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新泰市第一中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题
一、单选题
1．复数，则（ ）
A．5 B． C． D．32
2．用斜二测画法画水平放置的边长为2的正方形的直观图，所得图形的面积是（ ）
A．4 B． C． D．
3．已知平面，直线，直线不在平面上，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
4．如图，计划在两个山顶间架设一条索道.为测量间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在同一水平面上选一点，在处测得山顶的仰角分别为和，且测得，则间的距离为（ ）

A． B． C． D．
5．某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
6．若平面向量两两的夹角相等，且，，，则（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．1或2
7．在平行四边形中，已知，（如图1），将沿BD折起到的位置（如图2），使得平面平面，则直线SB与直线CD所成角为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，E为BC中点，在线段AB上，且，和CF相交于点，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．若某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”与“两次都没中靶”是对立事件
B．若学校田径队有49名运动员，其中男运动员有28人，现按性别进行分层随机抽样，从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，则女运动员应抽取8人
C．设一组数据的平均数为x，方差为：，若将这组数据的每一个数都乘以2得到一组新数据，则新数据的平均数为2x，方差为
D．设A和B是两个概率大于0的随机事件，若A和B相互独立，则A和B一定不互斥
10．如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．平面
C．直线与平面所成的角为
D．点与平面的距离为
11．已知等边三角形的边长为，，，交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则为的中点
三、填空题
12．某水产单位对其投放的网箱产量（单位：）进行了样本统计，得到样本数据的频率分布直方图如下图所示，请根据频率分布直方图估计该水产单位所有网箱产量的上四分位数为 .
13．已知圆O的直径AB把圆分成上下两个半圆，点C，D分别在上、下半圆上（都不与A，B点重合）若，，则 .
14．已知空间四点中任意两点间的距离都等于，则点到平面的距离为 ．
四、解答题
15．已知是夹角为的两个单位向量，.
(1)若可以作为一组基底，求实数的取值范围；
(2)若垂直，求实数的值；
(3)求的最小值.
16．在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图.另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格.

(1)求的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；
(2)试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀.（结果保留两位小数）.
(3)根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生.从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率.
17．甲、乙两位队员进行某种球类对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为， 乙发球甲赢的概率为， 不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．
(1)求该局打4个球甲赢的概率;
(2)求该局打5个球结束的概率．
18．如图，四棱锥的底面是直角梯形，底面，，，且，.
(1)证明：平面平面.
(2)求二面角的大小.
19．在中，内角的对边分别是，且.
(1)请在以下两个条件中任选一个（若两个条件都选，则按①的解答过程给分）
① ②，求的面积；
(2)求的最大值.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A C C C B B ACD ABD
题号 11
答案 AB
12．49.375
13．3
14．/
15．（1）因为可以作为一组基底，所以不平行，
又不共线，所以，即，
所以，实数的取值范围为.
（2）因为垂直，所以，
即，
又，
所以，解得.
（3）因为，
所以，当时，取得最小值3，
所以的最小值为.
16．（1）由，解得，
因为小时，
所以该学校学生假期中参加社会实践活动的时间的平均数约为20.32小时.
（2）时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格，
由题意知，即求60百分位数，又，，
所以60百分位数位于18~22之间，
设60百分位数为，则，解得小时.
故至少参加21.73小时的社会实践活动，方可被评为优秀.
（3）易知，5名学生中，
优秀有人，设为，
良好有人，设为，
合格有人，设为.
任选3人，总共有，10种情况，
其中符合的有，共4种，
故概率为.
17．（1）设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，该局打4个球甲赢为事件C，
由题意可知：，，且，
可得，
所以该局打4个球甲赢的概率为．
（2）设该局打5个球结束时甲赢为事件D，乙赢为事件E，打5个球结束为事件F，
可知事件D，E为互斥事件，且，
则，
，
可得，
所以该局打5个球结束的概率为．
18．（1）由于底面是直角梯形且，所以由得，
因为底面，平面，所以，
而，平面，所以平面.
又因为平面，所以平面平面.
（2）由（1）知平面，平面，所以，
又因为，所以是二面角的平面角.
由得，
而，即，
所以在梯形中，由可得，
所以在直角中，，而，
所以，即二面角的大小为.
19．（1）由可得，原式可化为
利用正弦定理可得，
即，又，
所以，又，
可得.
选择①由利用正弦定理可得，
，解得；
易知，所以.
选择②原式可化为，可得；
因为，所以. 所以.
因此的面积为.
（2）由正弦定理可知，因此；
可得
；
又可知，
当时，取到最大值1，
即有最大值

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