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专题03 平面直角坐标系（考点清单，2考点梳理+6题型解读）
清单01 用坐标描述平面内点的位置
1、平面直角坐标系
1）平面直角坐标系：在平面内画两条相互垂直，经过同一原点的数轴，组成平面直角坐标系。
一般，水平坐标轴称为横轴或x轴，垂直坐标轴成为纵轴或y轴。
2）坐标平面被两条坐标轴分为四个部分。（I、II、III、IV象限）。
注：坐标轴上的点不属于任何象限（x轴上、y轴上、原点）。
3）点的坐标：平面内的点可以用一组有序数对表示，这组有序数对叫作点的坐标。过该点分别向横、纵轴作垂线（距离），横、纵轴上对应的数分别叫作点的横坐标、纵坐标。
注：①表示点的坐标时，横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开，用括号括起来。
②平面直角坐标中，有序实数对和点是一一对应的。
③有序数对（x，y）就叫做点的坐标。
2、点的坐标特点
1）坐标P（a，b）
第一象限：a>0，b>0；第二象限：a<0，b>0；第三象限：a<0，b<0；第四象限：a>0，b<0；
原点：a=0，b=0 x轴上 y轴上
2）①l1∥x轴，则l1⊥y轴；l1∥y轴，则l1⊥x轴。
②l1∥x轴，则l1上所有点纵坐标相等。l2∥y轴，则l2上所有横纵坐标相等。
3）点与点关于轴对称 横 坐标不变， 纵 坐标互为相反数；
点与点关于轴对称 纵 坐标相等， 横 坐标互为相反数；
点与点关于原点对称横、纵坐标均互为 相反数 ；
清单02 坐标方法的简单应用
1．坐标确定位置
平面内特殊位置的点的坐标特征
（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：
①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．
（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：
①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0．
（3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：
①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b．
2、用坐标表示平移
1）左右移，横变纵不变，左减右增； 上下移，纵变横不变，下减上增。
2）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y） P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y） P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y﹣b）
3）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
【考点题型一】平面直角坐标系（）
【例1-1】（23-24七年级下·全国·期末）在下列所给出的点中，一定在第二象限的是（ ）
A． B．
C． D．
【例1-2】（23-24七年级下·广西河池·期末）若点在x轴上，则 ．
【例1-3】（22-23七年级下·贵州六盘水·期末）已知平面直角坐标系第四象限内的点到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为 ．
【例1-4】（23-24七年级下·河南商丘·期末）在平面直角坐标系中，点的横坐标与点的横坐标互为相反数．
(1)求点，的坐标；
(2)点在第三象限，且到轴的距离为1，请在正方形网格图中建立适当的平面直角坐标系，画出三角形，并求出三角形的面积．
【变式1-1】（23-24七年级下·全国·期末）若y轴上的点A到x轴的距离为3，则点A的坐标为（　　）
A． B．或
C． D．或
【变式1-2】（24-25七年级下·全国·期末）已知点在轴上，则点的坐标是 ．
【变式1-3】（22-23七年级下·陕西渭南·期末）已知，点为平面直角坐标系内一点．
(1)若点P在y轴上，则m的值为______；
(2)若点P的纵坐标比横坐标大6，则点P在第几象限？
【变式1-4】（23-24七年级下·广东肇庆·期末）若点到轴的距离为，到轴的距离为．
(1)当时，　　；
(2)若点P在第一象限，且，求出点的坐标．
【变式1-5】（22-23七年级下·河南周口·期末）如图，点A，B均在单位长度为1的正方形网格的格点上，建立平面直角坐标系，使点A，B的坐标分别为，．

(1)请在图中建立平面直角坐标系；
(2)若C，D两点的坐标分别为，，请描出C，D两点．C，D两点的坐标有什么异同？直线与x轴有什么关系？
(3)在（2）的条件下，若点为直线上的一点，则_____，点E的坐标为_____．
【考点题型二】用坐标表示位置（）
【例2-1】（23-24七年级下·广西南宁·期末）下列描述，能确定具体位置的是（ ）
A．东经，北纬 B．教室第2排
C．北偏东 D．学校附近
【例2-2】（23-24七年级下·吉林松原·期末）七巧板，是中国汉民族的一种古老的传统智力游戏.它是由七块板组成的，以各种不同的拼凑法拼成人物、动物、建筑、字母等多种图形．如图为由七巧板拼成的“小船”，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ．

【变式2-1】（24-25七年级下·全国·期末）下列表述中，能确定具体位置的是（ ）
A．小明家在建设路上
B．小华坐在电影院的第2排
C．北京市位于东经
D．学校在小林家北偏东，距离800米的方向上
【变式2-2】（23-24七年级下·全国·期末）一艘船在处遇险后向相距位于处的救生船报警．用方向和距离描述救生船相对于遇险船的位置为（北偏东，），救生船接到报警后准备前往救援，请用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置 ．
【变式2-3】（22-23七年级下·贵州黔南·期末）如图，是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置表示为，实验室的位置表示为．
(1)请你建立适当的平面直角坐标系并写出食堂、图书馆的坐标；
(2)已知办公楼和教学楼，其中轴，且，轴，且，请你求出两点的坐标．
【考点题型三】用坐标表示平移（）
【例3-1】（24-25七年级下·全国·期末）小蒲周末打算去游乐场游玩，如图，他根据游乐场的地图在网格中着重标注了自己游玩的四个地点，其中旋转木马，过山车，摩天轮的坐标分别为，．
(1)请你根据点的坐标建立平面直角坐标系；
(2)写出激流勇进点的坐标为_______；
(3)连接，将线段向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，得到线段，画出线段，并直接写出点和点的坐标．
【例3-2】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，已知点，，请按下列要求操作：
(1)请在图中画出
(2)将向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，在图中画出，并直接写出的坐标
【变式3-1】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知在 内有任意一点经过平移后对应点为，又已知点在经过此次平移后的对应点为，设，则m的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式3-2】（23-24七年级下·甘肃武威·期末）如图，将三角形向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到三角形．画出三角形，并写出、、的坐标．
【变式3-3】（24-25七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接．
(1)直接写出点的坐标；
(2)分别是线段上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴；
(3)若是轴上的一个动点，当三角形的面积是三角形面积的2倍时，求点的坐标．
【考点题型四】坐标系中求几何图形的面积（）
【例4】（23-24七年级下·安徽铜陵·期末）在平面直角坐标系中，三角形的位置如图所示，把平移后，三角形内任意一点的对应点为．
(1)画出平移后的图形；
(2)平移后得到三角形顶点的坐标分别为：________；________；________；
(3)四边形的面积是________．
【变式4-1】（23-24七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，三角形中任意一点，经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别为．
(1)点的坐标为 ；点的坐标为 ．
(2)①画出三角形；
②求出三角形的面积．
【变式4-2】（23-24七年级下·山西太原·期末）如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别是，，将三角形进行平移后，点的对应点为，点的对应点是，点的对应点是．
(1)画出平移后的三角形并写出，的坐标；
(2)写出由三角形平移得到三角形的过程；
(3)求出三角形的面积．
【变式4-3】（24-25七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点落在边长为1的正方形网格的格点上，点的坐标为，将三角形在水平方向上平移后得到三角形，且．
(1)求三角形平移的距离；
(2)将三角形向下平移4个单位长度，得到三角形，画出三角形和三角形，并求线段平移至的过程中扫过的面积．
【变式4-4】（23-24七年级下·福建龙岩·期末）如图1，在平面直角坐标系中，，，将线段沿轴向右平移12个单位得到线段，动点在直线上．
(1)填空：点的坐标为______，点的坐标为______；
(2)如图1，点是线段上一点（不与点、重合），连接，请用等式表示，，之间满足的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，点在轴上，且，连接，当的面积等于的面积时，请求出点P的坐标．
【考点题型五】坐标系中点的坐标规律的探究（）
【例5】（24-25七年级下·全国·期末）如图，一个机器人从点出发，向正西方向走2m到达点；再向正北方向走4m到达点；再向正东方向走6m到达点；再向正南方向走8m到达点；再向正西方向走10m到达点按此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（23-24七年级下·河南信阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A从依次跳动到，，，，，，，，，，…，按此规律，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（23-24七年级下·云南昆明·期末）如图，小明编了一个“步步高升”程序，已知点A在平面直角坐标系中按的规律跳动．已知，，，，，，…，按此规律，的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（23-24七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，点A在y轴正半轴及x轴正半轴上交替运动，点A从原点出发，依次跳动至点，，，，，，，，…，按此规律，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】（23-24七年级下·河南许昌·期末）如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行"爬楼梯"运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点……按这样的运动规律，经过第2024次运动后，小蚂蚁的坐标是（ ）
A．（1012，1013） B．（1013，1012） C．（1012，1012） D．（1013，1013）
【变式5-5】（23-24七年级下·云南昆明·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点按箭头所示方向跳动，第一次从原点跳动到点，第二次跳动到点，第三次跳动到点，第四次跳动到点，第五跳动到点，第六次跳动到点按这样的跳动规律，点的纵坐标是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【变式5-6】（23-24七年级下·吉林白城·期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点， 按这样的运动规律，经过第2027次运动后，动点P的坐标是 ．

【变式5-7】（23-24七年级下·山东日照·期末）将正整数按如图所示的规律排列下去（第排恰好排个数），若用有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示的实数为9，17可用有序实数对表示，则2024可用有序实数对表示为 ．
【变式5-8】（23-24七年级下·广东广州·期末）观察图中数的排列规律并回答问题：
如果一个数在第行第列，那么记它的位置为有序数对，例如数2在第2行第1列，记它的位置为有序数对．按照这种方式，数的位置为有序数对 ．
【考点题型六】坐标系中最值问题（）
【例6-1】（22-23七年级下·浙江台州·期末）中国象棋中“马走日字”（“马”从两个小方格组成的“日”字的一角走到相对的另一对角，横着走竖着走都可以），如“马”从点出发，可到达A，B，C，D，E，F中任意一点，若“马”从点P出发连续走了n次“日”字后到达点，则n的最小值为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
【例6-2】（23-24七年级下·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，连接，，为折线段上的动点（P不与点A，C重合），记，其中a为实数．
（1）当时，t的最大值为 ；
（2）若t存在最大值，则a的取值范围为 ．
【例6-3】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）【提出问题】在平面直角坐标系xOy中，对于不重合的两点和点，如果当时，有；当时，有，则称点P与点Q互为“进取点”．特别地，当时，点P与点Q也互为“进取点”．
【数学思考】已知点，点．
(1)如图1，在平面直角坐标系中画点：，并直接写出其中与点A互为“进取点”的是 ；
(2)如果一个点的横，纵坐标都是整数，则称这个点为整点，在满足的所有整点中（如图2）
①已知点为第一象限中的整点，且与点A，B均互为“进取点”，求所有符合题意的点Р坐标；
②在第一象限的整点中取n个点，若这n个点中任意两个点互为“进取点”，直接写出n的最大值为 ；
【变式6-1】（23-24七年级下·浙江金华·期末）七年级某班有48名学生，所在教室有6行8列座位，用表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位．设某个学生原来的座位为，若调整后的座位为，则称该生作了平移，并称为该生的位置数．某生的位置数为8，当取最小值时，则的最大值为（ ）
A．25 B．30 C．36 D．48
【变式6-2】（22-23七年级下·北京通州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，．以点为圆心，为半径画圆．点是圆上的动点，则的面积的最小值和最大值依次为 ， ．
【变式6-3】（23-24七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，对于点，点，定义与中的较大值为点，的“绝对距离”，记为．特别地，当时，规定．
(1)已知，，
① ；
②点是坐标系内一动点，当时，直接写出满足条件的绝对距离最小时的点坐标；
(2)已知点，点，当时，的最小值是 ，的最大值是 ；
(3)已知点，点，点在线段上，点的坐标是，点向右平移1个单位长度得到点，对于线段上任意一点，存在点满足，直接写出的取值范围．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题03 平面直角坐标系（考点清单，2考点梳理+6题型解读）
清单01 用坐标描述平面内点的位置
1、平面直角坐标系
1）平面直角坐标系：在平面内画两条相互垂直，经过同一原点的数轴，组成平面直角坐标系。
一般，水平坐标轴称为横轴或x轴，垂直坐标轴成为纵轴或y轴。
2）坐标平面被两条坐标轴分为四个部分。（I、II、III、IV象限）。
注：坐标轴上的点不属于任何象限（x轴上、y轴上、原点）。
3）点的坐标：平面内的点可以用一组有序数对表示，这组有序数对叫作点的坐标。过该点分别向横、纵轴作垂线（距离），横、纵轴上对应的数分别叫作点的横坐标、纵坐标。
注：①表示点的坐标时，横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开，用括号括起来。
②平面直角坐标中，有序实数对和点是一一对应的。
③有序数对（x，y）就叫做点的坐标。
2、点的坐标特点
1）坐标P（a，b）
第一象限：a>0，b>0；第二象限：a<0，b>0；第三象限：a<0，b<0；第四象限：a>0，b<0；
原点：a=0，b=0 x轴上 y轴上
2）①l1∥x轴，则l1⊥y轴；l1∥y轴，则l1⊥x轴。
②l1∥x轴，则l1上所有点纵坐标相等。l2∥y轴，则l2上所有横纵坐标相等。
3）点与点关于轴对称 横 坐标不变， 纵 坐标互为相反数；
点与点关于轴对称 纵 坐标相等， 横 坐标互为相反数；
点与点关于原点对称横、纵坐标均互为 相反数 ；
清单02 坐标方法的简单应用
1．坐标确定位置
平面内特殊位置的点的坐标特征
（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：
①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．
（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：
①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0．
（3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：
①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b．
2、用坐标表示平移
1）左右移，横变纵不变，左减右增； 上下移，纵变横不变，下减上增。
2）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y） P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y） P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y﹣b）
3）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
【考点题型一】平面直角坐标系（）
【例1-1】（23-24七年级下·全国·期末）在下列所给出的点中，一定在第二象限的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】判断点所在的象限
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据第二象限内点的坐标符号进行判断即可．
【详解】解：A、在第一象限，不符合题意；
B、由，则一定在第二象限，符合题意；
C、时，则在第二象限，时，则在第三象限，时，则在x轴上，故不一定在第二象限，不符合题意；
D、在第四象限，不符合题意；
故选：B．
【例1-2】（23-24七年级下·广西河池·期末）若点在x轴上，则 ．
【答案】0
【知识点】已知点所在的象限求参数
【分析】本题考查坐标的特征，根据x轴上点的纵坐标为求解即可．
【详解】解：点在x轴上，则，
故答案为：．
【例1-3】（22-23七年级下·贵州六盘水·期末）已知平面直角坐标系第四象限内的点到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为 ．
【答案】
【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数、求不等式组的解集
【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，第四象限内的点的坐标特点，解一元一次不等式组，先根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值得到，解方程得到或，再根据第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负求出m的值即可得到答案．
【详解】解：∵点到两坐标轴的距离相等，
∴，
∴或，
解得或，
∵点P在第四象限，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【例1-4】（23-24七年级下·河南商丘·期末）在平面直角坐标系中，点的横坐标与点的横坐标互为相反数．
(1)求点，的坐标；
(2)点在第三象限，且到轴的距离为1，请在正方形网格图中建立适当的平面直角坐标系，画出三角形，并求出三角形的面积．
【答案】(1)；
(2)图见解析；4
【知识点】坐标与图形、写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离、坐标系中描点
【分析】本题主要考查了坐标与图形，相反数的定义，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，根据相反数的定义，建立方程，求出a的值．
（1）先根据点的横坐标与点的横坐标互为相反数，得出，求出，然后得出答案即可；
（2）先求出点的坐标为，然后根据A、B的坐标建立平面直角坐标系，画出，利用三角形的面积公式求出的面积即可．
【详解】（1）解：点的横坐标与点的横坐标互为相反数，
，
解得，
，，
点，的坐标分别为，.
（2）解：点在第三象限，且到轴的距离为1，
，
由（1）得，，
，
点的坐标为，
建立平面直角坐标系并画出的三角形，如图所示.（画法不唯一）
三角形的面积为：
【变式1-1】（23-24七年级下·全国·期末）若y轴上的点A到x轴的距离为3，则点A的坐标为（　　）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【知识点】坐标与图形、写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离
【分析】本题考查了点的坐标的相关知识，用到的知识点为：轴上点的横坐标为0．
根据轴上的点到轴的距离为3，可得点的纵坐标为，进而根据轴上点的横坐标为0可得具体坐标．
【详解】解：轴上的点到轴的距离为3，
点的纵坐标为，
轴上点的横坐标为0，
点的坐标为或，
故选：D．
【变式1-2】（24-25七年级下·全国·期末）已知点在轴上，则点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】已知点所在的象限求参数
【分析】本题考查了坐标轴上的点的坐标的特征，解决本题的关键是记住y轴上点的特点为横坐标为0．在y轴上，那么横坐标为0，就能求得m的值，求得m的值后即可求得点A的坐标．
【详解】解：点在轴上，
点的横坐标是0，
，
解得，
，点的纵坐标为2029，
点的坐标是．
故答案为：．
【变式1-3】（22-23七年级下·陕西渭南·期末）已知，点为平面直角坐标系内一点．
(1)若点P在y轴上，则m的值为______；
(2)若点P的纵坐标比横坐标大6，则点P在第几象限？
【答案】(1)3
(2)第二象限
【知识点】判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数、其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了y轴上坐标的特点，根据点的坐标判断点所在的象限，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
（1）根据在y轴上的坐标，横坐标为0，计算出m，即可得到P的坐标；
（2）根据P的纵坐标比横坐标大6，列出等式，求出m，然后根据四个象限点的符号特点进行判断即可．
【详解】（1）解：∵点在y轴上，
∴，
解得：；
故答案为：3
（2）解：∵点的纵坐标比横坐标大6，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为，
∴点P在第二象限．
【变式1-4】（23-24七年级下·广东肇庆·期末）若点到轴的距离为，到轴的距离为．
(1)当时，　　；
(2)若点P在第一象限，且，求出点的坐标．
【答案】(1)5
(2)
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离
【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，熟练掌握平面直角坐标系中的点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值是解题的关键；
（1）由可求P点坐标，从而可得，，代入计算即可求解；
（2）由平面直角坐标系的性质可得，，根据点P在第一象限，进而计算求解即可；
【详解】（1）当时，，
∴，，
∴．
故答案为：5．
（2）∵点到x轴的距离为，到y轴的距离为，
，，
∵，
∴．
∵点P在第一象限，
∴
当时，，解得，
∴．
【变式1-5】（22-23七年级下·河南周口·期末）如图，点A，B均在单位长度为1的正方形网格的格点上，建立平面直角坐标系，使点A，B的坐标分别为，．

(1)请在图中建立平面直角坐标系；
(2)若C，D两点的坐标分别为，，请描出C，D两点．C，D两点的坐标有什么异同？直线与x轴有什么关系？
(3)在（2）的条件下，若点为直线上的一点，则_____，点E的坐标为_____．
【答案】(1)见解析；
(2)C，D两点见解析；C，D两点的横坐标不同，纵坐标相同；直线与轴平行；
(3)3，．
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形、坐标系中描点
【分析】（1）根据点A，B的坐标分别为，，点A向右2个单位，再向下1个单位得到原点；点B向左3个单位，再向下1个单位得到原点，根据原点位置画出平面直角坐标系即可；
（2）根据C，D两点的坐标分别为，，画出C，D两点，描述坐标异同，判断直线与x轴位置关系即可；
（3）根据点为直线上的一点，C，D两点的坐标分别为，，得，求出的值，再计算的值，即可得到点E的坐标．
【详解】（1）点A，B的坐标分别为，，
点A向右2个单位，再向下1个单位得到原点；点B向左3个单位，再向下1个单位得到原点，根据原点位置画出平面直角坐标系．
平面直角坐标系如图所示：

（2）根据C，D两点的坐标分别为，，画出C，D两点，如图所示：
C，D两点的横坐标不同，纵坐标相同；由图可知直线与轴平行．
（3）点为直线上的一点，C，D两点的坐标分别为，，
，
，
，点E的坐标为，
故答案为3，．
【点睛】本题考查了坐标与图形、画平面直角坐标系、求点的坐标，正确作出平面直角坐标系、列式计算是解题的关键．
【考点题型二】用坐标表示位置（）
【例2-1】（23-24七年级下·广西南宁·期末）下列描述，能确定具体位置的是（ ）
A．东经，北纬 B．教室第2排
C．北偏东 D．学校附近
【答案】A
【知识点】用有序数对表示位置、根据方位描述确定物体的位置、用方向角和距离确定物体的位置
【分析】本题主要考查了用坐标表示位置、方向角等知识点，掌握确定具体位置 的方法成为解题的关键．
根据用坐标表示位置、方向角和距离确定具体位置即可解答．
【详解】解：A．东经，北纬是用经度、纬度来确定物体的位置．故本选项符合题意；
B. 教室第2排，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；
C. 北偏东没有说明距离，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；
D. 学校附近，不能确定具体位置，故本选项不符合题意．
故选：A．
【例2-2】（23-24七年级下·吉林松原·期末）七巧板，是中国汉民族的一种古老的传统智力游戏.它是由七块板组成的，以各种不同的拼凑法拼成人物、动物、建筑、字母等多种图形．如图为由七巧板拼成的“小船”，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ．

【答案】
【知识点】实际问题中用坐标表示位置
【分析】本题主要考查了点的坐标，正确得出原点位置是解题的关键．直接利用已知点坐标确定平面直角坐标系，进而得出答案．
【详解】解：确定平面直角坐标系如图所示：

∴点C的坐标为，
故答案为：．
【变式2-1】（24-25七年级下·全国·期末）下列表述中，能确定具体位置的是（ ）
A．小明家在建设路上
B．小华坐在电影院的第2排
C．北京市位于东经
D．学校在小林家北偏东，距离800米的方向上
【答案】D
【知识点】用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置、实际问题中用坐标表示位置
【分析】本题考查了确定具体位置．熟练掌握坐标法，方位法是解题的关键．
A、B、C中，没有具体到一个点，不能确定具体位置；D中，小林家北偏东，距离800米的方向上，是确定的一点，故能确定具体位置．
【详解】A. 小明家在建设路上，不能确定具体位置；
B. 小华坐在电影院的第2排，不能确定具体位置；
C. 北京市位于东经，不能确定具体位置；
D. 学校在小林家北偏东，距离800米的方向上，能确定具体位置．
故选：D．
【变式2-2】（23-24七年级下·全国·期末）一艘船在处遇险后向相距位于处的救生船报警．用方向和距离描述救生船相对于遇险船的位置为（北偏东，），救生船接到报警后准备前往救援，请用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置 ．
【答案】南偏西，
【知识点】用方向角和距离确定物体的位置
【分析】本题考查了方向角，根据方向角的定义即可求解，正确识图是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，遇险船相对于救生船的位置为南偏西，，
故答案为：南偏西，．
【变式2-3】（22-23七年级下·贵州黔南·期末）如图，是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置表示为，实验室的位置表示为．
(1)请你建立适当的平面直角坐标系并写出食堂、图书馆的坐标；
(2)已知办公楼和教学楼，其中轴，且，轴，且，请你求出两点的坐标．
【答案】(1)见解析，食堂；图书馆
(2)点的坐标为或，点的坐标为或
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置
【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，地理位置与坐标的确定，掌握平面直角坐标系的特点是解题的关键．
（1）根据题意，建立平面直角坐标系，再根据地理位置标坐标；
（2）根据平面直角坐标系的特点，数形结合分析即可．
【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示：
食堂；图书馆；
（2）解： 轴，且，
点的坐标为或，
轴，且，
点的坐标为或．
【考点题型三】用坐标表示平移（）
【例3-1】（24-25七年级下·全国·期末）小蒲周末打算去游乐场游玩，如图，他根据游乐场的地图在网格中着重标注了自己游玩的四个地点，其中旋转木马，过山车，摩天轮的坐标分别为，．
(1)请你根据点的坐标建立平面直角坐标系；
(2)写出激流勇进点的坐标为_______；
(3)连接，将线段向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，得到线段，画出线段，并直接写出点和点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析，
【知识点】实际问题中用坐标表示位置、平移(作图)、写出直角坐标系中点的坐标、由平移方式确定点的坐标
【分析】本题主要考查坐标与图形及作图—平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义与性质．
（1）根据旋转木马，过山车，摩天轮的坐标分别为，，建立平面直角坐标系；
（2）利用所建立的直角坐标系写出激流勇进点的坐标即可；
（3）由平移的性质画出线段，并直接写出点和点的坐标；
【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图．
（2）解：激流勇进点的坐标为，
故答案为：；
（3）解：画出线段如图，．
【例3-2】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，已知点，，请按下列要求操作：
(1)请在图中画出
(2)将向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，在图中画出，并直接写出的坐标
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析，，，
【知识点】坐标与图形、平移(作图)、已知图形的平移，求点的坐标
【分析】本题考查坐标与图形变换--平移：
（1）根据点的坐标画出即可；
（2）根据平移的性质，画出，进而写出的顶点坐标即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
由图可知：，，．
【变式3-1】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知在 内有任意一点经过平移后对应点为，又已知点在经过此次平移后的对应点为，设，则m的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】整式的加减运算、已知点平移前后的坐标，判断平移方式
【分析】本题考查的是坐标与图形变化—平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减是解题的关键．
【详解】解：∵点在经过此次平移后的对应点为，
∴的平移规律为：向左平移个单位，向下平移个单位，
∴，，
∴，
故选B．
【变式3-2】（23-24七年级下·甘肃武威·期末）如图，将三角形向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到三角形．画出三角形，并写出、、的坐标．
【答案】画图见解析，，，
【知识点】坐标与图形、平移(作图)、求点沿x轴、y轴平移后的坐标
【分析】本题主经考查了网格作图．熟练掌握平移作图，平移坐标变换，是解决问题的关键．
把点A、B、C分别向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点、、，连接，，，即得，坐标分别为：，，．
【详解】解：把点A、B、C分别向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点、、，连接，，，得到， 即为所求作，
、、的坐标分别为：，，．
【变式3-3】（24-25七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接．
(1)直接写出点的坐标；
(2)分别是线段上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴；
(3)若是轴上的一个动点，当三角形的面积是三角形面积的2倍时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)秒
(3)点的坐标为或
【知识点】由平移方式确定点的坐标、坐标与图形综合
【分析】本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
（1）利用平移变换的性质求解；
（2）设运动时间为秒，由点与点的纵坐标相同，构建方程，求解即可；
（3）设点的坐标为，由进行分类讨论并分别求解即可．
【详解】（1）解：由题意点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，
，；
（2）解：设运动时间为秒，当轴时，点与点的纵坐标相同，
即，
解得，
点同时出发，秒后轴；
（3）解：设点的坐标为，
，
当在的左侧时，
，
解得，
此时；
当在到3之间时，
，
解得，
此时；
当在3的右侧时，
，
解得（舍）．
综上所述，点的坐标为或．
【考点题型四】坐标系中求几何图形的面积（）
【例4】（23-24七年级下·安徽铜陵·期末）在平面直角坐标系中，三角形的位置如图所示，把平移后，三角形内任意一点的对应点为．
(1)画出平移后的图形；
(2)平移后得到三角形顶点的坐标分别为：________；________；________；
(3)四边形的面积是________．
【答案】(1)作图见解析
(2)，，
(3)
【知识点】平移(作图)、已知图形的平移，求点的坐标、利用网格求三角形面积
【分析】本题考查了作图平移变换、网格中求图形面积，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形，熟练掌握平移作图及平移性质是解决问题的关键．
（1）根据点对应点为，右移3个单位长度，下移2个单位长度，进而可以画出平移后的图形；
（2）结合（1）即可得到三角形各顶点的坐标；
（3）根据网格即可求出四边形的面积．
【详解】（1）解：把平移后，三角形内任意一点的对应点为，
将向右移3个单位长度，下移2个单位长度，即可得到平移后的图形，如图所示：
为所作；
（2）解：如图所示：
，，；
故答案为：，，；
（3）解：如图所示：
四边形的面积，
故答案为：18．
【变式4-1】（23-24七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，三角形中任意一点，经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别为．
(1)点的坐标为 ；点的坐标为 ．
(2)①画出三角形；
②求出三角形的面积．
【答案】(1)
(2)①见解析②8.5
【知识点】坐标与图形、平移(作图)、由平移方式确定点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式
【分析】本题考查坐标与平移：
（1）根据题意，确定点的平移规则，进而求出点，的坐标即可；
（2）①根据平移规则，画出图形即可；②分割法求出三角你的面积即可．
【详解】（1）解：∵，经平移后对应点为，
∴平移规则为：先向左平移6个单位，再向上平移2个单位，
∵，
∴，即：；
故答案为：
（2）①如图，三角形为所作；
②的面积．
【变式4-2】（23-24七年级下·山西太原·期末）如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别是，，将三角形进行平移后，点的对应点为，点的对应点是，点的对应点是．
(1)画出平移后的三角形并写出，的坐标；
(2)写出由三角形平移得到三角形的过程；
(3)求出三角形的面积．
【答案】(1)图见解析，，
(2)先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度
(3)
【知识点】平移(作图)、平移综合题(几何变换)、由平移方式确定点的坐标、利用网格求三角形面积
【详解】（1）如图所示，即为所求：
∴，；
（2）先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到；
（3）如图所示：
，
答：的面积是．
【变式4-3】（24-25七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点落在边长为1的正方形网格的格点上，点的坐标为，将三角形在水平方向上平移后得到三角形，且．
(1)求三角形平移的距离；
(2)将三角形向下平移4个单位长度，得到三角形，画出三角形和三角形，并求线段平移至的过程中扫过的面积．
【答案】(1)5
(2)见解析，14
【知识点】平移(作图)、利用平移的性质求解、由平移方式确定点的坐标
【分析】本题考查了平移作图，写出坐标系中点的坐标，确定平移距离，利用网格求面积，准确确定平移方式为解题关键．
（1）先确定出点A的坐标，再求平移距离即可；
（2）由平移方式作图，再利用网格求面积即可．
【详解】（1）解：由题意可得．
点的坐标为，
平移的距离为；
（2）三角形和三角形如答图所示．
设线段平移至的过程中扫过的面积为，
则．
【变式4-4】（23-24七年级下·福建龙岩·期末）如图1，在平面直角坐标系中，，，将线段沿轴向右平移12个单位得到线段，动点在直线上．
(1)填空：点的坐标为______，点的坐标为______；
(2)如图1，点是线段上一点（不与点、重合），连接，请用等式表示，，之间满足的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，点在轴上，且，连接，当的面积等于的面积时，请求出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)，，
【知识点】坐标与图形、根据平行线的性质探究角的关系、求点沿x轴、y轴平移后的坐标
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，坐标系中的几何面积关系，注意分类讨论是解题的关键．
（1）根据坐标平移的规律，即可解答；
（2）分类讨论，根据点在点左边或者右边，两种情况，利用平行线的性质进行解答即可；
（3）根据点在轴正半轴或负半轴两种情况，再考虑点在点A左边或者右边，利用的面积等于的面积列方程即可解答．
【详解】（1）解：，，将线段沿轴向右平移12个单位得到线段，
，
故答案为：；
（2）解：当点在点右边时，如图，
，，
，
，
即；
当点在点左边时，如图，
，，
，
，
即；
（3）解：当点在轴正半轴时，
，
，
，
①点在点右边，如图，
可得，
设，
可得方程，
解得，
；
②点在点左边，如图，连接，
可得，
设，则，
可得方程，
解得，
；
当点在轴负半轴时，
③点在点左边，如图，
可得，
设，
可列方程，
解得，
；
④点在点右边，如图，连接，
可得，
设，
可列方程，
解得，
，
综上，点的坐标为，，．
【考点题型五】坐标系中点的坐标规律的探究（）
【例5】（24-25七年级下·全国·期末）如图，一个机器人从点出发，向正西方向走2m到达点；再向正北方向走4m到达点；再向正东方向走6m到达点；再向正南方向走8m到达点；再向正西方向走10m到达点按此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的变化规律，结合题意确定点的变化规律是解题关键．由图可得，点的位置变化有4种可能的位置，除第1点外分别是在四个象限内，并确定点在第三象限，然后结合，的坐标，即可获得答案．
【详解】解：由图可得，点的位置变化有4种可能的位置，除第1点外分别是在四个象限内，
，
点在第三象限，
，，…，
．
故选：D．
【变式5-1】（23-24七年级下·河南信阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A从依次跳动到，，，，，，，，，，…，按此规律，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查了点坐标的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．
由图象与点坐标可知，每跳动次，点的横坐标增加4，纵坐标按0，1，1，0，0，3，3，0，，循环出现，由，可得，求解作答即可．
【详解】解：由题意知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
……
依此类推，每跳动次，点的横坐标增加4，纵坐标按0，1，1，0，0，3，3，0，，循环出现，
∵，
∴，即，
故选：B．
【变式5-2】（23-24七年级下·云南昆明·期末）如图，小明编了一个“步步高升”程序，已知点A在平面直角坐标系中按的规律跳动．已知，，，，，，…，按此规律，的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查了点的坐标规律，解题的关键是找到点的坐标变化规律，根据已知点的坐标表示出第n个点的坐标，得出坐标的规律，然后求得点的坐标即可．
【详解】解：观察偶数项的坐标规律：， ，，……，
可得，奇数项的横坐标为n，纵坐标为前一个偶数的纵坐标加2，
∵2024为偶数，
∴的坐标为，
故选：C．
【变式5-3】（23-24七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，点A在y轴正半轴及x轴正半轴上交替运动，点A从原点出发，依次跳动至点，，，，，，，，…，按此规律，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查规律探索，根据已知的点坐标，对点分组找出规律是解题的关键．
根据已知点的坐标特征，将连续的4个点看成一组，由第1组，第2组确定组内点的位置特征、点坐标与组序数的联系；以此类推，，故点是第506组的第4个点，则在y轴上，其非零坐标即横坐标为．
【详解】解：根据题意，将连续的4个点A看成一组，
第1组：，，，，其位置分别为y轴、x轴、x轴、y轴，前两个点的非零坐标为1，后两个点的非零坐标为2；其中，，；
第2组：，，，，其位置分别为y轴、x轴、x轴、y轴，前两个点的非零坐标为3，后两个点的非零坐标为4；其中，，；
……
以此类推，，则点是第506组的第4个点，则在轴上，其非零坐标即横坐标为1012，
故点的坐标是，
故选：C．
【变式5-4】（23-24七年级下·河南许昌·期末）如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行"爬楼梯"运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点……按这样的运动规律，经过第2024次运动后，小蚂蚁的坐标是（ ）
A．（1012，1013） B．（1013，1012） C．（1012，1012） D．（1013，1013）
【答案】C
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题考查了规律型—点的坐标，解决本题的关键是观察点P的运动变化发现规律，总结规律．
分别找到横坐标和纵坐标的变化规律，再算出2024与2的商和余数，继而得解．
【详解】解：第1次：，
第2次：，
第3次：，
第4次：，
第5次：，
…，
则横坐标是从1开始的正整数，每个正整数出现2次，
纵坐标是从0开始的正整数，其中只有0出现1次，其余数出现2次，
则，
∴第2024次的坐标是：，
故选C．
【变式5-5】（23-24七年级下·云南昆明·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点按箭头所示方向跳动，第一次从原点跳动到点，第二次跳动到点，第三次跳动到点，第四次跳动到点，第五跳动到点，第六次跳动到点按这样的跳动规律，点的纵坐标是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】D
【知识点】点坐标规律探索
【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，能根据所给运动方式发现点的横坐标为，且纵坐标按1，0，，，0，2，0循环出现是解题的关键．根据点的运动方式，依次求出点的坐标，发现规律即可解决问题．
【详解】解：根据动点的运动方式可知，
第一次从原点跳动到点，
第二次跳动到点，
第三次跳动到点，
第四次跳动到点，
第五跳动到点，
第六次跳动到点，
，
由此可见，纵坐标按2，1，1，，0，循环出现，
又因为余4，
所以点的纵坐标为，
故选：D．
【变式5-6】（23-24七年级下·吉林白城·期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点， 按这样的运动规律，经过第2027次运动后，动点P的坐标是 ．

【答案】
【知识点】点坐标规律探索
【分析】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．
根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮这一规律，进而求出即可．
【详解】解：根据动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，
第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，
第4次运动到点，第5次接着运动到点，，
横坐标为运动次数，经过第2027次运动后，动点的横坐标为2027，
纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮，
经过第2027次运动后，动点的纵坐标为：余3，
故纵坐标为四个数中第3个，即为2，
经过第2017次运动后，动点的坐标是：，
故答案为：．
【变式5-7】（23-24七年级下·山东日照·期末）将正整数按如图所示的规律排列下去（第排恰好排个数），若用有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示的实数为9，17可用有序实数对表示，则2024可用有序实数对表示为 ．
【答案】
【知识点】数字类规律探索、用有序数对表示位置
【分析】本题考查了数字类规律探索，根据题意得出一般规律是解题关键．由题意可知，第排最后一个数字为，进而得出第63排最后一个数字为，即可求解．
【详解】解：由题意可知，第排恰好排个数，
第排最后一个数字为，
当时，，
即第63排最后一个数字为，
，
2024在第排第8个数，
2024可用有序实数对表示为，
故答案为：
【变式5-8】（23-24七年级下·广东广州·期末）观察图中数的排列规律并回答问题：
如果一个数在第行第列，那么记它的位置为有序数对，例如数2在第2行第1列，记它的位置为有序数对．按照这种方式，数的位置为有序数对 ．
【答案】
【知识点】数字类规律探索、用有序数对表示位置
【分析】本题考查用有序数对表示位置，数字类变化规律．根据题意找出数字之间的联系，得出规律是解题关键．根据图中数的排列可得出至中含有64个数，且奇数行都是从左边第一个数开始，从而即可求解．
【详解】解：根据题意，如图：
由图可知，至时含有4个数，至时含有9个数，至时含有16个数；
……
∴至中含有64个数，且奇数行都是从左边第一个数开始，
∵，，
∴位于第9行，第7列，
∴数的位置为有序数对．
故答案为：．
【考点题型六】坐标系中最值问题（）
【例6-1】（22-23七年级下·浙江台州·期末）中国象棋中“马走日字”（“马”从两个小方格组成的“日”字的一角走到相对的另一对角，横着走竖着走都可以），如“马”从点出发，可到达A，B，C，D，E，F中任意一点，若“马”从点P出发连续走了n次“日”字后到达点，则n的最小值为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【知识点】坐标与图形、实际问题中用坐标表示位置
【分析】根据题意画出“马”从点P出发到点的路线，进而求解即可．
【详解】如图所示，当点P往右上角方向走“日”字时，n有最小值，

由图象可得，n的最小值为9．
故选：D．
【点睛】本题考查坐标确定位置；能够将实际问题转化为平面直角坐标系中点的关系是解题的关键．
【例6-2】（23-24七年级下·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，连接，，为折线段上的动点（P不与点A，C重合），记，其中a为实数．
（1）当时，t的最大值为 ；
（2）若t存在最大值，则a的取值范围为 ．
【答案】 2
【知识点】绝对值的几何意义、坐标与图形
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点与直线间的距离，以及绝对值的几何意义，理解并掌握绝对值的几何意义是解题的关键．
（1）当时，，根据绝对值的几何意义，可知表示与直线之间的距离，当点在点时，距离最大，由此得解；
（2）先求出当点A和到直线距离相等时，此时，有最大值，然后画图分析可知，当直线在直线上方时，点距离直线距离最大，由于点P不与点A重合，此时取不到最大值，当直线在直线下方时，当P与点B重合时可以取到最大值，由此得解．
【详解】解：（1）当时，，根据绝对值的意义，可知表示与直线之间的距离，
当点与点重合时，距离最大，此时．
（2）如图，直线，
此时，折线段上，点、距离直线的距离最大，都是，
当时，，表示与直线之间的距离，
当点与点重合时，取得最大值，
如图：当直线，在直线上方，即，，
此时，折线段上，点距离直线距离最大，
若，，表示与直线之间的距离，由于P不与点A重合，
此时不存在最大值．
当直线，在直线下方，即，，
此时，折线段上，点距离直线距离最大，
若，，表示与直线之间的距离，此时存在最大值，即当在点处时取得最大值．
综上所述，，t存在最大值．
故答案为：①2；②．
【例6-3】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）【提出问题】在平面直角坐标系xOy中，对于不重合的两点和点，如果当时，有；当时，有，则称点P与点Q互为“进取点”．特别地，当时，点P与点Q也互为“进取点”．
【数学思考】已知点，点．
(1)如图1，在平面直角坐标系中画点：，并直接写出其中与点A互为“进取点”的是 ；
(2)如果一个点的横，纵坐标都是整数，则称这个点为整点，在满足的所有整点中（如图2）
①已知点为第一象限中的整点，且与点A，B均互为“进取点”，求所有符合题意的点Р坐标；
②在第一象限的整点中取n个点，若这n个点中任意两个点互为“进取点”，直接写出n的最大值为 ；
【答案】(1)C、D、F
(2)①，，，，，，，，，② 7
【知识点】坐标系中描点、坐标与图形
【分析】本题主要考查了新定义“进取点”，点的平移，解决问题的关键是熟练掌握规定“进取点”的意义，点的平移坐标右加左减，上加下减的规则．
（1）根据，，判定点，，互为“进取点”；根据，判定点，互为“进取点”；根据，，判定点，不互为“进取点”；根据，，判定点，互为“进取点”；
（2）①当，时，有，，， 当，时，有，，，，，，，均与点、点互为“进取点”；
②在第一象限内，根据任意两个整点都互为“进取点”，把点按向右再向上的顺序循环平移，每次平移一个单位长度直到，第一象限内得到7个点，即可得出结果．
【详解】（1）解：画图如下：
∵，，
∴，，
∴点A与点C互为“进取点”；
∵，，
∴，
∴点A与点D互为“进取点”；
∵，，
∴，，
∴点A与点E不互为“进取点”；
∵，，
∴，，
∴点A与点F互为“进取点”；
故答案为：C、D、F；
（2）解：①∵为第一象限中的整点，点，点，
∴当，时，
，，
∴，，，均与点、点互为“进取点”，
当，时，
，，
∴，，，，，，，均与点、点互为“进取点”，
∴，，，，，，，，，，均与点、点互为“进取点”；
②∵，，
∴，，，，
∵当时，有，则点和点互为“进取点”，
∴，，，，
当，时，取值0，1，2，3，取值1，2，3，4，、取值0，1，2，3，4，
∵任意两个整点都互为“进取点”，
∴把点按向右再向上的顺序循环平移，每次平移一个单位长度直到，（方法不唯一）
∴第一象限内共7个点，
∴n的最大值为，
故答案为：7．
【变式6-1】（23-24七年级下·浙江金华·期末）七年级某班有48名学生，所在教室有6行8列座位，用表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位．设某个学生原来的座位为，若调整后的座位为，则称该生作了平移，并称为该生的位置数．某生的位置数为8，当取最小值时，则的最大值为（ ）
A．25 B．30 C．36 D．48
【答案】A
【知识点】数字类规律探索、用有序数对表示位置
【分析】本题考查了利用坐标表示位置，几何变换的代数表示法，属于新定义型题目，解答本题需要同学们仔细审题，理解位置数是怎样规定的．根据，，且、都是整数，某生的位置数为8，可得出的最小值，在分别列出、为符合条件的整数时的值，从而得出答案．
【详解】解：，，，
，
又，
，即，
，，且、都是整数，
的最小值为10，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
即的最大值为25，
故选：A
【变式6-2】（22-23七年级下·北京通州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，．以点为圆心，为半径画圆．点是圆上的动点，则的面积的最小值和最大值依次为 ， ．
【答案】 3 5
【知识点】坐标与图形
【分析】首先求出点A和点B在x轴上，且，然后得到当点P到x轴的距离最小时，的面积取得最小值，此时点P在点M的正下方，当点P到x轴的距离最大时，的面积取得最大值，此时点P在点M的正上方，然后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】∵，
∴点A和点B在x轴上，且
∵以点为圆心，为半径画圆．点是圆上的动点，
∴当点P到x轴的距离最小时，的面积取得最小值，
此时点P在点M的正下方，
∵，半径为1，
∴此时的面积；
当点P到x轴的距离最大时，的面积取得最大值，
此时点P在点M的正上方，
∵，半径为1，
∴此时的面积；
综上所述，的面积的最小值和最大值依次为3，5．
故答案为：3，5．
【点睛】本题主要考查坐标与图形的面积，根据题意判断三角形的面积是解题的关键．
【变式6-3】（23-24七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，对于点，点，定义与中的较大值为点，的“绝对距离”，记为．特别地，当时，规定．
(1)已知，，
① ；
②点是坐标系内一动点，当时，直接写出满足条件的绝对距离最小时的点坐标；
(2)已知点，点，当时，的最小值是 ，的最大值是 ；
(3)已知点，点，点在线段上，点的坐标是，点向右平移1个单位长度得到点，对于线段上任意一点，存在点满足，直接写出的取值范围．
【答案】(1)①；②；
(2)的最大值为，最小值为；
(3)
【知识点】坐标与图形、由平移方式确定点的坐标
【分析】（1）①直接利用定义计算即可；②先判断符合条件的A的位置，再结合图形解答即可；
（2）设，当时，分两种情况讨论，结合新定义可得答案；
（3）根据点的坐标特点分两种情况讨论；当在第四象限时，当在第二象限时，再进一步结合图形与新定义可得答案．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，，
∴；
②当时，
∴满足条件的点如图所示；
∴满足条件的绝对距离最小时的点坐标为；
（2）解：∵点，点，设，
当时，
①当，，
解得：或，，
∴或；，
∴的最大值为，最小值为；
当，时，
解得：或，；
∴或，；
∴的最大值为，最小值为；
综上：的最大值为，最小值为；
（3）解：如图，当在第四象限时，
当时，满足条件，
∴此时，即，
如图，当在第二象限时，
由平移可得：，
此时满足条件，
∴，即，
综上：；
【点睛】本题考查的是新定义的含义，坐标与图形，平移的性质，理解新定义的含义，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
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