资源简介

专题04二元一次方程组
（考点清单，4考点梳理+10题型解读）
清单01 二元一次方程组的概念
1、二元一次方程
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是的方程叫做二元一次方程.
注意：二元一次方程的识别方法
①“二元”，即含有两个未知数；
②“一次”，即含未知数的次数是1；
③“整式方程”，即未知数不能出现在分母中。
2、二元一次方程组
共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组．
注意：
①含有两个整式方程；
②方程中共含有两个未知数；
③含未知数的项的次数都是1．
3、二元一次方程的解
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．
注意：
①二元一次方程的每一个解都是一对数值，而不是一个数；
②一般情况下，一个二元一次方程有无穷多个解，但如果对其未知数的取值附加某些限制条件，那么也可能只有有限个特殊的解。
4、二元一次方程组的解
我们把二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
注意：
①方程组的解同时满足方程组中的每一个方程；
②由于方程组需用“｛”括起来，所以方程组的解也要用“｛”括起来．
5、二元一次方程组解的情况
（1）唯一解；（2）无数解；（3）无解．
清单02 二元一次方程组的解法
1、代入消元法
将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。
注意：
①找准消元对象。消元对象一般选取系数简单的（如系数的绝对值较小的，系数是±1的）未知数，使变性后的方程比较简单或代入后比较容易化简；
②在用代入法解二元一次方程组的一般步骤的第（2）步中，必须理解“另一个”的含义，否则，若把y=ax+b代入变形的原方程，必然得到一个恒等式；
③用代入法求出一个未知数的值后，再求另一个未知数时，一般代入变形后得到的方程比较简单．
2、 加减消元法
把方程组的两个方程（或先作适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。
注意：
①化为标准形式。用加减消元法解二元一次方程组时，一般先把方程组整理成的标准形式，再设法加减消元，这样不易出错；
②选准消元对象。当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该未知数较简单。
3.同解问题
方法技巧：理解方程组的解的实质，由方程组消去未知系数，构造只含两个未知数的二元一次方程，再根据其他条件求出两个未知数的值，最后回代求出未知数的值。
题型：
1、一个二元一次方程组和一个二元一次方程的同解，可以理解为三个方程有相同的解，可以选择其中两个构成二元一次方程组求解，再代入另一个方程求参数的值；或理解为三个方程构成一个三元一次方程组求解；
2、两个方程组有相同的解可以理解成四个方程具有相同的解，先将不含参数的方程联立成方程组，求出未知数的值，然后代入含有参数的方程即可求出参数的值。
清单03 二元一次方程组的应用
1.列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
2.设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
清单04 三元一次方程组及其解法
1、三元一次方程组的概念
1）三元一次方程组：方程中有三个未知数，且未知数的项的次数都是一的方程组。
2、解三元一次方程组的方法和步骤
1）步骤：三元一次方程二元一次方程一元一次消元
【考点题型一】二元一次方程（组）的概念（）
【例1-1】（23-24七年级下·广西桂林·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】（22-23七年级下·吉林四平·期末）下列各项中，属于二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（23-24七年级下·福建泉州·期末）若是关于的二元一次方程，则（　　）
A．1 B． C．2 D．
【变式1-2】（22-23七年级下·江苏徐州·期末）观察所给的4个方程组：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程组定义的是 （写出所有正确的序号）．
【变式1-3】（23-24七年级下·吉林长春·期末）已知关于x、y的方程是二元一次方程，求的值．
【考点题型二】二元一次方程（组）的解（）
【例2-1】（23-24七年级下·浙江宁波·期末）下列各组数是二元一次方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】（22-23七年级下·北京昌平·期末）已知方程的三个解为方程的三个解为则方程组的解为 ．
【变式2-1】（23-24七年级下·全国·期末）已知方程组的解满足x与y互为相反数，则k的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【变式2-2】（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知是二元一次方程的一个解，那么的值是（ ）
A． B．2 C． D．4
【变式2-3】（23-24七年级下·云南大理·期末）已知是二元一次方程的一组解，那么的值为 ．
【变式2-4】（23-24七年级下·山东烟台·期末）请写出一个关于，的二元一次方程，使其满足的系数是大于的整数，的系数是小于的整数，且，是这个二元一次方程的解．这个方程可以是 ．
【变式2-5】（23-24七年级下·辽宁大连·期末）我们规定，关于的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“最佳”方程．例如：方程，其中，满足，则方程是“最佳”方程，把两个“最佳”方程合在一起叫“最佳”方程组．根据上述规定，回答下列问题：
(1)判断方程______“最佳”方程（填“是”或“不是”）；
(2)若关于的二元一次方程是“最佳”方程，求的值．
(3)若是关于的“最佳”方程组的解，求的值．
【考点题型三】消元法解二元一次方程组（）
【例3-1】（23-24七年级下·西藏林芝·期末）用代入法解方程组
【例3-2】（23-24七年级下·河南南阳·期末）解方程组：
【例3-3】（23-24七年级下·全国·期末）解下列方程组：
(1)； (2)．
【变式3-1】（23-24七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知二元一次方程组，则的值为
【变式3-2】（23-24七年级下·吉林长春·期末）已知，用含的代数式表示，则 ．
【变式3-3】（23-24七年级下·四川广元·期末）解方程组： ．
【变式3-4】（24-25七年级下·全国·期末）解方程组：．
【变式3-5】（23-24七年级下·全国·期末）解方程组：
(1)； (2)．
【考点题型四】二元一次方程组的特殊解法（）
【例4】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）已知关于的二元一次方程组的解满足，试求m的值．
【变式4-1】（23-24七年级下·贵州遵义·期末）阅读与思考
【阅读理解】
我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，规定它的运算法则为．
小李同学在学习二元一次方程组的解法时，发现可以利用二阶行列式求解．例如：求二元一次方程组的解．
解：记，，
，则原方程组的解为
【类比应用】
(1)若二阶行列式，求x的值；
(2)已知方程组利用二阶行列式求得，请求，，并写出该方程组的解．
【变式4-2】（23-24七年级下·云南红河·期末）学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组．
让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法：
解：将②变形为，③
把①代入③，得，解得．
把代入①，解得．
方程组的解为．
这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组
【变式4-3】（23-24七年级下·广东肇庆·期末）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的有 ．
（1），；
（2）若，，则；
（3）若，则、有且仅有2组正整数解；
（4）若，，对任意有理数、都成立，则．
【变式4-4】（23-24七年级下·广东汕头·期末）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，爱思考的慧慧同学发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，她采用下面的解法则比较简单：
得：，即．③
得：．④
得：，代入③得．所以这个方程组的解是．
(1)请你运用慧慧的方法解方程组
(2)规律探究：猜想关于、的方程组的解是_______．
【考点题型五】二元一次方程组的错解复原问题（）
【例5】（22-23七年级下·四川南充·期末）甲、乙两人解方程组，甲正确地解得，乙因为把c看错，误认为d，解得，求、、、的值
【变式5-1】（23-24七年级下·四川巴中·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为．则的值为 ．
【变式5-2】（23-24七年级下·河南商丘·期末）甲、乙两人同解方程组 时，甲看错了方程①中的a，解得 ，乙看错②中的b，解得 ．
(1)求正确的a，b的值；
(2)求原方程组的正确解．
【变式5-3】（七年级下·吉林长春·期末）下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：
解：①×2，得……③ 第一步
②－③，得 第二步
． 第三步
将代入①，得． 第四步
所以，原方程组的解为 第五步
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法，以上求解步骤中，马小虎同学第 步开始出现错误．
(2)请写出此题正确的解答过程．
【考点题型六】构造二元一次方程组求解（）
【例6】（23-24七年级下·河北保定·期末）定义一种新运算“※”，规定，其中a，b为常数，且，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式6-1】（23-24七年级下·四川德阳·期末）若关于、的二元一次方程无论实数取何值，此二元一次方程都有一组相同的解，则这个解是 ．
【变式6-2】（23-24七年级上·安徽安庆·期末）对有理数x、y，定义新运算，其中a，b为常数，已知，．
(1)求a，b的值；
(2)如果，求y的值．
【考点题型七】已知二元一次方程组的解的情况求参数（）
【例7】（24-25七年级下·四川宜宾·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ．
【变式7-1】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（ ）
A． B．3 C．或4 D．3或15
【变式7-2】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）已知关于x，y的方程组且，则k的值为 ．
【变式7-3】（23-24七年级下·甘肃武威·期末）已知满足的方程，且，求的值．
【变式7-4】（23-24七年级下·北京顺义·期末）对于关于x，y的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“美好”方程组．
(1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）；
①；②；③；④．
(2)若关于x，y的方程组是“美好”方程组，求a的值；
(3)若对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“美好”方程组，求的值．
【考点题型八】方程组相同解问题（）
【例8】（24-25七年级下·四川宜宾·期末）如关于，的方程组和有相同的解，则的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2024
【变式8-1】（24-25七年级下·全国·期末）关于的方程组与有相同的解，则的值为（ ）
A． B．4 C． D．8
【变式8-2】（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）如果方程组与有相同的解，求a，b的值．
【变式8-3】．（23-24七年级下·江西南昌·期末）已知关于x，y的方程组和有相同的解．
(1)求出它们的相同解；
(2)求的值．
【变式8-4】（七年级下·江西赣州·期末）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：
(1)解方程组，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 　 　；
(2)如何解方程组呢，我们可以把m+5，n+3分别看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为 　 　；
由此请你解决下列问题：
(3)若关于m，n的方程组与有相同的解，求a，b的值．
【考点题型九】实际问题与二元一次方程组（）
【例9-1】（数学文化）（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）《算法统宗》是一本通俗实用的数学书，也是将数字入诗的代表作，这本书由明代程大位花了近20年完成，程大位还有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名脑厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”这首诗是说，好酒1瓶，可以醉倒3位客人；薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒，试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？设有好酒瓶，薄酒瓶，依题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【例9-2】（年龄问题）（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（ ）
A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁
【例9-3】（几何问题）（22-23七年级下·河南驻马店·期末）有四个完全相同的小长方形和两个完全相同的大长方形按如图所示的方式摆放，若小长方形的长为x，宽为y，则的值为 ．

【例9-4】（行程问题）（22-23七年级下·浙江湖州·期末）同型号的甲、乙两辆测试车加满气体燃料后均可行驶千米，即它们各自单独行驶并返回的最远距离是千米．现在它们都从地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车立即掉头返回地，乙车继续行驶，到地后立即掉头返回地．最终两车都到达地，则地最远可距离地 千米．
【例9-5】（和差倍分问题）（23-24七年级下·湖南永州·期末）5月31日至6月2日，2024年国家非遗道州龙船赛在潇水河上隆重举行．道州龙船船头造型分龙、虎、凤、麒麟四大类，按色彩又分“六龙五虎”和“金凤银麒”，代表着每个村落社区特有的宗族信仰、文化标识和审美意趣．据了解本次比赛共计条龙船参赛，创造了一项新的吉尼斯世界记录，其中“六龙五虎”龙船数量比“金凤银麟”龙船数量的倍少条，则参赛的“金凤银麒”龙船为 条．
【例9-6】（分配问题）（23-24七年级下·辽宁大连·期末）为了响应国家“脱贫致富”的号召，某煤炭销售公司租用了甲、乙两种类型的货车若干辆为贫困地区运输了880吨的煤炭，已知每辆甲类型货车运输煤炭40吨，每辆乙类型货车运输煤炭50吨，所有甲类型货车运输的煤炭比所有乙类型货车运输的煤炭多80吨，求煤炭销售公司租用甲乙两种类型货车各多少辆？
【例9-7】（工程问题）（22-23七年级下·湖北十堰·期末）穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米．
(1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？
(2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米，乙组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？
【例9-8】（数字问题）（22-23七年级下·江西南昌·期末）《最强大脑》节目中，有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等．求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字．

【例9-9】（销售、利润、方案问题）（24-25七年级上·安徽六安·期末）某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，．
购进的台数 购进所需要的费用（元）
A型 B型
第一次 10 20 3000
第二次 15 10 4500
(1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？
(2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元．
①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？
②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为740元，求有哪几种购进方案？
【变式9-1】（23-24七年级下·广东湛江·期末）用8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，则每块小长方形地砖的面积是（ ）
A．600 B．500 C．300 D．200
【变式9-2】（23-24七年级下·河北承德·期末）我国民间流传这样一道数学名题：
其大意是： 听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？ 数学原题： 只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两还缺7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（1斤等于10两）
设有x个人，共分y两银子，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】（23-24七年级下·山东泰安·期末）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问物价几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出11元，还盈余8元；每人出9元，则还差12元．设共有x人，这个物品的价格是y元，根据题意，列出的二元一次方程组是 ．
【变式9-4】（23-24七年级下·吉林四平·期末）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，某校开展了大课间活动，七年级一班拟组织学生参加跳绳活动，最初男生报名人数比女生多3人，后来又有15名女生报名参加了跳绳活动，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，求最初报名时女生与男生各有多少人？
【变式9-5】（23-24七年级下·北京石景山·期末）2024年3月14日是第五个“国际数学日”，也叫“日”．为了营造良好的数学学习氛围，弘扬数学文化，传承数学精神．某校决定购买A，B两种数学类图书共50本．若购买9本A种图书和6本B种图书共需390元；若购买5本A种图书和8本B种图书共需310元．
(1)A，B两种图书的单价分别为多少元？
(2)若学校决定购买A种图书比B种的数量至少多5本，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使花费最少？并求出最少花费．
【考点题型十】三元一次方程组及其解法（）
【例10-1】（23-24七年级下·全国·期末）已知三元一次方程组，则该方程组的解为 ．
【例10-2】（23-24七年级下·全国·期末）已知，且，求的值．
【例10-3】（23-24七年级下·浙江台州·期末）小满时节，日照增，气温升，降雨多，清热利湿很重要，中医记载：取茯苓、陈皮、白扁豆，可制成一包祛湿茶，可以宁神、健脾、化湿、开胃，某中药店购入一批茯苓、陈皮、白扁豆各若干克，按标准制成100包袪湿茶，茯苓刚好用完，剩余的白扁豆比陈皮多；
(1)购入茯苓的质量为______；这100包祛湿茶所用原料陈皮与白扁豆的质量比为_______；
(2)若第二批购入茯苓若干克、陈皮、白扁豆，和剩余原料一起按标准制成第二批祛湿茶，所有原料恰好用完，则第二批能制成祛湿茶多少包？
(3)药店将第一批制成的100包祛湿茶全部售出后，获得900元的利润（利润祛湿茶销售额所用原料的成本），若第二批购入的茯苓价格上涨，陈皮和白扁豆的价格不变，于是药店将祛湿茶单价上涨，将第二批祛湿茶也全部售出，药店两次销售共获得2410元的利润，则两次购买的陈皮和白扁豆共花费多少元？
【变式10-1】（23-24七年级下·山东威海·期末）方程组的解使代数式的值为，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【变式10-2】（23-24七年级下·福建泉州·期末）若三元一次方程，当，时，，则的值为 ．
【变式10-3】（23-24七年级下·全国·期末）某班级组织活动购买小奖品，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，则购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需 元
【变式10-4】（23-24七年级下·全国·期末）对于，，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算已知，，则的值为 ．
【变式10-5】（23-24七年级下·重庆黔江·期末）数学活动：探究不定方程
小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出、、的具体数值，但可以解出的值．
(1)小川的方法：，整理可得： ；
，整理可得： ；．
小渝的方法：： ；．
(2)已知，试求解的值．
(3)学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元；采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元，那么采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要多少钱？
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题04二元一次方程组
（考点清单，4考点梳理+10题型解读）
清单01 二元一次方程组的概念
1、二元一次方程
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是的方程叫做二元一次方程.
注意：二元一次方程的识别方法
①“二元”，即含有两个未知数；
②“一次”，即含未知数的次数是1；
③“整式方程”，即未知数不能出现在分母中。
2、二元一次方程组
共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组．
注意：
①含有两个整式方程；
②方程中共含有两个未知数；
③含未知数的项的次数都是1．
3、二元一次方程的解
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．
注意：
①二元一次方程的每一个解都是一对数值，而不是一个数；
②一般情况下，一个二元一次方程有无穷多个解，但如果对其未知数的取值附加某些限制条件，那么也可能只有有限个特殊的解。
4、二元一次方程组的解
我们把二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
注意：
①方程组的解同时满足方程组中的每一个方程；
②由于方程组需用“｛”括起来，所以方程组的解也要用“｛”括起来．
5、二元一次方程组解的情况
（1）唯一解；（2）无数解；（3）无解．
清单02 二元一次方程组的解法
1、代入消元法
将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。
注意：
①找准消元对象。消元对象一般选取系数简单的（如系数的绝对值较小的，系数是±1的）未知数，使变性后的方程比较简单或代入后比较容易化简；
②在用代入法解二元一次方程组的一般步骤的第（2）步中，必须理解“另一个”的含义，否则，若把y=ax+b代入变形的原方程，必然得到一个恒等式；
③用代入法求出一个未知数的值后，再求另一个未知数时，一般代入变形后得到的方程比较简单．
2、 加减消元法
把方程组的两个方程（或先作适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。
注意：
①化为标准形式。用加减消元法解二元一次方程组时，一般先把方程组整理成的标准形式，再设法加减消元，这样不易出错；
②选准消元对象。当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该未知数较简单。
3.同解问题
方法技巧：理解方程组的解的实质，由方程组消去未知系数，构造只含两个未知数的二元一次方程，再根据其他条件求出两个未知数的值，最后回代求出未知数的值。
题型：
1、一个二元一次方程组和一个二元一次方程的同解，可以理解为三个方程有相同的解，可以选择其中两个构成二元一次方程组求解，再代入另一个方程求参数的值；或理解为三个方程构成一个三元一次方程组求解；
2、两个方程组有相同的解可以理解成四个方程具有相同的解，先将不含参数的方程联立成方程组，求出未知数的值，然后代入含有参数的方程即可求出参数的值。
清单03 二元一次方程组的应用
1.列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
2.设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
清单04 三元一次方程组及其解法
1、三元一次方程组的概念
1）三元一次方程组：方程中有三个未知数，且未知数的项的次数都是一的方程组。
2、解三元一次方程组的方法和步骤
1）步骤：三元一次方程二元一次方程一元一次消元
【考点题型一】二元一次方程（组）的概念（）
【例1-1】（23-24七年级下·广西桂林·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
【详解】解：A、是二元二次方程，不是二元一次方程，故A不符合题意；
B、是二元一次方程，故B符合题意；
C、是一元一次方程，不是二元一次方程，故C不符合题意；
D、是二元二次方程，不是二元一次方程，故D不符合题意；
故选：B．
【例1-2】（22-23七年级下·吉林四平·期末）下列各项中，属于二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义求解即可．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
【详解】解：A．不是一次方程，故不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；
B．该方程组是二元一次方程组，故此选项符合题意；
C．不是一次方程，故不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；
D．该方程组含有三个未知数，故不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；
故选：B．
【变式1-1】（23-24七年级下·福建泉州·期末）若是关于的二元一次方程，则（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】本题考查二元一次方程，根据二元一次方程的定义，得到且，进行求解即可．
【详解】解：由题意得：且，
解得．
故选C．
【变式1-2】（22-23七年级下·江苏徐州·期末）观察所给的4个方程组：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程组定义的是 （写出所有正确的序号）．
【答案】①②④
【分析】含有两个未知数，且未知数的最高次数是1，这样的整式方程组是二元一次方程组，根据定义逐一判断即可．
【详解】解：① ，符合二元一次方程组定义；
② ，符合二元一次方程组定义；
③ ，未知数x的最高次数是2，不符合二元一次方程组定义；
④ ，符合二元一次方程组定义；
所以符合二元一次方程组定义的是①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义，熟记定义是解本题的关键．
【变式1-3】（23-24七年级下·吉林长春·期末）已知关于x、y的方程是二元一次方程，求的值．
【答案】
【分析】此题考查了二元一次方程定义，解二元一次方程组，只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，根据二元一次方程的定义，可列方程组求解，再代入代数式求值．
【详解】解：∵关于x、y的方程是二元一次方程，
∴，
解得，
∴．
【考点题型二】二元一次方程（组）的解（）
【例2-1】（23-24七年级下·浙江宁波·期末）下列各组数是二元一次方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义．要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解是本题的关键．二元一次方程的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解．
【详解】解：A．将代入方程，左边右边，所以不是方程的解，故A不符合题意；
B．将代入方程，左边右边，所以是方程的解，故B符合题意；
C．将代入方程，左边右边，所以不是方程的解，故C不符合题意；
D．将代入方程，左边右边，所以不是方程的解，故D不符合题意．
故选：B．
【例2-2】（22-23七年级下·北京昌平·期末）已知方程的三个解为方程的三个解为则方程组的解为 ．
【答案】
【分析】根据方程组的解的定义，能够同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解观察得出两个方程的解中相同的解为方程组的解．
【详解】解：根据方程组的解的定义，能够同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解，
可知是这两个方程中所有的解中能同时满足两个方程的解，
∴方程组的解为，
故答案为：．
【点睛】此题主要是考查了方程组的解的定义，能够熟练掌握同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解是解答此题的关键．
【变式2-1】（23-24七年级下·全国·期末）已知方程组的解满足x与y互为相反数，则k的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】本题考查了相反数性质，即互为相反数的两个数相加等于0；二元一次方程组的解，方程组的解即能使方程组中两方程成立的未知数的值．将k看作已知数，表示出，利用列出方程，即可求出k的值．
【详解】解：∵
∴得：，即，
∵x，y互为相反数，
∴，
∴，
解得：．
故选：D．
【变式2-2】（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知是二元一次方程的一个解，那么的值是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解是解题的关键．
根据方程的解的定义把代入二元一次方程中，再解关于a的方程，即可求出a的值．
【详解】解：代入二元一次方程，得
，
解得：，
故选：C．
【变式2-3】（23-24七年级下·云南大理·期末）已知是二元一次方程的一组解，那么的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，能得出关于的方程是解此题的关键．把代入方程得出，再求出方程的解即可．
【详解】解：把代入方程得，
解得：，
故答案为：．
【变式2-4】（23-24七年级下·山东烟台·期末）请写出一个关于，的二元一次方程，使其满足的系数是大于的整数，的系数是小于的整数，且，是这个二元一次方程的解．这个方程可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握二元一次方程的解，根据题意，写出满足题意的，的系数，再把代入，验证的值，即可．
【详解】解：由题意得，的系数是大于的整数，的系数是小于的整数，
∴满足题意，
∵，是这个二元一次方程的解，
∴当时，，
解得：，
∴符合题意．
故答案为：（答案不唯一）．
【变式2-5】（23-24七年级下·辽宁大连·期末）我们规定，关于的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“最佳”方程．例如：方程，其中，满足，则方程是“最佳”方程，把两个“最佳”方程合在一起叫“最佳”方程组．根据上述规定，回答下列问题：
(1)判断方程______“最佳”方程（填“是”或“不是”）；
(2)若关于的二元一次方程是“最佳”方程，求的值．
(3)若是关于的“最佳”方程组的解，求的值．
【答案】(1)是
(2)3
(3)3
【分析】本题考查二元一次方程的解，解二元一次方程组，掌握“最佳”方程的定义是解题的关键．
（1）根据“最佳”方程的定义进行判断即可；
（2）根据“最佳”方程的定义，进行求解即可；
（3）先根据“最佳”方程组的定义求出m，n的值，再根据方程组的解的定义，得到关于p，q的方程组，进行求解即可．
【详解】（1）中，
∴方程是最佳方程；
（2）关于的二元一次方程是“最佳”方程，
，
解得；
（3）∵方程组是“最佳”方程组，
∴，
∴，
∴原方程组为，
∵是方程组的解，
∴，
解得，
．
【考点题型三】消元法解二元一次方程组（）
【例3-1】（23-24七年级下·西藏林芝·期末）用代入法解方程组
【答案】
【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．应用代入消元法，求出方程组的解即可．
【详解】解：，
将①代入②，可得：，
解得，
把代入①，可得，
解得，
原方程组的解是．
【例3-2】（23-24七年级下·河南南阳·期末）解方程组：
【答案】
【分析】本题考查了利用加减消元法解二元一次方程组，直接利用加减消元法解二元一次方程组即可得．
【详解】解：
，得，即，
把代入①，得，
解得，
∴
【例3-3】（23-24七年级下·全国·期末）解下列方程组：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解题关键．
（1）利用代入消元法直接求解即可；
（2）利用加减消元法直接求解即可．
【详解】（1）解：，
把②代入①，得：，
解得：，
把代入②，得，
∴方程组的解为；
（2）解：，
由，得：，
由，得：，
解得：，
把代入②，得，
解得：，
∴方程组的解为．
【变式3-1】（23-24七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知二元一次方程组，则的值为
【答案】
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解，根据题干分别解出的值，即可得出答案．
【详解】解：由题干：，
解得：，
∴，
故答案为：．
【变式3-2】（23-24七年级下·吉林长春·期末）已知，用含的代数式表示，则 ．
【答案】
【分析】将看作已知数求出即可，
此题考查了，代入法解二元一次方程，解题的关键是将看作已知数求出．
【详解】解：
故答案为：．
【变式3-3】（23-24七年级下·四川广元·期末）解方程组： ．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键．利用代入消元法求解即可．
【详解】解：
原方程组可化为：
由②得：
把代入①得，
解得：．
将代入中，得：，
即方程组的解为：．
【变式3-4】（24-25七年级下·全国·期末）解方程组：．
【答案】
【分析】本题主要考查利用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握求解方法是解题关键．利用加减消元法求解即可．
【详解】解：
，得，
解得，
将代入②得，
解得，
∴方程组的解为．
【变式3-5】（23-24七年级下·全国·期末）解方程组：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组，正确计算是解题的关键：
（1）利用加减消元法求解即可；
（2）利用加减代入消元法求解即可．
【详解】（1）解：
，得，解得
将代入，得，解得
故原方程组的解为
（2）解：
可得，
将整体代入，
可得，
解得，
将代入可得，
解得，
所以原方程组的解为
【考点题型四】二元一次方程组的特殊解法（）
【例4】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）已知关于的二元一次方程组的解满足，试求m的值．
【答案】2021
【知识点】二元一次方程组的特殊解法、加减消元法
【分析】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键．将方程组的两个方程相减，可得到，代入，即可解答．
【详解】解：，
得，
，
代入，可得，
解得：，
故答案为：2021．
【变式4-1】（23-24七年级下·贵州遵义·期末）阅读与思考
【阅读理解】
我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，规定它的运算法则为．
小李同学在学习二元一次方程组的解法时，发现可以利用二阶行列式求解．例如：求二元一次方程组的解．
解：记，，
，则原方程组的解为
【类比应用】
(1)若二阶行列式，求x的值；
(2)已知方程组利用二阶行列式求得，请求，，并写出该方程组的解．
【答案】(1)
(2)，，
【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、二元一次方程组的特殊解法
【分析】本题考查了新定义题型，涉及了一元一次方程、二元一次方程组的求解，注意正确理解题意即可．
（1）由题意得：,即可求解；
（2）根据定义即可求解；
【详解】（1）解：由题意得：,
解得：
（2）解：，
，
则原方程组的解为
【变式4-2】（23-24七年级下·云南红河·期末）学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组．
让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法：
解：将②变形为，③
把①代入③，得，解得．
把代入①，解得．
方程组的解为．
这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组
【答案】
【知识点】二元一次方程组的特殊解法
【分析】本题考查的是代入法解方程组，先把方程②化为，再利用代入法解方程组即可．
【详解】解：，
由②得：③，
把①代入③得：，
解得：，
把代入①得：，
∴方程组的解为；
【变式4-3】（23-24七年级下·广东肇庆·期末）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的有 ．
（1），；
（2）若，，则；
（3）若，则、有且仅有2组正整数解；
（4）若，，对任意有理数、都成立，则．
【答案】（1）（2）/（2）（1）
【知识点】加减消元法、二元一次方程组的特殊解法、二元一次方程的解
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，由题意联立方程组，求出、的值，即可确定（1）正确；由已知，得到，求出即可确定（2）正确；根据，，，可求、的值，从而确定（3）不正确；由题意列出方程，得到，由对任意有理数、都成立，则，即可 确定（4）不正确．
【详解】解：∵，，
∴，
解得，故（1）正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故（2）正确；
∵，
∴，
当时，则不成立，
∴，
∴，
∵m、n都是整数，
∴或或，
∴或或0或或或，
∴满足题意的m、n的值可以为，，，，，，故（3）错误；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵对任意有理数、都成立，
∴，故（4）错误；
故答案为：（1）（2）．
【变式4-4】（23-24七年级下·广东汕头·期末）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组时，爱思考的慧慧同学发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，她采用下面的解法则比较简单：
得：，即．③
得：．④
得：，代入③得．所以这个方程组的解是．
(1)请你运用慧慧的方法解方程组
(2)规律探究：猜想关于、的方程组的解是_______．
【答案】(1)
(2)
【知识点】二元一次方程组的特殊解法
【分析】本题主要考查二元一次方程组的求法，理解题意，熟练掌握运用二元一次方程组的解法是解题关键．
（）根据题意，利用例题方法求解即可；
（）根据题意，利用例题方法求解即可得．
【详解】（1）解：，
得：，即，③
得：，④
得：，即，
把代入③得，
所以这个方程组的解是．
（2）解：，
得：，即，③
得：，④
得：，即，
把代入③得，
所以这个方程组的解是．
故答案为：．
【考点题型五】二元一次方程组的错解复原问题（）
【例5】（22-23七年级下·四川南充·期末）甲、乙两人解方程组，甲正确地解得，乙因为把c看错，误认为d，解得，求、、、的值
【答案】、、、的值是：4，5，，．
【知识点】二元一次方程组的错解复原问题
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解．本题需先根据二元一次方程组的解得方法和已知条件分别把与的值代入原方程组，即可求出、、、的值．
【详解】解：把代入得：
，
，
再根据乙把看错，误认为，解得代入得：
，
，
，
、、、的值是：4，5，，．
【变式5-1】（23-24七年级下·四川巴中·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为．则的值为 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的错解复原问题
【分析】本题考查了二元一次方程组的解．把代入②得出，求出，把代入①得出，求出即可．
【详解】解：，
把代入②，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
所以．
故答案为：．
【变式5-2】（23-24七年级下·河南商丘·期末）甲、乙两人同解方程组 时，甲看错了方程①中的a，解得 ，乙看错②中的b，解得 ．
(1)求正确的a，b的值；
(2)求原方程组的正确解．
【答案】(1)，
(2)
【知识点】二元一次方程组的错解复原问题
【分析】本题考查二元一次方程组的错解复原问题：
（1）把代入②，把代入①，可求出a和b的值；
（2）把a和b的值代入原方程组，利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：把代入②，得，
解得，
把代入①，得，
解得；
（2）解：将，代入原方程组，得，
整理得，
得：，
解得：，
将代入，得：，
解得：，
因此原方程组的正确解为．
【变式5-3】（七年级下·吉林长春·期末）下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：
解：①×2，得……③ 第一步
②－③，得 第二步
． 第三步
将代入①，得． 第四步
所以，原方程组的解为 第五步
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法，以上求解步骤中，马小虎同学第 步开始出现错误．
(2)请写出此题正确的解答过程．
【答案】(1)加减消元法，第四步
(2)见解析
【知识点】加减消元法、二元一次方程组的错解复原问题
【分析】（1）根据解方程组的特点判断，注意系数化为1时的计算．
（2）按照解方程组的步骤求解即可
【详解】（1）根据解题步骤分析，这种求解方程组的方法是加减消元法，在第四步系数化为1时，出错，
故答案为：加减消元法，第四步．
（2）方程组：
解：①×2，得……③ ，
②－③，得 ，
解得．
将代入①，得3．
解得x=．
所以，原方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法是解题的关键．
【考点题型六】构造二元一次方程组求解（）
【例6】（23-24七年级下·河北保定·期末）定义一种新运算“※”，规定，其中a，b为常数，且，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】构造二元一次方程组求解
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解新运算法则是解题关键．根据已知等式列方程组，求出、的值，再计算求值即可．
【详解】解：，且，
，解得：，
，
，
故选：B
【变式6-1】（23-24七年级下·四川德阳·期末）若关于、的二元一次方程无论实数取何值，此二元一次方程都有一组相同的解，则这个解是 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程的解、构造二元一次方程组求解、加减消元法
【分析】本题考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，根据题意得出关于x，y的二元一次方程组是解题的关键．
把方程整理成关于m的方程，根据无论m取何值时，此二元一次方程都有一个相同的解令m的系数为0，然后得出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵无论取何值时，此二元一次方程都有一个相同的解，
∴，
解得：，
∴这个相同的解是，
故答案为：．
【变式6-2】（23-24七年级上·安徽安庆·期末）对有理数x、y，定义新运算，其中a，b为常数，已知，．
(1)求a，b的值；
(2)如果，求y的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】构造二元一次方程组求解
【分析】此题考查了解列、解二元一次方程组，弄清题中的新定义运算规则列出方程组是解本题的关键，
（1）根据题意得出关于a、b的方程组，求出的值即可；
（2）根据得出关于y的方程，求出y的值即可．
【详解】（1）解：由题意得，
解得；
（2）由（1）知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得．
【考点题型七】已知二元一次方程组的解的情况求参数（）
【例7】（24-25七年级下·四川宜宾·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ．
【答案】
【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．将方程组两个方程相加得到，整理得到，结合方程组的解满足，得到关于的方程，解出的值即可．
【详解】解：，
得，，
整理得，，
方程组的解满足，
，
解得：．
故答案为：．
【变式7-1】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（ ）
A． B．3 C．或4 D．3或15
【答案】D
【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用二元一次方程组有正整数解求参数的值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用加减消元法解方程组求得，，再根据方程组有正整数解，其中为整数，求得值，再代入进行计算即可．
【详解】解：，
得：，
把代入②得：，
关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，
既能被7整除也能被21整除，即的值可以为1或者7，
或4，
当时，；
当时，，
的值为3或15．
故选：D．
【变式7-2】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）已知关于x，y的方程组且，则k的值为 ．
【答案】
【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，解一元一次方程，熟练掌握方程组的解法是解题关键．先利用方程组中的第二个方程减去第一个方程得，再根据得到的一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：
由得，，即
解得：
故答案为：．
【变式7-3】（23-24七年级下·甘肃武威·期末）已知满足的方程，且，求的值．
【答案】
【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】根据加减消元法可得，再根据已知条件可得即可．本题考查了二元一次方程的解法，熟练运用二元一次方程的解法是解题的关键．
【详解】解：，
得：，
∵，
∴，
∴，
解得：．
【变式7-4】（23-24七年级下·北京顺义·期末）对于关于x，y的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“美好”方程组．
(1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）；
①；②；③；④．
(2)若关于x，y的方程组是“美好”方程组，求a的值；
(3)若对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“美好”方程组，求的值．
【答案】(1)②③
(2)
(3)或
【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组：
（1）根据“美好”方程组的定义，逐项判断即可求解；
（2）先求出原方程组的解，再代入，即可求解；
（3）先联立得：，可得或，再代入，可求出a，b的值，即可求解．
【详解】（1）解：①，解得：，此时；
②，解得：，此时；
③，解得：，此时；
④，解得：，此时；
故答案为：②③；
（2）解：，
由得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∵关于x，y的方程组是“美好”方程组，
∴，
∴，
解得：；
（3）解：∵关于x，y的方程组都是“美好”方程组，
∴，
联立得：，
解得：或，
把代入得：
，
∴，
∵m为任意有理数，
∴，解得：，
∴；
把代入得：
，
∴，
∵m为任意有理数，
∴，解得：，
∴；
综上所述，得值为或．
【考点题型八】方程组相同解问题（）
【例8】（24-25七年级下·四川宜宾·期末）如关于，的方程组和有相同的解，则的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2024
【答案】B
【知识点】方程组相同解问题
【分析】本题考查了方程组相同解问题，理解方程组有相同解的意义并熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．将方程组中不含、的两个方程联立，求得、的值，联立含有、的两个方程，把、的值代入，求得、的值，即可求得答案．
【详解】解：方程组和有相同的解，
则有，
，得，
解得，
把代入①，解得，
把，，代入，
得，
，得，
解得，
把代入④，解得，
当，时，．
故选：B．
【变式8-1】（24-25七年级下·全国·期末）关于的方程组与有相同的解，则的值为（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】C
【知识点】加减消元法、方程组相同解问题、已知二元一次方程组的解求参数
【分析】这道题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组解的概念，解题的关键是通过重新联立方程组求出两个方程组的公共解．将两个方程组中的方程与重新联立方程组成方程组，求出相同解，然后将这个解代入到方程和方程中，得到关于和的方程组，最后解这个方程组，得到和的值，然后计算即可．
【详解】解：解方程组，解得，
将代入方程组，得，
解这个方程组得，，
，
故选：C．
【变式8-2】（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）如果方程组与有相同的解，求a，b的值．
【答案】
【知识点】方程组相同解问题
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组同解联立新的二元一次方程组是解题的关键．利用二元一次方程组同解可得，解得，再将代入原两个方程组即可求解．
【详解】解：∵方程组与有相同的解，
∴x，y满足，
由①得③，
将③代入②得，
∴，
将代入方程组与可得到，
由得，
∴，
∴．
【变式8-3】．（23-24七年级下·江西南昌·期末）已知关于x，y的方程组和有相同的解．
(1)求出它们的相同解；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)1
【知识点】方程组相同解问题、已知字母的值 ，求代数式的值、加减消元法
【分析】本题考查解二元一次方程组，代数式求值．
（1）将和联立方程组求得的值即可；
（2）将（1）中求得的值代入和中计算出的值，代入中即可．
【详解】（1）解：∵关于x，y的方程组和有相同的解，
∴，
得：，解得：，
将代入中得：，
∴该方程组的解为，
∴相同解为；
（2）解：由（1）得：，
∴将代入和中得：
，
得：，即：，
将代入①中得：，即：，
∴．
【变式8-4】（七年级下·江西赣州·期末）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：
(1)解方程组，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 　 　；
(2)如何解方程组呢，我们可以把m+5，n+3分别看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为 　 　；
由此请你解决下列问题：
(3)若关于m，n的方程组与有相同的解，求a，b的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】加减消元法、方程组相同解问题、二元一次方程组的特殊解法
【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可得；
（2）直接根据（1）的结论可得，由此即可得；
（3）根据两个方程组有相同的解求出的值，继而求出的值即可得．
【详解】（1）解：，
由①②得：，
解得，
由②①得：，
解得，
则方程组的解为，
故答案为：．
（2）解：由（1）得：，
解得，
即原方程组的解为，
故答案为：．
（3）解：关于的方程组与有相同的解，
，
解得，
将代入方程得：，解得，
将代入方程得：，解得，
则，
解得．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法，理解同解方程组的意义，并利用整体思想解题是关键．
【考点题型九】实际问题与二元一次方程组（）
【例9-1】（数学文化）（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）《算法统宗》是一本通俗实用的数学书，也是将数字入诗的代表作，这本书由明代程大位花了近20年完成，程大位还有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名脑厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”这首诗是说，好酒1瓶，可以醉倒3位客人；薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒，试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？设有好酒瓶，薄酒瓶，依题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．
直接利用“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒一位客人，33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒”，列出二元一次方程组即可．
【详解】解：根据题意，可列方程组为：
，
故选：D．
【例9-2】（年龄问题）（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（ ）
A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁
【答案】C
【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用)
【分析】由题意得：妹妹今年的年龄为8岁，我今年的年龄为14岁，设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是101岁，爸爸比妈妈大1岁，列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁，
但实际上（岁），说明十年前妹妹没出生，
则妹妹今年的年龄为（岁），我的年龄为（岁），
设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，
由题意得：，
解得：，
即爸爸今年的年龄为40岁，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【例9-3】（几何问题）（22-23七年级下·河南驻马店·期末）有四个完全相同的小长方形和两个完全相同的大长方形按如图所示的方式摆放，若小长方形的长为x，宽为y，则的值为 ．

【答案】5
【知识点】根据几何图形列二元一次方程组
【分析】根据图中的数据列得，整理即可．
【详解】由题意得：，
整理得： ，
故答案为：5．
【点睛】此题考查了二元一次方程的应用，正确理解图中边长之间的关系是解题的关键．
【例9-4】（行程问题）（22-23七年级下·浙江湖州·期末）同型号的甲、乙两辆测试车加满气体燃料后均可行驶千米，即它们各自单独行驶并返回的最远距离是千米．现在它们都从地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车立即掉头返回地，乙车继续行驶，到地后立即掉头返回地．最终两车都到达地，则地最远可距离地 千米．
【答案】
【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，设甲行驶到地时返回，到达地燃料用完，乙行驶到地再返回地时燃料用完，根据题意得到关于和的二元一次方程组，解方程组即可求解，理清题中的数量关系，正确列出方程组是解题的关键.
【详解】解：设甲行驶到地时返回，到达地燃料用完，乙行驶到地再返回地时燃料用完，
如图，设，，
根据题意得，，
解得，
∴最远为千米，
故答案为：．
【例9-5】（和差倍分问题）（23-24七年级下·湖南永州·期末）5月31日至6月2日，2024年国家非遗道州龙船赛在潇水河上隆重举行．道州龙船船头造型分龙、虎、凤、麒麟四大类，按色彩又分“六龙五虎”和“金凤银麒”，代表着每个村落社区特有的宗族信仰、文化标识和审美意趣．据了解本次比赛共计条龙船参赛，创造了一项新的吉尼斯世界记录，其中“六龙五虎”龙船数量比“金凤银麟”龙船数量的倍少条，则参赛的“金凤银麒”龙船为 条．
【答案】
【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设参赛的“六龙五虎”龙船为条，参赛的“金凤银麒”龙船为条，根据：本次比赛共计条龙船参赛，其中“六龙五虎”龙船数量比“金凤银麟”龙船数量的倍少条，可列出方程组，求解即可．正确理解题意，找出等量关系是解题的关键．
【详解】解：设参赛的“六龙五虎”龙船为条，参赛的“金凤银麒”龙船为条，
依题意，得：，
解得：，
∴参赛的“金凤银麒”龙船为条．
故答案为：．
【例9-6】（分配问题）（23-24七年级下·辽宁大连·期末）为了响应国家“脱贫致富”的号召，某煤炭销售公司租用了甲、乙两种类型的货车若干辆为贫困地区运输了880吨的煤炭，已知每辆甲类型货车运输煤炭40吨，每辆乙类型货车运输煤炭50吨，所有甲类型货车运输的煤炭比所有乙类型货车运输的煤炭多80吨，求煤炭销售公司租用甲乙两种类型货车各多少辆？
【答案】租用甲种类型货车12辆，乙种类型货车8辆
【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设租用甲种类型货车辆，设租用乙种类型货车辆，利用每辆甲类型货车运输煤炭40吨，每辆乙类型货车运输煤炭50吨，所有甲类型货车运输的煤炭比所有乙类型货车运输的煤炭多80吨，再建立方程求解即可；
【详解】解：设租用甲种类型货车辆，设租用乙种类型货车辆，
则：
解得：，
答：租用甲种类型货车12辆，乙种类型货车8辆.
【例9-7】（工程问题）（22-23七年级下·湖北十堰·期末）穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米．
(1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？
(2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米，乙组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？
【答案】(1)甲乙两个班组平均每天分别掘进5米、4.5米；
(2)两组还需要190天才能完成任务
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、工程问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用—工程问题，本题关键在于设出两个未知数，找出等量关系列方程组．
（1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，根据题意列方程组，解方程组即可；
（2）用剩余的隧道工程长度除以两组每天共掘进的长度数，即可求得结果．
【详解】（1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，
由题意得，
解得
答：甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、米；
（2）按此施工进度，还需要：（天），
答：按此施工进度，两组还需要190天完成任务．
【例9-8】（数字问题）（22-23七年级下·江西南昌·期末）《最强大脑》节目中，有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等．求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字．

【答案】外圆和内圆空白处数字依次为2和9
【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用)
【分析】设图中两空白圆圈内左边的数为x，右边的数为y，由题意：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：设外圆空白处的数字为x，内圆空白处的数字为y，
则，整理得：
解得
答：外圆和内圆空白处数字依次为2和9．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
【例9-9】（销售、利润、方案问题）（24-25七年级上·安徽六安·期末）某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，．
购进的台数 购进所需要的费用（元）
A型 B型
第一次 10 20 3000
第二次 15 10 4500
(1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？
(2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元．
①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？
②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为740元，求有哪几种购进方案？
【答案】(1)第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元
(2)①A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；②有3种购进方案：购进A型台灯1台，B型台灯11台；购进A型台灯4台，B型台灯7台；购进A型台灯7台，B型台灯3台
【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系式，正确列出方程（组）是解题的关键．
（1）根据等量关系式：第一次购买台A型台灯的费用第一次购买台B型台灯的费用元，第二次购买台A型台灯的费用第二次购买台B型台灯的费用元，列出方程组，接可求解；
（2）①根据等量关系式：第一次的台A型台灯的利润第一次的台B型台灯的利润元，第二次的台A型台灯的利润第二次购买台B型台灯的利润元，列出方程组，接可求解；
②设再购进A型台灯a台，B型台灯台，由按第二次购买的价格购买，a台A型台灯售出获得利润台B型台灯售出获得利润元，列方程即可求解．
【详解】（1）解：设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元．
（2）解：①设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元，
由题意得：，
解得，，
答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；
②第二次购进的A型台灯的价格为：（元），B型台灯的价格为：（元），
设购进A型台灯a台，B型台灯台，
由题意得：，
整理得：，
∴
a、b为自然数，
或或，
有3种购进方案：
购进A型台灯1台，B型台灯11台；购进A型台灯4台，B型台灯7台；购进A型台灯7台，B型台灯3台；
【变式9-1】（23-24七年级下·广东湛江·期末）用8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，则每块小长方形地砖的面积是（ ）
A．600 B．500 C．300 D．200
【答案】C
【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查二元一次方程组在几何问题中的应用，结合图形找到两组等量关系是关键．
假设小长方形的长、宽分别为a，b，通过图形中大长方形的边长关系，可列出二元一次方程组，求得a、b的值，进而求得面积．
【详解】设小长方形的长、宽分别为a，b．
由题意可列方程组：，
解得：，
∴每块小长方形地砖的面积为．
故选：C．
【变式9-2】（23-24七年级下·河北承德·期末）我国民间流传这样一道数学名题：
其大意是： 听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？ 数学原题： 只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两还缺7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（1斤等于10两）
设有x个人，共分y两银子，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】根据实际问题列二元一次方程组
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“每人7两还缺7两，每人半斤多半斤”，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：每人7两还缺7两，
；
每人半斤则多半斤，
，
根据题意可列出方程组．
故选：A.
【变式9-3】（23-24七年级下·山东泰安·期末）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问物价几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出11元，还盈余8元；每人出9元，则还差12元．设共有x人，这个物品的价格是y元，根据题意，列出的二元一次方程组是 ．
【答案】
【知识点】根据实际问题列二元一次方程组
【分析】本题主要考查了二元一次方程租的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据每人出11元，还盈余8元；每人出9元，则还差12元，列出二元一次方程组，即可解题．
【详解】解：根据题意得，
故答案为：．
【变式9-4】（23-24七年级下·吉林四平·期末）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，某校开展了大课间活动，七年级一班拟组织学生参加跳绳活动，最初男生报名人数比女生多3人，后来又有15名女生报名参加了跳绳活动，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，求最初报名时女生与男生各有多少人？
【答案】最初报名时男生有12人，女生有9人．
【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设最初报名时女生有x人，男生有y人，由题意：男生报名人数比女生多3人，后来又报了15名女生，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，列出方程组，解之即可．
【详解】解：设最初报名时女生有x人，男生有y人，
依题意，得：，
解得：，
答：最初报名时男生有12人，女生有9人．
【变式9-5】（23-24七年级下·北京石景山·期末）2024年3月14日是第五个“国际数学日”，也叫“日”．为了营造良好的数学学习氛围，弘扬数学文化，传承数学精神．某校决定购买A，B两种数学类图书共50本．若购买9本A种图书和6本B种图书共需390元；若购买5本A种图书和8本B种图书共需310元．
(1)A，B两种图书的单价分别为多少元？
(2)若学校决定购买A种图书比B种的数量至少多5本，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使花费最少？并求出最少花费．
【答案】(1)A种图书每本30元，B种图书每本20元
(2)购买A种图书28本，购买B种图书22本时，总花费最小，为1280元
【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用
【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用：
（1）设A种图书每本x元，B种图书每本y元，根据购买9本A种图书和6本B种图书共需390元；购买5本A种图书和8本B种图书共需310元，列出方程组进行求解即可；
（2）设该校购买A种图书m本，根据购买A种图书比B种的数量至少多5本，又不超过B种的2倍，列出不等式组，进行求解即可．
【详解】（1）解：设A种图书每本x元，B种图书每本y元．
根据题意，得
解得
答：A种图书每本30元，B种图书每本20元．
（2）设该校购买A种图书m本，则购买B种图书本．
根据题意，得，
解得，且m为正整数．
A种图书单价高，
购买A种图书越少越省钱．
m取最小值28时，总费用最少，
最少费用为元．
答：购买A种图书28本，购买B种图书22本时，总花费最小，为1280元．
【考点题型十】三元一次方程组及其解法（）
【例10-1】（23-24七年级下·全国·期末）已知三元一次方程组，则该方程组的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三元一次方程组的求解，解题的过程中利用消元的思想把三元一次方程组转化为二元一次方程组，再利用消元的思想把二元一次方程组转化为一元一次方程再求解是解题关键．利用和得到二元一次方程组，求出的值，再求出的值，最后求出的值即可．
【详解】解：，
由得：，
由得：，
由得：，
将代入得：，
解得：，
将和代入得：，
解得：，
不等式组的解为，
故答案为：．
【例10-2】（23-24七年级下·全国·期末）已知，且，求的值．
【答案】
【分析】本题考查分式的值，解方程组等知识，把看成已知数，求出、，然后代入化简即可，解题的关键是把看成已知数解方程组，属于中考常考题型．
【详解】解：把z看作常数，解关于x、y的方程组
，得
所以原式
．
【例10-3】（23-24七年级下·浙江台州·期末）小满时节，日照增，气温升，降雨多，清热利湿很重要，中医记载：取茯苓、陈皮、白扁豆，可制成一包祛湿茶，可以宁神、健脾、化湿、开胃，某中药店购入一批茯苓、陈皮、白扁豆各若干克，按标准制成100包袪湿茶，茯苓刚好用完，剩余的白扁豆比陈皮多；
(1)购入茯苓的质量为______；这100包祛湿茶所用原料陈皮与白扁豆的质量比为_______；
(2)若第二批购入茯苓若干克、陈皮、白扁豆，和剩余原料一起按标准制成第二批祛湿茶，所有原料恰好用完，则第二批能制成祛湿茶多少包？
(3)药店将第一批制成的100包祛湿茶全部售出后，获得900元的利润（利润祛湿茶销售额所用原料的成本），若第二批购入的茯苓价格上涨，陈皮和白扁豆的价格不变，于是药店将祛湿茶单价上涨，将第二批祛湿茶也全部售出，药店两次销售共获得2410元的利润，则两次购买的陈皮和白扁豆共花费多少元？
【答案】(1)1500；
(2)第二批能制成祛湿茶151包
(3)两次购买的陈皮和白扁豆共花费251元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，三元一次方程组的实际应用：
（1）根据每包祛湿茶需要茯苓进行求解即可；再根据每包祛湿茶需要陈皮、白扁豆求出一共需要陈皮、白扁豆的重量，进而求出对应的比值即可；
（2）设第一批剩下的陈皮有，白扁豆克，根据剩余的白扁豆比陈皮多且所用原料陈皮与白扁豆的质量比为列出方程组求解即可；
（3）设第一次祛湿茶定价为x元每包，第一次购入的茯苓价格为y元每克，第一次购入的陈皮和白扁豆共花费z元，根据两次的利润列出方程组求解即可．
【详解】（1）解：，
∴购入茯苓的质量为；
，
∴这100包祛湿茶所用原料陈皮与白扁豆的质量比为；
（2）解：设第一批剩下的陈皮有，白扁豆克，
由题意得，，
解得，
∴，
答：第二批能制成祛湿茶151包；
（3）解：设第一次祛湿茶定价为x元每包，第一次购入的茯苓价格为y元每克，第一次购入的陈皮和白扁豆共花费z元，
由题意得，
解得，
∴，
∴，
答：两次购买的陈皮和白扁豆共花费251元．
【变式10-1】（23-24七年级下·山东威海·期末）方程组的解使代数式的值为，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，解题的关键是掌握消元的方法并熟练运用．
用加减消元法求解该三元一次方程组，再将方程组的解代入即可求出k．
【详解】解：，
得：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
把代入③得：，
解得：，
∴原方程组的解为，
把代入得：，
解得：．
故选：C．
【变式10-2】（23-24七年级下·福建泉州·期末）若三元一次方程，当，时，，则的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了三元一次方程，一元一次方程的应用，关键是能得出关于的一元一次方程．把，，代入三元一次方程得到关于的一元一次方程，解之即可．
【详解】把，，，代入三元一次方程得：
，
解得：，
故答案为．
【变式10-3】（23-24七年级下·全国·期末）某班级组织活动购买小奖品，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，则购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需 元
【答案】30
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，根据题意可得方程组，利用加减消元法可得，据此可得答案．
【详解】解：设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，
由题意得，
得：，
∴，
∴购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需30元，
故答案为：30．
【变式10-4】（23-24七年级下·全国·期末）对于，，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算已知，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，新定义，根据新定义得到，再利用得到，据此可得答案．
【详解】解：∵，，，
∴
得：，
∴，
故答案为：．
【变式10-5】（23-24七年级下·重庆黔江·期末）数学活动：探究不定方程
小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出、、的具体数值，但可以解出的值．
(1)小川的方法：，整理可得： ；
，整理可得： ；．
小渝的方法：： ；．
(2)已知，试求解的值．
(3)学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元；采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元，那么采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要多少钱？
【答案】(1)；；
(2)3
(3)元
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，熟练掌握方程组的解法和应用是解题关键．
（1）根据等式的性质求解即可得；
（2）参照小川的方法，利用等式的性质和消元法求解即可得；
（3）设本英语簿元，本数学簿元，本作文本元，根据题意建立三元一次方程组，解方程组求出的值，由此即可得．
【详解】（1）解：小川的方法：，得：，
整理得：，
，得：，
整理得：，
．
小渝的方法：，得：，
，
故答案为：；；．
（2）解：，
由①②得：，
整理得：，
由①②得：，
整理得：，
则．
（3）解：设本英语簿元，本数学簿元，本作文本元，
由题意得：，
∴②①得，，
∴．
将代入①整理得，．
∴．
∴．
答：采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑