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(共23张PPT)
14.2 三角形全等的判定-
第4课时 斜边及一条直角边证全等（HL）
第十四章 全等三角形
【2025新教材】人教版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
（一）复习引入（5 分钟）
提问：我们已经学习了哪些三角形全等的判定方法？（SSS、SAS、ASA、AAS）
对于直角三角形，这些判定方法是否同样适用？（引导学生回顾并明确直角三角形也是三角形，同样适用一般三角形全等的判定方法）
展示一个直角三角形，提问：除了直角相等外，若只知道斜边和一条直角边的信息，能否判定两个直角三角形全等呢？由此引出本节课的课题 —— 斜边及一条直角边证全等（HL）。
（二）探究 HL 定理（15 分钟）
动手操作
让学生拿出准备好的直尺和圆规，按要求画直角三角形。已知直角三角形的一条直角边为 3cm，斜边为 5cm。
具体画法步骤：
画一条线段 BC = 3cm。
以 C 为端点，作 BC 的垂线 l。
以 B 为圆心，5cm 为半径画弧，交直线 l 于点 A。
连接 AB，得到 Rt△ABC。
让学生将画好的直角三角形剪下来。
小组交流
组织学生在小组内相互比较各自所画的直角三角形，观察它们是否能够完全重合。
小组讨论：通过比较，你发现了什么？
归纳总结
请各小组代表发言，汇报小组讨论的结果。
教师根据学生的汇报，总结得出：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成 “斜边、直角边” 或 “HL”）。
用数学符号语言表示为：在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，
∠C = ∠F = 90° （已知）
AB = DE （已知）
BC = EF （已知）
∴Rt△ABC ≌ Rt△DEF（HL）
（三）HL 定理证明（10 分钟）
引导分析
提问学生：如何证明 HL 定理呢？我们能否借助已学的三角形全等判定方法来证明？
提示学生：可以通过构造辅助线，将直角三角形转化为一般三角形来证明。
证明过程
已知：在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，∠C = ∠F = 90°，AB = DE，BC = EF。
求证：Rt△ABC ≌ Rt△DEF。
证明：延长 AC 至 G，使 CG = AC，连接 BG；延长 DF 至 H，使 FH = DF，连接 EH。
在△BCG 和△FCH 中，
∵BC = EF，∠BCG = ∠EFH = 90°，CG = FH（所作）
∴△BCG ≌ △FCH（SAS）
∴BG = EH，∠G = ∠H
在△ABG 和△DEH 中，
∵AB = DE，BG = EH，∠G = ∠H
∴△ABG ≌ △DEH（AAS）
∴AG = DH
又∵AC = CG，DF = FH
∴AC = DF
在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，
∵AB = DE，BC = EF，AC = DF
∴Rt△ABC ≌ Rt△DEF（SSS）
从而证明了 HL 定理的正确性。
（四）例题讲解（10 分钟）
例 1：已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，AD⊥BC，垂足为 D。求证：BD = CD。
分析：
观察图形，发现△ABD 和△ACD 都是直角三角形。
已知 AB = AC，AD 为公共边，且 AD⊥BC，即∠ADB = ∠ADC = 90°，满足 HL 定理的条件。
证明过程：
证明：∵AD⊥BC
∴∠ADB = ∠ADC = 90°
在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，
AB = AC （已知）
AD = AD （公共边）
∴Rt△ABD ≌ Rt△ACD（HL）
∴BD = CD（全等三角形的对应边相等）
例 2：如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC = BD。求证：BC = AD。
分析：
图中△ABC 和△BAD 是直角三角形。
已知 AC = BD，AB 为公共斜边，可根据 HL 定理证明这两个直角三角形全等，进而得出 BC = AD。
证明过程：
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD
∴∠C = ∠D = 90°
在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
AB = BA （公共边）
AC = BD （已知）
∴Rt△ABC ≌ Rt△BAD（HL）
∴BC = AD（全等三角形的对应边相等）
（五）课堂练习（10 分钟）
已知：如图，AB = CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为 E、F，DE = BF。求证：AB∥CD。
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于 E。求证：△ACD ≌ △AED。
（学生独立完成练习，教师巡视指导，及时发现学生存在的问题并进行个别辅导。练习结束后，选取部分学生的作业进行展示，组织学生进行互评，共同纠正错误，强化对 HL 定理的应用。）
（六）课堂小结（3 分钟）
与学生一起回顾本节课所学的主要内容：
直角三角形全等的特殊判定方法 ——HL 定理，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
HL 定理的证明思路及应用时需要注意的问题，如必须是直角三角形，找准对应边等。
总结证明直角三角形全等的方法，除了 HL 定理外，还有 SSS、SAS、ASA、AAS。
强调数学知识之间的联系和转化，鼓励学生在今后的学习中灵活运用所学知识解决问题
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
学习目标
学习重点：会用“HL”判定直角三角形全等.
学习难点：探索直角三角形全等的判定方法.
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但是每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
你能帮工作人员想个办法吗？
（1）如果用直尺和量角器两种工具，你能解决这个问题吗？
（2）如果只用直尺，你能解决这个问题吗？
思考：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等吗？
请同学们观看视频
左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的长度BC与EF相等，想测量右边滑梯的高DE，但是没办法直接测量它的高度，你有什么办法？
如图，具有下列条件的Rt△ABC和Rt△DEF（其中∠C=∠F=90°）是否全等？若全等，请说明理由；若不全等，打“×”
①AC=DF，∠A= ∠D; ( )
②AC=DF，BC=EF; ( )
③AB=DE， ∠B=∠E; ( )
④ ∠A= ∠D， ∠B=∠E; ( )
⑤AC=DF，AB=DE. ( )
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
1.文字语言：
知识点．两个直角三角形全等的判定方法——HL（重难点）
2.几何语言：
注：“HL”是直角三角形独有的判定三角形全等的方法．
【题型一】用HL判定两个直角三角形全等
例1：下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A.斜边和一直角边对应相等
B.两个锐角对应相等
C.一锐角和斜边对应相等
D.两条直角边对应相等
B
变式：如图，已知AB＝AC，添加下列条件能使△ABD≌△ACD的有________．
①∠B＝∠C＝90°；②AD平分∠BAC；③DA平分∠BDC；④BD＝CD.
①②④
【题型二】直角三角形全等判定和性质的综合运用
例2：如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上的一点，DE⊥AB于点E，BE＝BC，连接BD.若AC＝8 cm，则AD＋DE等于(　　)
A．6 cm　　　 　B．7 cm　　　 　C．8 cm　　　 　D．9 cm
C
例3：如图，∠ACB和∠ADB都是直角，BC＝BD，E是AB上任意一点．
(1)求证：△ACB≌△ADB；(2)求证：CE＝DE.
（第1题）
1. 母题教材P43练习 如图，
，， ，根据“
”证明 ，则还要添
加的条件是( )
B
A. B.
C. D.
返回
（第2题）
2. ［2025江门月考］如图， 于点
，于点，若 ，且
，则 的度数是( )
B
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3. 两个同样大小的直角三角尺按如图所
示的方式摆放，其中两条一样长的直角
边交于点，另一直角边， 分别落
在的边和上，且 ，
作射线，则在说明为 的平分
线的过程中，证全等的依据是( )
C
A. B.
C. D.
（第3题）
【点拨】由题意得.
在与 中，
，
，是 的平分
线.
返回
（第4题）
4. 如图，有两个长度
相同的滑梯，左边滑梯的高度 与右
边滑梯水平方向的长度 相等，两
个滑梯的倾斜角和 之间的
关系是( )
D
A. B.
C. D.
返回
5.如图， ， ，
，，求证： .
【证明】设与的交点为 .
在和中，
.
， .
.
返回
6.［2025天津南开区期中］如图，
， ，点 是
上一点，， ，垂足分
别为点，，且 .求证：
.
【证明】连接 .
在和中，
， .
，， .
在和中，
.
返回
1.“HL”判定方法应满足什么条件 与之前所学的四种判定方法有什么不同
2.判定两个直角三角形全等有哪些方法
（必须是判定两个直角三角形全等.之前的四种判定适用于一般三角形）
（SSS，SAS，ASA，AAS，HL）
谢谢观看！

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