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18.4.1 负整数指数幂
第十八章 分式
【2025新教材】人教版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
负整数指数幂教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能准确理解负整数指数幂的概念，明晰\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)（\(a\neq0\)，\(n\)是正整数）这一表达式的含义，理解其与正整数指数幂的区别与联系。
熟练掌握负整数指数幂的运算方法，能够运用负整数指数幂的运算法则，正确且熟练地进行各类相关计算，包括同底数幂的乘法、除法、幂的乘方、积的乘方等运算在负整数指数幂中的应用。
能够运用负整数指数幂的知识，解决一些简单的数学问题和实际生活中的问题，如在科学记数法中表示较小的数，在物理公式、经济模型等实际情境中运用负整数指数幂进行计算和分析。
（二）过程与方法目标
通过类比正整数指数幂的运算性质，引导学生自主探究负整数指数幂的运算规律，培养学生的类比推理能力和知识迁移能力，让学生体会从特殊到一般的数学研究方法。
在探究负整数指数幂概念和运算性质的过程中，提高学生的观察分析能力、归纳总结能力和逻辑思维能力，培养学生严谨的学习态度和科学的思维方式。
通过解决实际问题，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的意识和能力，增强学生的数学应用素养。
（三）情感态度与价值观目标
以生活实例和有趣的数学问题引入负整数指数幂的学习，激发学生的学习兴趣和好奇心，让学生感受到数学与生活的紧密联系，提高学生学习数学的积极性和主动性。
在探究过程中，鼓励学生积极思考、勇于尝试，培养学生克服困难的意志品质和勇于创新的精神，增强学生学习数学的自信心。
通过小组合作学习和交流，培养学生的团队合作精神和沟通能力，让学生在合作中体验成功的喜悦，感受集体的智慧和力量，促进学生的全面发展。
二、教学重难点
（一）教学重点
深入理解负整数指数幂的概念，掌握\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)（\(a\neq0\)，\(n\)是正整数）这一核心定义，明确其适用条件和意义。
熟练掌握负整数指数幂的运算规则，包括同底数幂的乘法\(a^{m}\cdot a^{n}=a^{m + n}\)（\(m\)、\(n\)为整数）、除法\(a^{m}\div a^{n}=a^{m - n}\)（\(a\neq0\)，\(m\)、\(n\)为整数）、幂的乘方\((a^{m})^{n}=a^{mn}\)（\(m\)、\(n\)为整数）、积的乘方\((ab)^{n}=a^{n}b^{n}\)（\(n\)为整数）在负整数指数幂情况下的应用，能够准确运用这些规则进行计算。
学会运用负整数指数幂将绝对值较小的数用科学记数法表示，掌握科学记数法的形式\(a\times10^{-n}\)（\(1\leq\vert a\vert\lt10\)，\(n\)为正整数），并能正确确定\(a\)和\(n\)的值。
（二）教学难点
理解负整数指数幂的概念本质，克服学生对指数为负数的认知障碍，理解负整数指数幂与正整数指数幂在运算和意义上的内在联系与区别，从本质上把握指数运算的规律。
在复杂的数学运算中，准确运用负整数指数幂的运算性质进行计算，尤其是涉及多种运算规则混合运用时，容易出现运算顺序错误、符号错误等问题，需要引导学生清晰梳理运算步骤，正确处理符号变化。
能够灵活运用负整数指数幂的知识解决实际问题，将实际情境中的数量关系准确转化为数学模型，并运用合适的数学方法进行求解，培养学生的数学建模能力和应用意识。
三、教学方法
类比教学法：通过回顾正整数指数幂的运算性质和相关知识，与负整数指数幂进行类比，引导学生自主推导和理解负整数指数幂的概念与运算规则，降低学习难度，帮助学生构建完整的指数幂知识体系。
探究式教学法：设置一系列问题情境和探究活动，引导学生通过观察、分析、计算、讨论等方式，自主探究负整数指数幂的运算规律和应用方法，培养学生的自主探究能力和创新思维，提高学生发现问题、解决问题的能力。
讲练结合法：在讲解负整数指数幂的概念、运算性质和例题后，及时安排针对性的练习题，让学生在练习中巩固所学知识。教师在学生练习过程中进行巡视指导，及时发现学生存在的问题并进行纠正，强化学生的运算技能和解题能力。
小组合作学习法：组织学生进行小组合作学习，共同探讨在负整数指数幂学习中遇到的疑难问题和实际应用问题。通过小组内成员的交流与合作，促进学生之间的思想碰撞和知识共享，培养学生的团队合作精神和合作学习能力。
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
回顾正整数指数幂的运算性质：
提问学生同底数幂的乘法法则，预设学生回答：\(a^{m}\cdot a^{n}=a^{m + n}\)（\(m\)，\(n\)是正整数）。例如\(2^{3}\times2^{2}=2^{3 + 2}=2^{5}=32\)，请学生再举几个例子进行巩固。
接着回顾幂的乘方法则，学生应能回答\((a^{m})^{n}=a^{mn}\)（\(m\)，\(n\)是正整数）。如\((3^{2})^{3}=3^{2\times3}=3^{6}=729\) ，同样让学生举例练习。
积的乘方法则为\((ab)^{n}=a^{n}b^{n}\)（\(n\)是正整数），可举例\((2\times3)^{4}=2^{4}\times3^{4}=16\times81 = 1296\)，让学生加深印象。
同底数幂的除法法则\(a^{m}\div a^{n}=a^{m - n}\)（\(a\neq0\)，\(m\)，\(n\)是正整数，且\(m\gt n\)），例如\(5^{6}\div5^{3}=5^{6 - 3}=5^{3}=125\) 。
提出问题，引发思考：
展示式子\(5^{3}\div5^{6}\)，提问学生：按照之前学的同底数幂除法法则，这里\(3\lt6\)，该如何计算呢？引发学生的认知冲突，从而导入本节课的课题 —— 负整数指数幂。
（二）探索新知（15 分钟）
负整数指数幂概念的推导
引导学生对\(5^{3}\div5^{6}\)进行计算，根据除法是乘法的逆运算，\(5^{3}\div5^{6}=\frac{5^{3}}{5^{6}}=\frac{5\times5\times5}{5\times5\times5\times5\times5\times5}=\frac{1}{5^{3}}\)。
同时，从同底数幂除法法则角度看，如果要让\(a^{m}\div a^{n}=a^{m - n}\)在\(m\lt n\)时也成立，那么\(5^{3}\div5^{6}=5^{3 - 6}=5^{-3}\)。
通过这两种计算方式的结果对比，得到\(5^{-3}=\frac{1}{5^{3}}\) 。
再给出多个类似例子，如\(2^{2}\div2^{5}\)，\(3^{1}\div3^{4}\)，让学生分组计算，观察结果并讨论规律。
组织学生小组讨论，总结出负整数指数幂的定义：一般地，当\(n\)是正整数时，\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)（\(a\neq0\)），即任何不等于零的数的\(-n\)（\(n\)为正整数）次幂，等于这个数的\(n\)次幂的倒数。强调\(a\neq0\)的条件，若\(a = 0\)，则\(\frac{1}{a^{n}}\)无意义。
负整数指数幂运算性质的探究
同底数幂的乘法：
以\(a^{-3}\cdot a^{-2}\)为例，根据负整数指数幂的定义，\(a^{-3}=\frac{1}{a^{3}}\)，\(a^{-2}=\frac{1}{a^{2}}\)，那么\(a^{-3}\cdot a^{-2}=\frac{1}{a^{3}}\cdot\frac{1}{a^{2}}=\frac{1}{a^{3 + 2}}=\frac{1}{a^{5}}=a^{-5}\)，而\(-5 = -3 + (-2)\)，所以\(a^{-3}\cdot a^{-2}=a^{-3 + (-2)}\)。
再让学生计算\(2^{-4}\cdot2^{-3}\)，\(3^{-2}\cdot3^{-1}\)等例子，验证这一规律，从而得出同底数幂的乘法性质\(a^{m}\cdot a^{n}=a^{m + n}\)对于\(m\)，\(n\)为负整数时同样成立。
同底数幂的除法：
计算\(a^{-5}\div a^{-3}\)，由定义可得\(a^{-5}\div a^{-3}=\frac{1}{a^{5}}\div\frac{1}{a^{3}}=\frac{1}{a^{5}}\cdot a^{3}=\frac{a^{3}}{a^{5}}=\frac{1}{a^{2}}=a^{-2}\)，且\(-2=-5 - (-3)\)，即\(a^{-5}\div a^{-3}=a^{-5 - (-3)}\)。
让学生通过计算\(4^{-3}\div4^{-2}\)，\(5^{-4}\div5^{-1}\)等进行验证，得出同底数幂的除法性质\(a^{m}\div a^{n}=a^{m - n}\)（\(a\neq0\)）对于\(m\)，\(n\)为负整数时也成立。
幂的乘方：
对于\((a^{-2})^{3}\)，根据幂的乘方定义，\((a^{-2})^{3}=a^{-2}\cdot a^{-2}\cdot a^{-2}\)，由同底数幂乘法可得\(a^{-2}\cdot a^{-2}\cdot a^{-2}=a^{-2 + (-2)+(-2)}=a^{-6}\)，又因为\(-6 = -2\times3\)，所以\((a^{-2})^{3}=a^{-2\times3}\)。
让学生计算\((2^{-3})^{2}\)，\((3^{-1})^{4}\)等进行验证，得出幂的乘方性质\((a^{m})^{n}=a^{mn}\)对于\(m\)，\(n\)为负整数时同样适用。
积的乘方：
计算\((ab)^{-3}\)，根据负整数指数幂定义\((ab)^{-3}=\frac{1}{(ab)^{3}}=\frac{1}{a^{3}b^{3}}=\frac{1}{a^{3}}\cdot\frac{1}{b^{3}}=a^{-3}b^{-3}\)，得出积的乘方性质\((ab)^{n}=a^{n}b^{n}\)对于\(n\)为负整数时成立。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：计算
(1)\(2^{-3}\)
分析：根据负整数指数幂的定义\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)，这里\(a = 2\)，\(n = 3\)。
解：\(2^{-3}=\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}\)
(2)\((\frac{1}{3})^{-2}\)
分析：同样根据定义，底数为\(\frac{1}{3}\)，指数为\(-2\)。
解：\((\frac{1}{3})^{-2}=\frac{1}{(\frac{1}{3})^{2}}=\frac{1}{\frac{1}{9}} = 9\)
例 2：计算
(1)\(3^{-2}\times3^{4}\)
分析：运用同底数幂的乘法法则\(a^{m}\cdot a^{n}=a^{m + n}\)，这里\(m = -2\)，\(n = 4\)。
解：\(3^{-2}\times3^{4}=3^{-2 + 4}=3^{2}=9\)
(2)\((2^{-3})^{2}\)
分析：根据幂的乘方法则\((a^{m})^{n}=a^{mn}\)，\(m = -3\)，\(n = 2\)。
解：\((2^{-3})^{2}=2^{-3\times2}=2^{-6}=\frac{1}{2^{6}}=\frac{1}{64}\)
例 3：用科学记数法表示下列各数
(1)\(0.000021\)
分析：科学记数法表示较小数的形式为\(a\times10^{-n}\)，其中\(1\leq\vert a\vert\lt10\)，\(n\)为原数左边起第一个不为零的数字前面的\(0\)的个数。这里\(a = 2.1\)，\(n = 5\)。
解：\(0.000021 = 2.1\times10^{-5}\)
(2)\(-0.00000034\)
分析：\(a = -3.4\)，\(n = 7\)。
解：\(-0.00000034=-3.4\times10^{-7}\)
（四）课堂练习（10 分钟）
计算
(1)\(4^{-2}\)
(2)\((\frac{2}{5})^{-3}\)
(3)\(5^{-1}\times5^{3}\)
(4)\((3^{-2})^{3}\)
用科学记数法表示
(1)\(0.0000056\)
(2)\(-0.000000098\)
教师巡视学生练习情况，及时发现问题并给予指导，选取部分学生的答案进行展示和点评，强调运算过程中的易错点，如负整数指数幂定义的正确运用、运算性质的适用条件、科学记数法中\(a\)和\(n\)的确定等。
（五）课堂小结（3 分钟）
与学生一起回顾负整数指数幂的概念，通过提问的方式，让学生复述\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)（\(a\neq0\)，\(n\)是正整数）这一表达式。
总结负整数指数幂的运算性质，包括同底数幂的乘法、除法、幂的乘方、积的乘方在负整数指数幂情况下的规律。
强调负整数指数幂在科学记数法表示较小数中的应用方法和要点。鼓励学生在课后多做练习，熟练掌握负整数指数幂的相关知识。
（六）作业布置（2 分钟）
基础作业：教材课后练习题中关于负整数指数幂的基础题目，要求学生认真完成，巩固本节课所学的知识和技能，确保学生熟练掌握负整数指数幂的基本运算和科学记数法表示较小数的方法。
拓展作业：
计算\((2^{-1} + 3^{-1})^{-2}\)，提高学生综合运用负整数指数幂运算性质的能力，涉及加法和负整数指数幂的混合运算。
查找生活中可以用负整数指数幂或科学记数法表示较小数的实际例子，如细胞的大小、电子的质量等，并进行整理和简单说明，培养学生运用数学知识观察生活、解决实际问题的能力。
五、教学反思
在教学过程中，密切关注学生对负整数指数幂概念的理解和运算性质的掌握情况。通过课堂练习和学生的回答，分析学生在运算过程中出现的问题，如
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1. 通过学生自主探究了解负整数指数幂的意义，掌握整数指数幂的运算性质，发展学生的自学能力．
2．通过类比观察、小组探究，总结得出负整数指数幂的意义，提高学生解决问题的能力．
3．通过具体的练习考查整数指数幂的运算性质，培养学生对性质的应用能力．
4．经历探索用科学记数法表示绝对值小于1的数的过程，发现其中的方法，培养学生自学的能力．
重点
难点
旧识回顾
1．你还记得下面这些算式的算法吗？比一比，看看谁做得又快又好．
(1)a3×a4；(2)(x4)3；(3)(ab)3；(4)a5÷a3.
2．你还记得a0＝1(a≠0)是怎么得到的吗？
(1)a7 (2)x12 (3)a3b3 (4)a2
am÷am＝am－m＝a0＝1
(1) (m，n是正整数)
(2) (m，n是正整数)
(3) (n是正整数)
(4) (a≠0，m，n是正整数，m＞n)
(5) (n是正整数)
正整数指数幂有以下运算性质：
此外，还学过0指数幂，即a0=1(a≠0)
如果指数是负整数该如何计算呢？
旧识回顾
问题1 将正整数指数幂的运算性质中指数的取值范围由“正整数”扩大到“整数”，这些性质还适用吗？
知识点 1
整数指数幂
问题2 am 中指数m 可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂am 表示什么？
学生活动一 【一起探究】
问题3 根据分式的约分，当 a≠0 时，如何计算 ？
问题4 如果把正整数指数幂的运算性质 (a≠0，m，n 是正整数，m >n)中的条件m >n 去掉，即假设这个性质对于像 的情形也能使用，如何计算？
a3÷a5= =
a3÷a5=a3-5=a-2
(1)
(2)
数学中规定：当n 是正整数时，
这就是说， 是an 的倒数．　　　
由(1)(2)想到，若规定a-2= (a≠0)，就能使am÷an=am-n 这条性质也适用于像a3÷a5的情形，因此：
填空：
(1) = ____， = ____；
(2) = ____， = ____；
(3) = ____， = ____ (b≠0)．
1
1
1
做一做
问题5 引入负整数指数和0指数后， (m，n 是正整数)，这条性质能否推广到m，n 是任意整数的情形？
例如：a5·a-6=a(5-6)=a-1(a≠0)
问题6 类似地，你可以用负整数指数幂或0 指数幂对于其他正整数指数幂的运算性质进行试验，看看这些性质在整数范围内是否还适用？
例如：a0·a-5=a0-5=a-5 ，a-3·a-7=a-3+(-7)=a-10 ，
a-2÷a-5=a-2-(-5)=a3 ，a0÷a-4=a0-(-4)=a4
(1) (m，n 是整数)；
(2) (m，n 是整数)；
(3) (n 是整数)；
(4) (m，n 是整数)；
(5) (n 是整数)．
归纳总结
试说说当m分别是正整数、0、负整数时，am各表示什么意义？
当m是正整数时，am表示m个a相乘.当m是0时，a0表示一个数的n次方除以这个数的n次方，所以特别规定，任何除0以外的实数的0次方都是1.
当m是负整数时， am表示|m|个 相乘.
例　计算：　　　
解：　　
素养考点
整数指数幂的计算
解：　　
计算：
解：(1)原式=x2y-3·x-3y3
=x2-3·y-3+3
=x-1
=
(2)原式=????????a-2b-4c6÷a-6b3
=????????a4b-7c6
?
能否将整数指数幂的5条性质进行适当合并？
知识点 2
整数指数幂的性质
学生活动二 【一起探究】
　　根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时，
　　　　　　　， ，因此，
，即同底数幂的除法 可以转化
为同底数幂的乘法 ．特别地，
所以，
即商的乘方 可以转化为积的乘方
这样，整数指数幂的运算性质可以归结为：
(1) (m，n 是整数)；
(2) (m，n 是整数)；
(3) (n 是整数)．
例 下列等式是否正确？为什么？
(1)am÷an=am·a-n； (2)
素养考点
整数指数幂的性质的应用
故等式正确.
解：(1)∵am÷an=am-n=am+(-n)=am·a-n，
∴am÷an=am·a-n. 故等式正确.

(2)
1. 下列结果正确的是( )
A
A. 13?2=9 B. a3?a4=a12
C. ?53.70=0 D. ?3a2?3=27a6
?
2. 母题教材P162习题T11 若a?10+3a?4?2 有意义，
则a 的取值范围是( )
?
C
A. a>4 B. a<4
C. a≠1且a≠4 D. a≠1或a≠4
?
返回
3. 计算x3÷x3y?12 的结果是( )
?
C
A. x6y2 B. x3y2 C. y2x3 D. x3y6
?
4. 若102a=25，则10?a 等于( )
?
A
A. 15 B. ?15 C. 150 D. 1625
?
返回
5.已知a=?0.32,b=?3?2,c=?13?2，d=?130,则a,b,c ,
d的大小关系为______________.（用“< ”号连接起来）
?
【点拨】∵a=?0.09,b=?19,c=9,d=1 ,
?19?
b?
返回
6.［2025郴州期中］计算：
?12?3+2?025?π0+?132?025×?32?025 .
?
【解】?12??3+2?025?π0+?13?2?025×?32?025=?8+1+[?13×?3]2?025=?8+1+12?025=?8+1+1=?6.
?
返回
7. 有下列四个运算结果：①2?1=12；②x?23?x6=1 ；
③x32÷x2=x4；④3x?2=3x2 ，其中正确的结果为( )
?
C
A. ①② B. ②③
C. ①②③④ D. ①②③
返回
8. 定义一种新的运算：如果a≠0 ，则有
a▲b=a?2+ab+?b,那么?12▲2 的值是( )
?
B
A. ?3 B. 5 C. ?34 D. 32
?
【点拨】∵a▲b=a?2+ab+?b,∴
?
?12▲2=?12??2+?12?2+?2=1?12?2?1+2=4?1+2=5 .
?
返回
9. 在算式“?3??4?2×?15”中的“? ”里填入一个运算符
号，使得它的结果最小，则填入的是( )
?
D
A. + B. - C. × D. ÷
?
【点拨】若填入的符号为+ ，则
?3+?4?2×?15=?3+116×15=?27980 ；若填入的符
号为? ，则
?3??4?2×?15=?3?116×15=?3?180=?3180 ；
若填入的符号为× ，则
?3×?4?2×?15=?3×116×15=?380 ；若填入的符
号为÷ ，则?3÷?4?2×?15=?3×16×15=?485 .
∵?485?
返回
10. 如果a?1a+1=1成立，则a= _____
___.
?
2或?1
?
【点拨】当a?1=1,即a=2时，a?1a+1=13=1 ;当
a+1=0,即a=?1时，a?1a+1=?20=1 .综上所述,
a=?1 或2.
?
返回
整数指数幂
零指数幂：当a≠0时，a0=1
负整数指数幂：当n是正整数时，a-n= (a≠0)
整数指数幂的性质
(1)am·an=am+n(m，n为整数，a≠0)
(2)(ab)m=ambm(m为整数，a≠0，b≠0)
(3)(am)n=amn(m，n为整数，a≠0)
1????????
?
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