资源简介

15.3.1 等腰三角形-第1课时
等腰三角形的性质
第十五章 轴对称
【2025新教材】人教版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
展示一组含有等腰三角形的生活图片，如建筑中的屋顶、桥梁结构、等腰三角形的衣架等，引导学生观察图片，找出其中的共同图形 —— 等腰三角形。?
提问：同学们，我们在生活中经常能看到这样的三角形，那你们知道什么样的三角形叫做等腰三角形吗？?
学生回答后，教师进行点评和总结，引出本节课的课题 —— 等腰三角形的性质。?
知识回顾（3 分钟）?
让学生回顾三角形的定义，然后给出一些不同类型的三角形，让学生观察并判断哪些是等腰三角形。?
引导学生总结等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。?
结合图形，让学生指出等腰三角形的腰、底边、顶角和底角，加强学生对等腰三角形各部分名称的认识。?
等腰三角形性质的探究（15 分钟）?
动手操作：让学生拿出准备好的长方形纸片，按照教材中的方法进行折叠、裁剪，得到一个等腰三角形。?
提出问题：请同学们仔细观察自己剪出的等腰三角形，将其沿折痕对折，你能发现哪些重合的线段和角？?
学生进行观察和思考后，小组内交流讨论，然后教师选取部分小组代表进行发言，分享他们的发现。?
教师根据学生的回答进行总结归纳，引导学生猜想等腰三角形的性质：?
性质一：等腰三角形的两个底角相等（简写成 “等边对等角”）。?
性质二：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成 “三线合一”）。?
等腰三角形性质的证明（12 分钟）?
性质一的证明：?
已知：在△ABC 中，AB = AC。?
分析：要证明两个角相等，可以通过构造全等三角形来实现。?
证明：作顶角∠BAC 的平分线 AD。?
在△ABD 和△ACD 中，?
∠1 = ∠2（辅助线作法）?
AD = AD（公共边）?
AB = AC（已知）?
∴△ABD≌△ACD（SAS）?
∴∠B = ∠C（全等三角形对应角相等）?
性质二的证明：?
已知：在△ABC 中，AB = AC，AD 是顶角∠BAC 的平分线。?
求证：AD 是底边上的中线，也是底边上的高。?
分析：先证明△ABD≌△ACD，得出 BD = CD，∠ADB = ∠ADC，再根据平角的定义证明∠ADB = ∠ADC = 90°。?
证明：在△ABD 和△ACD 中，?
∠1 = ∠2（辅助线作法）?
AD = AD（公共边）?
AB = AC（已知）?
∴△ABD≌△ACD（SAS）?
∴BD = CD，∠ADB = ∠ADC（全等三角形对应边、对应角相等）?
又∵∠ADB + ∠ADC = 180°（平角定义）?
∴∠ADB = ∠ADC = 90°?
即 AD 是 BC 边上的中线，也是 BC 边上的高。?
同理，当 AD 是底边上的中线时，可证明 AD 是顶角平分线和底边上的高；当 AD 是底边上的高时，可证明 AD 是顶角平分线和底边上的中线。?
例题讲解（8 分钟）?
例 1：在△ABC 中，AB = AC，∠A = 50°，求∠B 和∠C 的度数。?
解：∵AB = AC?
∴∠B = ∠C（等边对等角）?
又∵∠A + ∠B + ∠C = 180°?
∠A = 50°?
∴∠B = ∠C = （180° - 50°）÷ 2 = 65°?
例 2：如图，在△ABC 中，AB = AC，D 是 BC 边上的中点，∠B = 30°，求∠ADC 和∠BAD 的度数。?
解：∵AB = AC，D 是 BC 边上的中点?
∴AD 是∠BAC 的平分线，AD⊥BC（三线合一）?
∴∠ADC = 90°?
∵∠B = 30°?
∴∠BAC = 180° - 30°× 2 = 120°?
∴∠BAD = 1/2∠BAC = 60°?
课堂练习（10 分钟）?
已知等腰三角形的一个底角是 70°，则它的顶角是多少度？?
等腰三角形的一个角是 110°，求它的另外两个角的度数。?
如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 是 BC 边上的高，∠BAC = 80°，求∠B、∠C、∠BAD 的度数。?
学生独立完成练习，教师巡视指导，及时发现学生存在的问题并进行个别辅导。?
练习结束后，选取部分学生的答案进行展示和点评，强调解题的思路和规范。?
课堂小结（4 分钟）?
与学生一起回顾本节课所学的主要内容，包括等腰三角形的定义、性质（等边对等角、三线合一）以及性质的证明方法和应用。?
引导学生总结在探究等腰三角形性质过程中所运用的数学思想方法，如从特殊到一般、转化等。?
强调等腰三角形性质在解决几何问题中的重要性，鼓励学生在今后的学习中继续探究其他几何图形的性质。?
布置作业（3 分钟）?
基础作业：教材课后练习题第 1、2、3 题。?
拓展作业：如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D、E 在 BC 上，且 AD = AE，求证：BD = CE。（提示：可通过作辅助线，利用等腰三角形的性质来证明）?
实践作业：寻找生活中至少三个利用等腰三角形性质的实际例子，并记录下来，下节课进行分享。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.通过剪纸、折纸等活动，进一步认识等腰三角形，了解等腰三角形是轴对称图形，培养学生的动手能力.
2.通过学生自主探究、探索、猜想、验证等腰三角形的性质，并学会应用等腰三角形的性质，提高学生分析问题、解决问题的能力.
3.结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用，掌握转化和分类讨论的数学思想，发展学生的推理能力.
重难点
导入新课
导入新课
看到下面三角形了吗，它有何特点呢？
腰
腰
顶角
底角
底角
底边
我们今天来探讨一下等腰三角形的性质.
导入新课
把一张长方形的纸按图中的虚线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？
等腰三角形的性质
知识点
学生活动 【一起探究】
探究新知
A
B
C
AB=AC
等腰三角形
探究新知
【思考】△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
A
C
D
B
折痕所在的直线是它的对称轴.
等腰三角形是轴对称图形.
探究新知
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
重合的线段
重合的角

　
A
C
B
D
AB与AC
BD与CD
AD与AD
∠B 与∠C
∠BAD 与∠CAD
∠ADB 与∠ADC
探究新知
【思考】由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？
说一说你的猜想.
探究新知
A
B
C
已知：△ABC中，AB=AC,
求证：∠B=?C.
【思考】如何构造两个全等的三角形？
猜想:等腰三角形的两个底角相等.
如何证明两个角相等呢？
可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证.
探究新知
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
A
B
C
探究新知
A
B
C
D
证明：
作底边的中线AD，
则BD=CD.
AB=AC ( 已知 )，
BD=CD ( 已作 )，
AD=AD (公共边)，
∴ △BAD≌ △CAD (SSS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
在△BAD和△CAD中
方法一：作底边上的中线.
还有其他的证法吗？
探究新知
A
B
C
D
证明：
作顶角的平分线AD，
则∠BAD=∠CAD.
AB=AC ( 已知 ),
∠BAD=∠CAD ( 已作 ),
AD=AD (公共边),
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
方法二：作顶角的平分线
在△BAD和△CAD中
探究新知
由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到哪些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？
A
B
C
D
【想一想】
探究新知
解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.
又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，
∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ，
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 .
A
B
C
D
探究新知
性质1:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
A
C
B
如图,在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等边对等角).
归纳总结
探究新知
具备其中一条
性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.
即：等腰三角形
顶角平分线
底边上的高线
底边上的中线
另外两条成立
归纳总结
探究新知
A
C
B
D
1
2
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，
∴BD=CD, AD⊥BC.（等腰三角形三线合一）
∵AB=AC, BD=CD (已知)，
∴∠1=∠2, AD⊥BC.（等腰三角形三线合一）
∵AB=AC, AD⊥BC(已知)，
∴BD=CD, ∠1=∠2.（等腰三角形三线合一）
数学语言：如图, 在△ABC中,
探究新知
画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？
三线合一
不重合
【思考】
为什么不一样？
探究新知
（1）等腰三角形的顶角一定是锐角.
（2）等腰三角形的底角可能是锐角，也可能是直角、钝角.
（3）钝角三角形不可能是等腰三角形.
（4）等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.
（5）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.
（6）等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
明辨是非.
（ ）
×
×
×
√
×
√
课堂检测
A
B
C
D
例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
分析：（1）找出图中所有相等的角；
（2）指出图中有几个等腰三角形？
∠A=∠ABD,
∠C=∠BDC=∠ABC；
△ABC,
△ABD,
△BCD.
等腰三角形性质的应用
素养考点 1
典例讲解
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
（3）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
∠ABC= ∠BDC=2 ∠A,
∠C= ∠BDC=2 ∠A.
（4）设∠A=x ,请把△ ABC的内角和用含x的式子表示出来.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=180 °，∴ x+2x+2x=180 °.
典例讲解
A
B
C
D
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
设∠A=x，则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° .
解得x=36 ° .
∴在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
典例讲解
方法点拨
在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.
如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，
求∠B和∠C的度数.
典例讲解
解：∵AB=AD=DC
∴ ∠B= ∠ADB，∠C= ∠DAC.
设 ∠C=x，则 ∠DAC=x，
∠B= ∠ADB= ∠C+ ∠DAC=2x，
在△ABC中， 根据三角形内角和定理，得
2x+x+26°+x=180°，
解得x=38.5°.
∴ ∠C= x=38.5°， ∠B=2x=77°.
典例讲解
例2 等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是(　　)
A．65°或50° B．80°或40°
C．65°或80° D．50°或80°
A
等腰三角形的分类讨论问题
素养考点 2
典例讲解
方法点拨：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．
等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为 _______；
等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为___________________；
等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为________.
75°, 30°
70°,40°或55°,55°
35°,35°
典例讲解
例3 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.
图②
图①
利用等腰三角形的性质证明线段间的关系
素养考点 3
典例讲解
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG–DG＝CG–EG，
∴BD＝CE；
(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，
∴BD＋DF＝CE＋EF，
∴BF＝CF.
∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
图②
图①
G
方法点拨
在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG交AC于点G，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F.
(1)若∠BAD＝25°，求∠C的度数；
(2)求证：EF＝ED.
典例讲解
(1)解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BAC＝2∠BAD＝50°.
∵AB＝AC，
∴ ∠C＝∠ABC ＝ ×(180°– ∠BAC)
＝ ×(180°– 50°)＝65°.
?
典例讲解
(2)证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴ED⊥BC，
又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EF＝ED.
典例讲解
1. ［2025广安期中］已知△ABC 是等腰三角形，若
∠A=40? ，则△ABC 的顶角度数是( )
?
C
A. 40? B. 100?
C. 40? 或100? D. 以上都不正确
?
（第2题）
2. 如图，AB//CD，在AD上截取AE=AB ，连
接BE，当∠B=65? 时，∠D 的度数是( )
?
C
A. 65? B. 55? C. 50? D. 45?
?
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考试考法
（第3题）
3. 如图①是
两名同学玩跷跷板的场景，如
图②是跷跷板示意图，支柱
OC与地面垂直，O是AB 的中
?
B
A. 45? B. 50? C. 60? D. 75?
?
点，AB绕着点O上下转动.当A端落地时，∠OAC=25? ，则
跷跷板上下可转动的最大角度∠A′OA 是( )
?
返回
4. ［2025长沙天心区期中］“一亭幽绝费平章，峡口清风赠
晚凉.前度桃花斗红紫，今来枫叶染丹黄.饶将春色输秋色，
迎过朝阳送夕阳.此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔.”其中“一
亭”指的是具有一座悠久历史的古典园林建筑——“爱晚亭”.
如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰三角形ABC，AB=AC，D
是边BC上的一点.下列条件不能说明AD是△ABC 的角平分线
的是( )
?
（第4题）
A. ∠DAB=∠DAC
B. AD⊥BD
C. BC=2AD
D. △ABD与△ACD 的周长相等
?
√
返回
5.母题教材P79例1 如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC ，
∠A=40? ，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC 于
点E，连接BE，则∠ABE=____?? .
?
30
（第5题）
返回
6. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的
2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰三角形ABC 是
“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB 的长为___.
?
6
【点拨】∵ 等腰三角形ABC是“倍长三角形”，∴AB=2BC 或
BC=2AB.若AB=2BC=6，则△ABC 的三边长分别是6，6，
3，符合题意，∴ 腰AB的长为6；若BC=3=2AB ，则
AB=1.5，则△ABC的三边长分别是1.5，1.5 ，3，
∵1.5+1.5=3，∴ 此时不能构成三角形，这种情况不存在.
综上所述，腰AB 的长是6.
?
返回
7.母题教材P86习题T14 小琳想要证明命题：等
腰三角形两腰上的中线相等.请你将该命题的已
知与求证补充完整，并完成证明过程.
?
已知：如图，在△ABC 中，_________________
____，MC，NB分别为AB边与AC 边上的中线，
?
AB=AC；CM=BN
?
求证： _____________________________________________
____________________________________________________
【解】证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB .
∵CM是AB边上的中线，BN是AC 边上的中线，
?
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________.
∴MB=12AB，CN=12AC.又∵AB=AC ,
∴MB=CN .
又∵BC=CB ，
∴△MBC≌△NCB(SAS).∴CM=BN .
?
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8. ［2025天津和平区期中］如图，已知O 是
四边形ABCD内一点，OA=OB=OC ,
∠ABC=∠ADC=70? ,则∠DAO+∠DCO 的大
小是( )
?
D
A. 70? B. 110? C. 140? D. 150?
?
等腰三角形的性质
等边对等角
三线合一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上的高和中线与底角的平分线不具有这一性质
易错点拨
（1）求等腰三角形角的度数时，如果没有明确是底角还是顶角必须分类讨论
（2）等腰三角形“三线合一”定理，角平分线指的是“顶角平分线”
谢谢观看！

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