资源简介

13.3.1 第2课时 直角三角形的
性质与判定
第十三章 三角形
【2025新教材】人教版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
1.通过三角形内角和定理推断出直角三角形的两个锐角互余，发展学生的推理能力.
2.通过用数学的思维思考，发现直角三角形的性质和判定之间的互逆关系，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形，培养学生的观察和自主学习的能力.
直角三角形的性质与判定教案
一、教学目标
知识与技能
学生能够清晰准确地阐述直角三角形的性质和判定定理，熟练运用勾股定理计算直角三角形的边长，灵活运用直角三角形的判定方法判定一个三角形是否为直角三角形。
过程与方法
通过对直角三角形性质和判定的探究活动，深度培养学生的逻辑思维能力和自主探究能力；在定理证明和应用过程中，显著提高学生的推理能力和数学语言表达能力。
情感态度与价值观
引导学生积极参与数学探究活动，让学生在探究过程中切实感受数学的严谨性和逻辑性，逐步培养学生勇于探索、敢于创新的精神，有效激发学生学习数学的浓厚兴趣。
二、教学重难点
教学重点
深刻理解并熟练掌握直角三角形的性质和判定定理，熟练且准确地运用勾股定理及其逆定理解决各类实际问题。
教学难点
深入理解直角三角形性质和判定定理的证明过程，能够在复杂的几何图形中敏锐地识别和灵活运用直角三角形的性质与判定解决综合性问题。
三、教学方法
讲授法、探究法、讨论法相结合，运用多媒体辅助教学，通过丰富的实例、动态的图形展示，增强教学的直观性和趣味性，帮助学生更好地理解和掌握知识。
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示生活中常见的直角三角形图片，如三角板、直角梯、房屋的屋脊等，引导学生观察并回忆生活中还有哪些物体的形状是直角三角形，从而引出本节课的课题 —— 直角三角形的性质与判定。
提问学生：“我们已经认识了直角三角形，那你对直角三角形都有哪些了解呢？” 鼓励学生积极发言，回顾已有的知识，为后续的学习做好铺垫。
（二）探究直角三角形的性质（15 分钟）
性质一：直角三角形的两个锐角互余
让学生拿出准备好的直角三角形纸片，用量角器测量两个锐角的度数，然后计算两个锐角的和。
组织学生小组讨论，观察测量结果，引导学生发现规律：直角三角形的两个锐角之和总是等于 90°。
教师进行总结，得出直角三角形的第一个性质：直角三角形的两个锐角互余。并通过几何语言进行表述：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，则∠A + ∠B = 90°。
举例说明该性质的应用，如已知直角三角形的一个锐角为 30°，求另一个锐角的度数。
性质二：勾股定理
展示毕达哥拉斯发现勾股定理的故事，激发学生的探究兴趣。
利用多媒体课件展示不同边长的直角三角形，引导学生观察直角三角形三边的平方之间的关系。通过计算以直角三角形三边为边长的正方形的面积，让学生发现两直角边的平方和等于斜边的平方。
组织学生进行小组合作探究，尝试用不同的方法证明勾股定理。教师可以提供一些证明思路，如赵爽弦图证明法、面积割补法等，引导学生动手操作，推导勾股定理。
总结勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。用符号语言表示为：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，则\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)（其中\(a\)、\(b\)为直角边，\(c\)为斜边）。
进行简单的例题讲解，如已知直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4，求斜边的长度；已知斜边为 5，一条直角边为 3，求另一条直角边的长度。
（三）探究直角三角形的判定（15 分钟）
判定一：有两个角互余的三角形是直角三角形
提出问题：“如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是什么三角形呢？” 引导学生根据直角三角形的性质进行逆向思考。
让学生通过角度计算和推理，证明如果一个三角形的两个角互余，那么第三个角一定是 90°，从而得出该三角形是直角三角形。
用几何语言表述判定定理：在△ABC 中，若∠A + ∠B = 90°，则∠C = 90°，△ABC 是直角三角形。
举例应用，如已知在△ABC 中，∠A = 35°，∠B = 55°，判断△ABC 的形状。
判定二：勾股定理的逆定理
提出问题：“如果一个三角形的三边满足\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)，那么这个三角形是否为直角三角形呢？” 引发学生的思考和探究欲望。
组织学生进行小组实验，让学生分别画出三边长度满足\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)的三角形（如\(a = 3\)，\(b = 4\)，\(c = 5\)；\(a = 5\)，\(b = 12\)，\(c = 13\)等），然后用量角器测量最大角的度数。
通过实验，学生发现这些三角形都是直角三角形，进而引导学生进行理论证明。教师可以引导学生构造一个直角三角形，使其两直角边分别为\(a\)、\(b\)，然后证明这个构造的直角三角形与原三角形全等，从而证明勾股定理的逆定理。
总结勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长\(a\)、\(b\)、\(c\)满足\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)，那么这个三角形是直角三角形。
进行例题讲解，如判断以\(6\)、\(8\)、\(10\)为边长的三角形是否为直角三角形；已知三角形的三边分别为\(5\)、\(6\)、\(\sqrt{11}\)，判断该三角形的形状。
（四）课堂练习（10 分钟）
已知直角三角形的一个锐角为 40°，求另一个锐角的度数。
一个直角三角形的两条直角边分别为 5 和 12，求斜边的长度。
判断以\(7\)、\(24\)、\(25\)为边长的三角形是否为直角三角形。
在△ABC 中，∠A = 25°，∠B = 65°，判断△ABC 的形状，并说明理由。
让学生独立完成练习，教师巡视课堂，及时发现学生存在的问题，进行个别指导。完成后，选取学生进行板演，其他学生进行点评，教师进行总结和强调。
（五）课堂小结（5 分钟）
引导学生回顾本节课所学的主要内容，包括直角三角形的性质（两个锐角互余、勾股定理）和判定方法（有两个角互余的三角形是直角三角形、勾股定理的逆定理）。
请学生分享自己在本节课学习中的收获和体会，以及遇到的困难和解决方法。
教师进行补充和总结，强调直角三角形的性质和判定在几何学习中的重要性，鼓励学生在课后继续加强练习，熟练掌握相关知识和技能。
（六）布置作业（课后完成）
必做题：课本习题 XX 页第 X、X、X 题。
选做题：尝试用多种方法证明勾股定理或勾股定理的逆定理，并查阅资料了解勾股定理在实际生活中的更多应用案例，写一篇简短的数学小论文。
五、教学反思
在教学过程中，要关注学生的参与度和理解程度，及时调整教学方法和进度。对于学生在探究和练习中出现的问题，要进行有针对性的指导和讲解。通过作业和后续的学习情况，了解学生对知识的掌握程度，以便在后续的教学中进行查漏补缺，进一步提高教学效果。
以上教案涵盖直角三角形性质与判定的核心要点。你可说说对教案的看法，如教学环节增减、难度调整等需求，我进一步优化。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷.你知道其中的道理吗？
内角三兄弟之争
在这个家里，我是永远的老大.
老大的度数为90°，老二若是比老大的度数大，
那么老二的度数要大于90°，而三角形的内角和为180°，
相互矛盾，因而是不可能的.
如下图所示是我们常用的三角板，两锐角的度数之和为多少度?
30°+60°=90°
45°+45°=90°
直角三角形的两个锐角互余
知识点 1
问题1：
学生活动一 【一起探究】
如图，在直角三角形ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？
在直角三角形ABC中，因为 ∠C=90°，由三角形内角和定理，得 ∠A +∠B+∠C=180°，
即 ∠A +∠B=90°.
由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？
问题2：
A
B
C
直角三角形的两个锐角互余．(直角三角形的性质定理）　　
应用格式：
在Rt△ABC 中，
∵　∠C =90°，
∴　∠A +∠B =90°．　
直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．
归纳总结
例1（1）如图?，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？
图?
利用直角三角形的性质证明角相等或求角的度数
素养考点 1
方法一（利用平行的判定和性质）：
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠D.
方法二（利用直角三角形的性质）：
∵∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠D.
图?
解：∠A=∠C.
理由如下：
∵∠B=∠D=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠C.
（2）如图?，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由.
图?
与图?有哪些共同点与不同点？
例2 如图， ∠C=∠D=90 °， AD， BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
A
B
C
D
E
解：在Rt△ACE中，
∠CAE=90 °– ∠AEC.
在Rt△BDE中，
∠DBE=90 °– ∠BED.
∵ ∠AEC= ∠BED，
∴ ∠CAE= ∠DBE.
如图，在△ABC中，已知∠ACB＝67°，BE是AC上的高，CD是AB上的高，F是BE和CD的交点，∠DCB＝45°.求∠ABE的度数．
解：∵CD是AB上的高，
∴∠DBC＝90°–∠DCB＝90°–45°＝45°.
∵BE是AC上的高，
∴∠EBC＝90°–∠ECB＝90°–67°＝23°.
∴∠ABE＝∠ABC–∠EBC＝45°–23°＝22°.
【思考】通过前面的例题，你能画出这些题型的基本图形吗？
基本图形
∠A=∠C
∠A=∠D
归纳总结
有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC是直角三角形吗？
有两个角互余的三角形是直角三角形
知识点 2
A
B
C
学生活动二 【一起探究】
在△ABC中，
因为 ∠A +∠B +∠C=180°，
又 ∠A +∠B=90°，
所以∠C=90°.
即△ABC是直角三角形.
A
B
C
A
B
C
应用格式：
在△ABC 中，
∵　∠A +∠B =90°，
∴　△ABC 是直角三角形．
有两个角互余的三角形是直角三角形.　(直角三角形的判定定理）　　
归纳总结
例1 如图，∠C=90 °， ∠1= ∠2，△ADE是直角三
角形吗？为什么？
A
C
B
D
E
(
(
1
2
解：在Rt△ABC中，
∠2+ ∠A=90 °.
∵ ∠1= ∠2，
∴∠1 + ∠A=90 °.
即△ADE是直角三角形.
利用直角三角形的判定定理识别直角三角形
素养考点 2
1. 在Rt△ABC中，∠C=90? ，∠A=2∠B，则∠A 等于( )
?
A
A. 60? B. 30? C. 45? D. 90?
?
（第2题）
2. ［2025重庆八中月考］如图，已知直
线a//b，直线l与直线a，b 分别交于点
A，B，AC⊥AB交直线b于点C .若
∠2=50? ，则∠1 的度数为( )
?
B
A. 50? B. 40? C. 60? D. 30?
?
返回
3. 将一个含30? 角的三角尺和直尺如图放置，若∠1=50? ，
则∠2 的度数是( )
?
B
（第3题）
A. 30? B. 40? C. 50? D. 60?
?
返回
（第4题）
4. 如图，点E，F分别在线段AB，CD
上，CE⊥AD于点G，BF⊥AD于点H ，
若∠B=∠C，则图中与∠A 互余的角有
( )
?
D
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
（第5题）
5. 如图，AD是△ABC的高，BE是△ABC 的
角平分线，BE，AD相交于点F ，已知
∠BAD=40? ，则∠AFE 的度数为( )
?
C
A. 55? B. 60? C. 65? D. 66?
?
返回
6. 在Rt△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:m:4 ，
则m 的值是______.
?
2或6
【点拨】设∠A,∠B,∠C的度数分别为2x,mx,4x.当∠C 为直角
时，2x+mx=4x,解得m=2；当∠B 为直角时，
2x+4x=mx,解得m=6.故m 的值为2或6.
?
在没有确定三角形最大内角的情况下，应分类讨论
作答，做到不漏解不错解.
. .
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7.如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC ,
∠C=90? ,并画出了两锐角的平分线AD,BE及其交点F .小明
发现，无论怎样改变Rt△ABC的形状和大小，∠AFB 的度数
是定值.这个定值为______.
?
135?
?
【点拨】∵∠C=90? ,∴∠CAB+∠CBA=90? .∵AD 平分
∠CAB,BE平分∠ABC,∴∠FAB=12∠CAB,∠FBA=12∠CBA ,
∴∠FAB+∠FBA=12(∠CAB+∠CBA)=45? ,
∴∠AFB=180??45?=135? .
?
返回
8.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，点E
是AB上一点，连接CE交AD于点M ，且
∠DCM=∠MAE，求证：△ACE 是直角三角形.
?
【证明】∵AD是BC边上的高，∴∠ADC=90? .
∵∠DCM=∠MAE，∠CMD=∠AME ，
∴∠AEC=∠ADC=90? ，∴△ACE 是直角三角形.
?
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9. ［2025日照月考］已知△ABC的三个角分别是∠A，∠B ，
∠C ，下列式子中：
①∠A=∠B?∠C；②∠A:∠B:∠C=1:2:3 ；
③∠A=∠B=∠C；④∠A+∠B=12∠C ；
⑤∠A=2∠B=3∠C ，
不能判断△ABC 是直角三角形的有( )
?
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
直角三角形的性质与判定
性质
直角三角形的两个锐角互余
判定
有两个角互余的三角形是直角三角形
谢谢观看！

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