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(共37张PPT)
13.3.2 三角形的外角
第十三章 三角形
【2025新教材】人教版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
三角形的外角教案
一、教学目标
知识与技能
学生能准确说出三角形外角的定义，深入理解并熟练掌握三角形外角的性质，包括三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；能够灵活运用三角形外角的性质解决与角度计算、比较相关的数学问题。
过程与方法
通过观察、操作、猜想、推理等一系列数学活动，有效培养学生的探究能力和逻辑思维能力；在探究三角形外角性质的过程中，显著提高学生的归纳总结能力和数学语言表达能力，让学生逐步学会从特殊到一般的数学研究方法。
情感态度与价值观
激发学生对数学的好奇心和求知欲，引导学生积极主动参与数学探究活动；在合作交流中，增强学生的团队协作意识，让学生体验成功的喜悦，培养学生勇于探索、敢于挑战的精神，提升学生学习数学的自信心。
二、教学重难点
教学重点
深刻理解三角形外角的定义，熟练掌握并能灵活运用三角形外角的性质解决实际问题。
教学难点
透彻理解三角形外角性质的推导过程，能够在复杂的几何图形中准确识别三角形的外角，并运用其性质解决综合性较强的问题。
三、教学方法
讲授法、探究法、小组合作法相结合，运用多媒体辅助教学，通过动画演示、图形展示等方式，增强教学的直观性和趣味性，帮助学生更好地理解抽象的数学概念和性质。
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示生活中含有三角形外角的图片，如梯子、自行车车架、屋顶等，引导学生观察并思考：“在这些图形中，除了我们熟悉的三角形内角，还有哪些角值得我们关注呢？” 从而引出本节课的课题 —— 三角形的外角。
提出实际问题：“如图，一个小朋友沿三角形小路 ABC 行走，从边 AB 转到边 BC，他转过的角度是哪个角？” 通过这个问题，引发学生的思考，让学生初步感知三角形外角的存在，激发学生的学习兴趣。
（二）探究三角形外角的定义（8 分钟）
让学生观察三角形的图形，尝试用自己的语言描述三角形外角的特征。教师引导学生从角的位置、边的关系等方面进行思考。
教师给出三角形外角的准确定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。同时，通过多媒体动画演示，动态展示三角形外角的形成过程，帮助学生加深理解。
组织学生进行小组讨论，在小组内画出三角形的外角，并相互交流，指出每个三角形有多少个外角，明确三角形的每个顶点处有两个外角，它们是对顶角，在研究三角形外角性质时，通常每个顶点处取一个外角。
（三）探究三角形外角的性质（15 分钟）
性质一：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
提出问题：“三角形的外角与内角之间有怎样的数量关系呢？” 引导学生通过测量、计算、猜想等方式进行探究。让学生画出不同类型的三角形（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），测量每个三角形的外角以及与它不相邻的两个内角的度数，计算外角与这两个内角的度数之和，观察数据，寻找规律。
组织学生小组交流，分享自己的测量和计算结果，引导学生发现：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
教师引导学生进行理论证明。已知在△ABC 中，∠ACD 是△ABC 的一个外角，求证：∠ACD = ∠A + ∠B。利用三角形内角和定理，因为∠A + ∠B + ∠ACB = 180°，∠ACB + ∠ACD = 180°，通过等量代换，即可证明∠ACD = ∠A + ∠B。
用几何语言表述该性质：在△ABC 中，若∠ACD 是外角，则∠ACD = ∠A + ∠B。
性质二：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
基于性质一的结论，引导学生思考：“从三角形外角与不相邻内角的数量关系中，还能发现什么？” 通过分析∠ACD = ∠A + ∠B，很容易得出∠ACD > ∠A，∠ACD > ∠B，即三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
让学生用自己的语言解释这个性质，并举例说明其在实际问题中的应用。
（四）例题讲解与课堂练习（15 分钟）
例题讲解
例 1：如图，在△ABC 中，∠A = 70°，∠B = 60°，CD 是△ABC 的外角∠ACM 的平分线，求∠ACD 的度数。
分析：首先根据三角形外角的性质，求出∠ACM 的度数，因为∠ACM 是△ABC 的外角，所以∠ACM = ∠A + ∠B = 70° + 60° = 130°。又因为 CD 是∠ACM 的平分线，所以∠ACD = 1/2∠ACM = 65°。
例 2：已知一个三角形的一个外角是 120°，与它不相邻的一个内角是 40°，求这个三角形其他内角的度数。
分析：根据三角形外角的性质，先求出与这个外角不相邻的另一个内角的度数，因为三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，所以另一个内角为 120° - 40° = 80°。再根据三角形内角和定理，求出第三个内角的度数为 180° - 40° - 80° = 60°。
课堂练习
已知在△ABC 中，∠A = 30°，∠B = 50°，求∠ACB 的外角的度数。
如图，∠1、∠2、∠3 是△ABC 的三个外角，求∠1 + ∠2 + ∠3 的度数。
一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是什么三角形？说明理由。
让学生独立完成练习，教师巡视课堂，及时发现学生存在的问题，进行个别指导。完成后，选取学生进行板演，其他学生进行点评，教师进行总结和强调，重点讲解解题思路和方法，以及容易出错的地方。
（五）课堂小结（5 分钟）
引导学生回顾本节课所学的主要内容，包括三角形外角的定义、三角形外角的两个性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角）。
请学生分享自己在本节课学习中的收获和体会，以及在探究过程中的发现和困惑。
教师进行补充和总结，强调三角形外角的性质在角度计算、几何证明等方面的重要应用，鼓励学生在课后多做练习，巩固所学知识，提高运用知识解决问题的能力。
（六）布置作业（课后完成）
必做题：课本习题 XX 页第 X、X、X 题。
选做题：在四边形 ABCD 中，∠A = 80°，∠B = 70°，∠C 的外角是 120°，求∠D 的度数，并思考多边形外角和的规律，尝试推导多边形外角和定理。
五、教学反思
在教学过程中，要关注学生的探究过程和参与度，及时给予指导和鼓励。通过学生的练习和反馈，了解学生对三角形外角概念和性质的掌握情况，分析学生在应用性质解决问题时出现的错误原因，针对学生的薄弱环节进行有针对性的辅导和强化训练，不断优化教学方法，提高教学质量。
这份教案围绕三角形外角的核心知识展开教学。你可以和我说说对教案的具体要求，比如教学环节的调整、难度的设定等，我来进一步完善。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
学习目标
1.通过阅读课本理解三角形外角的概念，掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，培养学生的模型观念.
2.通过学生在操作活动中探索三角形内角和定理的推论，能进行合情推理，培养学生对所学知识的运用能力.
1.在△ABC中，∠A=80°, ∠B=52°,则∠C= .
48 °
2.如下图，在△ABC中， ∠A=70°, ∠B=60°,则∠ACB= ，∠ACD= .
A
B
C
D
50 °
130°
3.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？
三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角，
它们的和是180 °.
足球比赛中的数学知识
在绿茵场上，足球员在E处受到阻挡需要传球，请帮
助作出选择，应传给在B处的球员还是C处的球员，其射门不易射偏？（不考虑其他因素）
在 一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯
的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原
来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？
想一想
知识点 1
三角形的外角的概念
学生活动一 【一起探究】
B
D
C
A
O
●
40 °
70 °
？
●
●
●
发现懒羊羊独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒羊羊返回羊村的去路，红太狼则直接在A处拦截懒羊羊，已知∠BAC=40° ， ∠ABC=70°.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？
利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？
B
D
C
A
O
●
40 °
70 °
？
●
●
●
由三角形内角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.
定义
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
∠ACD是△ABC的一个外角.
C
B
A
D
考试典例. ［2025厦门思明区月考］一副三角板如图①摆放，
把三角板绕公共顶点顺时针旋转至图②，即时，
的大小为( )
C
A. B. C. D.
返回
如图，延长AC到E，∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？
E
C
B
A
D
∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角.
问题1：
E
在三角形每个顶点处都有两个外角.
∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE；
C
B
A
D
如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？
在三角形的每个顶点处有多少个外角？
问题2：
A
B
C
画出△ABC的所有外角，共有几个呢
每一个三角形都有6个外角．
每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.
画一画
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
C
B
A
D
F
A
B
C
D
E
如图，∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？
∠BEC是△AEC的外角;
∠AEC是△BEC的外角;
∠EFD是△BEF和△DCF的外角.
A
C
B
D
三角形的外角的性质
如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？
知识点 2
学生活动二 【一起探究】
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
∠BCD与∠ACB互补.
如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？
A
C
B
D
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B=∠BCD.
你能用作平行线的方法证明此结论吗？
D
证明：过C作CE平行于AB，
A
B
C
1
2
∴∠1= ∠B，
（两直线平行，同位角相等）
∠2= ∠A ，
（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
E
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
三角形内角和定理的推论
A
B
C
D
(
(
(
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
应用格式：
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角.
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
说出下列图形中∠1和∠2的度数：
A
B
C
D
(
(
(
80 °
60 °
(
2
1
(1)
A
B
C
(
(
(
(
2
1
50 °
32 °
(2)
∠1=40 °， ∠2=140 °
∠1=18 °， ∠2=130 °
解题的关键是正确地构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.
总结
如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
三角形的外角和定理
知识点 3
学生活动三 【一起探究】
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE= ∠2+ ∠3，
∠CBF= ∠1+ ∠3，
∠ACD= ∠1+ ∠2.
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
你还有其他解法吗？
解法二：如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ，
∠CBF +∠2=180 ° ②，
∠ACD +∠3=180 ° ③，
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
①+ ②+ ③得
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °– 180°=360°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
解法三：过A作AM平行于BC，
∠3＝ ∠4
B
C
1
2
3
4
A
∠2＝ ∠BAM，
所以 ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠4＋ ∠BAM=360°
M
∠2＋ ∠ 3＝ ∠ 4＋∠BAM，
结论：三角形的外角和等于360°.
【思考】你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？
D
E
F
（第1题）
1. 如图，点,,在直线上，点
在线段上，则下列是 的外角
的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
感受中考
（第2题）
2. 如图，在中， 平分
，平分， 平分
的外角 ，若
，则 的度数是
( )
C
A. B. C. D.
返回
3. 如图是嘉禾同学在珠海航展上观察到的带底座的无人机简
易模型示意图，其中， ，若
， ，则 的度数是( )
C
A. B. C. D.
返回
5.母题教材P13练习 如图，从处观测 处的仰角
，从处观测处的仰角 ，从 处
观测，两处的视角 是____度.
15
返回
6.如图，的边 的延长线上有
一点，点为边上一点，连接
交于点，若 ，
， ，求 的度
数.
【解】 ， ，是 的外角，
.
又 ，是 的外角，
.
返回
7. 如图是可调躺椅示意图，与 的交点
为，且，， 的大小保持不
变.为了舒适，需调整 的大小，使
，则图中 应( )
A
A. 增加 B. 减少 C. 增加 D. 减少
【点拨】延长交于点 ，如图，
， ，
，
，
.
， ，
，增加 .
返回
（第8题）
8. 如图，一束平行于主
光轴的光线经过凸透镜折射后，其折射
光线与一束经过光心的直线交于点 ，
点为焦点，若 ，
，则 的度数是( )
C
A. B. C. D.
谢谢观看！

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