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(共33张PPT)
15.1.2 线段的垂直平分线
-第2课时 作轴对称图形的对称轴
第十五章 轴对称
【2025新教材】人教版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
导入新课（5 分钟）
展示一些精美的轴对称图形，如蝴蝶、故宫的平面图、等腰三角形等，让学生观察这些图形的特点，回顾轴对称图形的概念。
提出问题：“我们知道这些图形是轴对称图形，那如何准确地作出它们的对称轴呢？不通过折叠的方法，能不能用数学工具精确地找到对称轴？” 引发学生的思考，从而导入本节课的主题 —— 作轴对称图形的对称轴。
（二）知识回顾（3 分钟）
提问学生：“如果两个图形成轴对称，那么这两个图形有什么性质？” 引导学生回答出：成轴对称的两个图形全等，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
进一步追问：“那反过来，如果知道两个图形对应点所连线段的垂直平分线，能得到什么结论？” 强化学生对轴对称性质的理解，为后续作对称轴的学习做铺垫。
（三）探究新知（20 分钟）
作线段的垂直平分线
给出问题：如图，点 A 和点 B 关于某条直线成轴对称，如何准确作出这条直线呢？
引导学生思考：我们知道到点 A，B 距离相等的点在线段 AB 的垂直平分线上，所以只要找出两个这样的点，用直线将它们连接，即可确定线段 AB 的垂直平分线。
教师进行尺规作图演示：
分别以点 A 和点 B 为圆心，大于

2
1

AB
的长为半径作弧（这里向学生解释为什么要大于

2
1

AB
的长，若小于或等于

2
1

AB
的长，两弧可能无法相交），两弧相交于 C，D 两点。
作直线 CD。则直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线。
让学生自己动手在练习本上按照步骤作线段的垂直平分线，教师巡视指导，及时纠正学生作图过程中出现的不规范操作，如圆规的使用方法、弧线的绘制等。
作轴对称图形的对称轴
给出一个简单的轴对称图形，如等腰三角形，提问学生如何作出它的对称轴。
引导学生根据前面所学的知识，先找到一对对应点，比如等腰三角形两腰的端点，然后作出这对对应点所连线段的垂直平分线，这条垂直平分线就是等腰三角形的对称轴。
让学生自己动手作出等腰三角形的对称轴，然后同桌之间互相检查、交流。
再给出一个较为复杂的轴对称图形，如一个不规则的多边形，但它是轴对称图形，让学生尝试找出它的对称轴。在学生尝试的过程中，教师引导学生思考如何准确找到对应点，以及如何运用尺规作图作出对应点所连线段的垂直平分线。
请几位同学上台展示自己的作图过程，并讲解自己是如何找到对应点以及作出对称轴的。教师对学生的表现进行评价和总结，强调作对称轴的关键步骤和注意事项。
（四）例题讲解（10 分钟）
例 1：如图，△ABC 和△DEF 关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
分析：根据轴对称的性质，只要找到△ABC 和△DEF 的一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个三角形的对称轴。
解答：
连接一对对应点，比如连接点 A 和点 D。
分别以点 A 和点 D 为圆心，大于

2
1

AD
的长为半径作弧，两弧相交于 M，N 两点。
作直线 MN，则直线 MN 就是△ABC 和△DEF 的对称轴。
例 2：已知一个轴对称图形的一半以及对称轴，补全这个轴对称图形。
分析：利用轴对称图形的性质，对应点到对称轴的距离相等，对应点的连线被对称轴垂直平分，找到已知图形上各关键点关于对称轴的对称点，然后依次连接这些对称点，即可补全图形。
解答：
在已知图形上选取几个关键点，如点 A、B、C 等。
过点 A 作对称轴的垂线，垂足为 O，延长 AO 到 A'，使 OA' = OA，则点 A' 就是点 A 关于对称轴的对称点。
用同样的方法找到点 B、C 等其他关键点的对称点 B'、C' 等。
依次连接点 A'、B'、C' 等，得到补全后的轴对称图形。
在讲解例题的过程中，注重引导学生分析问题，让学生理解每一步的作图依据和目的，同时强调作图的规范性和准确性。
（五）课堂练习（10 分钟）
画出下列轴对称图形的对称轴，有几条画几条。（图形包括长方形、正方形、等边三角形、正五边形、圆等）
如图，在直线 l 上求作一点 P，使 PA = PB。（保留作图痕迹，不要求写出作法）
已知△ABC 与△A'B'C' 关于直线 l 对称，请作出直线 l。
让学生独立完成练习，教师巡视，对学生的练习情况进行个别指导，及时反馈学生的学习效果。练习结束后，选取部分学生的答案进行展示和评价，针对学生出现的问题进行集中讲解。
（六）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾本节课所学的主要内容：
用尺规作线段垂直平分线的方法和步骤。
作轴对称图形或者成轴对称的两个图形对称轴的方法，关键是找到一对对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线。
强调在作图过程中需要注意的事项，如尺规的正确使用、弧线的绘制要求、保留作图痕迹等。
鼓励学生在课后继续观察生活中的轴对称图形，尝试运用所学知识作出它们的对称轴，加深对本节课知识的理解和应用。
（七）布置作业（2 分钟）
必做题
教材 P64 习题 15.1 第 1、2 题。
已知线段 AB，用尺规作图作出线段 AB 的垂直平分线，并在垂直平分线上任取一点 P，连接 PA、PB，测量 PA 和 PB 的长度，看看有什么发现，写一篇简短的数学小报告。
选做题
如图，在四边形 ABCD 中，AB = AD，BC = DC，找出四边形 ABCD 的对称轴，并说明理由。
自己设计一个轴对称图形，然后作出它的所有对称轴，与同学交流你的设计思路和作图过程。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
有时我们感觉一（两）个平面图形是轴对称的，如何验证呢？
A
B
C
A ′
B ′
C ′
通过折叠，如果这（两）个图形能够互相重合，则这（两）个图形是轴对称图形.
线段垂直平分线的画法
知识点 1
问题1：
学生活动一 【一起探究】
不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？
问题2：
如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，
你能作出这条直线吗？
A
B
分析：我们只要连接点A和点B，作出线段AB的垂直平分线，就可得到点A和点B的对称轴.为此作出到点A，B的距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线.
画一画
A
B
C
D
作法：
（1）分别以点A，B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点.
（2）作直线CD. CD即为所求.
特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点.
分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段AB的垂直平分线上，又要在公路边上，所以
找到AB垂直平分线与公路的交点即可.
如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？
A
B
公共汽车站
例1 如图，已知点A、点B以及直线l.
(1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝PB.
(保留作图痕迹，不要求写出作法)；
(2)在(1)所作的图中，若AM＝PN，BN＝PM，求证：∠MAP＝∠NPB.
M
N
A
B
l
利用线段的垂直平分线的性质作图
素养考点 1
解：(1)如图所示：
(2)在△AMP和△BNP中，∵AM=PN，AP＝PB，PM＝BN，
∴△AMP≌△PNB(SSS)，∴∠MAP＝∠NPB.
M
N
A
B
l
P
如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于 AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（　　）
A．∠A的平分线
B．AC边的中线
C．BC边的高线
D．AB边的垂直平分线
D
例2 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
O
N
M
A
B
利用作图解决实际问题
素养考点 2
O
N
M
A
B
方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上.两线的交点即为所求.
解：如图所示：
P
电信部门要修建一座电视信号发射塔，如图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置.
解：如图所示，两条高速公路相交的角的角平分线和AB的垂直平分线的交点P1与P2点.
下图中的五角星有几条对称轴？
如何作出这些对称轴呢？
A
B
l
作轴对称图形的对称轴
知识点 2
学生活动二 【一起探究】
A
B
作法：
（1）找出五角星的一对对称点A和B，连接AB．
（2）作出线段AB的垂直平分线l．则l就是这个五角星的一条对称轴．
l
用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴．
归纳总结
方法总结：对于轴对称图形，只要找到任意一组对称点，作出对称点所连线段的垂直平分线，即能得此图形的对称轴.
例 如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，请用无刻度的
直尺作出它们的对称轴.
解：延长BC、B'C'交于点P，延长AC，A'C'交于点Q，连接PQ，则直线PQ即为所要求作的直线l.
A
B
C
A ′
B ′
C ′
l
P
Q
作轴对称图形的对称轴
素养考点
归纳总结
方法总结：
①过成轴对称图形的两组对应点的连线（或延长线）交点的直线是这个轴对称图形的对称轴.
②如果成轴对称的两个图形对称点连线（或延长线）相交，那么交点必定在对称轴上.
作出下列图形的一条对称轴.和同学比较一下，你们作出的
对称轴一样吗？
（第1题）
1. 如图，在等腰三角形中， ,
分别以点，为圆心，大于 的长为半径
画弧，两弧分别交于点和点,作直线 ,交
于点,连接,则 的度数是( )
B
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2. 在巴黎奥运会10米气步
枪混合团体比赛中，中国选手夺得本届奥运会
首枚金牌，如图是巴黎奥运会射击项目图标，
这个图案的对称轴条数为( )
B
A. 6 B. 4 C. 2 D. 1
返回
3.母题教材P71习题 如图，某地有两所大学和两条相交
叉的公路（点，表示大学，， 表示公路），现计划
修建一座物资仓库，希望物资仓库到两所大学的距离相等，
到两条公路的距离也相等.你能确定物资仓库 应该建在什么
位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案.
【解】如图所示，物资仓库应该建在或 点的位置.
（第3题）
返回
4.如图，在平面直角坐标系中，点，点 .
（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点，使点
同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作
法）：①点到，两点的距离相等；②点到轴和 轴的
距离相等.
【解】如图，点 即为所求作的点；
（第4题）
（2）在（1）作出点后，写出点 的坐标.
设的垂直平分线交于点，交轴于点 ，
由作图可得，，轴，且 ，
是坐标轴的角平分线，
.
返回
5.如图，网格中的与 为轴对称图形.
（1）利用网格线作出与的对称轴 .
【解】如图，直线 即为所作.
（2）若每一个小正方形的边长为1,则 的面积为___.
3
（3）找出顶点在格点，以 为一边且与
全等（不与 重合）的三角形，
这样的三角形在网格内共能画出___个.
1
【点拨】如图，即为以 为一边且与
全等（不与 重合）的三角形，这样的三角形在
网格内能画1个.
返回
作线段的
垂直平分线
基本作图
作对称轴
(1) 将图形对折；
(2) 用尺规作图；
(3) 用刻度尺先取一对对称点连线的中点，然后作垂线
(1) 作一条线段等于已知线段；
(2) 作一个角等于已知角；
(3) 作已知角的角平分线；
(4) 过一点作已知直线的垂线；
(5) 作已知线段的垂直平分线（中点）．
本节课学习了尺规作图的两种基本作图，并利用它来解决简单的作图问题。
谢谢观看！

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