资源简介

(共28张PPT)
18.3.2分式的混合运算
第十八章 分式
【2025新教材】人教版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
分式的混合运算教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能够牢固掌握分式的加、减、乘、除以及乘方的运算法则，准确用数学语言表述，如分式乘法法则为分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即\(\frac{a}{b} \frac{c}{d}=\frac{a c}{b d}\)（\(b 0\)，\(d 0\)）等。
能依据运算法则，熟练且准确地进行分式的混合运算，包括分子分母为单项式、多项式的复杂情形，并将结果化简为最简分式或整式。
明确分式混合运算的顺序，即先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面的，并能严格按照顺序进行运算。
（二）过程与方法目标
通过类比分数的混合运算，引导学生自主探究分式混合运算的方法和顺序，培养学生的类比推理能力和知识迁移能力，体会数与式运算的相似性与联系。
在解决分式混合运算问题的过程中，提升学生的运算能力、逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生严谨的治学态度和良好的计算习惯。
经历从具体实例到抽象运算法则的归纳过程，提高学生的抽象概括能力，培养学生数学建模的思想。
（三）情感态度与价值观目标
以实际生活问题或有趣的数学情境引入分式混合运算，让学生感受数学与生活的紧密联系以及数学的实用性，激发学生学习数学的兴趣和积极性。
在探究和解决问题的过程中，鼓励学生积极思考、勇于尝试，培养学生克服困难的意志品质和勇于探索的精神，增强学生学习数学的自信心。
通过小组合作学习和课堂交流活动，培养学生的团队合作精神和交流能力，让学生学会倾听他人意见，学会与他人合作解决问题，体会集体智慧的力量。
二、教学重难点
（一）教学重点
熟练掌握分式的加、减、乘、除及乘方的运算法则，并能准确运用。
明确分式混合运算的顺序，能够按照正确顺序进行复杂分式的混合运算。
能够将实际问题转化为分式混合运算问题，并运用所学知识求解，提高学生解决实际问题的能力。
（二）教学难点
在分式混合运算中，当分子分母为多项式时，准确进行因式分解、通分和约分，避免出现运算错误。
理解并正确处理分式混合运算中的符号问题，尤其是在减号和负号较多的情况下，确保运算结果的正确性。
能够灵活运用运算律和运算法则，选择简便的运算方法进行分式混合运算，提高运算效率。
三、教学方法
类比教学法：通过回顾分数的混合运算顺序和运算法则，与分式混合运算进行类比，引导学生自主发现和推导分式混合运算的方法和顺序，降低学习难度，加深学生对知识的理解和记忆。
探究式教学法：设置问题情境，引导学生通过观察、分析、计算、讨论等活动，自主探究分式混合运算的规律和方法，培养学生的自主探究能力和创新思维，提高学生发现问题、解决问题的能力。
讲练结合法：在讲解分式混合运算的法则、顺序和例题后，及时安排针对性的练习题，让学生在练习中巩固所学知识。教师巡视指导，及时发现学生存在的问题并进行纠正，通过反复练习，提高学生的运算技能和解题能力。
小组合作学习法：组织学生进行小组合作学习，共同探讨分式混合运算中的难点问题和实际应用问题。通过小组讨论和交流，促进学生之间的思想碰撞和知识共享，培养学生的团队合作精神和合作学习能力。
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
回顾分式的基本运算法则
请学生分别回答分式的乘法、除法、加法、减法以及乘方的运算法则，教师在黑板上或通过多媒体展示相应的式子：
分式乘法法则：\(\frac{a}{b} \frac{c}{d}=\frac{a c}{b d}\)（\(b 0\)，\(d 0\)）
分式除法法则：\(\frac{a}{b} ·\frac{c}{d}=\frac{a}{b} \frac{d}{c}=\frac{a d}{b c}\)（\(b 0\)，\(c 0\)，\(d 0\)）
同分母分式加法法则：\(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a + b}{c}\)（\(c 0\)）
异分母分式加法法则：\(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad + bc}{bd}\)（\(b 0\)，\(d 0\)）
分式乘方法则：\((\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}\)（\(n\)为正整数，\(b 0\)）
随机给出一些简单的分式基本运算题目，如\(\frac{2x}{3y} \frac{9y^2}{4x^2}\)，\(\frac{5a}{6b} ·\frac{10a}{3b^2}\)，\(\frac{3}{x - 1}+\frac{2}{x - 1}\)，\(\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}\)，\((\frac{3m}{2n})^3\)等，让学生在练习本上计算，然后请几位学生上台板演，其他学生进行评价，巩固分式的基本运算法则。
回顾分数的混合运算顺序
提问学生分数混合运算的顺序，预设学生回答：先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先算括号里面的，括号的顺序是先小括号，再中括号，最后大括号。
给出一道分数混合运算题目，如\(\frac{1}{2} (3 - \frac{1}{2}) ·\frac{5}{4} + \frac{3}{8}\)，请学生说出运算顺序并进行计算，复习分数混合运算顺序，为引入分式混合运算做铺垫。
引出课题
提出问题：既然我们已经熟悉了分式的基本运算和分数的混合运算顺序，那么分式的混合运算又该如何进行呢？比如\(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1} ·\frac{x - 1}{x + 1} - \frac{x}{x + 2}\)这样的式子，包含了分式的乘除、加减多种运算，该按照怎样的顺序和方法来计算呢？由此引出本节课的课题 —— 分式的混合运算。
（二）探索新知（15 分钟）
分式混合运算顺序的探究
展示问题：计算\((\frac{a}{b})^2 \frac{b}{a} ·\frac{a}{b}\)。
引导学生思考：类比分数混合运算顺序，这个式子应该先算什么，再算什么？
让学生尝试计算，可能有部分学生直接从左到右依次计算，也可能有学生先算乘方。请不同做法的学生上台展示计算过程。
假设先算乘方的学生做法如下：\((\frac{a}{b})^2 \frac{b}{a} ·\frac{a}{b}=\frac{a^2}{b^2} \frac{b}{a} ·\frac{a}{b}\)（先算乘方，根据分式乘方法则）\(=\frac{a^2}{b^2} \frac{b}{a} \frac{b}{a}\)（再将除法转化为乘法，根据分式除法法则）\(=\frac{a^2 b b}{b^2 a a}\)（根据分式乘法法则进行分子分母分别相乘）\(=1\)（约分得到结果）
假设直接从左到右依次计算的学生做法如下：\((\frac{a}{b})^2 \frac{b}{a} ·\frac{a}{b}=\frac{a}{b} \frac{a}{b} \frac{b}{a} ·\frac{a}{b}\)（先将乘方展开）\(=\frac{a a b}{b b a} ·\frac{a}{b}\)（根据分式乘法法则计算前两个分式相乘）\(=\frac{a}{b} ·\frac{a}{b}\)（约分）\(=\frac{a}{b} \frac{b}{a}\)（将除法转化为乘法）\(=1\)（计算得到结果）
对比两种做法，引导学生讨论哪种做法更符合运算规律且不容易出错。通过讨论，让学生明确分式混合运算应先算乘方，再算乘除，最后算加减。
进一步提问：如果式子中有括号呢？比如\((\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) \frac{ab}{a^2 + b^2}\)，该如何计算？引导学生思考括号的作用以及运算顺序，得出有括号时要先算括号里面的结论。
总结分式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先算括号里面的，括号的运算顺序遵循先小括号，再中括号，最后大括号。用简洁语言概括为 “先乘方，后乘除，再加减，括号优先”。
分式混合运算方法的探究
展示问题：计算\(\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4} ·\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{x}{x + 2}\)。
引导学生分析式子中包含的运算类型，有分式的除法和减法。
按照运算顺序，先算除法：\(\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4} ·\frac{x - 2}{x + 2}=\frac{(x + 2)(x - 2)}{(x + 2)^2} \frac{x + 2}{x - 2}\)（对分子分母进行因式分解，根据平方差公式\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)和完全平方公式\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)）\(=\frac{(x + 2)(x - 2)(x + 2)}{(x + 2)^2(x - 2)}\)（根据分式乘法法则，分子分母分别相乘）\(=1\)（约分得到结果）
再算减法：\(1 - \frac{x}{x + 2}=\frac{x + 2}{x + 2} - \frac{x}{x + 2}\)（将\(1\)化为分母为\(x + 2\)的分式）\(=\frac{x + 2 - x}{x + 2}\)（根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减）\(=\frac{2}{x + 2}\)（计算得到最终结果）
组织学生小组讨论，总结在分式混合运算过程中的注意事项，如：
运算顺序要严格遵守，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面的。
分子分母为多项式时，要先进行因式分解，以便于约分和通分。
注意运算过程中的符号变化，尤其是在减号和负号较多的情况下，要小心处理。
计算结果要化为最简分式或整式。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：计算\((\frac{2a}{a - b})^2 \frac{a^2 - b^2}{a^2} ·\frac{a}{b}\)
分析：按照分式混合运算顺序，先算乘方，再算乘除。
解：\((\frac{2a}{a - b})^2 \frac{a^2 - b^2}{a^2} ·\frac{a}{b}\)\(=\frac{(2a)^2}{(a - b)^2} \frac{(a + b)(a - b)}{a^2} ·\frac{a}{b}\)（先算乘方，对分子分母分别乘方；对\(a^2 - b^2\)因式分解）\(=\frac{4a^2}{(a - b)^2} \frac{(a + b)(a - b)}{a^2} \frac{b}{a}\)（将除法转化为乘法）\(=\frac{4a^2 (a + b)(a - b) b}{(a - b)^2 a^2 a}\)（根据分式乘法法则，分子分母分别相乘）\(=\frac{4b(a + b)}{a(a - b)}\)（约分得到结果）
例 2：计算\(\frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1} ·(\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x}{x^2 - 1})\)
分析：先算括号里面的减法，需要通分，再算括号外面的除法。
解：
先算括号里面的：\(\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x}{x^2 - 1}=\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x}{(x + 1)(x - 1)}\)（对\(x^2 - 1\)因式分解）\(=\frac{(x + 1)^2}{(x + 1)(x - 1)} - \frac{x}{(x + 1)(x - 1)}\)（通分，将\(\frac{x + 1}{x - 1}\)分子分母同乘\(x + 1\)）\(=\frac{(x + 1)^2 - x}{(x + 1)(x - 1)}\)（根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减）\(=\frac{x^2 + 2x + 1 - x}{(x + 1)(x - 1)}\)（展开\((x + 1)^2\)）\(=\frac{x^2 + x + 1}{(x + 1)(x - 1)}\)
再算括号外面的除法：\(\frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1} ·\frac{x^2 + x + 1}{(x + 1)(x - 1)}\)\(=\frac{(x + 1)(x - 1)}{(x - 1)^2} \frac{(x + 1)(x - 1)}{x^2 + x + 1}\)（对分子分母进行因式分解，将除法转化为乘法）\(=\frac{(x + 1)^2}{x^2 + x + 1}\)（约分得到结果）
（四）课堂练习（10 分钟）
计算
(1)\((\frac{3x}{x - 2})^2 \frac{x^2 - 4}{9x^2} ·\frac{x}{x + 2}\)
(2)\(\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9} ·(\frac{x - 3}{x + 3} - \frac{x}{x + 3})\)
(3)\((\frac{a}{a + 1} - \frac{1}{a^2 + a}) \frac{a}{a - 1}\)
解决实际问题：甲、乙两人同时从 A 地出发，骑自行车前往 B 地。甲每小时骑行的路程比乙多\(\frac{1}{x}\)千米，甲骑行\(3\)小时的路程为\(\frac{3(x + 1)}{x}\)千米，乙骑行\(2\)小时的路程为\(\frac{2(x + 2)}{x + 1}\)千米。求甲、乙两人的速度分别是多少？甲比乙每小时多骑行多少千米？（用含\(x\)的式子表示）
教师巡视学生练习情况，及时发现问题并给予指导，选取部分学生的答案进行展示和点评，强调运算过程中的易错点，如运算顺序错误、因式分解不彻底、通分错误、符号问题等。对于实际问题，重点关注学生能否正确将实际情境转化为分式运算问题，并正确解答。
（五）课堂小结（3 分钟）
与学生一起回顾分式混合运算的顺序，通过提问的方式，让学生再次明确 “先乘方，后乘除，再加减，括号优先” 的运算顺序。
总结分式混合运算过程中的注意事项，如分子分母为多项式时要先因式分解，注意符号变化，结果要化为最简等。
强调分式混合运算与分数混合
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1. 通过运用分式的运算法则进行加、减、乘、除以及乘方的混合运算，提高学生的计算能力和分式的应用能力．
2．通过分式的混合运算过程，培养学生的代数化归的能力，培养学生自主探究、合作交流的习惯．
重点
难点
复习导入
同学们，目前我们已经学完了分式的加、减、乘、除、乘方法则，我们先来复习一下：
乘法：.
除法：.
乘方：.
加减法：，.
数的混合运算的顺序是什么？你能将它们推广，得出分式的混合运算顺序吗？
分式的混合运算顺序：
“从高到低、从左到右、括号从小到大”．　　
知识点
分式的混合运算
学生活动 【一起探究】
例1 计算：　
这道题的运算顺序是怎样的？ 　　　
素养考点 1
较简单的分式的混合运算
解：
　　对于不带括号的分式混合运算：
(1)运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减；
(2)计算结果要化为最简分式．
化简 的结果是( )
A.a–b B.a+b C. D.
B
计算： =( )
A. B. C. D.
A
例2 计算：　　
素养考点 2
较复杂的分式的混合运算
解:原式
解:原式
　　对于带括号的分式混合运算：
(1)将各分式的分子、分母分解因式后，再进行计算；
(2)先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号内的；
(3)计算结果要化为最简分式或整式．
归纳总结
用两种方法计算：
=
解：(按运算顺序) 原式
=
(利用乘法分配律)
原式
例3 根据规划设计，某市工程队准备在开发区修建一条长
1120m的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10m，从而缩短了工期，假设原计划每天修建盲道x m，那么，
(2)实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天？
(1)原计划修建这条盲道需多少天？实际修建这条盲道用了多少天？
素养考点 3
利用分式的混合运算解决问题
解析：(1)原计划修建需 天，
实际修建需
天.
(2)实际修建比原计划缩短了 (天).
1. 母题教材P155练习 化简 的结果为( )
B
A. B. C. D.
返回
2. 下面是涂涂同学完成的一组分式化简的练习题，每小题20
分，他能得的分数是( )
; ;
； ;
.
A
A. 40分 B. 60分
C. 80分 D. 100分
【点拨】 ,故①正确；
,故②错误;
,故③错误； ,故④正确；
⑤
,
故⑤错误.故正确的是 ,涂涂的得分为40分.故选A.
返回
3. 阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填
空题破了一个洞（如图所示）， 表示破损的部分，则破
损部分的式子可能是( )
A
A. B.
C. D.
返回
4.我们常用一个大写字母来表示一个代数式，已知
，，则化简 的结果为 ______.
5. 小明在化简式子 时，发现最
终结果是整式，则 表示的式子可以是___________________
____.
（答案不唯一）
返回
6.计算：
（1） ；
【解】原式
.
（2） .
原式
.
返回
7. 先化简： ，再
从的整数中选一个合适的 值代入求值.
【解】
.
且为整数，，， 易得 且
， 当时，原式 .
当时，原式 .
返回
8. ［2025菏泽期中］若，则 的值是
( )
B
A. 1 B. C. D.
【点拨】，， ，
，，即 .
返回
9. 已知为整数，且 为正整数，则所有符
合条件的 的值的和是( )
C
A. 0 B. 12 C. 10 D. 8
【点拨】.为整数，且分式的值为正整数， 或
或 所有符合条件的的值的和是 .
返回
10. ［2025湖州模拟］新定义：若两个分式与的差为
为正整数,则称是的“差分式”.例如：,则称分式是分式 的“1差分式”.根据以上定义，下列选项中说法错误的是
( )
C
A. 是 的“3差分式”
B. 若的值为,则是 的“2差分式”
C. 若是的“1差分式”，则
D. 若与互为倒数，则是 的“5差分式”
运算顺序：
(1)先乘方，再乘除，然后加减.如果有括号，先算括号里面的.
(2)分式的加减、乘除都是分式的同级运算，同级运算是按从左往右的顺序运算.
进行分式混合运算时注意：
(1)正确运用运算法则；
(2)灵活运用运算律；
(3)运算结果要化简，且注意符号的处理，使结果为最简分式或整式.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑