资源简介

18.3.1 同分母分式相加减
第十八章 分式
【2025新教材】人教版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
18.3.1 同分母分式相加减教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能够准确理解并熟练掌握同分母分式相加减的运算法则，能用数学语言清晰表述法则内容，即同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减，用式子表示为\(\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}\)（\(c\neq0\)）。
能运用同分母分式相加减的法则，熟练进行简单同分母分式的加减运算，包括分子为单项式、多项式的不同情形，并能将结果化为最简分式或整式。
能够解决与同分母分式加减运算相关的实际问题，将实际问题中的数量关系转化为数学运算，提高数学应用能力。
（二）过程与方法目标
通过类比同分母分数相加减的运算法则，引导学生自主探究同分母分式相加减的法则，培养学生的类比推理能力和知识迁移能力，让学生体会数学知识之间的内在联系。
在运用法则进行运算的过程中，提高学生的运算能力和逻辑思维能力，培养学生严谨的计算习惯和有条理的思考方式。
通过解决实际问题，培养学生分析问题、抽象出数学模型并解决问题的能力，增强学生应用数学知识解决实际问题的意识。
（三）情感态度与价值观目标
以生活实例引入同分母分式相加减的运算，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣和积极性，提高学生学习数学的热情。
在探究法则和解决问题的过程中，鼓励学生积极思考、勇于尝试，培养学生克服困难的意志品质和勇于探索的精神，增强学生学习数学的自信心。
通过小组合作学习和交流，培养学生的团队合作精神和沟通能力，让学生在合作中体验成功的喜悦，感受集体的智慧和力量。
二、教学重难点
（一）教学重点
深入理解同分母分式相加减的运算法则，明确其与同分母分数相加减法则的一致性，掌握法则的本质。
熟练运用同分母分式相加减的法则进行准确运算，包括对分子进行正确的加减运算以及将结果化简。
能够将实际问题转化为同分母分式相加减的数学问题，并运用法则求解，提高学生解决实际问题的能力。
（二）教学难点
当分子为多项式时，在进行加减运算过程中，准确处理各项的符号，避免出现符号错误。
对运算结果进行正确化简，尤其是涉及到因式分解、约分等步骤时，确保结果为最简分式或整式。
理解同分母分式相加减运算法则的算理，能够清晰解释每一步运算的依据，从理论层面深入理解运算过程。
三、教学方法
类比教学法：通过回顾同分母分数相加减的运算法则和计算方法，与同分母分式相加减进行类比，引导学生自主发现和推导分式的运算法则，降低学习难度，帮助学生更好地理解和掌握新知识。
探究式教学法：设置问题情境，引导学生通过观察、分析、计算等活动，自主探究同分母分式相加减法则的推导过程，培养学生的自主探究能力和创新思维，提高学生发现问题、解决问题的能力。
讲练结合法：在讲解同分母分式相加减的法则和例题后，及时安排针对性的练习题，让学生在练习中巩固所学知识。教师巡视指导，及时发现学生存在的问题并进行纠正，提高学生的运算技能和解题能力。
小组合作学习法：组织学生进行小组合作学习，共同探讨在同分母分式相加减运算中遇到的难点问题和实际应用问题。通过小组讨论和交流，促进学生之间的思想碰撞和知识共享，培养学生的团队合作精神和合作学习能力。
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
回顾同分母分数相加减的运算法则：
提问学生同分母分数相加减的计算方法，预设学生回答：同分母的分数相加减，分母不变，分子相加减。例如\(\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2 + 1}{5} = \frac{3}{5}\)，\(\frac{7}{8} - \frac{3}{8} = \frac{7 - 3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\) 。
请学生再举几个同分母分数相加减的例子，并进行计算，巩固对法则的理解和运用。
引发思考：
提出问题：分数有同分母相加减的运算法则，那么分式是否也有类似的运算法则呢？比如\(\frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}\)，\(\frac{2a}{a - b} - \frac{a}{a - b}\) 这样的同分母分式如何进行加减运算呢？由此引出本节课的课题 —— 同分母分式相加减。
（二）探索新知（15 分钟）
同分母分式相加减法则的推导
展示实际问题：一个工程队计划完成一项工程，甲队单独完成需要\(x\)天，乙队单独完成需要\(y\)天。若甲队每天完成工程的\(\frac{a}{x + y}\)，乙队每天完成工程的\(\frac{b}{x + y}\)，那么两队一天共完成工程的多少？
引导学生根据题意列出算式\(\frac{a}{x + y} + \frac{b}{x + y}\) ，并思考如何计算。
类比同分母分数相加减的法则，让学生尝试计算\(\frac{a}{x + y} + \frac{b}{x + y}\) ，得出\(\frac{a}{x + y} + \frac{b}{x + y} = \frac{a + b}{x + y}\) 。
再给出多个同分母分式相加减的例子，如\(\frac{3}{2x - 1} + \frac{1}{2x - 1}\)，\(\frac{m^2}{m - 2} - \frac{4}{m - 2}\)，引导学生计算并观察结果。
组织学生小组讨论，总结同分母分式相加减的运算法则，每个小组推选代表发言。
教师进行总结归纳，得出同分母分式相加减的运算法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减，用式子表示为\(\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}\)（\(c\neq0\)）。同时强调，这里的\(a\)、\(b\)可以是单项式，也可以是多项式，并且运算结果要化为最简分式或整式。
法则的理解与强调
结合具体例子，详细讲解法则的应用。以\(\frac{3}{2x - 1} + \frac{1}{2x - 1}\)为例，说明分母\(2x - 1\)保持不变，分子\(3\)和\(1\)相加，得到\(\frac{3 + 1}{2x - 1} = \frac{4}{2x - 1}\) ，因为\(\frac{4}{2x - 1}\)已经是最简分式，所以无需再化简。
对于分子是多项式的情况，如\(\frac{m^2}{m - 2} - \frac{4}{m - 2}\)，先对分子进行计算，\(m^2 - 4\)可以因式分解为\((m + 2)(m - 2)\)，则原式变为\(\frac{(m + 2)(m - 2)}{m - 2}\) ，然后进行约分，得到\(m + 2\) 。强调在分子是多项式的加减运算中，要注意各项的符号，避免出现错误。
提问学生在运用法则进行运算时需要注意的事项，引导学生思考并回答，加深对法则的理解和记忆。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：计算
(1)\(\frac{2x}{x - y} + \frac{2y}{x - y}\)
分析：根据同分母分式相加法则，分母不变，分子相加。
解：\(\frac{2x}{x - y} + \frac{2y}{x - y} = \frac{2x + 2y}{x - y} = \frac{2(x + y)}{x - y}\) ，因为\(\frac{2(x + y)}{x - y}\)已经是最简分式，所以结果为\(\frac{2(x + y)}{x - y}\) 。
(2)\(\frac{3a^2}{a + 1} - \frac{a}{a + 1}\)
分析：按照同分母分式相减法则，分母不变，分子相减，再对分子进行化简。
解：\(\frac{3a^2}{a + 1} - \frac{a}{a + 1} = \frac{3a^2 - a}{a + 1} = \frac{a(3a - 1)}{a + 1}\) ，\(\frac{a(3a - 1)}{a + 1}\)是最简分式，即为最终结果。
例 2：计算
(1)\(\frac{x^2 - 4}{x + 2} + \frac{4 - 4x}{x + 2}\)
分析：先对分子进行化简，再根据同分母分式相加法则进行计算，最后化简结果。
解：\(\frac{x^2 - 4}{x + 2} + \frac{4 - 4x}{x + 2} = \frac{x^2 - 4 + 4 - 4x}{x + 2} = \frac{x^2 - 4x}{x + 2} = \frac{x(x - 4)}{x + 2}\) ，\(\frac{x(x - 4)}{x + 2}\)为最简形式，是最终答案。
(2)\(\frac{2m}{m^2 - 9} - \frac{3}{m^2 - 9}\)
分析：分母\(m^2 - 9\)可因式分解为\((m + 3)(m - 3)\)，分子相减后再化简。
解：\(\frac{2m}{m^2 - 9} - \frac{3}{m^2 - 9} = \frac{2m - 3}{(m + 3)(m - 3)}\) ，\(\frac{2m - 3}{(m + 3)(m - 3)}\)是最简分式，为计算结果。
（四）课堂练习（10 分钟）
计算
(1)\(\frac{5}{a + b} + \frac{3}{a + b}\)
(2)\(\frac{2x}{x - 3} - \frac{x}{x - 3}\)
(3)\(\frac{m^2 - 1}{m + 1} + \frac{2m + 2}{m + 1}\)
(4)\(\frac{3}{x^2 - 4} - \frac{2x - 1}{x^2 - 4}\)
解决实际问题：甲、乙两个打字员打同一份文件，甲每小时打这份文件的\(\frac{a}{a + 2}\)，乙每小时打这份文件的\(\frac{2}{a + 2}\)，两人合作一小时能打这份文件的几分之几？如果\(a = 3\)，两人合作一小时打了这份文件的几分之几？
教师巡视学生练习情况，及时发现问题并给予指导，选取部分学生的答案进行展示和点评，强调运算过程中的易错点，如分子相加减时的符号问题、结果化简不彻底等。
（五）课堂小结（3 分钟）
与学生一起回顾同分母分式相加减的运算法则，通过提问的方式，让学生复述法则内容，强化记忆。
总结在同分母分式相加减运算过程中的注意事项，包括分子相加减时的符号处理、结果的化简等关键环节。
强调同分母分式相加减法则与同分母分数相加减法则的类比关系，帮助学生构建完整的知识体系，鼓励学生在课后多做练习，熟练掌握运算方法。
（六）作业布置（2 分钟）
基础作业：教材课后练习题中关于同分母分式相加减的基础题目，要求学生认真完成，巩固本节课所学的知识和技能，确保学生熟练掌握基本运算方法。
拓展作业：
计算\(\frac{x^2 + 3x}{x^2 - 4} - \frac{x + 2}{x^2 - 4} + \frac{4 - 2x}{x^2 - 4}\)，提高学生综合运用同分母分式相加减法则的能力，尤其是涉及多项运算时的准确性。
编写一道与生活实际相关的同分母分式相加减的应用题，并进行解答，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力和创新思维，加深对知识的理解和应用。
五、教学反思
在教学过程中，密切关注学生对同分母分式相加减运算法则的理解和掌握情况。通过课堂练习和学生的回答，分析学生在运算过程中出现的问题，如分子相加减时符号错误、对分子是多项式的运算不熟练、结果化简不彻底等。针对这些问题，在后续教学中加强对分子加减运算的专项练习，尤其是涉及多项式的运算，增加符号处理的训练；强化因式分解、约分等化简知识的复习和巩固，帮助学生提高运算的准确性和熟练度。同时，关注学生在小组合作学习中的参与度和表现，及时给予指导和反馈，促进学生之间的交流与合作，提高学生的学习效果。此外，思考如何设计更生动有趣、贴近生活的教学情境和练习题目，激发学生的学习兴趣，进一步优化教学方法，提高课堂教学质量。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1. 通过类比分数的加减法法则得出分式的加减法法则，能用文字语言和符号语言表示分式的加减法法则，锻炼学生用数学式子表示数量关系的能力，培养学生的符号感．
2．通过学生独立思考、互相交流，引导学生归纳概括出分式的加减法法则，提高学生的归纳及概括能力．
3．通过订正习题、交流不同解法，明确异分母分式必须化为同分母分式才能进行加减运算，提高学生的观察及分析能力．
重点
难点
旧识回顾
1．如何进行分式的通分？
2．将下列分式通分：
先求各分式的最简公分母，再用这个最简公分母除以各分式的分母，最后用所得的商去乘原各分式的分子、分母
问题导入
同学们，你们上学用什么交通工具呢？
问题：小明从家到学校依次需要经过：1 km的上坡路，2 km的下坡路.已知小明骑车在上坡路上的速度为v km/h，在下坡路上的速度为3v km/h，则：
从小明家到学校总共需要多长时间？
小明上坡和下坡所用时间哪个更短？（只列式不计算）
请同学们观察列出的式子，是什么运算？
历史导入
同学们，你们认识这个人吗？
这是希腊数学家丢番图，他曾经研究过一个问题：如何把42写成两个数的平方和的形式，即42=x2+y2，演算过程中出现了????????????????+????????????????=????????????????????+????????????????????=????????????+????????????????????=????????.
由于42=16，于是他求得了一组解：
x=????????????，y=????????????.上述式子用到了什么法则呢？
?
1.甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？
知识点 1
同分母分式的加减法法则
解：甲工程队一天完成这项工程的____，
乙工程队一天完成这项工程的_______ ，
两队共同工作一天完成这项工程的 ____________.
2. 2009年，2010年，2011年某地的森林面积(单位：公顷)分别是S1，S2，S3，2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？
解：2011年的森林面积增长率是___________，
2010年的森林面积增长率是__________，
2011年与2010年相比，森林面积增长率提高____________.
1.同分母分数加减法的法则如何叙述？
2.你认为
请计算：
分母不变，把分子相加减.
【同分母的分数加减法的法则】
同分母的分数相加减，
【同分母的分式加减法的法则】
同分母分式相加减，
分母不变，把分子相加减.
同分母的分式加减法的法则
例 计算：
素养考点
同分母分式的加减的计算
解：原式
归纳总结：
同分母分式的加减，分母不变，分子相加减，当分子是多项式时，先加括号，然后进行计算，结果要化为最简分式或整式.
–1
直接说出运算结果.
.
.
.
.
（1）
（2）
（3）
（4）
计算：
解：原式
解：原式
（1）
（2）
异分母的分数如何加减？
通分，将异分母的分数化为同分母的分数.
知识点 2
异分母分式的加减法的法则
想一想
异分母分式的加减应该如何进行？
【异分母的分数加减法的法则】
先通分，变为同分母的分数，再加减.
【异分母的分式加减法的法则】
先通分，变为同分母的分式，再加减.
比如：
想一想
符号表示：
例 (1)
素养考点
异分母分式的加减的计算
归纳总结：
异分母分式的加减分为两步：第一步通分，化为同分母分式；第二步运用同分母分式的加减法则计算.
解：原式
(2)
a2 –4 能分解：
a2 –4 =(a+2)(a–2)，
其中 (a–2)恰好为第二个分式的分母，所以 (a+2)(a–2)即为最简公分母.
分子相减时，“减式”要添括号！
解：原式
计算：
=x+y
解：原式
=
解：原式
（1）
（2）
计算：
（1）
（2）
解:原式
解:原式
1. 计算3xx?1?3x?1 的结果等于( )
?
A
A. 3 B. x C. xx?1 D. 3x2?1
?
2. 如图，一个正确的运算过程被盖住了一
部分，则被盖住的是( )
D
A. 1x?3 B. x+3x?3 C. 2 D. 1
?
返回
3. 下列计算正确的是( )
D
A. 2m+1?m=3m
B. 2y+2?1+y2+y=1+yy+2
C. aa?b?bb?a=1
D. a(a?b)2?b(b?a)2=1a?b
?
返回
4. 小明在化简分式3nm?2n+2m?n2n?m 的过程中，
因为其中一个步骤的错误，导致化简结果是错误的，小明开
始出现错误的那一步是( )
?
原式=3n?(2m?n)m?2n ………………①
=4n?2mm?2n ………………②
=2(2n?m)m?2n ………………③
=2 .………………④
?
D
A. ① B. ② C. ③ D. ④
返回
5.［2024内江］已知实数a，b满足ab=1，则1a2+1+1b2+1=
___.
?
1
【点拨】∵ab=1，∴ 原式
=aba2+ab+abb2+ab=ba+b+aa+b=a+ba+b=1 .
?
6. 若a，b互为倒数，且a≠b ，则分式
a2ba?b?ab2a?b 的值为___.
?
1
返回
7.母题教材P152例1 计算：
（1）3a?2a2?a+2a?1a?a2 ；
?
【解】原式
=3a?2a2?a?2a?1a2?a=3a?2?(2a?1)a2?a=3a?2?2a+1a(a?1)=a?1a(a?1)=1a .
?
（2）3a+2b5a2b+a+b5a2b?b?a5a2b .
?
原式=3a+2b+a+b+a?b5a2b=5a+2b5a2b .
?
返回
8. 若xa?b=yb?c=1c?a，则x+y 的值为( )
?
B
A. 0 B. ?1 C. 1 D. 0.5
?
【点拨】∵xa?b=yb?c=1c?a，∴x=a?bc?a,y=b?cc?a ,
∴x+y=a?b+b?cc?a=a?cc?a=?1 .
?
返回
9. 若x是非负整数，则表示2xx+2?x2?4(x+2)2 的
值的对应点落在如图所示的数轴上的范围是( )
?
B
A. ① B. ② C. ③ D. ①或②
【点拨】原式
=2xx+2?(x+2)(x?2)(x+2)2=2xx+2?x?2x+2=2x?(x?2)x+2=2x?x+2x+2=x+2x+2=1 ，
则表示2xx+2?x2?4(x+2)2 的值的对应点落在数轴上的范围是②.
?
返回
10. 计算：①1x?x+1x;②x2?y24xy?x2+y24xy;③x2+y2x?y+2xyy?x ;
④x+3x+2?x?2x2?4 .所得的结果中，是整式的有( )
?
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
分式的加减法法则
谢谢观看！

展开更多......

收起↑