③动点满足，所有动点组成的图形面积为64，请直接写出的值．
(2)对于点，点，若有动点，使得，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)①点的坐标为或；②1；③；
(2)
【分析】（1）①设，根据可得，求出b即可得到点的坐标；
②根据点A、B的纵坐标之差的绝对值是1可得的最小值为1；
③判断出点C在以为中心，以为边长的正方形上，然后根据点组成的图形面积为64计算即可；
（2）根据点D、E的纵坐标之差的绝对值为5，可知点M到点D、E的横坐标的距离之和小于等于5，然后分情况列出不等式求出的取值范围即可．
【详解】（1）解：①设，
∵，，
∴，
∴，
∴点的坐标为或；
②∵，设，
∴，
∴的最小值为1；
③∵，点满足，
∴点C在以为中心，以为边长的正方形上，如图，
∴，
∴；

（2）解：∵点，点，
∴点D、E的纵坐标之差的绝对值为5，
∵有动点，使得，
∴，
①当时，由题意得：，
解得：，
∴
②当时，，符合题意；
③当时，由题意得：，
解得：，
∴
综上，若有动点，使得，的取值范围为．
【点睛】本题考查了新定义，坐标与图形性质，正确理解“绝对距离”的定义是解题的关键．
67．（23-24七年级下·贵州安顺·期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计礼品盒制作方案
素材1 七年级数学兴趣小组计划制作底面为等边三角形的直三棱柱有盖礼品盒，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面（A型号）和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面（B型号）组成（如图1所示）．而A、B两种型号纸板可由一个大长方形硬纸板裁剪得到，具体裁剪方法见下面的裁法一、裁法二．
素材2 现有大长方形硬纸板张．（说明：裁剪后的余料不可以再使用．）
问题解决
任务1 初探方案 探究一：按素材1的裁剪方法，若张大长方形硬纸板裁剪A型号纸板，张大长方形硬纸板裁剪B型号纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完． 若， （1）完成以下填表； 型号裁法（裁法一）（裁法二）合计大长方形硬纸板（张）大长方形硬纸板（张）A型号（张数）0B型号（张数）0__________________
（2）最多能做多少个礼品盒？
任务2 反思方案 探究二： 若按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，请问最多能做多少个礼品盒？并说明理由．
任务3 优化方案 探究三：为不浪费纸板，进行了裁剪再设计： 首先从张大长方形硬纸板中选出1张大长方形纸板裁剪出一张A型和一张B型纸板（见裁法三），然后从剩余的纸板中按素材1的方法继续裁剪出A、B型纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完，若在10张至30张之间（包括边界），则的值为____．
【答案】探究一：（1）见详解；（2）最多能做6个礼品盒；探究二：最多能做20个礼品盒；探究三：11或24
【分析】该题主要考查了一元一次方程，二元一次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出等量关系式和不等量关系式．
探究一：（1）根据一个大长方形硬纸板可裁剪得2个A种型号纸板、3个B种型号纸板，共有大长方形硬纸板13张即可解答；（2）根据一个礼品盒需要用到3个A种型号纸板和2个B种型号纸板，列方程即可解答；
探究二：若，设能做a个礼品盒，根据一个礼品盒需要用到3个A种型号纸板和2个B种型号纸板，列不等式即可解答；
探究三：设恰好用完能做b个礼品盒，则需要裁剪个A型纸板、个B 型纸板，根据一个礼品盒需要用到3个A种型号纸板和2个B种型号纸板，列方程即可解答；
【详解】探究一：根据题意可得，一个大长方形硬纸板可裁剪得2个A种型号纸板、3个B种型号纸板，
当时，
（1）补全填表如图：
型号 裁法 （裁法一） （裁法二 ） 合计
大长方形硬纸板x（张） 大长方形硬纸板y（张）
A型号(张数） 0
B型号（张数） 0
（2）根据题意可得，
即，
解得：，
∴个，
故所裁剪的A、B型纸板恰好用完时，最多能做6个礼品盒．
探究二：若，按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，设能做a个礼品盒，
则，
解得：，
∵a为正整数，
∴a最大为20，
即最多能做20个礼品盒．
探究三：设恰好用完能做b个礼品盒，则需要裁剪个A型纸板、个B 型纸板，
则，
化简得：，
∵，
∴，
解得：，
∵n，b为正整数，
∴或符合要求，
故n的值为：11或24．
68．（22-23七年级下·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，任取点，若满足，则称点A与点相关．

(1)判断下面各组中两点是否相关：
①，点A与点___________（填“相关”或“不相关”）；
②，点与点___________（填“相关”或“不相关”）；
(2)如图，已知正方形，其四个顶点坐标分别为，．
①称横纵坐标均为整数的点为整点，则此正方形的边上，共有___________个整点与点相关；
②设点，若正方形边上的任意一点都与点A相关，求的取值范围．
【答案】(1)①相关；②不相关
(2)①6；②或或
【分析】（1）根据题目中给出的定义进行判断即可；
（2）①根据题目中给出的定义先找出正方形边上的整点，然后再根据定义进行判断即可；
②分别求出当、、、上任意一点与点A相关时，m的取值范围，最后综合得出m的取值范围即可．
【详解】（1）解：①∵，
∴点A与点相关；
故答案为：相关；
②∵，
∴点与点不相关；
故答案为：不相关；
（2）解：①正方形边上的整点有，，，，，， ，，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
∴此正方形的边上，共有6个整点与点相关；
故答案为：6．
②当上的点都与点相关时，当时，只要使即可，
解得或，
当，即时，上的点都与点A相关，
当时，只要使即可，
解得，
∴当或或或时，上的点都与点相关；
当上的点都与点相关时，当时，只要使即可，
解得或，
当，即时，上的点都与点A相关，
当时，只要使即可，
解得，
∴当或或或时，上的点都与点相关；
当上的点都与点相关时，当时，只要使即可，
解得或，
当，即时，上的点都与点A相关，
当时，只要使即可，
解得，
∴当或或，上的点都与点相关；
当上的点都与点相关时，当时，只要使即可，
解得或，
当，即时，上的点都与点A相关，
当时，只要使即可，
解得，
∴当或或时，上的点都与点相关；
综上分析可知，要使正方形边上的任意一点都与点A相关，则m的取值范围是或或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，新定义运算，解题的关键是理解题意，注意分类讨论，不等式组的应用．
69．（22-23七年级下·广东惠州·期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图所示的长方形和正方形纸板长方形的宽与正方形的边长相等加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）

(1)若该厂购进正方形纸板张，长方形纸板张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；
(2)该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板张，长方形纸板张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值．
【答案】(1)加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完
(2)，，，
【分析】（1）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1000张、长方形纸板2000张，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板80张、长方形纸板a张，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可用含a的代数式表示出n值，再根据n、a为正整数结合即可求出a的值，此题得解．
【详解】（1）设加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，
根据题意得：，
解得：．
答：加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完．
（2）设加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，
根据题意得：，
．
、为正整数，
为的倍数，
又，
满足条件的为：，，，．
答：在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值为，，，．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
70．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）【项目式学习】
项目主题：数学智慧拼图
项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展．王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展“数学智慧拼图”为主题的项目式学习．
任务一：观察建模
如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别分别为x、y（），小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组 ，则： ， ；
任务二：推理分析
第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积；
任务三：设计方案
第三小组领了A、B、C三种类型的矩形卡片，它们的长为18，宽分别为a、b、c，其中且a、b、c均为正整数，分别取A、B、C卡片2、3、4张， 把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A、B、C卡片3、2、5张，能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠），如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a、b、c的值，如果不能，请说明为什么．
【答案】任务一：5，10任务二：31任务三：，，，图见解析
【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用和不等式组的应用，正确理解图形中各线段之间的关系列出方程组是解题的关键．
任务一：直接解方程组即可；
任务二：设8个大小、形状完全相同的小矩形长为m，宽为n，列方程组求出长宽，再求出阴影部分面积即可；
任务三：先列方程组求出，根据题意得出或2，进而求出两种情况下a、b、c的值，根据面积得出当时无法放置，当时能放置并画出放置方式即可．
【详解】解：任务一：
由①得：，
把代入②，得：，
原方程组的解是；
任务二：设8个大小、形状完全相同的小矩形长为m，宽为n，由题意得：
，
解得：，
则图2中阴影部分的面积；
任务三：由题意得：，
解得：，
且a、b、c均为正整数，
，
解得：，
或2，
当时，，，
分别取A、B、C卡片3、2、5张，拼成的不重叠的图形面积为：，
故此时不能放置；
当时，，，
分别取A、B、C卡片3、2、5张，拼成的不重叠的图形面积为：，
故此时能放置，放置方式如下图：专题05 不等式与不等式组
（考题猜想，易错常考重难点7大题型70题）
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题型一：不等式的性质（常考）
1．（24-25七年级上·吉林·期末）如图，三人分别坐在质地均匀且到中心点O距离相等的跷跷板上，则表示三人体重A，B，C的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23七年级上·四川绵阳·期末）已知是整数，并且，则的相反数是（ ）
A． B．4 C． D．
3．（23-24七年级下·山东济宁·期末）下列四个不等式：（1）；（2）；（3）；（4），一定能推出的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（24-25七年级下·全国·期末）如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知，．若，则与的关系为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24七年级下·广西河池·期末）若实数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（22-23七年级下·河南周口·期末）设，，，都是整数，且，，，，则的最大值是（　　）
A．207 B．208 C．209 D．239
8．（23-24七年级下·全国·期末）若，则 ， ．
9．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知实数，满足，当取最大值时，则的值是 ．
10．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义一种新运算：对于两个非零实数a、b，．
(1)若，且，求的值；
(2)若，求证：．
题型二：求一元一次不等式（组）的解集（易错）
11．（22-23七年级下·西藏拉萨·期末）解下列不等式，并在数轴上表示解集．
(1)； (2)．
12．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）解决下面问题
(1)解不等式；
(2)解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
13．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）（1）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上．
（2）解不等式组：，并求它的非正整数解．
14．（24-25七年级下·全国·期末）【探究归纳】
解不等式：（1）；（2）．总结发现不等式（1）的解都是不等式（2）的解，我们称不等式（1）的解集是不等式（2）的解集的“子集”．
【问题解决】
(1)的解集 的解集的“子集”（填是或不是）；
(2)若关于的不等式的解集是的解集的“子集”，且是正整数，求的值．
15．（23-24七年级下·四川内江·期末）解不等式（组）
(1)小英解不等式的过程如下，请指出她解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：①
去括号得：②
移项得：③
合并同类项得：④
两边都除以得：⑤
(2)解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
16．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”．问题解决：
(1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是___________（填序号）；
(2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围；
(3)若方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”，试求的取值范围．
题型三：求一元一次不等式（组）的整数解（重点）
17．（22-23七年级下·山东临沂·期末）不等式的负整数解有 ．
18．（23-24七年级下·陕西商洛·期末）不等式的正整数解为 ．
19．（23-24七年级下·天津南开·期末）关于x的不等式有2个正整数解，则a的取值范围是 ．
20．（23-24七年级下·河南省直辖县级单位·期末）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：．如：．则不等式的负整数解的和是 ．
21．（23-24七年级下·广西百色·期末）解不等式组：，利用数轴确定不等式组的解集，并写出不等式组的非负整数解．
22．（23-24七年级下·全国·期末）求不等式组的最大整数解．
23．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）解不等式组，并求出它的所有整数解的和．
24．（22-23七年级下·北京·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”．
(1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号）
(2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围；
(3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围．
题型四：由一元一次不等式组的解集求参数（难点）
25．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如果关于x，y的不等式组的解集为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
26．（23-24七年级下·内蒙古通辽·期末）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
27．（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数之和为 ．
28．（23-24八年级下·河南焦作·期中）若不等式组的整数解有四个，则a的取值范围是
29．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）若不等式组的解集为，则
30．（23-24七年级下·山东临沂·期末）已知不等式组的解集为，则的值是 ．
31．（23-24七年级下·云南红河·期末）已知关于的不等式组无解，则的取值范围为 ．
32．（22-23七年级下·重庆·期末）若关于x的不等式组无解，且关于x的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的和等于 ．
33．（23-24七年级下·重庆·期末）若关于的不等式组有且只有个奇数解，且关于的方程解为整数．则符合条件的所有整数的和为 ．
34．（23-24七年级下·四川乐山·期末）若关于的一个一元一次不等式组的解集为（、为常数且），则称为这个不等式组的“解集中点”．
(1)不等式组的解集中点是______；
(2)若关于的不等式组的解集中点大于方程的解且小于方程的解，求的取值范围．
35．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如果两个不等式存在公共解，那么称这两个不等式互为“友好不等式”．
(1)在不等式①，②，③中，与不等式互为“友好不等式”的是________；（填序号）
(2)若关于的不等式与不是“友好不等式”，求的取值范围；
(3)若，关于的不等式与不等式互为“友好不等式”，求的取值范围．
36．（22-23七年级下·四川南充·期末）阅读下面材料：
关于x的不等式的所有解都满足，求a的取值范围．

解：∵，∴当时，，当时，．
∵x的不等式的所有解都满足，
∴．
根据材料，完成下列各题：
(1)解关于x的不等式．
(2)关于x不等式的所有解都满足不等式，求a的取值范围．
(3)如果不等式组非负整数解的和为3，求a的取值范围．
37．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）我们定义：使方程(组)与不等式(组)同时成立的未知数的值称为此方程(组)和不等式(组)的“梦想解”．
例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”
(1)已知①，②，③，试判断方程解是否为它与它们中某个不等式的“梦想解”；
(2)若关于，的二元一次方程组的解是不等式组的梦想解，且为整数，求的值．
(3)若关于x的方程的解是关于x的不等式组的“梦想解”，且此时不等式组有7个整数解，试求m的取值范围．
38．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题：
(1)不等式组的“长度”______；“整点”为______；
(2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围；
(3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
题型五：不等式组和方程组结合的问题（重点）
39．（23-24七年级下·四川乐山·期末）已知关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组，恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
40．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如果关于，的方程组的解是正数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
41．（22-23七年级下·河南周口·期末）已知关于、的二元一次方程组的解满足且关于的不等式组无解，则的取值范围是 ．
42．（23-24七年级下·重庆万州·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解为正数，则满足条件的所有整数a的和为 ．
43．（23-24七年级下·江西新余·期末）若关于x的不等式有且只有3个整数解，且关于x，y方程组的解为整数，则满足条件的整数a的值为 ．
44．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 ．
45．（23-24七年级下·天津和平·期末）已知关于x，y的方程组 ．
(1)当x、y互为相反数时， ；
(2)已知，求a的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若a为整数，求使x、y为自然数的a的值．
46．（23-24七年级下·江西南昌·期末）已知关于，的方程组．
(1)若该方程组的解满足，求的值；
(2)若该方程组的解满足，均为正数，求的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求的整数值．
47．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“完美解”.
(1)已知①，②，则方程的解是不等式 （填序号）的“完美解”；
(2)若是方程组与不等式的一组“完美解”，求a的取值范围；
(3)若是方程与不等式组的“完美解”，求的取值范围.
48．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程组中x为非正数，y为负数．
(1)求a的取值范围；
(2)化简：；
(3)在（1）的范围中，当a为何整数时，不等式的解集为
49．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）已知关于的不等式组．
(1)当时，求该不等式组的解集．
(2)若该不等式组有且只有个整数解，求的所有整数解的和．
(3)在（）的条件下，已知关于的方程组的解满足不等式，求的取值范围．
50．（23-24七年级下·北京·期末）已知二元一次方程组的解为，在数轴上实数所对的点为，实数所对的点为，若在线段上存在个整数，则称二元一次方程组为系方程组．
(1)二元一次方程组是______系方程组．
(2)关于，的二元一次方程组是3系方程组，直接写出的取值范围．
(3)关于，的二元一次方程是2系方程组，直接写出的取值范围．
51．（23-24七年级下·福建泉州·期末）阅读理解：
定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”．
(1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由；
(2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围；
(3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值．
52．（23-24七年级下·北京延庆·期末）我们把关于x，y的二元一次方程，叫作数对的“伴随方程”；若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则称数对是数对的“伴随数对”．
(1)已知数对，在数对中，是数对的“伴随数对”的是 ；
(2)若数对是数对和数对的“伴随数对”，求数对的“伴随方程”；
(3)若是n个不同的数对，满足前一个数对是后面所有数对的“伴随数对”，且n的最大值是t，如果关于x的不等式组恰好有2024个整数解，直接写出m的取值范围．
53．（23-24七年级下·广东广州·期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．
例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”．
(1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号）
，，；
(2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值．
(3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围．
题型六：用一元一次不等式（组）解决实际问题（难点）
54．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）李庄古镇随着宜宾文旅的火爆“出圈”，已成为宜宾一大文旅IP．在今年“五一”假期5天时间里，古镇共迎来万游客．颇具古镇特色的“李庄三白”（李庄白肉，李庄白酒，李庄白糕）备受游客青睐，其中具有不同口味的李庄白糕备受美食爱好者喜爱．某特色专卖店将不同口味的李庄白糕包装成A，B两种礼品盒售卖．已知3件A类礼品盒和4件B类礼品盒的成本需要310元；5件A类礼品盒和8件B类礼品盒的成本需要570元．
(1)求一件A类礼品盒和一件B类礼品盒的成本价分别是多少元？
(2)已知A类礼品盒的销售单价为70元，B类礼品盒的销售单价为50元．该特色店计划在五一期间，每天包装A、B两类礼品盒共100件，要使每天成本总费用不超过4250元，且销售总额超过5440元，该特色店有几种包装方案？那种方案的总利润最高？总利润量高是多少钱？
55．（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）围绕“建设国家级现代农业产业示范园区”总体目标，吐鲁番农业产业区发展势头显现，引进多种口感好的葡萄品种，助推吐鲁番乡村振兴，某超市看好甲、乙两种葡萄的市场价值，经调查甲种葡萄进价每千克元，售价每千克元，乙种葡萄进价每千克元，售价每千克元．
(1)该超市购进甲种葡萄千克和乙种葡萄千克需要元；购进甲种葡萄千克和乙种葡萄千克需要元，求的值；
(2)超市决定每天购进甲、乙两种葡萄共千克，且投入资金不少于元又不多于元，设购买甲种葡萄千克（为正整数），求有几种购买方案？
56．（23-24七年级下·河北承德·期末）一次智力测验，共设20道选择题，评分标准为：对1题得a分，答错或不答1题扣b分．下表记录了2名参赛学生的得分情况．
参赛学生 答对题数 答错或不答题数 得分
甲 17 3 79
乙 11 9 37
(1)若参赛学生小亮只答对了16道选择题，则小亮的得分是多少？
(2)参赛学生至少要答对几道题，总分才不会低于60分．
(3)参赛学生小王获得二等奖（75~85分），请你算算小王答对了几道题？
57．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）2024年4月25 日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员叶光富、李聪和李广苏顺利送入太空，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进3个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要310 元；购进4个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要280 元．
(1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格；
(2)该销售店老板计划购进两种模型共80个，设购进“神舟”模型m个，如果购进“天宫”模型的数量不超过“神舟”模型数量的2倍，并且总费用不超过3490元，那么该销售店共有几种进货方案？
(3)该销售店计划每个“神舟”模型的售价为70 元，每个“天宫”模型的售价为55 元，在(2)的条件下，全部售完后，哪种进货方案获得的利润最大？ 最大利润是多少元？
58．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）某中学开学初到商场购买、两种品牌的足球，购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知购买一个种品牌的足球比购买一个钟品牌的足球多花元．
(1)求购买一个种品牌、一个种品牌的足球各需多少元．
(2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进、两种品牌足球共个，正好赶上商场对商品价格进行调整，品牌足球售价比第一次购买时提高元，品牌足球按第一次购买时售价的折出售，如果学校此次购买、两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的%，且保证这次购买的种品牌足球不少于个，则这次学校有哪几种购买方案？
(3)请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？
59．（23-24七年级下·吉林松原·期末）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如下表：
类型 进价（元/个） 售价（元/个）
A款 120
B款 90
若该商场购进5个款足球和12个款足球共需1120元；若该商场购进10个款足球和15个款足球共需1700元．
(1)每个款足球的利润为______元；每个款足球的利润为______元．（用含、的式子表示）
(2)求和的值．
(3)已知商场购进10个款足球和20个款足球，售货员说：“每个款足球按售价进行打折销售，款足球不打折”．若两款足球全部售出后总盈利不少于640元，则每个款足球最多打几折？
60．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）淮安香肠历史悠久，是闻名全国的香肠品种之一．某超市分别以18元/袋、30元/袋的价格购进A，B两种规格的淮安香肠销售，近两天的销售情况如表：
销售时段 销售数量 销售收入
A B
第一天 10袋 6袋 570元
第二天 5袋 8袋 510元
（说明：本题中，A，B两种规格淮安香肠的进价、售价均保持不变）
(1)求A，B两种规格香肠的销售单价；
(2)若该超市准备用不超过1800元再购进这两种规格香肠共80袋，求B规格香肠最多能采购多少袋？
(3)在（2）的条件下，销售完这80袋香肠，能否实现利润为1065元的目标？若能，直接写出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
61．（22-23七年级下·云南红河·期末）随着全国疫情防控取得阶段性进展，各学校进一步做好疫情防控工作．为方便师生测体温，某校计划购买A、B两种额温枪．经调研得知：购买1个A型额温枪和2个B型额温枪共需800元，购买2个A型额温枪和3个B型额温枪共需1300元．
(1)求每个A型额温枪和B型额温枪各多少元；
(2)若该学校准备购买A、B两种型号的额温枪共50个；要求总费用不超过12800元，则对购买A型号的额温枪在数量上有什么要求？说明理由．
(3)在（2）的条件下，若甲、乙两商店以同样价格出售这两种型号的额温枪，同时又各自推出不同的优惠方案：在甲店购买A型额温枪按原价收费，B型额温枪不优惠；在乙店购买A型额温枪不优惠，但购买B型额温枪按原价收费；则学校到哪家商店购买额温枪花费少？
62．（23-24七年级下·宁夏·期末）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要630元，购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要700元．
(1)购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？
(2)若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，则最多可购进乙型头盔多少个？
(3)在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，乙，能否实现利润不少于6190元的目标？若能，请给出相应的采购方案，请说明理由．
63．（23-24七年级下·全国·期末）班级书法小组购买“文房四宝”的数据如下，有部分数据因污损无法识别．
商品名 单价（元） 数量（件） 金额（元）
笔 20
墨 15 210
纸 24
砚 60 2
合计 43 922
(1)此次购买的笔和纸各多少件
(2)若再次购买墨和砚共10件，且总价不超过370元，最多购买砚多少件
(3)若用420元购买墨和纸，在420元恰好用完的条件下，有哪些购买方案
64．（22-23七年级下·福建莆田·期末）莆阳“开春、开河、开街、开村”活动中发放兴化府历史文化街“美食节”消费券．每人可领取A型消费券（满25减10元）张，B型消费券（满58减20元）张，C型消费券（满168减60元）1张．王明一家5人都领到了消费券，使用消费券共减了380元．
(1)若王明一家用了2张A型消费券，6张B型消费券，他们用了 张C型消费券．
(2)若王明一家用了12张A，B，C型的消费券消费，其中A型比C型的消费券多1张，求A，B，C型的消费券各用了多少张？
(3)若王明一家仅用两种不同类型的消费券消费，如何搭配使用消费券，使得实际支付的最少金额不超过680元？
65．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）一家电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型每台6000元、B型每台4000元、C型每台2500元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑．
(1)若该中学只购买A型电脑和B型电脑，且购买A型电脑的数量比购买B型电脑的数量的一半还少1台，要求购买的总价不超过90000元，则最多可以购买多少台A型电脑？
(2)若该中学现有专项资金100500元，计划从这家电脑公司购进36台两种型号的电脑，且这笔资金恰好全用完．请你设计几种不同的购买方案供这个学校选择，并说明理由．
(3)这家电脑公司为提高B型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台B型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买B型电脑，拿出的旧电脑和购买的B型电脑数量一共是30台．若要使购买B型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，且购买B型电脑的实际总费用不少于100000元，则要在计划的基础上再多买a台B型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？
题型七：用一元一次不等式（组）解决几何问题（难点）
66．（22-23七年级下·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，对于点，点，定义与中的值较大的为点，的“绝对距离”．记为．特别地，当时，规定，例如，点，点，因为，所以点，的“绝对距离”为，记为．

(1)已知点，点为轴上的一个动点．
①若，求点的坐标；
②的最小值为______；
③动点满足，所有动点组成的图形面积为64，请直接写出的值．
(2)对于点，点，若有动点，使得，请直接写出的取值范围．
67．（23-24七年级下·贵州安顺·期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计礼品盒制作方案
素材1 七年级数学兴趣小组计划制作底面为等边三角形的直三棱柱有盖礼品盒，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面（A型号）和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面（B型号）组成（如图1所示）．而A、B两种型号纸板可由一个大长方形硬纸板裁剪得到，具体裁剪方法见下面的裁法一、裁法二．
素材2 现有大长方形硬纸板张．（说明：裁剪后的余料不可以再使用．）
问题解决
任务1 初探方案 探究一：按素材1的裁剪方法，若张大长方形硬纸板裁剪A型号纸板，张大长方形硬纸板裁剪B型号纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完． 若， （1）完成以下填表； 型号裁法（裁法一）（裁法二）合计大长方形硬纸板（张）大长方形硬纸板（张）A型号（张数）0B型号（张数）0__________________
（2）最多能做多少个礼品盒？
任务2 反思方案 探究二： 若按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，请问最多能做多少个礼品盒？并说明理由．
任务3 优化方案 探究三：为不浪费纸板，进行了裁剪再设计： 首先从张大长方形硬纸板中选出1张大长方形纸板裁剪出一张A型和一张B型纸板（见裁法三），然后从剩余的纸板中按素材1的方法继续裁剪出A、B型纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完，若在10张至30张之间（包括边界），则的值为____．
68．（22-23七年级下·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，任取点，若满足，则称点A与点相关．

(1)判断下面各组中两点是否相关：
①，点A与点___________（填“相关”或“不相关”）；
②，点与点___________（填“相关”或“不相关”）；
(2)如图，已知正方形，其四个顶点坐标分别为，．
①称横纵坐标均为整数的点为整点，则此正方形的边上，共有___________个整点与点相关；
②设点，若正方形边上的任意一点都与点A相关，求的取值范围．
69．（22-23七年级下·广东惠州·期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图所示的长方形和正方形纸板长方形的宽与正方形的边长相等加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）

(1)若该厂购进正方形纸板张，长方形纸板张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；
(2)该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板张，长方形纸板张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值．
70．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）【项目式学习】
项目主题：数学智慧拼图
项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展．王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展“数学智慧拼图”为主题的项目式学习．
任务一：观察建模
如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别分别为x、y（），小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组 ，则： ， ；
任务二：推理分析
第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积；
任务三：设计方案
第三小组领了A、B、C三种类型的矩形卡片，它们的长为18，宽分别为a、b、c，其中且a、b、c均为正整数，分别取A、B、C卡片2、3、4张， 把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A、B、C卡片3、2、5张，能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠），如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a、b、c的值，如果不能，请说明为什么．

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