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专题02 实数（考点清单，3考点梳理+8题型解读）
清单01 平方根
1.算术平方根
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根. a的算术平方根记为 ,读作“根号a”,a叫做被开方数.
规定:0的算术平方根是0.
2.平方根
(1)平方根的相关概念
一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说,如果x =a,那么x叫做a的平方根.如2和-2是4的平方根，简记为2是4的平方根.
(2)平方根的性质
正数有两个平方根，它们互为相反数.
0的平方根是0.
负数没有平方根，
(3)平方根的表示方法
正数a的算术平方根可以用表示;正数a的负的平方根,可以用，符号“-”表示,故正数a的平方根可以用符号“”表示,读作“正、负根号a”".如 =5.
3.平方根的估算
要估算“ (a≥0)”的近似值，
第一步先确定估算数的整数范围,如.22<7<32,所以2< <3;
第二步以较小整数为基础,开始逐步加0.1(或以较大整数为基础,开始逐步减0.1),并求其平方，确定被估算数的十分位;如此继续下去，可按要求估算“”的近似值，即用“夹逼法”
清单02 立方根
1.立方根和开立方
(1)一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说,如果x3=a,那么x叫做a的立方根.
(2)求一个数的立方根的运算，叫做开立方.开立方与立方互为逆运算，可以通过这种关系求一个数的立方根.
2.立方根的表示方法
一个数a的立方根,用符号“”表示,读作“三次根号a”",其中a是被开方数,3是根指数.如表示8的立方根, =2;表示-8的立方根, =-2,中的根指数3不能省略，
3.立方根的性质
(1)正数的立方根是正数.
(2)负数的立方根是负数.
(3)0的立方根是0.
4.平方根与立方根的联系与区别
(1)联系
都与相应的乘方运算互为逆运算,开平方与平方互为逆运算,开立方与立方互为逆运算.
0的平方根和立方根都是它本身.
(2)区别
在用符号表示平方根时,根指数2可以省略不写;而用符号表示立方根时,根指数3不能省略.
平方根只有非负数才有,而立方根任何数都有.
正数的平方根有两个,而正数的立方根只有1个.
互为相反数的两个数的立方根也互为相反数.如:-8和8互为相反数,它们的立方根-2和2也互为相反数.即=--.
清单03 实数及其简单运算
1.无理数
(1)无理数的概念
无限不循环小数叫做无理数.如 , , ,0.808 008 000 8...都是无理数.
(2)常见的无理数
所有开方开不尽的方根,如.
化简后含有π的数,如-
无限不循环小数，如0.320 030 250...
2.实数的定义
有理数和无理数统称为实数.
3.实数与数轴上的点的对应关系
我们知道，任何一个有理数，在数轴上都有唯一确定的点与之对应，但是数轴，上的点并不都表示有理数,而有理数和无理数合在一起,才.能填满整个数轴，所以实数与数轴上的点是一一对应的，也就是说，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反之，数轴上的每一个点都表示一个实数.
4.实数的运算
(1)实数的运算
当数从有理数扩充到实数以后,实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算,而且正数及0可以进行开平方运算,任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时,有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
(2)实数运算的顺序
先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减，同级运算从左到右依次计算,有括号的要先算括号里面的.实数的运算顺序与有理数相同,有理数范围内的加法运算律、乘法运算律和去(添)括号法则同样适用于实数.
【考点题型一】平方根、算数平方根、立方根（）
【例1-1】（22-23七年级下·西藏拉萨·期末）的平方根是（ ）
A．16 B． C．2 D．
【例1-2】（22-23七年级下·西藏拉萨·期末）的算术平方根是 ，的立方根是 ，化简： ．
【例1-3】（23-24七年级下·云南昭通·期末）已知的立方根是，的算术平方根是，求的值为： ．
【变式1-1】（23-24七年级下·广西河池·期末）若，则的值（ ）
A． B．0 C．1 D．2024
【变式1-2】（22-23七年级下·上海嘉定·期末）下列运算一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）如果，是2024的两个平方根，那么 ．
【变式1-4】（23-24七年级下·重庆开州·期末）求下列各式中x的值：
(1)； (2)．
【变式1-5】（23-24七年级下·陕西延安·期末）已知一个正数x的两个平方根分别是和，的立方根是2．
(1)求这个正数x的立方根；
(2)求的平方根．
【考点题型二】实数的概念与分类（）
【例2-1】（22-23七年级下·福建福州·期末）下列说法正确的是( )
A．实数分为正实数和负实数 B．无限小数都是无理数
C．带根号的数都是无理数 D．无理数都是无限不循环小数
【例2-2】（23-24七年级下·西藏林芝·期末）把下列各数分别填入相应的集合中：
，，，，，，，，，相邻的两个之间依次多一个．
(1)无理数集合：________________________________________
(2)有理数集合：________________________________________．
(3)分数集合：_______________________．
(4)负无理数集合：_____________．
【变式2-1】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）下列实数中，属于有理数的是（ ）
A． B． C．0.121121112… D．
【变式2-2】（24-25七年级下·全国·期末）下列四个数，，，，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（23-24七年级下·河南商丘·期末）在下列说法中：
①无理数都是开方开不尽的数；②无理数都是实数；
③两个无理数的和仍是无理数；④循环小数是有理数；
错误的序号是 ．
【考点题型三】实数的性质与数轴（）
【例3-1】（23-24七年级下·辽宁大连·期末）若，则x的值是（ ）
A．4 B． C． D．
【例3-2】（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（23-24七年级下·陕西安康·期末）的相反数是（ ）
A．0 B． C． D．
【变式3-2】（23-24七年级下·四川广元·期末）在数，0，和中，绝对值等于它本身的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3-3】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，实数在数轴上的对应点可能是 点．
【变式3-4】（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A 与数轴上表示1的点重合，将圆沿数轴无滑动的逆时针滚动一周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是 ．
【考点题型四】实数的大小比较与估算（）
【例4-1】（23-24七年级下·湖南永州·期末）比较大小： （填“”或“”）．
【例4-2】（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）估计的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间
C．5和6之间 D．6和7之间
【变式4-1】（22-23七年级下·全国·期末）比较大小： ．
【变式4-2】（24-25七年级上·山东淄博·期末）若，则的值在（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
【变式4-3】（23-24七年级下·广西河池·期末）已知，a，b为相邻的整数，则的值是 ．
【考点题型五】实数的运算（）
【例5-1】（23-24七年级下·全国·期末）计算：
(1)； (2)；
【例5-2】（23-24七年级下·全国·期末）计算：．
【变式5-1】（23-24七年级下·全国·期末）计算：
(1)； (2)．
【变式5-2】（23-24七年级下·全国·期末）计算：．
【变式5-3】（23-24七年级下·广东肇庆·期末）计算
(1)； (2)
【变式5-4】（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦，发明了一个魔术盒：当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数，例如把放入其中，就会得到，现将实数对放入其中，得到实数，则 ．
【考点题型六】实数的整数部分与小数部分（）
【例6】（23-24七年级下·吉林·期末）已知的算术平方根是的平方根是是的整数部分，求的平方根．
【变式6-1】（23-24七年级下·广东汕头·期末）已知a是的小数部分，b是的小数部分，则的平方根是 ．
【变式6-2】（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）若的小数部分为a，的小数部分为b，则 ．
【变式6-3】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）阅读下列材料：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．规定实数m的整数部分记为．小数部分记为如：，．
解答以下问题：
(1)_________，_________；
(2)求的值．
【变式6-4】（23-24七年级下·云南曲靖·期末）阅读材料：是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是我们可用来表示的小数部分．请根据材料解答下列问题：
(1)的整数部分是________，小数部分是________；
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
(3)已知：，其中x是整数，且，求的算术平方根．
【变式6-5】（23-24七年级下·吉林松原·期末）阅读下列材料：
，即的整数部分为1，小数部分为．
请根据材料提示，进行解答：
(1)的整数部分是____________，小数部分是____________；
(2)如果的小数部分为的整数部分为n，求的值；
(3)已知：，其中a是整数，且，请直接写出a，b的值．
【变式6-6】（23-24七年级下·云南昭通·期末）规定：对任意的非负实数n，用表示不大于n的最大整数，称为n的整数部分，用表示的值，称为n的小数部分.例如：，，，；请回答下列问题：
(1)当时，以下五个命题中为真命题的是 （填序号）
①；②；③；④；⑤若（a为整数），则
(2)当时，解关于x的方程
【考点题型七】实数的小数点移动（）
【例7】（23-24七年级下·河南驻马店·期末）观察下表，并解决问题．
a 0.000 1 0.01 1 100 10 000
0.01 0.1 1 10 100
(1)①随着被开方数的小数点的移动，它的算术平方根的小数点是怎样移动的？请归纳总结这一规律；
②已知 则 ．
(2)①猜想被开方数的小数点移动和它的立方根的小数点移动有怎样的关系？写出你的猜想；
② 已知 请用含 m 的式子表示n．
【变式7-1】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）观察表格
a 0.0001 0.01 1 100 10000 …
0.01 0.1 1 10 100 …
按表中规律若已知，用含m的式子表示n，则 ．
【变式7-2】（23-24七年级上·浙江湖州·期末）（1）观察发现：
… 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y 100 …
表格中 ， ．
（2）归纳总结：
被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位．
（3）规律运用：
①已知，则 ；
②已知，，则 ．
【变式7-3】（1）填表：
a 0.001 1 1000 1000000
1 10
由表你发现了：被开方数的小数点向右(或左)移动 位，其立方根的小数点向右(或左)移动 位；
（2）根据你发现的规律填空：
①已知，则 ；
②已知，则 ．
（3）用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积为立方米，需要多大面积的铁皮？
【考点题型八】实数的规律探究（）
【例8】（23-24七年级下·广西百色·期末）计算四个式子的值：；；；，观察计算结果，发现规律得出：的值为 ．
【变式8-1】（23-24七年级下·山东德州·期末）数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律：
，，；；
计算式子 的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（23-24七年级下·广西河池·期末）将实数按如图方式进行有规律排列，则第19行的第37个数是 ．
【变式8-3】（23-24七年级下·山东滨州·期末）例、下面是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，应该在第 行．
【变式8-4】（23-24七年级下·湖北荆州·期中）先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式．
(1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式；
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）；
(3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值．
【变式8-5】（23-24七年级下·北京·期中）研究发现：由于，42没有大于1的平方约数，所以当a为正整数时，为有理数的条件是（其中t为正整数）．
(1)若正整数a使得，则a的值为 ；
(2)已知a、b、c是正整数，且，当时，称为“团结数组”．
①若为“团结数组”，且，则 ；
②若为“团结数组”，且，则 ， ；
③“团结数组”共有 个．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题02 实数（考点清单，3考点梳理+8题型解读）
清单01 平方根
1.算术平方根
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根. a的算术平方根记为 ,读作“根号a”,a叫做被开方数.
规定:0的算术平方根是0.
2.平方根
(1)平方根的相关概念
一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说,如果x =a,那么x叫做a的平方根.如2和-2是4的平方根，简记为2是4的平方根.
(2)平方根的性质
正数有两个平方根，它们互为相反数.
0的平方根是0.
负数没有平方根，
(3)平方根的表示方法
正数a的算术平方根可以用表示;正数a的负的平方根,可以用，符号“-”表示,故正数a的平方根可以用符号“”表示,读作“正、负根号a”".如 =5.
3.平方根的估算
要估算“ (a≥0)”的近似值，
第一步先确定估算数的整数范围,如.22<7<32,所以2< <3;
第二步以较小整数为基础,开始逐步加0.1(或以较大整数为基础,开始逐步减0.1),并求其平方，确定被估算数的十分位;如此继续下去，可按要求估算“”的近似值，即用“夹逼法”
清单02 立方根
1.立方根和开立方
(1)一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说,如果x3=a,那么x叫做a的立方根.
(2)求一个数的立方根的运算，叫做开立方.开立方与立方互为逆运算，可以通过这种关系求一个数的立方根.
2.立方根的表示方法
一个数a的立方根,用符号“”表示,读作“三次根号a”",其中a是被开方数,3是根指数.如表示8的立方根, =2;表示-8的立方根, =-2,中的根指数3不能省略，
3.立方根的性质
(1)正数的立方根是正数.
(2)负数的立方根是负数.
(3)0的立方根是0.
4.平方根与立方根的联系与区别
(1)联系
都与相应的乘方运算互为逆运算,开平方与平方互为逆运算,开立方与立方互为逆运算.
0的平方根和立方根都是它本身.
(2)区别
在用符号表示平方根时,根指数2可以省略不写;而用符号表示立方根时,根指数3不能省略.
平方根只有非负数才有,而立方根任何数都有.
正数的平方根有两个,而正数的立方根只有1个.
互为相反数的两个数的立方根也互为相反数.如:-8和8互为相反数,它们的立方根-2和2也互为相反数.即=--.
清单03 实数及其简单运算
1.无理数
(1)无理数的概念
无限不循环小数叫做无理数.如 , , ,0.808 008 000 8...都是无理数.
(2)常见的无理数
所有开方开不尽的方根,如.
化简后含有π的数,如-
无限不循环小数，如0.320 030 250...
2.实数的定义
有理数和无理数统称为实数.
3.实数与数轴上的点的对应关系
我们知道，任何一个有理数，在数轴上都有唯一确定的点与之对应，但是数轴，上的点并不都表示有理数,而有理数和无理数合在一起,才.能填满整个数轴，所以实数与数轴上的点是一一对应的，也就是说，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反之，数轴上的每一个点都表示一个实数.
4.实数的运算
(1)实数的运算
当数从有理数扩充到实数以后,实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算,而且正数及0可以进行开平方运算,任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时,有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
(2)实数运算的顺序
先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减，同级运算从左到右依次计算,有括号的要先算括号里面的.实数的运算顺序与有理数相同,有理数范围内的加法运算律、乘法运算律和去(添)括号法则同样适用于实数.
【考点题型一】平方根、算数平方根、立方根（）
【例1-1】（22-23七年级下·西藏拉萨·期末）的平方根是（ ）
A．16 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了绝对值，平方根的概念等知识点，熟练掌握绝对值，平方根的概念是解决此题的关键．根据绝对值，平方根的概念解答即可．
【详解】解：，的平方根是，
的平方根是是，
故选： B．
【例1-2】（22-23七年级下·西藏拉萨·期末）的算术平方根是 ，的立方根是 ，化简： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根等知识点，熟练掌握算术平方根，立方根的性质是解决此题的关键．根据算术平方根和立方根的概念求解即可．
【详解】解：，
的算术平方根是，
，
的立方根是，
，
，
故答案为：，， ．
【例1-3】（23-24七年级下·云南昭通·期末）已知的立方根是，的算术平方根是，求的值为： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了立方根和算术平方根定义，解题的关键是根据立方根定义和算术平方根定义求出，．根据立方根定义和算术平方根定义求出，，然后求出结果即可．
【详解】解：∵的立方根是，
∴，
解得：，
又∵的算术平方根是，
∴，
又∵，
解得，
∴．
【变式1-1】（23-24七年级下·广西河池·期末）若，则的值（ ）
A． B．0 C．1 D．2024
【答案】C
【分析】本题考查了非负数的性质，以及有理数的乘方运算，根据非负数的性质求出a、b的值是解答本题的关键．先根据非负数的性质求出a、b的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴．
故选：C．
【变式1-2】（22-23七年级下·上海嘉定·期末）下列运算一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查算术平方根、立方根的定义，根据平方根、立方根的定义判断即可．
【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，原计算正确，故该选项符合题意；
．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，原计算错误，故该选项不符合题意；
故选：B．
【变式1-3】（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）如果，是2024的两个平方根，那么 ．
【答案】4048
【分析】本题考查平方根和相反数的性质、求代数式的值，熟练掌握平方根和相反数的性质是解题的关键．
根据平方根的性质可知、互为相反数，再根据相反数的性质即可求出结果．
【详解】解：∵是2024的两个平方根，
，
故答案为：4048．
【变式1-4】（23-24七年级下·重庆开州·期末）求下列各式中x的值：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了利用平方根、立方根解方程的知识，
（1）原方程变型为，再利用平方根求解方程的根即可；
（2）原方程变型为，再利用立方根求解方程的根即可．
【详解】（1）
；
（2），
．
【变式1-5】（23-24七年级下·陕西延安·期末）已知一个正数x的两个平方根分别是和，的立方根是2．
(1)求这个正数x的立方根；
(2)求的平方根．
【答案】(1)4
(2)
【分析】本题主要考查了平方根，立方根，算术平方根的应用，解题的关键是熟练掌握平方根，立方根，算术平方根的计算方法．
（1）根据正数的两个平方根互为相反数，得出，求出a的值，然后再求出x，最后求出立方根即可；
（2）根据（1）可求得，再求出，根据平方根的求法，即可求得．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
则，
∴这个正数为，
∴这个正数的立方根为；
（2）解：∵的立方根是2，
∴，
解得：，
∴，
∴的平方根为．
【考点题型二】实数的概念与分类（）
【例2-1】（22-23七年级下·福建福州·期末）下列说法正确的是( )
A．实数分为正实数和负实数 B．无限小数都是无理数
C．带根号的数都是无理数 D．无理数都是无限不循环小数
【答案】D
【分析】根据实数的分类以及有关概念逐一分析即可解决.
【详解】A.实数分为正实数、负实数和零，故此选项错误；
B.无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，故此选项错误；
C.带根号的数不一定是无理数，如，等，故此选项错误；
D.无理数都是无限不循环小数，故此选项正确；
故选：D
【点睛】此题考查了实数的分类以及有关概念，掌握实数的分类和相关概念是解答此题的关键.
【例2-2】（23-24七年级下·西藏林芝·期末）把下列各数分别填入相应的集合中：
，，，，，，，，，相邻的两个之间依次多一个．
(1)无理数集合：________________________________________
(2)有理数集合：________________________________________．
(3)分数集合：_______________________．
(4)负无理数集合：_____________．
【答案】(1)，，，，相邻的两个之间依次多一个
(2)，，，，
(3)，，
(4)，
【分析】此题考查了实数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．根据无理数，有理数，分数，负无理数的定义求解即可．
【详解】（1）无理数集合：，，，，相邻的两个之间依次多一个，
故答案为：，，，，相邻的两个之间依次多一个，
（2）有理数集合：，，，，，
故答案为：，，，，，
（3）分数集合：，，，
故答案为：，，，
（4）负无理数集合：，，
故答案为：，，
【变式2-1】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）下列实数中，属于有理数的是（ ）
A． B． C．0.121121112… D．
【答案】D
【分析】本题考查无理数和有理数，根据无理数是无限不循环小数，有理数分为整数和分数，进行判断即可．
【详解】解：，，0.121121112…，中，只有是有理数，
故选D．
【变式2-2】（24-25七年级下·全国·期末）下列四个数，，，，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是无理数的概念，无理数即无限不循环小数，它的表现形式为：开方开不尽的数，与有关的数，无限不循环小数．根据无理数的定义，即可得出符合题意的选项．
【详解】解：都是有理数，是无理数，
故选：B．
【变式2-3】（23-24七年级下·河南商丘·期末）在下列说法中：
①无理数都是开方开不尽的数；②无理数都是实数；
③两个无理数的和仍是无理数；④循环小数是有理数；
错误的序号是 ．
【答案】①③/③①
【分析】本题考查实数、有理数、无理数，根据实数的分类逐项判断即可．
【详解】解：无理数包括开方开不尽的数、无限不循环小数、含的数等，故①错误；
实数包括无理数、有理数，因此无理数都是实数，故②正确；
两个无理数的和不一定是无理数，如，故③错误；
循环小数是有理数，故④正确；
综上可知，错误的序号是①③，
故答案为：①③．
【考点题型三】实数的性质与数轴（）
【例3-1】（23-24七年级下·辽宁大连·期末）若，则x的值是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数的性质
【分析】本题考查了绝对值的性质，由利用绝对值的性质分类讨论即可.
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
【例3-2】（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数与数轴、数轴上两点之间的距离
【分析】本题考查的知识点是实数与数轴及两点间距离，解题关键是根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数．
根据正方形的边长是面积的算术平方根得到，结合点所表示的数及间距离即可得解．
【详解】解：正方形的面积为，
即，
（负值舍去），
点表示的数是，，
点表示的数是．
故选：．
【变式3-1】（23-24七年级下·陕西安康·期末）的相反数是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【知识点】相反数的定义、实数的性质
【分析】本题考查了相反数的概念，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据只有符号不同的两个数是互为相反数即可求解．
【详解】解：的相反数是，
故选：C．
【变式3-2】（23-24七年级下·四川广元·期末）在数，0，和中，绝对值等于它本身的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】求一个数的绝对值、求一个数的立方根、实数的性质
【分析】本题主要考查绝对值，立方根的知识，求出每一个数的绝对值进行比较即可求出．
【详解】解：，绝对值不等于它本身
，绝对值等于它本身
，，绝对值不等于它本身
，绝对值等于它本身
绝对值等于它本身的共有2个；
故选：B．
【变式3-3】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，实数在数轴上的对应点可能是 点．
【答案】D
【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算
【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数与数轴，根据无理数的估算方法得到，则，据此结合数轴可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴实数在数轴上的对应点可能是D点，
故答案为：D．
【变式3-4】（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A 与数轴上表示1的点重合，将圆沿数轴无滑动的逆时针滚动一周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是 ．
【答案】/
【知识点】实数与数轴
【分析】本题考查了实数与数轴、圆的周长．求出圆的周长，再根据实数与数轴上的点的对应关系即可得到答案．
【详解】解：由题意得，圆的周长为，得到圆的周长为，
∴点B表示的数是，
故答案为：．
【考点题型四】实数的大小比较与估算（）
【例4-1】（23-24七年级下·湖南永州·期末）比较大小： （填“”或“”）．
【答案】
【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算
【分析】本题考查的是实数的大小比较，掌握无理数的估算方法是解题的关键．由得到，即可求解．
【详解】∵
∴．
故答案为：．
【例4-2】（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）估计的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间
C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】A
【知识点】无理数的大小估算
【分析】此题考查了无理数的估算能力，运用算术平方根知识进行变形、估算，关键是能准确理解并运用算术平方根知识进行求解．
【详解】解：∵，
，
，
的值在3和4之间，
故选：A．
【变式4-1】（22-23七年级下·全国·期末）比较大小： ．
【答案】
【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算
【分析】本题考查无理数的大小估算和实数的大小比较，熟练掌握无理数的大小估算的方法是解题的关键．先判断得出；再判断得出，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
故答案为：．
【变式4-2】（24-25七年级上·山东淄博·期末）若，则的值在（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
【答案】B
【知识点】无理数的大小估算
【分析】本题考查了无理数的估算，根据无理数估算的方法即可求解，掌握无理数估算的方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
故选：．
【变式4-3】（23-24七年级下·广西河池·期末）已知，a，b为相邻的整数，则的值是 ．
【答案】
【知识点】无理数的大小估算、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题主要考查无理数的估算以及代数式求值， 根据无理数的估算方法可得出，，然后代入即可得出答案．
【详解】解：，
即，
∵a，b为相邻的整数，
∴，，
∴，
故答案为：．
【考点题型五】实数的运算（）
【例5-1】（23-24七年级下·全国·期末）计算：
(1)； (2)；
【答案】(1)
(2)
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、带有字母的绝对值化简问题、实数的混合运算
【分析】此题考查了算术平方根和立方根，化简绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）首先计算算术平方根和立方根，化简绝对值，然后计算加减；
（2）首先计算算术平方根和立方根，化简绝对值，然后计算加减．
【详解】（1）
；
（2）
．
【例5-2】（23-24七年级下·全国·期末）计算：．
【答案】2
【知识点】求一个数的算术平方根、实数的混合运算、求一个数的立方根
【分析】此题考查了算术平方根，实数的乘法和立方根，解题的关键是掌握以上运算法则．
首先计算算术平方根，实数的乘法和立方根，然后计算加减．
【详解】
．
【变式5-1】（23-24七年级下·全国·期末）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】实数的混合运算、有理数的乘方运算、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及算术平方根、平方根、立方根以及乘方，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）先化简算术平方根、立方根，再计算加减法即可；
（2）先化简算术平方根、立方根以及乘方，再计算加减法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式5-2】（23-24七年级下·全国·期末）计算：．
【答案】
【知识点】实数的混合运算
【分析】此题考查了实数的乘法运算，加法运算，乘法分配律，解题的关键是掌握以上运算法则．
首先计算实数的乘法，然后计算加减即可．
【详解】
．
【变式5-3】（23-24七年级下·广东肇庆·期末）计算
(1)； (2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】实数的混合运算
【分析】本题考查了实数的混合运算．
（1）先开方、乘方、除法运算转化为乘法运算，再计算乘法运算和减法运算；
（2）先开方、去绝对值符号，再计算加减即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式5-4】（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦，发明了一个魔术盒：当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数，例如把放入其中，就会得到，现将实数对放入其中，得到实数，则 ．
【答案】
【知识点】新定义下的实数运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】此题考查实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
利用题中的新定义计算即可求出的值．
【详解】解：根据题中的新定义得：，
解得：．
故答案为：．
【考点题型六】实数的整数部分与小数部分（）
【例6】（23-24七年级下·吉林·期末）已知的算术平方根是的平方根是是的整数部分，求的平方根．
【答案】
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、无理数整数部分的有关计算、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的平方根
【分析】根据算术平方根及平方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可．
【详解】解：的算术平方根是5，
，
解得：．
∵的平方根是，
，
解得：．
是的整数部分，而，
，
，
的平方根为．
【点睛】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键．
【变式6-1】（23-24七年级下·广东汕头·期末）已知a是的小数部分，b是的小数部分，则的平方根是 ．
【答案】
【知识点】求一个数的平方根、无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算
【分析】先利用夹逼法估算、的取值范围，即可求出、的值，再计算的值，最后求出平方根即可．本题考查了估算无理数的大小，平方根，熟练掌握利用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
的整数部分是12，小数部分是，
即，
，
，
，
，
的整数部分是5，小数部分是，
即，
，
的平方根是，
的平方根是，
故答案为：．
【变式6-2】（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）若的小数部分为a，的小数部分为b，则 ．
【答案】1
【知识点】无理数整数部分的有关计算
【分析】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握不等式的基本性质．
先估算的大小，再利用不等式的基本性质估算，，从而求出它的整数部分和小数部分，然后代入所求代数式进行计算即可．
【详解】解：，即，
，，，，的整数部分为2，小数部分为，
的整数部分为10，小数部分为，
．
故答案为：1．
【变式6-3】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）阅读下列材料：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．规定实数m的整数部分记为．小数部分记为如：，．
解答以下问题：
(1)_________，_________；
(2)求的值．
【答案】(1)3，；
(2)1．
【知识点】无理数整数部分的有关计算
【分析】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是理解题意，掌握估算无理数大小的方法，正确计算．
（1）根据得，即可得的整数部分为3，根据得，即可得的整数部分为；
（2）根据得，可得，根据题意得，进行计算即可得．
【详解】（1）解：∵，
即，
的整数部分为3，
∴，
∵，
即，
的整数部分为，
∴，
故答案为：3，；
（2）解：∵，
即，
的整数部分为，
∴，
∴
．
【变式6-4】（23-24七年级下·云南曲靖·期末）阅读材料：是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是我们可用来表示的小数部分．请根据材料解答下列问题：
(1)的整数部分是________，小数部分是________；
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
(3)已知：，其中x是整数，且，求的算术平方根．
【答案】(1)3，
(2)6
(3)11
【知识点】无理数整数部分的有关计算
【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出，，的范围是解此题的关键．
（1）先估算出的范围，即可得出答案；
（2）先估算出的范围，求出a、b的值，再代入求出即可；
（3）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求出即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分是3，小数部分是，
故答案为：3，；
（2）解：∵，
∴的整数部分是2，小数部分为，即；
∵，
∴的整数部分是4，即；
∴
（3）解：∵，
∴，
∴
∵，其中x是整数，且，
∴，
∴，
∴的算术平方根为
【变式6-5】（23-24七年级下·吉林松原·期末）阅读下列材料：
，即的整数部分为1，小数部分为．
请根据材料提示，进行解答：
(1)的整数部分是____________，小数部分是____________；
(2)如果的小数部分为的整数部分为n，求的值；
(3)已知：，其中a是整数，且，请直接写出a，b的值．
【答案】(1)3，
(2)
(3)
【知识点】无理数整数部分的有关计算、实数的混合运算
【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算：
（1）仿照题意求解即可；
（2）仿照题意求出m、n的值即可得到答案；
（3）先估算出，进而得到，据此求出a、b的值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分为3，
∴的小数部分为，
故答案为：3，；
（2）解：∵，
∴，
∴的整数部分为2，的整数部分为4，
∴的小数部分为，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，其中a是整数，且，
∴，
∴．
【变式6-6】（23-24七年级下·云南昭通·期末）规定：对任意的非负实数n，用表示不大于n的最大整数，称为n的整数部分，用表示的值，称为n的小数部分.例如：，，，；请回答下列问题：
(1)当时，以下五个命题中为真命题的是 （填序号）
①；②；③；④；⑤若（a为整数），则
(2)当时，解关于x的方程
【答案】(1)①②④⑤
(2)或
【知识点】无理数整数部分的有关计算
【分析】本题考查的是估算无理数的大小和实数的运算，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键．
（1）根据题目中的规定进行逐一判断即可得出答案；
（2）先根据题目中的规定对原方程进行整理得，再进行分类讨论，求解即可．
【详解】（1）解： ，故①正确；
，由于，，故②正确；
表示的小数部分，，故③错误；
表示的整数部分，，故④正确；
为整数），，故⑤正确，
故五个命题中为真命题的是①②④⑤，
故答案为：①②④⑤；
（2）解：，
，
，
，
是的小数部分，
当时，；
当时，，
，
可得，
，
综上可得或．
【考点题型七】实数的小数点移动（）
【例7】（23-24七年级下·河南驻马店·期末）观察下表，并解决问题．
a 0.000 1 0.01 1 100 10 000
0.01 0.1 1 10 100
(1)①随着被开方数的小数点的移动，它的算术平方根的小数点是怎样移动的？请归纳总结这一规律；
②已知 则 ．
(2)①猜想被开方数的小数点移动和它的立方根的小数点移动有怎样的关系？写出你的猜想；
② 已知 请用含 m 的式子表示n．
【答案】(1)①被开方数a的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位；②0.447；
(2)①被开方数的小数点每向右移3位，它的立方根的小数点相应向右移一位；②
【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、立方根概念理解、数字类规律探索
【分析】本题考查算术平方根、立方根的变化规律，熟练掌握算术平方根、立方根的变化规律是解决本题的关键．
（1）①从被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律；
②根据（1）的规律即可得出答案；
（2）①仿照算术平方根的规律探讨被开方数与其立方根小数点移动规律；②根据①所求规律解决此题即可．
【详解】（1）解：①观察表格可知，被开方数a的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位；
②∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：①∵，
∴规律是：被开方数的小数点每向右移3位，它的立方根的小数点相应向右移一位；
②∵，
∴．
【变式7-1】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）观察表格
a 0.0001 0.01 1 100 10000 …
0.01 0.1 1 10 100 …
按表中规律若已知，用含m的式子表示n，则 ．
【答案】
【知识点】与算术平方根有关的规律探索题
【分析】本题考查算术平方根的规律探究，通过表格可知，被开方数的小数点每向右移动2个数位，算术平方根的小数点向右移动1个数位，即可得出结果．
【详解】解：由表格可知，被开方数的小数点每向右移动2个数位，算术平方根的小数点向右移动1个数位，
∵，
∴；
故答案为：．
【变式7-2】（23-24七年级上·浙江湖州·期末）（1）观察发现：
… 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y 100 …
表格中 ， ．
（2）归纳总结：
被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位．
（3）规律运用：
①已知，则 ；
②已知，，则 ．
【答案】（1）0.1，10；（2）右，1；（3）22.4，50
【知识点】与算术平方根有关的规律探索题
【分析】本题考查算术平方根中的规律探索题：
（1）直接计算即可；
（2）观察（1）中表格数据，找出规律；
（3）利用（2）中找出的规律求解．
【详解】解：（1），，
故答案为：，10；
（2）被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位．
故答案为：右，1；
（3）①已知，则，
②已知，，则，
故答案为：22.4，50．
【变式7-3】（1）填表：
a 0.001 1 1000 1000000
1 10
由表你发现了：被开方数的小数点向右(或左)移动 位，其立方根的小数点向右(或左)移动 位；
（2）根据你发现的规律填空：
①已知，则 ；
②已知，则 ．
（3）用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积为立方米，需要多大面积的铁皮？
【答案】（1）填表见解析，三，一；（2）①；②；（3）需要大约平方米的铁皮
【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键．
（1）利用立方根的定义，先将表格填完整，根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解；
（2）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；
（3）设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：填表：
a 0.001 1 1000 1000000
1 10
规律：数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位；
（2）解：①∵，
∴；
②∵
∴；
（3）解：设正方体的棱长为米，则，
，
（平方米），
答：需要大约平方米的铁皮．
【考点题型八】实数的规律探究（）
【例8】（23-24七年级下·广西百色·期末）计算四个式子的值：；；；，观察计算结果，发现规律得出：的值为 ．
【答案】36
【知识点】与算术平方根有关的规律探索题
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根以及数字的变化规律的应用，熟练掌握求一个数算术平方根的方法是解题关键．根据；；；，…，可得：，据此求出的值为多少即可．
【详解】解：；
；
；
，…，
∴，
∴
．
故答案为：36．
【变式8-1】（23-24七年级下·山东德州·期末）数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律：
，，；；
计算式子 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求一个数的算术平方根、与实数运算相关的规律题
【分析】本题考查了算术平方根的规律问题，根据所给算式总结规律计算即可，熟练掌握算术平方根是解题的关键．
【详解】解：由，，；；
则原式，
，
故选：．
【变式8-2】（23-24七年级下·广西河池·期末）将实数按如图方式进行有规律排列，则第19行的第37个数是 ．
【答案】19
【知识点】与实数运算相关的规律题
【分析】本题考查实数数字类规律，从题中实数的排列方式中找到规律是解决问题的关键．根据题中所给的实数排列方式，找到规律求解即可得到答案．
【详解】解：将实数按如图方式进行有规律排列，观察发现，具有如下规律：
①第行有个数；
②每行最后一个数字的绝对值等于行数；
③奇数行的最后一个为正；
④偶数行的最后一个为负；
∴第19行有个数，
∴根据如上规律可知，第19行的第37个数是19．
故答案为：．
【变式8-3】（23-24七年级下·山东滨州·期末）例、下面是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，应该在第 行．
【答案】45
【知识点】与算术平方根有关的规律探索题
【分析】本题主要考查数字规律的探索，涉及开平方，根据题意可知第一行最后一位为1；第二行最后一位为2；以此类推，第n行最后一位为n，结合所在范围即可求得答案．
【详解】解：根据题意可知第一行最后一位为1；第二行最后一位为2；以此类推，第n行最后一位为n，
∵，，
∴在第45行，
故答案为：45．
【变式8-4】（23-24七年级下·湖北荆州·期中）先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式．
(1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式；
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）；
(3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值．
【答案】(1)
(2)
(3)2023
【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键．
（1）根据题中所给信息可判结果；
（2）根据第一问的结果用字母代替数字即可；
（3）根据规律将原式进行正确变形求解；
【详解】（1）∵第一个等式；
第二个等式；
第三个等式；
故根据规律可猜测第五个等式为；
（2）根据（1）总结规律可得：第n个等式为；
（3）根据规律可化简
．
【变式8-5】（23-24七年级下·北京·期中）研究发现：由于，42没有大于1的平方约数，所以当a为正整数时，为有理数的条件是（其中t为正整数）．
(1)若正整数a使得，则a的值为 ；
(2)已知a、b、c是正整数，且，当时，称为“团结数组”．
①若为“团结数组”，且，则 ；
②若为“团结数组”，且，则 ， ；
③“团结数组”共有 个．
【答案】(1)168
(2)①378，②1512，168，③3
【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，理解题干所给的提示，将转化为几个分子为1的分数和为1的分数的式子求解是解题关键．
（1）根据算术平方根的定义即可求解；
（2）①由可得，即可解答；②，，（t，m为正整数，且），由已知条件可得，进行求解即可；③设，，（x，y，z为正整数而且），可得，根据分子为1的分数和为1的分数的特点进行讨论求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
故答案为：168．
（2）①∵，
∴，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
故答案为：378．
②∵
∴，
由①
∴
设，，（t，m为正整数，且）
∴，即，则，
∵，而时，，则，
∴，
∴，
故答案为：1512，168．
③设，，（x，y，z为正整数而且），
∵
∴
∴，
又∵，
∴， ，
当时，，此时，，
当时，，∴，
当时，同②，，，，
当时，，，，，
综上所述，“三元数组”共有3个．
故答案为：3．
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