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(共35张PPT)
14.3 角的平分线-
第2课时 角的平分线的判定
第十四章 全等三角形
【2025新教材】人教版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
一）复习引入（5 分钟）
提问回顾角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线。
复分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边距离相等。让学生用符号语言表述：若 OC 平分∠AOB，点 P 在 OC 上，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，则 PD = PE。
展示生活中与角平分线相关的图片，如风筝骨架、建筑结构等，提问：我们已经知道了角平分线的性质，那么如何判定一条射线是一个角的平分线呢？由此引出本节课的课题 —— 角的平分线的判定。
（二）探究角平分线的判定定理（15 分钟）
情境创设
多媒体展示问题：如图，要在 S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处 500m。这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为 1:20000）？
引导学生思考：集贸市场到公路、铁路的距离相等，这与我们学过的角平分线的什么知识可能有关？如何确定这个点的位置？
猜想假设
让学生根据上述情境进行思考和讨论，提出自己的猜想：在角的内部，到角两边距离相等的点可能在这个角的平分线上。
实验验证
让学生拿出准备好的纸片，在纸上画一个∠AOB，在∠AOB 内部任意取一点 P，过点 P 分别作 PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，用直尺测量 PD 和 PE 的长度，比较它们是否相等。
再在∠AOB 内部另取几个点，重复上述操作，观察测量结果。引导学生发现：当点到角两边的距离相等时，这些点似乎在角的平分线上。
逻辑证明
已知：如图，点 P 在∠AOB 内部，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，且 PD = PE。
求证：点 P 在∠AOB 的平分线上。
分析：要证明点 P 在∠AOB 的平分线上，即证明∠AOP = ∠BOP。可考虑通过证明以 PD、PE 为边的两个直角三角形全等，从而得到对应角相等。
证明过程：
连接 OP。
在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中：
∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO = ∠PEO = 90°（垂直的定义）
又∵PD = PE（已知），OP = OP（公共边）
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）
∴∠AOP = ∠BOP（全等三角形的对应角相等）
即点 P 在∠AOB 的平分线上。
归纳总结
引导学生用文字语言和符号语言表述角平分线的判定定理：
文字语言：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
符号语言：若点 P 在∠AOB 内部，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，且 PD = PE，则 OP 平分∠AOB。
（三）例题讲解（10 分钟）
例 1：如图，在△ABC 中，∠B = ∠C，点 D 是 BC 的中点，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F。求证：AD 平分∠BAC。
分析：
已知 DE⊥AB，DF⊥AC，要证 AD 平分∠BAC，根据角平分线的判定定理，只需证明 DE = DF。
由点 D 是 BC 的中点可得 BD = CD，再结合∠B = ∠C，可通过证明△BDE≌△CDF 得到 DE = DF。
证明过程：
证明：∵点 D 是 BC 的中点（已知）
∴BD = CD（中点的定义）
∵DE⊥AB，DF⊥AC（已知）
∴∠BED = ∠CFD = 90°（垂直的定义）
在△BDE 和△CDF 中：
∠B = ∠C（已知）
∠BED = ∠CFD（已证）
BD = CD（已证）
∴△BDE≌△CDF（AAS）
∴DE = DF（全等三角形的对应边相等）
又∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴AD 平分∠BAC（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
例 2：如图，已知 BE⊥AC 于 E，CF⊥AB 于 F，BE、CF 相交于点 D，BD = CD。求证：AD 平分∠BAC。
分析：
由 BE⊥AC，CF⊥AB，可得∠BFD = ∠CED = 90°。已知 BD = CD，再结合对顶角相等，可证明△BFD≌△CED，从而得到 DF = DE。
根据角平分线的判定定理，即可证明 AD 平分∠BAC。
证明过程：
证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB（已知）
∴∠BFD = ∠CED = 90°（垂直的定义）
在△BFD 和△CED 中：
∠BFD = ∠CED（已证）
∠BDF = ∠CDE（对顶角相等）
BD = CD（已知）
∴△BFD≌△CED（AAS）
∴DF = DE（全等三角形的对应边相等）
又∵DF⊥AB，DE⊥AC
∴AD 平分∠BAC（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
（四）课堂练习（10 分钟）
基础练习
已知：如图，点 P 在∠AOB 内部，PC⊥OA 于 C，PD⊥OB 于 D，且 PC = PD。若∠AOB = 60°，则∠AOP = 。
如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E、F。求证：EB = FC。
能力提升
如图，已知∠B = ∠C = 90°，E 是 BC 的中点，DE 平分∠ADC。求证：AE 平分∠DAB。
已知：如图，在四边形 ABCD 中，BC＞AB，AD = CD，BD 平分∠ABC。求证：∠A + ∠C = 180°。
拓展应用
如图，三条公路两两相交，现计划修建一个加油站，使它到三条公路的距离都相等，这个加油站应建在何处？请在图中画出它的位置。
（学生独立完成练习，教师巡视指导，及时发现学生存在的问题并进行个别辅导。练习结束后，选取部分学生的作业进行展示，组织学生进行互评，共同纠正错误，强化对知识的理解和应用）
（五）课堂小结（3 分钟）
与学生一起回顾本节课所学的主要内容：
角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，以及其文字语言和符号语言的表述。
探究角平分线判定定理的过程，包括从实际问题出发提出猜想、实验验证和逻辑证明。
运用角平分线判定定理解决几何问题的思路和方法，如通过证明点到角两边的距离相等来判断点在角平分线上，进而解决相关的线段相等、角相等问题。
强调角平分线的性质定理和判定定理的区别与联系，鼓励学生在今后的学习中要准确区分、灵活运用。
（六）布置作业（2 分钟）
课本习题：[具体页码] 第 [X]、[X]、[X] 题。
拓展作业：
已知：如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的外角平分线相交于点 P。求证：点 P 在∠BAC 的平分线上。
让学生通过完成作业，进一步巩固角平分线的判定定理等知识，提高运用知识解决问题的能力，培养学生的思维能力和创新意识。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
学习目标
1.通过探究角的平分线的判定定理，使学生能够利用角的平分线的判定进行证明，培养学生的推理能力.
2.在探究角的平分线的判定定理的过程中，培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识，增强学生解决问题的信心.
O
D
P
P到OA的距离PD
P到OB的距离PE.
P是角平分线上的点
几何语言描述：
∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB.
∴ PD= PE.
A
C
B
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
叙述角平分线的性质定理.
不必再证全等
E
复习引入
知识点 1
角平分线的判定
学生活动一 【一起探究】
交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
想一想
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
P
A
O
B
C
D
E
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB ，
∴ PD= PE.
几何语言：
猜想:
这个结论正确吗？
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上.
猜想证明
B
A
D
O
P
E
证明：
作射线OP，
∴点P在∠AOB的平分线上.
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
（全等三角形的对应角相等）.
OP=OP（公共边），
PD= PE（已知 ），
B
A
D
O
P
E
∵PD⊥OA，PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
P
A
O
B
C
D
E
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
例 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
D
C
S
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ， D即为所求.
O
角平分线的判定的应用
素养考点
方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC＝3 cm，当PD＝____cm时，点P在∠AOB的平分线上．
3
3
如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则点P是 的平分线与 的平分线的交点．
∠ABC
∠BCD
分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
三角形的内角平分线
知识点 2
学生活动二 【一起探究】
分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.
你能证明这个结论吗？
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
A
B
C
P
N
M
证明结论
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条
角平分线有什么关系？
点P在∠A的平分线上.
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
想一想
1.应用角平分线性质：
存在角平分线
涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
距离
面积
周长
条件
归纳总结
利用三角形的内角平分线的性质求值
素养考点
例 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　)
A．110° B．120° C．130° D．140°
A
解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，即三条角平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线，
所以有∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC，
∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB，
∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，
∠OBC＋∠OCB＝70°，
∠BOC＝180°－70°＝110°.
方法点拨
由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O是三角形三条内角平分线的交点，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．
角的平分线的性质
图形
已知 条件
结论
P
C
P
C
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分线的判定
归纳总结
（第1题）
1. 在正方形网格中, 的位置如图所示,则
到 两边距离相等的点是( )
A
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
返回
2. ［2025常州期中］小王同学在学习了全等三角形的相关知
识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个
角的平分线，如图，一把直尺压住射线 ，另一把直尺压住
射线并且与第一把直尺交于点，小王说：“射线 就是
的平分线”.这样做的依据是( )
（第2题）
A. 平行线之间的距离处处相等
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距
离相等
D. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的
平分线上
√
返回
（第3题）
3.［2025泰安期中］如图所示，点 在
一块直角三角板 上（其中
），于点 ，
于点.若 ，则
的度数是____.
【点拨】 ， ， .
，，，是 的平分
线. .
.
返回
（第4题）
4.如图，点在 的内部，且到三边
的距离相等，于点 ，
，的周长是36，则
的面积为____.
54
【点拨】
点在 的内部，且到三边的距离相
等， 点为 的三条角平分线的交点.
如图，过点作于点， 于
点，则的周长为36， .
返回
5.母题教材P50练习 如图，在直线上求作一点 ，使点
到射线和 的距离相等.（要求用尺规作图，保留作图
痕迹，不必写作法和证明过程）
【解】如图，点 即为所作.
返回
6.如图，在中，是的中点，， ，
垂足分别是，，.求证：是 的角平分线.
【证明】是的中点， .
，， .
在和中，
， .
平分，是 的角平分线.
返回
角平分线
的判定定理
内容
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
作用
判断一个点是否在角的平分线上
结论
三角形的角平分线相交于内部一点
谢谢观看！

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