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15.2.2 坐标平面中的轴对称
第十五章 轴对称
【2025新教材】人教版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
多媒体展示北京故宫的俯瞰图、埃菲尔铁塔的侧面图等具有轴对称特征的建筑图片，以及一些常见的轴对称几何图形，如等腰三角形、矩形等。引导学生观察这些图片，回顾轴对称图形的概念及性质，提问：“这些轴对称图形的对称轴两侧的对应部分有什么关系？” 让学生回答出对应点所连线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等等性质。?
提出问题：“我们已经知道了很多轴对称图形，在平面直角坐标系这个数学工具下，如何用坐标来准确地表示这些图形的轴对称关系呢？比如，给定一个点的坐标，怎样快速找到它关于 x 轴、y 轴的对称点的坐标？这就是我们今天要一起探索的内容。” 从而引出本节课课题 —— 用坐标表示轴对称。?
（二）知识回顾（3 分钟）?
请学生回顾平面直角坐标系的相关知识，包括坐标轴的定义、象限的划分等。?
随机抽取学生，在黑板上画出平面直角坐标系，并在坐标系中标出几个点，如 A (2,3)、B (-1,4)、C (0,-2)，让其他学生说出这些点所在的象限或坐标轴。通过这一环节，复习巩固平面直角坐标系的基础知识，为后续学习用坐标表示轴对称做好铺垫。?
（三）探究新知（20 分钟）?
探究一：关于 x 轴对称的点的坐标变化规律?
在平面直角坐标系中，展示点 A (3,2)，提问学生：“请大家思考一下，点 A 关于 x 轴的对称点 A' 会在什么位置？它的坐标可能是多少？” 让学生先独立思考，然后在小组内交流自己的想法。?
每个小组推选一名代表发言，分享小组讨论的结果。教师在黑板上记录学生们的猜想。?
教师引导学生通过实际操作来验证猜想。让学生在练习本上画出平面直角坐标系，标注出点 A (3,2)，然后根据轴对称的性质，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 O，延长 AO 到 A'，使 OA' = OA，从而找到点 A 关于 x 轴的对称点 A'。?
让学生观察点 A 和点 A' 的坐标，思考它们之间的关系。提问：“点 A 的坐标是 (3,2)，点 A' 的坐标是 (3,-2)，大家能发现关于 x 轴对称的点的坐标有什么变化规律吗？” 组织学生进行小组讨论。?
小组讨论结束后，邀请小组代表总结规律，教师进行补充和完善，得出结论：关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数。例如，点 P (x,y) 关于 x 轴的对称点 P'(x,-y)。?
为了强化学生对这一规律的理解，教师给出一些点的坐标，如 (5, -3)、(-2, 7)、(0, 4)，让学生快速说出它们关于 x 轴的对称点的坐标。?
探究二：关于 y 轴对称的点的坐标变化规律?
类似地，在平面直角坐标系中给出点 B (-4, 1)，提出问题：“点 B 关于 y 轴的对称点 B' 在哪里？它的坐标又会是怎样的呢？” 让学生再次经历思考、小组讨论、操作验证的过程。?
学生在练习本上作图找到点 B 关于 y 轴的对称点 B' 后，观察点 B 和点 B' 的坐标，尝试总结关于 y 轴对称的点的坐标变化规律。?
请学生主动站起来分享自己总结的规律，教师引导全体学生进行讨论和修正，最终得出：关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数。即点 Q (x,y) 关于 y 轴的对称点 Q'(-x,y)。?
教师通过多媒体展示一些点，如 (2, -5)、(-3, -1)、(4, 0)，让学生抢答这些点关于 y 轴的对称点的坐标，以检验学生的掌握情况。?
探究三：在平面直角坐标系中画简单图形的轴对称图形?
在平面直角坐标系中给出一个简单的三角形 ABC，其顶点坐标分别为 A (1, 2)、B (3, 4)、C (5, 1)。教师提问：“我们已经知道了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标变化规律，现在请大家思考如何画出这个三角形关于 x 轴的对称图形△A'B'C' 呢？” 引导学生思考解决问题的方法。?
请学生发表自己的思路，教师进行梳理和总结：首先，根据关于 x 轴对称的点的坐标变化规律，求出三角形 ABC 三个顶点 A、B、C 关于 x 轴的对称点 A'、B'、C' 的坐标；然后，在平面直角坐标系中描出这些对称点；最后，顺次连接这些对称点，就得到了△ABC 关于 x 轴的对称图形△A'B'C'。?
教师在黑板上进行示范操作，边操作边讲解每一步的依据和注意事项。例如，在求对称点坐标时，要准确运用坐标变化规律；在描点时，要注意点的位置的准确性；在连线时，要用直尺连接，保证图形的规范性。?
让学生自己动手在练习本上画出△ABC 关于 y 轴的对称图形，教师巡视课堂，观察学生的操作情况，及时给予指导和纠正。对于出现问题较多的学生，教师可以进行个别辅导。?
（四）例题讲解（10 分钟）?
例 1?
在平面直角坐标系中，已知点 P (-3, 5)，求点 P 关于 x 轴和 y 轴的对称点的坐标。?
分析：根据关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标变化规律进行求解。?
解答：?
点 P (-3, 5) 关于 x 轴的对称点 P' 的坐标：因为关于 x 轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以 P' 的横坐标为 - 3，纵坐标为 - 5，即 P'(-3,-5)。?
点 P (-3, 5) 关于 y 轴的对称点 P'' 的坐标：由于关于 y 轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数，所以 P'' 的横坐标为 3，纵坐标为 5，即 P''(3,5)。?
例 2?
已知四边形 ABCD 的顶点坐标分别为 A (-2, 3)、B (-1, 1)、C (3, 2)、D (2, 4)，画出四边形 ABCD 关于 y 轴的对称图形四边形 A'B'C'D'。?
分析：先求出四边形 ABCD 各顶点关于 y 轴的对称点的坐标，再在平面直角坐标系中描点连线。?
解答：?
求各顶点关于 y 轴的对称点的坐标：?
点 A (-2, 3) 关于 y 轴的对称点 A'(2, 3)。?
点 B (-1, 1) 关于 y 轴的对称点 B'(1, 1)。?
点 C (3, 2) 关于 y 轴的对称点 C'(-3, 2)。?
点 D (2, 4) 关于 y 轴的对称点 D'(-2, 4)。?
在平面直角坐标系中准确描出点 A'、B'、C'、D'，然后依次连接这些点，得到四边形 A'B'C'D'。?
在讲解例题过程中，注重引导学生分析解题思路，让学生清晰理解每一步的依据，强调在平面直角坐标系中画图的规范性，如坐标轴的标注要清晰、点的坐标书写要准确、图形的线条要直等。同时，鼓励学生提出疑问，及时解答学生在理解过程中遇到的问题。?
（五）课堂练习（10 分钟）?
在平面直角坐标系中，点 M (4, -7) 关于 x 轴的对称点的坐标是______，关于 y 轴的对称点的坐标是______。?
已知△DEF 的顶点坐标分别为 D (-1, -2)、E (2, -3)、F (4, 1)，画出△DEF 关于 x 轴的对称图形△D'E'F'，并写出△D'E'F' 各顶点的坐标。?
如图，在平面直角坐标系中有一个不规则图形 ABCDE，其顶点坐标分别为 A (1, 3)、B (3, 5)、C (5, 2)、D (4, -1)、E (2, -2)，请画出该图形关于 y 轴的对称图形 A'B'C'D'E'。?
学生独立完成练习，教师巡视课堂，观察学生的练习情况，对学生出现的问题进行及时指导。练习结束后，选取部分学生的练习进行展示，共同点评，针对学生普遍存在的问题进行集中讲解和纠正。例如，有些学生可能在求对称点坐标时符号出错，教师要强调坐标变化规律中符号的变化规则；有些学生在画图时可能图形不规范，教师要再次强调画图的要求和注意事项。?
（六）课堂小结（5 分钟）?
与学生一起回顾本节课所学的主要内容：?
在平面直角坐标系中，关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标变化规律。关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数。?
如何运用坐标变化规律求已知点关于 x 轴、y 轴的对称点的坐标，以及如何在平面直角坐标系中画出简单图形关于 x 轴、y 轴的对称图形。其步骤为：先根据规律求对称点坐标，再描点，最后连线。?
强调在运用坐标表示轴对称时需要注意的事项，如坐标变化规律的准确运用、计算坐标时的符号问题、在坐标系中画图的规范性等。?
鼓励学生在课后继续观察生活中的轴对称现象，尝试用所学的坐标表示轴对称的知识去分析和解释这些现象，进一步巩固所学内容，提高运用数学知识解决实际问题的能力。?
（七）布置作业（2 分钟）?
必做题?
教材 P71 习题 15.2 第 2、3 题。?
在平面直角坐标系中，有一个点 A (3, -4)，先求出点 A 关于 x 轴和 y 轴的对称点 A' 和 A'' 的坐标，然后分别以 A、A'、A'' 为顶点，构造两个不同的三角形，使它们都关于某条直线对称，画出这两个三角形，并写出对称轴的方程（提示：可利用所学的关于 x 轴、y 轴对称的知识，以及两点确定一条直线的方法来求解）。?
选做题?
如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 的顶点坐标分别为 A (1, 2)、B (4, 5)、C (6, 3)、D (3, 1)，已知四边形 ABCD 关于直线 x = a 对称，求 a 的值以及四边形 ABCD 关于直线 x = a 对称的四边形 A'B'C'D' 的顶点坐标。?
自己设计一个包含至少三个不同简单图形（如三角形、矩形、圆形等）的组合图案，使这个图案整体是轴对称图形。在平面直角坐标系中画出这个图案，并分别求出图案中各个关键点关于 x 轴、y 轴的对称点的坐标，然后说明如何根据这些对称点的坐标画出整个图案关于 x 轴、y 轴的对称图形。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
如图，是一幅老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的.如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为 x 轴和 y轴建立平面直角坐标系.根据如图所示的东直门的坐标（3.5，4），你能说出西直门的坐标吗？
已知点A和一条直线MN，你能画出这个点关于已知直线的对称点吗?
A
M
N
O
平面直角坐标系中的轴对称
知识点
问题1：
学生活动 【一起探究】
A
A′
M
N
∴A′就是点A关于直线MN的对称点.
O
（2）延长AO至A′,使OA′=AO.
（1）过点A作AO⊥MN，垂足为点O.
x
y
O
如图，在平面直角坐标系中你能画出点A关于x轴的对称点吗?
A (2,3)
A′(2,–3)
你能说出点A与点A'坐标的关系吗？
问题2：
x
y
O
在平面直角坐标系中画出下列各点关于x轴的对称点.
C (3,–4)
C '(3,4)
B(–4,2)
B '(–4,–2)
(x , y)
关于 x 轴
对称
( , )
x
–y
做一做:
关于x轴对称的点的坐标的特点是:
横坐标相等,纵坐标互为相反数. （简称：横同纵反）
归纳总结
练一练
1.点P(–5, 6)与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为__________.
2.点M(a, –5)与点N(–2, b)关于x轴对称，则a=_____,
b =_____.
(– 5 , –6 )
–2
5
如图，在平面直角坐标系中你能画出点A关于y轴的对称点吗?
x
y
O
A (2,3)
A′(–2,3)
你能说出点A与点A'坐标的关系吗？
问题3：
x
y
O
在平面直角坐标系中画出下列各点关于y轴的对称点.
C (3,–4)
C '(3,4)
B(–4,2)
B '(–4,–2)
(x , y)
关于 y轴
对称
( , )
–x
y
做一做:
关于y轴对称的点的坐标的特点是:
横坐标互为相反数,纵坐标相等. （简称：横反纵同）
归纳总结
练一练
1.点P(–5, 6)与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为__________.
2.点M(a, –5)与点N(–2, b)关于y轴对称，则a=_____,
b =_____.
(5 , 6 )
2
–5
例1 如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(–5,1),
B(–2,1),C(–2,5),D(–5,4),分别画出与四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形.
x
y
A
B
C
D
A ′ ′
B ′ ′
C ′ ′
D ′ ′
A ′
B ′
C ′
D ′
O
在平面直角坐标系内作轴对称图形
素养考点 1
方法点拨
对于这类问题,只要先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的对称点的坐标,描出并连接这些点,就可以得到这个图形的轴对称图形. (一找二描三连）
平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为
A（0,4），B（2,4），C（3，–1）.
（1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；
（2）若△ABC与△A'B'C'关于x轴对称，画出△A'B'C'，
并写出A'、B'、C'的坐标.
解：如图所示：
x
y
O
A (0,4)
B (2,4)
C (3,–1)
A' (0,–4)
B' (2,–4)
C' (3,1)
例2 已知点A(2a–b，5＋a)，B(2b–1，–a＋b)．
(1)若点A、B关于x轴对称，求a、b的值；
(2)若A、B关于y轴对称，求(4a＋b)2016的值．
利用轴对称在平面直角坐标系内求字母的值
素养考点 2
解：(1)∵点A、B关于x轴对称，
∴2a–b＝2b–1，5＋a–a＋b＝0，
解得a＝–8，b＝–5；
(2)∵A、B关于y轴对称，
∴2a–b＋2b–1＝0，5＋a＝–a＋b，
解得a＝–1，b＝3，
∴(4a＋b)2016＝1.
解决此类题可根据关于x轴、y轴对称的点的特征列方程(组)求解．
已知点A(2a＋3b，–2)和点B(8，3a＋2b)关于x轴对称，则a＋b＝ ．
若M(a，– )与N(4，b)关于y轴对称，则a，b的值分别为 ，MN＝ ．
2
–4，
8
利用轴对称在平面直角坐标系内求字母的取值范围
素养考点 3
例3 已知点P(a＋1，2a–1)关于x轴的对称点在第一象限，
求a的取值范围．
解：依题意得点P在第四象限，
解得 .
即a的取值范围是
方法总结：解决此类题，一般先写出对称点的坐标或判断已知所在的象限，再由各象限内点的坐标的符号，列不等式(组)求解．
已知点M(1–a，2a＋2)，若点M关于x轴的对称点在第三象限，则a的取值范围是 ．
a>1
如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系，在这种变换下，如果△ABC内任意一点M(a，b)，那么它的对应点N的坐标为
．
(–a，b)
1. 教材P?75练习T1 在平面直角坐标系中，若点A 关于
y轴对称的点的坐标是(3,?4)，则点A 的坐标为( )
?
D
A. (4,?3) B. (?4,3)
C. (3,4) D. (?3,?4)
?
2. ［2024雅安］在平面直角坐标系中，将点P(1,?1) 向右平
移2个单位长度后，得到的点P1关于x 轴的对称点的坐标是
( )
?
B
A. (1,1) B. (3,1)
C. (3,?1) D. (1,?1)
?
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3. 小红同学误将点A的横、纵坐标次序颠倒，写成A(a,b) ，
另一学生误将点B的坐标写成关于y 轴对称的点的坐标，写成
B(?b,?a)，则A，B 两点原来的位置关系是( )
?
A
A. 关于x轴对称 B. 关于y 轴对称
C. 点A和B 重合 D. 以上都不对
?
4.［2025德阳期中］已知点(m,?3)与点(?2,n+2)关于x 轴
对称，则(m+n)2?025 的值为____.
?
?1
?
返回
5. 如图是蜡烛平面镜成
像原理图，若以桌面为x 轴，镜面侧面
为y 轴（镜面厚度忽略不计）建立平面
直角坐标系，若某刻火焰顶尖S 点的坐
?
?2
?
6.已知点P到x轴、y轴的距离分别是4和5，且点P关于y 轴对
称的点在第四象限，则点P 的坐标是_________.
?
(?5,?4)
?
标是(x?2,2)，此时对应的虚像S′的坐标是(3,y)，则xy 的值
为____.
?
返回
7. 在如图的
直角坐标系中，每个小方格都是边
长为1个单位长度的正方形，
△ABC 的三个顶点都在格点上
（每个小方格的顶点叫格点），点
A的坐标为(2,3) .
?
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（其中A′，B′，C′
分别是A，B，C 的对应点）；
?
【解】如图所示，△A′B′C′ 即为所求.
?
（第7题）
（2）写出A′,B′,C′ 三点的坐标：_________
____________________.
?
A′(?2,3)，B′(?3,1)，C′(2,?2)
?
（3）若在y轴上有一点P，使得PA+PB
的值最小，请画出点P 的位置.
?
如图所示，点P 即为所求.
?
返回
8. 已知点P(m?3,m?1)关于y 轴的对称点在第一象限，则
m 的取值范围在数轴上表示正确的是( )
?
D
A. B.
C. D.
返回
9. 剪纸是中国最
古老的民间艺术之一.如图是一张蕴含着
轴对称变换的蝴蝶剪纸，点A与点B 对称，
点C与点D 对称，将其放置在直角坐标系
?
A
A. (7,4) B. (6,4) C. (5,4) D. (4,4)
?
中，点A，B，C的坐标分别为(3,0)，(5,0)，(1,4)，则点D 的
坐标为( )
?
返回
10. 点Q 的横坐标为一元一次方程
3x+7=32?2x的解，纵坐标为a+b的值，其中a，b 满足
二元一次方程组&2a?b=4,&?a+2b=?8, 则点Q关于y轴的对称点Q′
的坐标为_________.
?
(?5,?4)
?
返回
11.如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(4,3) .若
△ABC是关于直线y=a对称的轴对称图形，则点B 的坐标为
__________.
?
(4,2a?3)
?
返回
用坐标表示轴对称
关于坐标轴对称的点的坐标特征
在坐标系中作已知图形的对称图形
关于x轴对称，横同纵反；关于y轴对称，横反纵同
关键要明确点关于x轴、y轴对称点的坐标变化规律，然后正确画出对称点的位置
谢谢观看！

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