资源简介

13.2.2 三角形的中线、
角平分线、高
第十三章 三角形
【2025新教材】人教版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.通过阅读课本掌握三角形的中线、角平分线的定义，高在由图叙述定义的过程中，培养严谨的语言表达能力.
2.通过分析定义掌握三角形的中线、角平分线，高的画法，发展学生的动手画图能力.
三角形中线、角平分线和高的定义、画法及性质。?
理解不同类型三角形中中线、角平分线和高的位置特点。?
（二）教学难点?
钝角三角形高的画法及位置理解。?
灵活运用三角形中线、角平分线和高的性质解决综合性数学问题。?
三、教学方法?
直观演示法：利用多媒体课件展示生活中包含三角形中线、角平分线和高的实例图片，以及动态演示三种线段的绘制过程和性质变化，帮助学生直观地理解抽象概念。?
实践操作法：组织学生进行动手折叠三角形纸片、用直尺和圆规绘制三角形的中线、角平分线和高的操作活动，让学生在实践中加深对知识的理解和掌握。?
小组合作探究法：安排小组讨论活动，引导学生共同探究不同类型三角形中三种线段的特点和性质，培养学生的合作精神和探究能力。?
启发式教学法：通过提问、引导等方式，启发学生思考，让学生主动发现问题、解决问题，培养学生的思维能力。?
四、教学过程?
（一）创设情境，导入新课（5 分钟）?
多媒体展示：播放一段包含桥梁结构、房屋屋顶、三角架等生活场景的视频，引导学生观察其中的三角形，并提问：“在这些三角形中，有些线段起到了特殊的作用，比如桥梁中连接顶点和对边中点的线段，它有什么特别之处呢？今天我们就来学习三角形中这些特殊的线段 —— 三角形的中线、角平分线、高。”?
引发思考：展示一幅不规则三角形图片，提问学生：“如果要将这个三角形的面积平均分成两份，你有什么办法？” 引发学生的好奇心和求知欲，从而导入新课。?
（二）探索新知?
1. 三角形的中线（12 分钟）?
定义讲解?
实例引入：展示一个三角形纸片，将其一个角对折，使这个角的顶点落在对边上，折痕与对边的交点就是对边的中点，连接这个顶点和中点的线段就是三角形的中线。由此引出三角形中线的定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。?
强调要点：强调中线是线段，且一个三角形有三条中线，让学生在自己的三角形纸片上分别画出三条中线，观察它们的位置关系。?
性质探究?
小组活动：将学生分成小组，测量每个小组内三角形三条中线的长度，以及被中线分成的两个小三角形的面积。?
讨论发现：引导学生讨论测量结果，发现三角形的每条中线都能将三角形分成面积相等的两个部分。教师通过多媒体动画演示，进一步验证这一性质。?
总结归纳：教师总结三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形，并通过具体的例题讲解如何运用这一性质解决与面积计算相关的问题。?
画法练习：教师在黑板上示范用直尺和圆规画三角形中线的方法，强调画法的规范性和准确性。然后让学生在练习本上画出不同类型三角形（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）的中线，教师巡视指导，及时纠正学生的错误画法。?
2. 三角形的角平分线（12 分钟）?
定义讲解?
回顾旧知：先回顾角平分线的定义，然后在三角形中，引出三角形角平分线的定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线。?
对比区分：强调三角形的角平分线与角的平分线的区别，三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线。让学生在三角形纸片上画出一个角的平分线，观察其特点。?
性质探究?
猜想验证：让学生猜想三角形角平分线的性质，如角平分线是否平分对边等。然后通过测量、折叠等方法进行验证，发现三角形的角平分线能将对应角分成相等的两个角。?
拓展延伸：教师通过多媒体展示，当三角形的三条角平分线相交于一点时，这一点到三角形三边的距离相等。引导学生思考如何证明这一性质，为后续学习埋下伏笔。?
画法练习：教师示范用直尺和圆规画三角形角平分线的步骤，学生模仿练习，画出不同类型三角形的角平分线。教师展示部分学生的作品，进行点评和指导，强调画图的准确性。?
3. 三角形的高（15 分钟）?
定义讲解?
生活实例：展示生活中利用三角形高的实例，如测量旗杆高度时，从旗杆顶端向地面作垂线，这条垂线就类似于三角形的高。由此引出三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。?
强调概念：强调高是线段，且不同类型的三角形高的位置有所不同，锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高即两条直角边，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部。?
画法探究?
教师示范：教师在黑板上分别画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，示范画高的方法。对于钝角三角形，重点讲解如何作外部的高，即延长对边，再从顶点向延长线作垂线。?
学生练习：学生在练习本上画出三种不同类型三角形的高，教师巡视，及时发现学生在画钝角三角形高时出现的问题，如没有延长对边等，进行个别指导和集中讲解。?
性质讨论：组织学生讨论三角形的高与三角形面积计算的关系，引导学生推导出三角形面积公式
?
S=
2
1
?
ah
（其中
?
a
为底边长，
?
h
为这条底边对应的高），通过具体的例题让学生运用公式进行面积计算，加深对高的理解和应用。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
旧知回顾
过直线外一点，画已知直线的垂线，能画几条？请你动手画一画.
(一条.画一画略)
把一根橡皮筋的一端固定在△ABC的顶点A上，让学生将另一端从点B开始沿着BC向点C移动，观察移动过程中形成的无数条线段中有没有特殊位置的线段.你认为有哪些特殊位置？
活动导入
问题导入
我们是怎样测量人的身高的？
怎样测量锐角三角形的高呢？
小明家有一块三角形的地，小明的爸爸想种花草，妈妈想种
菜，于是想平分这块地的面积，一半种花草，一半种菜，但是不知道怎么分，聪明的你能帮他们把这块地分成面积相等的两部分吗？试着画一画.
情境导入
1.三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线.
2.符号语言：
如图，∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD.
知识点1：三角形的中线（重点）
3.三角形的重心：三角形的三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.
4.三角形的中线分成的两个三角形的面积和周长关系：
两个三角形的面积相等，周长之差等于另外两边之差.
1.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线和它所对的边相交于一点，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
2.符号语言：
3.三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点.
知识点2：三角形的角平分线（重点）
1.三角形的高：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.
2.符号语言：
如图，∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC(或∠ADB＝∠ADC＝90°)．
知识点3：三角形的高（重难点）
3.三角形三条高的位置
三角形
高及高的交点的位置
图示
锐角三角形
三条高都在三角形的内部，三条高的交点在三角形的内部.
　
直角三角形
有两条高恰好是三角形的两条
直角边，另一条高在三角形内
部，三条高的交点是直角顶点.
　
钝角三角形
有两条高落在三角形的外部，另一条高在三角形内部，三条高没有交点，但三条高所在直线交于三角形外一点.
　
1. 用三角尺画△ABC的边AB 上的高线，下列三角尺的摆放
位置正确的是( )
?
C
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2. 如图，在△ABC中，AD是高，AE 是
角平分线，AF 是中线.下列结论错误的
是( )
?
D
A. BF=CF B. ∠BAE=∠CAE
C. ∠C+∠CAD=90? D. S△ABE=S△ACE
?
返回
3. ［2025开封月考］下列说法正确的是( )
C
①三角形的角平分线是射线；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且相交于一点；
③三角形的三条高都在三角形的内部；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分
A. ①②④ B. ②③④ C. ②④ D. ①②③④
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（第4题）
4. ［2025莆田期中］如图所示的网格由
边长相同的小正方形组成，点A，B ，
C，D，E，F，G 在小正方形的顶点上，
则△ABC 的重心是( )
?
A
A. 点D B. 点E C. 点F D. 点G
?
返回
（第5题）
5.如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5 ，
BC=3，且△ABD的周长为12，则△BCD 的周长
是____.
?
10
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（第6题）
6.如图，在△ABC中，AD是∠BAE 的
平分线，AF是∠EAC 的平分线，若
∠BAC的度数为88? ，则∠1+∠2 的
度数为____.
?
44?
?
【点拨】∵AD是∠BAE 的平分线，
AF是∠EAC 的平分线，
∴∠1=12∠BAE, ∠2=12∠EAC.∴∠1+∠2=12∠BAE+12∠EAC=12∠BAC=44? .
?
（第6题）
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7. 如图，BD是△ABC的中线，G是BD
的中点，连接AG，若△ABC 的面积为
40，则图中阴影部分的面积是( )
?
A
A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
【点拨】由BD是△ABC的中线可得S△ABD=12S△ABC=20 ，
再由G是BD的中点可得S△ABG=12S△ABD=10 .
?
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8.母题教材P22复习题T7 如图，在△ABC
中，AF是高，AD平分∠BAC ，
∠BAC=80? ，∠C=60? ，求∠DAF 的
度数.
?
【解】∵AF是高，∴∠AFC=90? ，
∴∠C+∠CAF=90? .
∵∠C=60? ，∴∠CAF=30? .
∵AD平分∠BAC，∠BAC=80? ，
∴∠CAD=12∠BAC=40? ，
∴∠DAF=∠CAD?∠CAF=40??30?=10? .
?
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9. 如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD
的中点，延长BG交AC于点E，F为AB 上
的一点，CF⊥AD于点H .下列判断正确的
有( )
?
A
①AD是△ABE 的角平分线;
②BE是△ABD边AD 上的中线;
③CH为△ACD边AD 上的高.
?
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个
【题型一】三角形的高
例1：下列图形中，AD是△ABC的高的是（ ）
D
例2：如图，在钝角三角形ABC中，CD⊥AB于点D，下列说法中，正确的是(　　)
A．线段CD是△ABC的AC边上的高
B．线段CD是△ABC的AB边上的高
C．线段AD是△ABC的BC边上的高
D．线段AD是△ABC的AC边上的高
B
例 3：下列说法错误的是（ ）
A.三角形的三条角平分线交于一点
B.直角三角形的三条高的交点在直角顶点
C.三角形的三条高的交点在三角形内
D.三角形的三条中线交于三角形内一点
C
【题型二】与三角形的高有关的计算
例4：如图，AD，AE分别是△ABC的高和中线，已知AD＝5 cm，
CE＝6 cm，则△ABC的面积为________．
?
例5：如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是(　　)
30 cm2
D
【题型三】与三角形中线有关的计算
例6：如图，△ABC中，AB=10 ， AC=8，D是BC的中点，连接
AD，若△ACD的周长为20，则△ABD的周长是（ ）
A.16 B.18 C.20 D.22
D
例7：如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，EF⊥BC于点F.若S△ABC＝24，BD＝4，则EF的长为________．
3
例8：如图，在△ABC中，BC＝8，AB＝1.
(1)若AC的长是整数，求AC的长；
(2)已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为10，求△BCD的周长．
解：(1)由题意得BC－AB∵AC是整数，∴AC＝8.
(2)∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD.∵△ABD的周长为10，∴AB＋AD＋BD＝10.∵AB＝1，∴AD＋BD＝9，
∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝BC＋BD＋AD＝8＋9＝17.
【题型四】与三角形角平分线有关的计算
例9：如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AC于点E，若∠ACB＝60°，则∠EDC的度数是(　　)
A.15° B.30° C.45° D.60°
B
例10：如图，△ABC的两条角平分线相交于点D，过点D作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，若△AEF的周长为30 cm，则AB＋AC＝________cm.
30
点拨：∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC.
∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB.∴ED＝EB.
同理可得FD＝FC，∴AB＋AC＝AE＋BE＋AF＋FC＝AE＋ED＋AF＋FD＝AE＋AF＋EF＝△AEF的周长＝30 cm
1.本节课我们学习了哪些知识？
2.三角形的角平分线、高、中线都在三角形的内部吗？
（三角形的中线；三角形的角平分线;三角形的高；）
（三角形的角平分线、中线都在三角形内部，三角形的高不一定在三角形的内部）
谢谢观看！

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