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(共32张PPT)
15.1.2 线段的垂直平分线-第1课时
线段的垂直平分线的性质与判定
第十五章 轴对称
【2025新教材】人教版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
（一）情境导入（5 分钟）
展示问题：多媒体展示问题情境，在某山区有 A、B 两个村庄，现要在公路边修建一个供水站，使它到 A、B 两村的距离相等，供水站应建在什么位置？
引发思考：引导学生思考如何确定供水站的位置，提问学生：“这个问题与我们学过的哪些知识可能有关？” 让学生观察、讨论，初步感知问题与线段垂直平分线的联系，从而引出本节课的课题 —— 线段的垂直平分线的性质与判定。
（二）探究线段垂直平分线的性质（15 分钟）
动手操作：
让学生拿出准备好的白纸、直尺和铅笔，在纸上画一条线段 AB。
用折纸的方法作出线段 AB 的垂直平分线 l，在 l 上任取一点 P，连接 PA、PB。
用刻度尺测量 PA、PB 的长度，记录数据。
再在 l 上另取几个点，重复上述操作，测量并记录这些点到 A、B 两端点的距离。
观察猜想：
引导学生观察测量的数据，思考：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离有什么关系？”
组织学生进行小组讨论，鼓励学生大胆猜想，得出结论：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
几何证明：
已知：如图，直线 l 垂直平分线段 AB，垂足为 C，点 P 是 l 上任意一点。
求证：PA = PB。
分析：要证明 PA = PB，可考虑证明以 PA、PB 为边的两个三角形全等。观察图形，发现△PCA 和△PCB 中，PC 为公共边，AC = BC（因为 l 垂直平分 AB），∠PCA = ∠PCB = 90°，根据 SAS（边角边）全等判定定理可证这两个三角形全等，从而得出 PA = PB。
证明过程：
证明：∵直线 l 垂直平分线段 AB（已知）
∴AC = BC，∠PCA = ∠PCB = 90°（线段垂直平分线的定义）
在△PCA 和△PCB 中：
PC = PC（公共边）
∠PCA = ∠PCB（已证）
AC = BC（已证）
∴△PCA≌△PCB（SAS）
∴PA = PB（全等三角形的对应边相等）
归纳性质：
引导学生用文字语言和符号语言表述线段垂直平分线的性质：
文字语言：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
符号语言：∵直线 l 垂直平分线段 AB，点 P 在 l 上，∴PA = PB。
（三）探究线段垂直平分线的判定（15 分钟）
逆向思考：
教师提问：“如果已知一个点到一条线段两个端点的距离相等，那么这个点是否在这条线段的垂直平分线上呢？” 引导学生进行逆向思考。
猜想验证：
让学生在纸上画一条线段 AB，再画一个点 P，使 PA = PB。
尝试作出过点 P 的线段 AB 的垂直平分线，观察点 P 与垂直平分线的位置关系。
组织学生小组讨论，交流自己的发现，猜想结论：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
几何证明：
已知：如图，PA = PB。
求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。
分析：过点 P 作 PC⊥AB 于点 C，要证明点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，只需证明 AC = BC。可通过证明 Rt△PCA≌Rt△PCB（HL 定理）得到 AC = BC。
证明过程：
证明：过点 P 作 PC⊥AB 于点 C。
在 Rt△PCA 和 Rt△PCB 中：
PA = PB（已知）
PC = PC（公共边）
∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）
∴AC = BC（全等三角形的对应边相等）
又∵PC⊥AB，∴直线 PC 是线段 AB 的垂直平分线，即点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。
归纳判定：
引导学生用文字语言和符号语言表述线段垂直平分线的判定：
文字语言：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
符号语言：∵PA = PB，∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。
（四）例题讲解（10 分钟）
例 1：如图，在△ABC 中，AB = AC，DE 是 AB 的垂直平分线，垂足为 D，交 AC 于 E，若△ABC 的周长为 28cm，BC = 8cm，求△BCE 的周长。
分析：
由 DE 是 AB 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可知 AE = BE。
△BCE 的周长 = BE + EC + BC，将 AE = BE 代入可得△BCE 的周长 = AE + EC + BC = AC + BC。
已知△ABC 的周长为 28cm，BC = 8cm，且 AB = AC，可先求出 AC 的长度，进而求出△BCE 的周长。
解答：
解：∵△ABC 的周长 = AB + AC + BC = 28cm，BC = 8cm，AB = AC
∴2AC + 8 = 28，解得 AC = 10cm。
∵DE 是 AB 的垂直平分线
∴AE = BE
∴△BCE 的周长 = BE + EC + BC = AE + EC + BC = AC + BC = 10 + 8 = 18cm。
例 2：如图，已知在△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，BD 平分∠ABC 交 AC 于 D。求证：点 D 在 AB 的垂直平分线上。
分析：
要证明点 D 在 AB 的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的判定，只需证明 DA = DB。
已知 BD 平分∠ABC，∠C = 90°，∠A = 30°，可先求出∠ABC 的度数，再根据角平分线的性质求出∠ABD 的度数，进而得到∠A = ∠ABD，从而证明 DA = DB。
解答：
证明：∵在△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°
∴∠ABC = 180° - ∠C - ∠A = 180° - 90° - 30° = 60°
∵BD 平分∠ABC
∴∠ABD =

2
1

∠ABC =

2
1

×60° = 30°
∴∠A = ∠ABD = 30°
∴DA = DB（等角对等边）
∴点 D 在 AB 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
（五）课堂练习（10 分钟）
基础练习：
已知：如图
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
学习目标
1.通过学生自主探究，理解并掌握线段垂直平分线的性质和判定，会用线段的垂直平分线的性质和判定解决简单的数学问题，培养学生解决问题的能力.
2.学生经历动手实践、合作交流、演绎推理的过程，培养学生的动手操作能力和逻辑推理能力.
线段的垂直平分线的定义：
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3……是l 上的点，请猜想点P1，P2，P3 ……到点A 与点B 的距离之间的数量关系.
相等．
A
B
l
P1
P2
P3
线段的垂直平分线的性质定理
知识点 1
学生活动一 【一起探究】
猜想：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．”
　　已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．
　　求证：PA =PB．
A
B
P
C
l
猜想与证明
用符号语言表示为：∵ CA =CB，l⊥AB，∴ PA =PB．
证明：∵　l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB．
　　 又 AC =CB，PC =PC，
　　 ∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
　　 ∴ PA =PB．
A
B
P
C
l
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
归纳总结
　　反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢？
点P 在线段AB 的垂直平分线上．
P
A
B
C
线段的垂直平分线的判定定理
知识点 2
学生活动二 【一起探究】
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．
P
A
B
C
证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，
垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
∵ PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
P
A
B
C
用数学符号表示为：
∵　PA =PB，
∴　点P 在AB 的垂直平分线上．
　　到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
P
A
B
C
这些点能组成什么几何图形？
　　 你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？
　　在线段AB 的垂直平分线l 上的点与A，B 的距离都相等；反过来，与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与两点A，B 的距离相等的所有点的集合．
P
A
B
C
l
试一试：
例 如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC，求证：AO⊥BC.
线段垂直平分线的判定定理的应用
素养考点
证明：∵OB＝OC，
∴点O在BC的垂直平分线上.
又AB＝AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
即A，O均在BC的垂直平分线上，
∴AO⊥BC.
　　如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线的垂线？
C
B
过直线外一点作已知直线的垂线
知识点 3
A
学生活动三 【一起探究】
C
A
B
D
K
F
E
作法：
（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点
D和E.
（3）分别以点D和点E为圆心，大于 的长
为半径作弧，两弧相交于点F.
（4）作直线CF.
直线CF就是所求作的垂线.
（1）为什么任意取一点K ，使点K与点C 在直线两旁？
（2）为什么要以大于 的长为半径作弧？
（3）为什么直线CF 就是所求作的垂线？
想一想
1. 如图，在四边形中，垂直平分 ，
垂足为 ，下列结论不一定成立的是( )
C
A. B. 平分
C. D.
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2. 下列说法中错误的个数是( )
①任何一个命题都有逆命题；
②若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题；
③任何一个定理都有逆定理；
④若原命题是真命题，则它的逆命题也是真命题.
B
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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3. ［2025无锡期中］有三名同学在玩抢凳子游戏，要求在他
们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，如果将三人视为
三角形的三个顶点，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的
位置是在三角形的( )
B
A. 三边中线的交点处
B. 三边垂直平分线的交点处
C. 三条角平分线的交点处
D. 三边上高的交点处
返回
（第4题）
4. 如图，在中， ，
为内一点，过点的直线 分别交
，于点，，若在 的垂直平
分线上，在 的垂直平分线上，则
的度数为( )
B
A. B.
C. D.
（第4题）
【点拨】 ，
， ，
，
.
在的垂直平分线上，在 的垂直
平分线上，，，
， ，
.
（第4题）
返回
（第5题）
5.母题教材P70习题 如图，在 中，
的垂直平分线交于点，若 的周
长为5，，则边 的长的取值范围为
____________.
（第5题）
【点拨】的周长为5， ，
，
的垂直平分线交 于点
， ，
.由三角形的三边关系得
，，即边
的长的取值范围为 .
返回
6.如图，在中， ，
平分，交于点，
于点，连接 .
（1）求证： ；
【证明】平分， ， ，
， .
又， .
（2）求证：垂直平分 ；
【证明】， .
又，垂直平分 .
（3）若的周长为24，，求 的周长.
【解】由（2）得 .
，
的周长
.
的周长为24，
，即
，
， 的周长为8.
返回
线段的垂直平分线
性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
判定
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
集合
定义
线段的垂直平分线的集合定义：
线段的垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合
关系
PA=PB
点P在线段AB的垂直平分线上
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
谢谢观看！

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