资源简介

(共39张PPT)
14.3 角的平分线-
第1课时 角的平分线的性质
第十四章 全等三角形
【2025新教材】人教版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
（一）复习引入（5 分钟）
提问：什么是角平分线？（引导学生回顾角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线）
让学生在练习本上画出一个角，并尝试用度量的方法画出这个角的平分线。（学生动手操作，教师巡视，随机抽取一名学生在黑板上演示）
展示一些生活中与角平分线相关的图片，如风筝的骨架、房屋的屋脊等，提问：在这些实际情境中，角平分线有什么作用？我们能否更精确地作出角平分线呢？由此引出本节课的课题 —— 角的平分线的性质。
（二）探究角平分线的尺规作图（10 分钟）
多媒体展示角平分线的尺规作图动画，让学生观察作图过程。
教师在黑板上逐步示范尺规作角平分线的步骤，并详细解释每一步的目的和依据：
已知：∠AOB。
求作：∠AOB 的平分线。
作法：
以 O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 OA、OB 于点 M、N。（目的是在角的两边上截取两条相等的线段，依据是圆的半径处处相等）
分别以 M、N 为圆心，大于 1/2MN 的长度为半径画弧，两弧在∠AOB 内部相交于点 C。（这一步确保两弧能相交，且交点 C 到 M、N 的距离相等，依据是三角形三边关系，即两边之和大于第三边）
画射线 OC。射线 OC 即为所求∠AOB 的平分线。（根据 SSS 判定定理，可证明△OMC≌△ONC，从而得到∠MOC = ∠NOC，即 OC 是∠AOB 的平分线）
让学生自己在练习本上按照步骤进行尺规作角平分线的操作，同桌之间相互检查、交流，教师巡视指导，及时纠正学生在作图过程中出现的问题。
提出问题：在第二步中，为什么要以大于 1/2MN 的长度为半径画弧？如果小于或等于 1/2MN 的长度，会出现什么情况？（组织学生思考、讨论，然后请学生代表发言，教师进行总结和强调，加深学生对作图关键步骤的理解）
（三）探究角平分线的性质（15 分钟）
折纸实验
让学生拿出准备好的一张角的纸片，将角对折，使角的两边重合，得到一条折痕，即角平分线。
再将折后的角沿与角平分线垂直的方向对折一次，得到一个直角三角形，然后展开纸片。
观察两次折叠形成的三条折痕，提问：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有什么关系？它们的长度有什么关系？（引导学生观察、思考，小组内交流讨论）
测量验证
让学生在刚才折出的角平分线上任取一点 P，过点 P 分别向角的两边 OA、OB 作垂线，垂足分别为 D、E。
用直尺测量 PD 和 PE 的长度，记录数据。
再在角平分线上另取几个点，重复上述操作，测量并记录这些点到角两边的距离。
引导学生观察测量数据，猜想角平分线上的点到角两边的距离有什么关系。（学生可能会猜想角平分线上的点到角两边的距离相等）
逻辑证明
已知：如图，OC 平分∠AOB，点 P 在 OC 上，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E。
求证：PD = PE。
分析：要证明 PD = PE，可考虑证明以 PD、PE 为边的两个三角形全等。观察图形，发现△PDO 和△PEO 都是直角三角形，且有公共边 OP，∠AOC = ∠BOC（OC 是角平分线），根据 AAS（角角边）全等判定定理可证这两个三角形全等，从而得出 PD = PE。
证明过程：
证明：∵OC 平分∠AOB（已知）
∴∠AOC = ∠BOC（角平分线的定义）
∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO = ∠PEO = 90°（垂直的定义）
在△PDO 和△PEO 中：
∠PDO = ∠PEO（已证）
∠AOC = ∠BOC（已证）
OP = OP（公共边）
∴△PDO≌△PEO（AAS）
∴PD = PE（全等三角形的对应边相等）
归纳总结
引导学生用文字语言和符号语言表述角平分线的性质：
文字语言：角平分线上的点到角的两边距离相等。
符号语言：∵OC 平分∠AOB，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD = PE
（四）例题讲解（10 分钟）
例 1：如图，在△ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于 E，F 在 AC 上，BD = DF。求证：CF = EB。
分析：
由 AD 平分∠BAC，∠C = 90°，DE⊥AB，根据角平分线的性质可知 CD = DE。
要证 CF = EB，可考虑证明△CDF≌△EDB。
已知 BD = DF，CD = DE，且∠C = ∠DEB = 90°，根据 HL（斜边、直角边）全等判定定理可证这两个三角形全等，从而得出 CF = EB。
证明过程：
证明：∵AD 平分∠BAC，∠C = 90°，DE⊥AB（已知）
∴CD = DE（角平分线的性质）
在 Rt△CDF 和 Rt△EDB 中：
BD = DF（已知）
CD = DE（已证）
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）
∴CF = EB（全等三角形的对应边相等）
例 2：如图，△ABC 的∠ABC 的外角平分线 BD 与∠ACB 的外角平分线 CE 相交于点 P。求证：点 P 到三边 AB、BC、CA 所在直线的距离相等。
分析：
过点 P 分别作 PF⊥AB 于 F，PG⊥BC 于 G，PH⊥AC 于 H。
由 BD 是∠ABC 的外角平分线，根据角平分线的性质可得 PF = PG。
由 CE 是∠ACB 的外角平分线，可得 PG = PH。
从而得出 PF = PG = PH，即点 P 到三边 AB、BC、CA 所在直线的距离相等。
证明过程：
证明：过点 P 作 PF⊥AB 于 F，PG⊥BC 于 G，PH⊥AC 于 H。
∵BD 平分∠CBM（已知，∠CBM 是∠ABC 的外角）
∴PF = PG（角平分线的性质）
∵CE 平分∠BCN（已知，∠BCN 是∠ACB 的外角）
∴PG = PH（角平分线的性质）
∴PF = PG = PH
即点 P 到三边 AB、BC、CA 所在直线的距离相等。
（五）课堂练习（10 分钟）
基础练习
已知：如图，OP 平分∠AOB，PC⊥OA 于 C，PD⊥OB 于 D，PC = 3cm，则 PD = cm。
如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E、F。求证：EB = FC。
能力提升
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 40°，AD 是∠BAC 的平分线，则∠CAD 的度数为 。
已知：如图，在四边形 ABCD 中，BC＞AB，AD = CD，BD 平分∠ABC。求证：∠A + ∠C = 180°。
拓展应用
如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村。要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？请在图中画出度假村的位置。
（学生独立完成练习，教师巡视指导，及时发现学生存在的问题并进行个别辅导。练习结束后，选取部分学生的作业进行展示，组织学生进行互评，共同纠正错误，强化对知识的理解和应用）
（六）课堂小结（3 分钟）
与学生一起回顾本节课所学的主要内容：
角平分线的尺规作图方法及每一步的依据。
角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，以及其文字语言和符号语言的表述。
运用角平分线性质解决几何问题的思路和方法，如通过证明三角形全等，利用角平分线性质建立线段相等的关系等。
强调数学知识之间的联系，鼓励学生在今后的学习中要善于将新知识与已学知识相结合，灵活运用所学知识解决问题。
（七）布置作业（2 分钟）
课本习题：[具体页码] 第 [X]、[X]、[X] 题。
拓展作业：
已知：如图，在△ABC 中，∠BAC = 60°，∠ABC、∠ACB 的平分线交于点 O，求∠BOC 的度数。
让学生通过完成作业，进一步巩固角平分线的尺规作图和性质等知识，提高运用知识解决问题的能力，培养学生的思维能力和创新意识。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
学习目标
学习重点：探究角平分线的性质定理.
学习难点：探究并掌握角平分线的性质定理.
请大家在草稿纸上画一个∠AOB，将∠AOB的两边对折，再折个直角三角形（以第一条折痕为斜边），然后展开.
观察两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？
你能利用我们学过的知识，证明结论的正确性吗？
如图是小明制作的风筝，他根据AB=AD，BC=DC，不用度量就知道AC是∠DAB的平分线，你知道其中的道理吗？
小张家居住在某小区移动居民楼的一楼，刚好位于一条天然气管道和水管道所成角的平分线上的点P处，要从点P建两条管道，分别与天然气管道和水管道相连.
问题1：怎么修建管道最短？
问题2：新修的两条管道长度有什么关系？
1.请同学们阅读课本48页第一个思考.
2.你能将思考抽象成数学问题吗？
如图(课本图12.3－1)，已知AB＝AD，BC＝DC，求证：AE平分∠BAD
3.通过平分角的仪器，你能想到怎样画一个角的平分线吗？
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.②分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.③画射线OC，射线OC即为所求．
4.你能说明为什么射线OC是∠AOB的平分线吗？
5.请同学们阅读课本48页第二个思考.
∵OM＝ON，CM＝CN，OC＝OC，∴△OMC≌△ONC，∴∠MOC＝∠NOC
PD=PE
1.请同学们交流48页第二个思考，交换你们的测量数据，你能得出什么结论？
2.请你找出角的平分线的性质的已知和求证，完成这个证明.
1.用尺规作已知角的平分线：
知识点1．作已知角的平分线（重点）
已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线．
2.作图依据：构造△OMC≌△ONC，利用全等三角形的对应角相等，得到角的平分线.
注：(1)画“射线OC”不能叙述为“连接OC”．因为角的平分线是一条射线．
(2)两弧的交点应该在角的内部找，因为角的平分线肯定在角的内部．
1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
2.符号语言：
如图，∵OC平分∠AOB，点P在射线OC上，
PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，∴PD＝PE.
知识点2．角的平分线的性质（难点）
注：(1)该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据．
(2)已知角的平分线及其上一点到角一边的垂线段，常添加辅助线：由角的平分线上的已知点向另一边作垂线段．
（1）明确命题中的已知和求证；
（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
知识点3．证明几何命题的一般步骤
【题型一】角的平分线的作法
例1：如图，用尺规作角的平分线，根据作图步骤，在说明∠CAP＝∠BAP的过程中，以下说法错误的是(　　)
A．由作弧可知AE＝AF
B．由作弧可知FP＝EP
C．由“SAS”证明△AFP≌△AEP
D．由“SSS”证明△AFP≌△AEP
C
例2：如题图，分别作出已知钝角和平角的平分线(不写作法，保留作图痕迹)．
解：如答图所示，射线OC即为所作.
【题型二】角的平分线的性质
例3：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝20，且BD∶DC＝3∶2，则点D到AB边的距离为(　　)
A．8　　　B．12　　　C．10　　　D．15
A
点拨：∵BC＝20，BD∶DC＝3∶2，
∴BD＝12，DC＝8.过点D作DE⊥AB于点E.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC＝8，即点D到AB边的距离为8.
变式：如图，在△ABC中，已知CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝12，DE＝3，则△BCE的面积等于________．
18
点拨：过点E作EF⊥BC于点F.
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，ED⊥AB，∴EF＝ED＝3.
∴△BCE的面积等于×12×3=18.
【题型三】几何命题的证明
例4：命题“全等三角形对应边上的高相等”的已知条件是
________________，结论是____________________________，并证明.
两个三角形全等
这两个三角形对应边上的高相等
解：已知：如图，△ABC≌△EFG，AD，EH分别是△ABC和△EFG的对应边BC，FG上的高．求证：AD＝EH.
证明：∵△ABC≌△EFG，∴AB＝EF，∠B＝∠F，
∵AD，EH分别是△ABC和△EFG的对应边BC，FG上的高，
∴∠ADB＝∠EHF＝90°.
变式：证明：全等三角形对应边上的中线相等.
解：已知：如图，△ABC≌△A1B1C1，AD，A1D1分别是对应边BC，B1C1上的中线．求证：AD＝A1D1.
证明：∵△ABC≌△A1B1C1，∴AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠B＝∠B1.
1.如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= .
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
2.
如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线， BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝50，DE＝14，则△BCE的面积等于_______．
350
（第1题）
1. 如图，用直尺和圆规作一个已知角的
平分线，能得出 的依据是
( )
A
A. B. C. D.
返回
考试考法
（第2题）
2. 教材P60复习题 如图，
是的角平分线，且 ，
则与 的面积之比为( )
A
A. B. C.
D.
返回
（第3题）
3. 如图，平分，于点 ，
且，已知点到 轴的距离是4，那
么点 的坐标为( )
A
A. B.
C. D.
返回
（第4题）
4. 教材P53习题 如图，
，和分别平分 和
，过点，且与垂直.若 ，
求点到 的距离是( )
B
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
（第4题）
【点拨】过点作于，和
分别平分和， ，
，
，
， 点到 的
距离为4.
返回
5. 如图，在三角形中， ,
平分交于点,且,,点是 上一动
点，连接,则 的最小值为___.
2
（第5题）
【点拨】如图，当时， 有最小值.
，，平分 ，
，，， 的最小值为2.
返回
（第6题）
6.如图，在中， ，
，平分，交于点 ，
于点，且，则
的周长为______.
（第6题）
【点拨】平分， ，
，，在 和
中，
，
，，的周长为，的周长为 .
返回
7.［2025厦门期中］如图，在中， .
（1）作的平分线交于点 （尺规作图，保留作图痕
迹，不写作法）；
【解】如图，即为 的
平分线.
（2）在（1）的条件下，若， ，求
的面积.
如图，过点作于点 .
, ，
平分， ，
，
.
返回
角平分线
尺规作图
属于基本作图，必须熟练掌握
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
为证明线段相等提供了又一途径
谢谢观看！

展开更多......

收起↑