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人教版2024-2025学年七年级下各章节压轴题思维训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题：本题共16小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
1. 如图，已知，点在直线，之间．
求证：
若平分，将线段沿射线平移至．
如图，若，平分，求的度数；
如图，若平分，试判断与的数量关系并说明理由．
2. 如图，，被直线所截，点是线段上的点，过点作，连接，．
请说明的理由．
将线段沿着直线平移得到线段，连接．
如图，当时，求的度数；
在整个运动中，当时，则___________．
3.如图，在等边三角形的，边上各取一点，，使，，相交于点．
求证：；
爱动脑的小聪同学提出问题：若将题中条件“”与结论“”的位置交换，得到的是否仍是真命题？请你判断并说明理由．
4. 如图，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为，边长为．
数轴上点表示的数为______．
将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分如图中阴影部分的面积记为．
当恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为______．
设点的移动距离．
当时，______；
为线段的中点，点在线段上，且，当点，所表示的数互为相反数时，求的值．
5. 如图，点为平面直角坐标系的原点，在长方形中，，，两边、分别在轴和轴上，且点满足：．
求点的坐标；
如图，若过点的直线与长方形的边交于点，且将长方形的面积分为：两部分，求点的坐标；
如图，为线段一点，且，是轴负半轴上一动点，的平分线交的延长线于点，在点运动的过程中，试判断与的数量关系，并说明理由．
6. 如图，已知正方形的边长为。
有的网格，每个方格的边长为，，把正方形画在网格中，要求顶点在格点上。
如图，把正方形放到数轴上，使得点与数重合，边在数轴上，那么点在数轴上表示的数为________．
在的条件下，如果和分别表示点对应的无理数的整数部分和小数部分，求的值要求写出，的求解过程。
7.数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起了对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：
折叠纸面，若使表示的点与表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合；
操作二：
折叠纸面，若使表示的点与表示的点重合，回答以下问题：
表示的点与数 表示的点重合；
若数轴上、两点之间距离为在的左侧，且、两点经折叠后重合，则、两点表示的数分别是 ， ；
操作三：
在数轴上剪下个单位长度从到的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段如图所示若这三条线段的长度之比为：：，则折痕处对应的点所表示的数可能是几？
8. 如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限点沿着在长方形边上运动．
点的坐标为_______．
当两点的距离为时，求点的坐标．
如图，若将长方形沿着翻折，点与点重合，边与轴交于点，求出点的坐标．
9. 如图，在中，，，以为一边，在外作等边三角形，是的中点，连接并延长交于．
求点的坐标；
求证：四边形是平行四边形；
如图，将图中的四边形折叠，使点与点重合，折痕为，求的长．
10. 定义：如图，若点在的边上，且满足，则称满足这样条件的点为的“理想点”
如图，若点是的边的中点，，，试判断点是不是的“理想点”，并说明理由；
如图，在中，，，，若点是的“理想点”，求的长；
如图，已知平面直角坐标系中，点，，为轴正半轴上一点，且满足，在轴上是否存在一点，使点，，，中的某一点是其余三点围成的三角形的“理想点”若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
11. 已知关于、的方程组．
若方程组的解也是方程的一个解，求的值；若方程组的解满足，试求的取值范围，并化简．
12.某超市准备从厂家购进、两种型号台灯，若购进台型台灯和台型台灯共需花去元；如果不满意的还可以等价换，台型台灯可换台型台灯．
分别求出、两种型号台灯的进价；
该超市购进台型台灯和台型台灯，为使每台型台灯的利润是型台灯利润的倍，且保证售完这批台灯的总利润不低于元，那么每台型台灯的售价至少是多少元？注：利润售价进价
13.定义一种新运算“”：当时，；当时，．
例如：，．
填空： ；
若，则的取值范围为 ；
已知，求的取值范围；
小明在计算时随意取了一个的值进行计算，得出结果是，小丽判断小明计算错了，小丽是如何判断的？请说明理由．
14.观察发现：
材料：解方程组
将整体代入，得，
解得，
把代入，得，
所以
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，
请直接写出方程组的解为____
实践运用：请用“整体代入法”解方程组
拓展运用：若关于，的二元一次方程组的解满足，
请求出的最小整数值．
15.以下是某网络书店月关于图书销售情况的两个统计图：
某网络书店 月销售总额统计图 绘本类图书销售额占该书店 当月销售总额的百分比统计图
求月份该网络书店绘本类图书的销售额．
若已知月份与月份这两个月的绘本类图书销售额相同，请补全统计图．
有以下两个结论：
该书店第一季度的销售总额为万元．
该书店月份到月份绘本类图书销售额的月增长率相等．
请你判断以上两个结论是否正确，并说明理由．
16. 杨家埠民俗文化灯会于正月初一至二十在杨家埠民间艺术大观园举办，此前，杨家埠民俗文化灯会已经成功举办了四届，每年入园游客达百万人次，极大丰富了市民群众的春节文化生活为了了解今年的游客构成情况，抽取了其中天的数据进行调研当天接待地游客万人，地游客万人，地游客万人，地游客万人，地游客情况如图所示，扇形圆心角．
抽到的这一天当天的游客有多少人
当天地游客所占的百分比是多少？精确到
当天地游客在扇形统计图中的圆心角是多少？精确到度人教版2024-2025学年七年级下各章节压轴题思维训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
1. 如图，已知，点在直线，之间．
求证：
若平分，将线段沿射线平移至．
如图，若，平分，求的度数；
如图，若平分，试判断与的数量关系并说明理由．
【答案】解：如图，过点作直线，
，
，
，，
；
平分，
，
平分，设，
又，
，
又，，
，
如图，过点作，
易证；
设，，
平分，
，
由知，
如图，过点作，
易证，
即，，
或
【解析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质作出辅助线是解本题的关键．
过作，可得，利用平行于同一条直线的两直线平行得到与平行，再得到一对内错角相等，进而得出答案；
平分，设，根据平行线的性质可以得到的度数；设，，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得到与的数量关系．
2.如图，，被直线所截，点是线段上的点，过点作，连接，．
请说明的理由．
将线段沿着直线平移得到线段，连接．
如图，当时，求的度数；
在整个运动中，当时，则___________．
【答案】解：因为，
所以，
因为，
所以，
所以；
如图，
因为，，
所以，
所以
因为，
所以，
所以，
所以；
或．
【解析】【分析】
本题考查了平移的性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
根据平行线的性质得到，等量代换得到，于是得到结论；
根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】
解：见答案；
见答案；
如图，
因为，
所以，
又，
所以，
．
如图，过作交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：或．
3.
如图，在等边三角形的，边上各取一点，，使，，相交于点．
求证：；
爱动脑的小聪同学提出问题：若将题中条件“”与结论“”的位置交换，得到的是否仍是真命题？请你判断并说明理由．
【答案】解：是等边三角形，
，
在，
，
，
，
，
；
是真命题，理由如下：
是等边三角形，，
，，
，
，
，
在，
，
．
【解析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形外角性质的应用，能推出两三角形全等是解此题的关键，证明过程类似，难度适中．
根据等边三角形的性质得出，，根据推出，根据全等三角形的性质得出，根据三角形外角性质即可解答；
根据等边三角形的性质得出，，由对顶角相等得出，根据三角形外角性质得出，根据推出，再根据全等三角形的性质即可解答．
4.
如图，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为，边长为．
数轴上点表示的数为______．
将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分如图中阴影部分的面积记为．
当恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为______．
设点的移动距离．
当时，______；
为线段的中点，点在线段上，且，当点，所表示的数互为相反数时，求的值．
【答案】解：．
或；
．；
如图，当原长方形向左移动时，点表示的数为，点表示的数为，
由题意可得方程：，
解得：，
如图，当原长方形向右移动时，点，表示的数都是正数，不符合题意．
【解析】【分析】
此题主要考查了平移的性质，一元一次方程的应用，数轴，关键是正确理解题意，利用数形结合列出方程，注意要分类讨论，不要漏解．
利用面积可得长，进而可得答案；
首先计算出的值，再根据长方形的面积表示出的长度，再分两种情况：当向左运动时，当向右运动时，分别求出表示的数．
因为恰好等于原长方形面积的一半，
所以，
即，
当向左运动时，如图，表示的数为
当向右运动时，如图，
，
，
表示的数为，
故答案为：或．
分两种情况，当向左运动时，当向右运动时，分别求得的值．
如图，当原长方形向左移动时，由题意得：，
，
，
，
当原长方形向右移动时，如图，
，
，
故答案为．
此题分两种情况：当原长方形向左移动时，点表示的数为，点表示的数为，再根据题意列出方程；当原长方形向右移动时，点，表示的数都是正数，不符合题意．
5.
如图，点为平面直角坐标系的原点，在长方形中，，，两边、分别在轴和轴上，且点满足：．
求点的坐标；
如图，若过点的直线与长方形的边交于点，且将长方形的面积分为：两部分，求点的坐标；
如图，为线段一点，且，是轴负半轴上一动点，的平分线交的延长线于点，在点运动的过程中，试判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】解：由题意：，，
，，
；
当点在上时，
由题意知：：，
，
．
，
．
当点在上时，，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的点坐标为或；
结论：．
理由：作交于，延长到，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】本题考查矩形的性质、三角形的面积、非负数的性质，平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
利用非负数的性质即可解决问题；
分两种情形分别讨论求解即可；
结论：作交于延长到利用平行线的性质，角平分线的定义即可解决问题．
6.
如图，已知正方形的边长为。
有的网格，每个方格的边长为，，把正方形画在网格中，要求顶点在格点上。
如图，把正方形放到数轴上，使得点与数重合，边在数轴上，那么点在数轴上表示的数为________．
在的条件下，如果和分别表示点对应的无理数的整数部分和小数部分，求的值要求写出，的求解过程。
【答案】解：，
正方形如图所示，
；
解： ，
的整数部分，小数部分 ，
则 ．

【解析】【分析】
本题考查的是实数与数轴，绝对值和估计无理数的大小．
根据题意画图即可；
设设点表示的数是，用表示出的长度，求解即可；
由得 ，便可知的整数部分和小数部分，即可得答案．
【解答】
解：设点表示的数是，
则，
点在点的左侧，
，
即，
，
故答案为；
见答案．
7.
数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起了对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：
折叠纸面，若使表示的点与表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合；
操作二：
折叠纸面，若使表示的点与表示的点重合，回答以下问题：
表示的点与数 表示的点重合；
若数轴上、两点之间距离为在的左侧，且、两点经折叠后重合，则、两点表示的数分别是 ， ；
操作三：
在数轴上剪下个单位长度从到的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段如图所示若这三条线段的长度之比为：：，则折痕处对应的点所表示的数可能是几？
【答案】；
；
，；
设折痕处对应的点所表示的数是，
如图，当：：：：时，
设，，，
，
，
，，，
，
如图，当：：：：时，
设，，，
，
，
，，，
，
如图，当：：：：时，
设，，，
，
，
，，
，
综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是或或．
故答案为：或或．
【解析】本题考查了实数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题，明确数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等，数轴上任意两点的距离为两点所代表的数值的差的绝对值；本题第三问有难度，采用了分类讨论的思想．
先确定折痕对应的点，再求解即可；
先确定折痕对应的点，再求解即可；
先确定数轴上、两点到折痕的距离为，再根据数轴上两点的距离求解即可；
分三种情况进行讨论：设折痕处对应的点所表示的数是，如图，当：：：：时，设，，，得，，得出、、的值，计算的值，同理可得出如图、对应的的值．
【解答】
解：表示的点与表示的点重合，
折痕为原点，
则表示的点与表示的点重合，
故答案为：；
操作二：
折叠纸面，若使表示的点与表示的点重合，
则折痕表示的点为，
设表示的点与数表示的点重合，
则，
；
数轴上、两点之间距离为，
数轴上、两点到折痕的距离为，
在的左侧，
则、两点表示的数分别是和；
故答案为：，和；
见答案．
8.
如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限点沿着在长方形边上运动．
点的坐标为_______．
当两点的距离为时，求点的坐标．
如图，若将长方形沿着翻折，点与点重合，边与轴交于点，求出点的坐标．
【答案】解：
；
如图，
当在上时，
在中，由勾股定理得：，
的坐标是；
当在上时，
在中，由勾股定理得：，
的坐标是；
如图，
根据翻折可得，
轴，
，
，
设，
，
在中，
，
解得：，

【解析】【分析】
本题考查了翻折的性质，勾股定理、矩形的性质、坐标和图形性质等，注意：应进行分类讨论，题目比较好，难度适中．
根据矩形的性质得到，，点的坐标为，点的坐标为，得到，，即可得到结论；
分两种情况，然后根据勾股定理，求解即可；
根据翻折可得，根据平行线的性质可得，进而可得，设，，然后根据勾股定理列出方程，求出即可．
【解答】
解：
在长方形中，
，，点的坐标为，点的坐标为，
，，
，，
点的坐标；
故答案为；
见答案；
见答案．
9.
如图，在中，，，以为一边，在外作等边三角形，是的中点，连接并延长交于．
求点的坐标；
求证：四边形是平行四边形；
如图，将图中的四边形折叠，使点与点重合，折痕为，求的长．
【答案】解：在中，，，，
，
点的坐标为；
，
轴，
轴轴，
轴，即
，
是等边三角形，
即，
四边形是平行四边形；
解：设的长为，
由折叠的性质可得：，
在中，
即，
解得：，
即．
【解析】此题考查了折叠的性质，三角函数的性质，平行四边形的判定，等边三角形的性质，以及勾股定理等知识．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意折叠中的对应关系．
由在中，，，，根据三角函数的知识，即可求得与的长，即可求得点的坐标；
首先可得，是的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证得，，又由是等边三角形，可得，根据内错角相等，两直线平行，可证得，继而可得四边形是平行四边形；
首先设的长为，由折叠的性质可得：，然后根据勾股定理可得方程，解此方程即可求得的长．
10.
定义：如图，若点在的边上，且满足，则称满足这样条件的点为的“理想点”
如图，若点是的边的中点，，，试判断点是不是的“理想点”，并说明理由；
如图，在中，，，，若点是的“理想点”，求的长；
如图，已知平面直角坐标系中，点，，为轴正半轴上一点，且满足，在轴上是否存在一点，使点，，，中的某一点是其余三点围成的三角形的“理想点”若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：结论：点是的“理想点”．
理由：如图中，
是中点，，
，
，，
，
，
，
∽，
，
点是的“理想点”，
如图中，
点是的“理想点”，
或，
当时，
，
，
，
当时，同法证明：，
在中，，，，
，
，
．
如图中，存在．有三种情形：
过点作交的延长线于，作轴于．
，，
，
，
，，
，
≌，
，，设，
，，
，，，，
，
，
，
解得或舍弃，
经检验是分式方程的解，
，，
当时，点是的“理想点”设，
，，
∽，
，
，
解得，
．
当时，点是的“理想点”．
易知：，
，
．
当时，点是的“理想点”．
易知：，
，
．
综上所述，满足条件的点坐标为或或．
【解析】结论：点是的“理想点”只要证明∽即可解决问题；
只要证明即可解决问题；
如图中，存在．有三种情形：过点作交的延长线于，作轴于构造全等三角形，利用平行线分线段成比例定理构建方程求出点坐标，分三种情形求解即可解决问题；
本题属于三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．
11.
已知关于、的方程组．
若方程组的解也是方程的一个解，求的值；若方程组的解满足，试求的取值范围，并化简．
【答案】解：
得：，
解得，
把代入得，
解得，
，
，
解得；
由得
，
，
即
解得，
．
【解析】本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用方程组的解法以及绝对值的性质，本题属于基础题型．
根据二元一次方程组的解法先解得，再代入即可求出答案；
根据先求得的取值范围，再根据绝对值的性质即可求出答案．
12.
某超市准备从厂家购进、两种型号台灯，若购进台型台灯和台型台灯共需花去元；如果不满意的还可以等价换，台型台灯可换台型台灯．
分别求出、两种型号台灯的进价；
该超市购进台型台灯和台型台灯，为使每台型台灯的利润是型台灯利润的倍，且保证售完这批台灯的总利润不低于元，那么每台型台灯的售价至少是多少元？注：利润售价进价
【答案】解：设型号台灯的进价为元台，型号台灯的进价为元台，由题意得，
解得，
答：、两种型号台灯的进价分别为、元台；
设每台型台灯的利润是元，由题意得，
，
解得，
，
元．
答：每台型台灯的售价至少是元．
【解析】此题考查了一元一次不等式组的实际运用，二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系与不等关系是解决问题的关键．
设型号台灯的进价为元台，型号台灯的进价为元台，根据”购进台型台灯和台型台灯共需花去元；如果不满意的还可以等价换，台型台灯可换台型台灯“列出方程组解答即可；
设每台型台灯的利润是元，则每台型台灯的利润是元，根据售完这批台灯的总利润不低于元，列出不等式解答即可．
13.
定义一种新运算“”：当时，；当时，．
例如：，．
填空： ；
若，则的取值范围为 ；
已知，求的取值范围；
小明在计算时随意取了一个的值进行计算，得出结果是，小丽判断小明计算错了，小丽是如何判断的？请说明理由．
【答案】解：；
；
由题意知或
解得：或；
，
，
原式
，
小明计算错误．

【解析】【分析】
本题主要考查有理数的混合运算，解一元一次不等式以及解一元一次不等式组，严格遵循解不等式的基本步骤和弄清新定义是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
根据公式计算可得；
结合公式知，解之可得；
由题意可得或，分别求解可得；
先利用作差法判断出，再根据公式计算即可得．
【解答】
解：；
故答案为；
，
，
解得：；
故答案为；
见答案；
见答案．
14.
观察发现：
材料：解方程组
将整体代入，得，
解得，
把代入，得，
所以
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，
请直接写出方程组的解为____
实践运用：请用“整体代入法”解方程组
拓展运用：若关于，的二元一次方程组的解满足，
请求出的最小整数值．
【答案】解：；
由得：，
将代入得：，即，
将代入得：，
解得，
则方程组的解为；
得：，
即，
代入不等式得：，
解得：，
则满足条件的最小整数值是．
【解析】【分析】
本题主要考查用“整体代入法”解二元一次方程组和一元一次不等式的整数解，读懂题意，根据题目特征灵活运用“整体代入法”解二元一次方程组是解题的关键；
由第一个方程求出的值，代入第二个方程求出的值，进而求出的值，即可确定出方程组的解．
由第一个方程求出的值，代入第二个方程求出的值，进而求出的值，即可确定出方程组的解．
将方程组的两方程相加表示出，代入已知不等式求出的范围，即可确定出的最小整数值．
【解答】
解：由得：，
将代入得：，即，
将代入得：，
则方程组的解为．
故答案为．
见答案；
见答案．
15.
以下是某网络书店月关于图书销售情况的两个统计图：
某网络书店 月销售总额统计图 绘本类图书销售额占该书店 当月销售总额的百分比统计图
求月份该网络书店绘本类图书的销售额．
若已知月份与月份这两个月的绘本类图书销售额相同，请补全统计图．
有以下两个结论：
该书店第一季度的销售总额为万元．
该书店月份到月份绘本类图书销售额的月增长率相等．
请你判断以上两个结论是否正确，并说明理由．
【答案】解：月份绘本类图书的销售额为万元．
月份绘本类图书销售总额占的百分比为．
补全图形如下：
第一季度销售总额为万元，故正确．
月份到月份，绘本类图书销售额增长率为．
月份到月份增长率为，故错误．
【解析】本题主要考查条形统计图与折线统计图，解题的关键是从两幅统计图中得出解题所需的数据及两者间的关联．
用月份图书的月销售额乘以绘本类图书销售额占该书店当月销售总额的百分比即可得；
由月份与月份这两个月的绘本类图书销售额相同得出其销售额，再除以月份总销售额即可得；
将、、月销售额相加可得总销售额，即可判断；分别求出两个月份的增长率，从而判断．
16.
杨家埠民俗文化灯会于正月初一至二十在杨家埠民间艺术大观园举办，此前，杨家埠民俗文化灯会已经成功举办了四届，每年入园游客达百万人次，极大丰富了市民群众的春节文化生活为了了解今年的游客构成情况，抽取了其中天的数据进行调研当天接待地游客万人，地游客万人，地游客万人，地游客万人，地游客情况如图所示，扇形圆心角．
抽到的这一天当天的游客有多少人
当天地游客所占的百分比是多少？精确到
当天地游客在扇形统计图中的圆心角是多少？精确到度
【答案】解：地游客为游客总数的 ，
除地游客外其余所有的游客为游客总数的 ，
总人数为万人；
当天地游客占总游客数的百分比为；
当天地游客在扇形统计图中的圆心角度数为．
【解析】本题考查的是扇形统计图有关知识．
根据题意得到除地游客外其余所有的游客为游客总数的 ，求出游客总人数即可解答；
用地游客数除以总人数计算即可；
用地游客数除以总人数再乘以进行计算即可．

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