资源简介

18.5.2分式方程的应用（1）
——工程、行程问题
第十八章 分式
【2025新教材】人教版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
18.5.2 分式方程的应用（1）—— 工程问题教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能够准确理解工程问题中工作总量、工作效率和工作时间三者之间的关系，熟练运用该关系建立分式方程模型解决实际工程问题。
掌握列分式方程解工程问题的一般步骤，包括审题、设未知数、列方程、解方程、检验和作答，能正确求解分式方程并对结果进行合理性检验。
学会分析工程问题中的数量关系，通过设不同的未知数，找到多种列方程的方法，提高灵活运用知识解决问题的能力。
（二）过程与方法目标
通过分析实际工程问题，引导学生经历将实际问题转化为数学问题的过程，培养学生的数学建模能力和抽象思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
在列分式方程解决工程问题的过程中，让学生体会方程思想和转化思想在数学中的应用，增强学生运用数学方法解决实际问题的意识。
通过小组合作学习和交流讨论，培养学生的合作能力和语言表达能力，促进学生思维的碰撞和拓展。
（三）情感态度与价值观目标
以实际生活中的工程问题为背景，激发学生学习数学的兴趣和积极性，让学生感受数学与生活的紧密联系，体会数学的应用价值。
在解决问题的过程中，培养学生克服困难的意志品质和勇于探索的精神，增强学生学习数学的自信心。
通过合作学习，培养学生的团队合作精神和集体荣誉感，让学生在合作中体验成功的喜悦。
二、教学重难点
（一）教学重点
深入理解工程问题中的数量关系，能够准确找出题目中的等量关系，列出分式方程解决实际问题。
熟练掌握列分式方程解工程问题的步骤，尤其是检验环节，确保答案的合理性和准确性。
（二）教学难点
从复杂的工程问题情境中分析出数量关系，找到合适的等量关系列出分式方程，特别是涉及多个工作对象和工作阶段的问题。
理解增根在实际工程问题中的意义，能够正确判断方程的解是否符合实际情况，舍去不符合题意的解。
三、教学方法
情境教学法：创设贴近生活的工程问题情境，如修路、建楼等，让学生在具体情境中感受问题，激发学生的学习兴趣和解决问题的欲望。
问题驱动法：通过一系列有针对性的问题，引导学生逐步分析工程问题中的数量关系，启发学生思考如何建立分式方程模型，培养学生的思维能力。
小组合作学习法：组织学生进行小组讨论和合作学习，共同分析问题、解决问题，促进学生之间的交流与合作，培养学生的团队合作精神。
讲练结合法：在讲解工程问题的解题思路和方法后，及时安排相应的练习题，让学生在练习中巩固所学知识，教师进行巡视指导，及时发现问题并纠正。
四、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
回顾工程问题的基本数量关系：
提问学生工程问题中工作总量、工作效率和工作时间之间的关系，预设学生回答：工作总量 = 工作效率 × 工作时间，工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间，工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率 。
给出简单的工程问题，如一项工程甲单独做\(5\)天完成，乙单独做\(8\)天完成，让学生分别计算甲、乙的工作效率，巩固对基本数量关系的理解。甲的工作效率为\(1?·5 = \frac{1}{5}\)，乙的工作效率为\(1?·8 = \frac{1}{8}\)。
回顾分式方程的解法：
提问学生解分式方程的步骤，包括去分母、解整式方程、检验等，强调检验增根的重要性。
快速回顾一道简单的分式方程，如\(\frac{1}{x - 1} = \frac{2}{x}\)，让学生简述解题过程，为后续列分式方程解决工程问题做好铺垫。
引出课题：
提出问题：在实际生活中，我们会遇到很多工程问题，有些问题用分式方程来解决会更加方便。今天我们就来学习分式方程在工程问题中的应用。
（二）探索新知（15 分钟）
展示实际问题：
问题：甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做\(1\)天后，再由两队合作\(2\)天就完成了全部工程。已知甲队单独完成工程所需天数是乙队单独完成所需天数的\(\frac{2}{3}\)，求甲、乙两队单独完成各需多少天？
分析问题：
引导学生审题，找出题目中的已知条件和所求问题。明确工作总量可看作单位 “\(1\)”，设乙队单独完成工程需要\(x\)天，则甲队单独完成工程需要\(\frac{2}{3}x\)天 。
分析工作效率，根据工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间，可得乙队的工作效率为\(\frac{1}{x}\)，甲队的工作效率为\(\frac{1}{\frac{2}{3}x} = \frac{3}{2x}\)。
寻找等量关系：乙队\(1\)天的工作量 + 甲乙两队合作\(2\)天的工作量 = 工作总量 “\(1\)”。
列方程求解：
根据上述分析，列出方程：\(\frac{1}{x}??1 + (\frac{1}{x} + \frac{3}{2x})??2 = 1\)。
引导学生解方程：
去分母，方程两边同时乘以\(2x\)，得到\(2 + 2(2 + 3) = 2x\)。
去括号：\(2 + 4 + 6 = 2x\)。
合并同类项：\(12 = 2x\)。
系数化为\(1\)：\(x = 6\)。
检验：把\(x = 6\)代入原方程的分母\(x\)和\(\frac{2}{3}x\)中，\(x = 6\neq 0\)，\(\frac{2}{3}x = \frac{2}{3}??6 = 4\neq 0\)，所以\(x = 6\)是原分式方程的解。
求出甲队单独完成所需天数：\(\frac{2}{3}x = \frac{2}{3}??6 = 4\)（天）。
总结解题步骤：
审题：仔细阅读题目，理解题意，找出已知条件和所求问题。
设未知数：根据问题设出合适的未知数，一般设工作时间为未知数。
列方程：分析数量关系，找出等量关系，列出分式方程。
解方程：按照解分式方程的步骤求解方程。
检验：既要检验所得的根是否为分式方程的根，又要检验是否符合实际问题的意义。
作答：写出答案，包括单位。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：某工程队需要在规定日期内完成一项工程。若甲队单独做正好按时完成；若乙队单独做，超过规定日期\(3\)天才能完成。现由甲、乙两队合作\(2\)天，余下的工程由乙队单独做，恰好按期完成，问规定日期是多少天？
分析：设规定日期是\(x\)天，则甲队单独完成需要\(x\)天，工作效率为\(\frac{1}{x}\)；乙队单独完成需要\((x + 3)\)天，工作效率为\(\frac{1}{x + 3}\)。等量关系为：甲队\(2\)天的工作量 + 乙队\(x\)天的工作量 = 工作总量 “\(1\)”。
解：
设规定日期是\(x\)天，根据题意得：\(\frac{2}{x} + \frac{x}{x + 3} = 1\)
去分母，方程两边同时乘以\(x(x + 3)\)得：\(2(x + 3) + x^2 = x(x + 3)\)
去括号：\(2x + 6 + x^2 = x^2 + 3x\)
移项：\(x^2 - x^2 + 2x - 3x = -6\)
合并同类项：\(-x = -6\)
系数化为\(1\)：\(x = 6\)
检验：当\(x = 6\)时，\(x(x + 3) = 6??(6 + 3) = 54\neq 0\)，所以\(x = 6\)是原分式方程的解，且符合题意。
答：规定日期是\(6\)天。
例 2：甲、乙两个工程队合作一项工程，两队合作\(2\)天后，由乙队单独做\(1\)天就完成了全部工程。已知乙队单独做所需天数是甲队单独做所需天数的\(1.5\)倍，求甲、乙两队单独做各需多少天？
分析：设甲队单独做需要\(x\)天，则乙队单独做需要\(1.5x\)天，甲队工作效率为\(\frac{1}{x}\)，乙队工作效率为\(\frac{1}{1.5x}\)。等量关系为：甲、乙两队合作\(2\)天的工作量 + 乙队\(1\)天的工作量 = 工作总量 “\(1\)”。
解：
设甲队单独做需要\(x\)天，则乙队单独做需要\(1.5x\)天，根据题意得：\(2(\frac{1}{x} + \frac{1}{1.5x}) + \frac{1}{1.5x} = 1\)
去分母，方程两边同时乘以\(1.5x\)得：\(2(1.5 + 1) + 1 = 1.5x\)
计算括号内的值：\(2??2.5 + 1 = 1.5x\)\(5 + 1 = 1.5x\)\(6 = 1.5x\)
系数化为\(1\)：\(x = 4\)
检验：当\(x = 4\)时，\(1.5x = 1.5??4 = 6\neq 0\)，所以\(x = 4\)是原分式方程的解，且符合题意。
乙队单独做需要的天数：\(1.5x = 1.5??4 = 6\)（天）
答：甲队单独做需要\(4\)天，乙队单独做需要\(6\)天。
（四）课堂练习（10 分钟）
一项工程，甲队单独做\(10\)天完成，乙队单独做\(15\)天完成。两队合作完成这项工程需要多少天？
某车间接到加工\(200\)个零件的任务，在加工完\(40\)个后，由于改进了技术，每天加工的零件数量是原来的\(2.5\)倍，整个加工过程共用了\(13\)天完成。求原来每天加工零件的个数。
甲、乙两个工程队共同完成一项工程，甲队先单独做\(1\)天后，再由两队合作\(2\)天就完成了全部工程。已知甲队单独完成工程所需天数是乙队单独完成所需天数的\(\frac{3}{2}\)，求甲、乙两队单独完成各需多少天？
教师巡视学生练习情况，及时发现问题并给予指导，选取部分学生的答案进行展示和点评，强调分析数量关系、找等量关系以及检验的重要性。
（五）课堂小结（3 分钟）
与学生一起回顾工程问题中的基本数量关系，以及列分式方程解工程问题的一般步骤。
强调在解决工程问题时，要仔细分析题目中的数量关系，准确找出等量关系，注意检验方程的解是否符合实际情况。
鼓励学生在课后多做一些工程问题的练习题，提高运用分式方程解决实际问题的能力。
（六）作业布置（2 分钟）
基础作业：教材课后练习题中关于分式方程应用（工程问题）的基础题目，要求学生认真完成，巩固本节课所学的知识和技能。
拓展作业：
思考并解决实际问题：某公司投资某个工程项目，现在甲、乙两个工程队有能力承包这个项目。公司调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的\(2\)倍；甲、乙两队合作完成工程需要\(20\)天；甲队每天的工作费用为\(1000\)元，乙队每天的工作费用为\(550\)元。从节约资金的角度考虑，公司应选择哪个工程队？应付工程队费用多少元？
查阅资料，了解工程问题在实际生活中的更多应用场景，并写一篇简短的心得体会。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1. 通过日常生活中的情境创设，经历探索分式方程在工程、行程等领域应用的过程，会根据题意设未知数，合理地列出分式方程，培养学生解决问题的能力．
2．经历探索“实际问题情境——建立分式方程模型”的过程，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，增强学生学数学、用数学的意识．
3．通过创设贴近学生生活实际的现实情境，增强学生的应用意识，培养学生对生活的热爱．
重点
难点
1.解分式方程： ；
解：方程两边都乘以2（x-2)，得
2+2（x-2）=x+1
解得：x=3
检验：当x=3时，2（x-2）=2≠0，
∴x=3是原方程的解.
2.列方程解决实际问题的步骤： ；
3.我们所学过的应用题类型：
(1)行程问题：基本公式： ；
(2)数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法；
(3)工程问题：基本公式： ；
审、设、列、解、答
路程=速度×时间以及它的两个变式
工作量=工时×工效以及它的两个变式
(4)顺水逆水问题：顺水速度＝ ，
逆水速度＝ ；
(5)利润问题：基本公式： .
轮船速度+水流速度
轮船速度-水流速度
利润率=利润÷进价
利润=售价-进价，
问题：一艘轮船顺水航行40千米所用的时间与逆水航行30千米所用的时间相同，若水流速度为3千米/时，求轮船在静水中的速度.
学生活动一 【一起探究】
分析：设轮船在静水中的速度为x千米/时，则顺水航行的速度为____千米/时，逆水航行的速度为____千米/时，
顺水航行的时间为____时，逆水航行的时间为_______时，根据题意，可得方程_______________.
x+3
x-3
解：设轮船在静水中的速度为x千米/时，根据题意列方程得
解这个方程得：x=21.
检验：当x=21时，（x+3）（x-3）≠0，并且也符合题意.
答：轮船在静水中的速度为21千米/时.
检验是必须的一步骤，
而且是两方面的检验.
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.
2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.
3.列:根据数量和相等关系,正确列出方程.
4.解:认真仔细解这个分式方程.
5.验:检验.
6.答:注意单位和语言完整.
问题：两个工程队共同参加一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快？
学生活动二 【一起探究】
分析：甲队1个月完成总工程的 ,设乙队如果单独施工1个月完成总工程的 ,那么甲队半个月完成总工程的_____,乙队半个月完成总工程的_____,两队半个月完成总工程的_______ .
解：设乙队如果单独施工1个月完成总工程的 .依题意得
方程两边同乘6x,得2x+x+3=6x，解得：x=1
检验:当x=1时6x≠0,x=1是原分式方程的解，且符合题意.
答：由上可知,若乙队单独施工1个月可以完成全部任务,
而甲队1个月完成总工程的 ,可知乙队施工速度快.
探究：某列列车平均提速v千米/时．用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度是多少？
学生活动三 【一起探究】
分析：这里的字母v,s表示已知数据,设提速前列车的平均速度为x km/h,那么提速前列车行驶s km 所用时间为　 h,提速后列车的平均速度为　 km/h,提速后列车运行(s+50)km所用时间为　　　h.根据行驶时间的等量关系可以列出方程.?
(x+v)
解: 设提速前这次列车的平均速度为x km/h,则提速前它行驶s km所用时间为 h;提速后列车的平均速度为(x+v)km/h,提速后它行驶(s+50)km 所用时间为 h.根据行驶时间的等量关系,得 .
方程两边乘x(x+v),得s(x+v)=x(s+50).
解得： .
检验:由v,s都是正数,得x= 时x(x+v)≠0.
所以原分式方程的解为x= .
答:提速前列车的平均速度为 km/h.
(1)在实际问题中,有时题目中包含多个相等数量关系,在列方程时一定要选择一个能够体现全部(或大部分)题意的相等关系；
(2)在检验过程中,不仅检验所得的根是否为原分式方程的根,还要检验这个根在实际问题中是否具有实际意义,如
时间非负、人数为正整数等.
1.某小区为了排污,需铺设一段全长为720米的排污管道,为减少施工对居民生活的影响,需缩短施工时间,实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%,结果提前2天完成任务.设原计划每天铺设x米,下面所列方程正确的是(　　)
A
2. 农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度.
解：设自行车的速度为x千米/时，那么汽车的速度是3x千米/时，
依题意得：15????????＝ 15????－ ????????，
?
汽车所用的时间＝自行车所用时间－2/3
可解得x=15
经检验，x=15是原方程的解，并符合题意，
由x＝15得3x=45
答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时.
3.一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?
解：设规定日期为x天，根据题意，得
解得：x=12.
经检验：x=12是原方程的解且符合题意.
答：规定日期为12天.
1. 为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后
比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造
前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为
( )
B
A. 200 B. 300 C. 400 D. 500
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2. 某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的
投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有
三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；
②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③ ，
剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工.某同学设规定的
工期为x天，根据题意列出了方程：4x+xx+5=1 ，则方案③
中被墨水污染的部分应该是( )
?
A. 甲、乙两队合作了4天
B. 甲队先做了4天
C. 甲队先做了工程的14
D. 甲、乙两队合作了工程的14
?
√
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3. 教材P169习题T4 某物流仓储公司用A，B 两种型号
的机器人搬运物品，已知A型机器人比B 型机器人每小时多搬
运20?kg，A型机器人搬运1?000?kg所用时间与B 型机器人搬运
800?kg所用时间相等，则B型机器人每小时搬运物品____kg .
?
80
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4.［2024自贡］为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某
校组织了包粽子活动.已知七（3）班甲组同学平均每小时比
乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包
120个粽子所用的时间相同.求甲、乙两组同学平均每小时各
包多少个粽子.
【解】设乙组同学平均每小时包x 个粽子，则甲组同学平均
每小时包(x+20)个粽子，根据题意,得150x+20=120x ，解得
x=80.经检验，x=80是原方程的解，x+20=100 .; 答：
甲组同学平均每小时包100个粽子，乙组同学平均每小时包
80个粽子.
?
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5. 已知完成某项工程甲组需要12天，乙组需要若干天，甲组
单独工作半天后，乙组加人，两组合作2天后，甲组又单独
工作了3天半，工程完工，则乙组单独完成此项工程需要的
天数比甲组( )
B
A. 少6天 B. 少8天
C. 多3天 D. 多6天
【点拨】设乙组单独完成此项工程需要x 天，依题意，得
0.5+2+3.512+2x=1,解得x=4,经检验，x=4 是原方程的解，且
符合题意，∴12?x=8 .故选B.
?
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6.［2025沧州月考］为落实“美丽乡村”的工作部署，市政府
计划对乡村道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成.已
知甲队修路400??m与乙队修路600?m 所用时间相等，乙队每
天比甲队多修20?m .求甲队每天修路的长度.
?
（1）填表（在表格中横线处填写相应的代数式）：
方法一：设甲队每天修路的长度为x?m ，完成表格：
?
工作效率(m/天)
工作总量(m)
工作时间（天）
甲队
x
400
_____________________
乙队
_______
600
_ ____
工作时间（天）
甲队
400
_____________________
乙队
_______
600
_ ____
x+20
?
600x+20
?
方法二：设甲队修路400?m需要用y 天，完成表格：
?
工作效率(m/天)
工作总量(m)
工作时间（天）
甲队
_ ___
400
y
乙队
_ ___
600
______________________
工作时间（天）
甲队
_ ___
400
乙队
_ ___
600
______________________
400y
?
600y
?
（2）请选择一种方法，写出完整的解答过程.
【解】方法一：400x=600x+20，解得x=40 .
经检验，x=40 是原分式方程的解，且符合题意.
故甲队每天修路的长度为40?m .
?
方法二：400y+20=600y，解得y=10 .
经检验，y=10 是原分式方程的解，且符合题意.
∴400y=40 .
故甲队每天修路的长度为40?m .
（两种方法任选一种即可）
?
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