资源简介

15.3.1 等腰三角形-第2课时
等腰三角形的判定
第十五章 轴对称
【2025新教材】人教版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
提问学生等腰三角形的定义和性质。?
定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。?
性质：?
等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。?
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一）。?
给出一些简单的等腰三角形相关的题目，让学生运用性质进行解答，复习巩固上节课所学内容。例如：在等腰△ABC 中，AB = AC，∠A = 50°，求∠B 和∠C 的度数。?
引入新课：我们已经知道了等腰三角形的性质，那么如何判定一个三角形是等腰三角形呢？这就是我们今天要学习的内容。通过展示一些生活中形状似等腰三角形但无法直接判断的物体图片，如某些建筑的侧面、桥梁结构等，引发学生对判定方法的好奇与思考，顺利导入新课。?
（二）探究新知（20 分钟）?
操作探究?
让学生拿出准备好的长方形纸片，按照课本要求进行折叠，剪出一个三角形。观察剪出的三角形有什么特点？引导学生从边和角的关系去思考。?
引导学生思考：在这个三角形中，两个底角的大小有什么关系？由此你能猜想出什么结论？?
学生通过操作和观察，可能会猜想：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。教师可以进一步提问，让学生尝试用自己的语言描述猜想的依据，加深对猜想的理解。?
证明猜想?
引导学生将上述猜想转化为数学命题：已知在△ABC 中，∠B = ∠C，求证：AB = AC。?
组织学生分组讨论，尝试寻找证明方法。教师巡视各小组，观察学生的讨论情况，并适时给予指导。鼓励学生从已学的全等三角形知识出发，思考如何构造全等三角形来证明边相等。?
经过讨论，部分学生可能会想到添加辅助线构造全等三角形来证明。请小组代表发言，阐述证明思路。?
教师根据学生的发言，展示添加辅助线的方法（作∠BAC 的平分线 AD），并详细讲解证明过程：?
证明：作∠BAC 的平分线 AD。?
在△ABD 和△ACD 中，?
∠B = ∠C（已知）?
∠BAD = ∠CAD（角平分线定义）?
AD = AD（公共边）?
∴△ABD≌△ACD（AAS）?
∴AB = AC（全等三角形对应边相等）?
引导学生思考是否还有其他添加辅助线的方法，如作 BC 边上的高或中线，让学生课后尝试用不同方法进行证明。同时，在课堂上简单提示学生不同辅助线添加方法的思路，激发学生课后探究的兴趣。?
得出判定定理?
经过证明，我们得到了等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成 “等角对等边”）。?
用符号语言表示为：在△ABC 中，∵∠B = ∠C，∴AB = AC。?
强调判定定理与性质定理的区别：性质定理是由边相等推出角相等，而判定定理是由角相等推出边相等。通过对比两者的条件和结论，让学生用表格形式进行总结归纳，加深记忆。?
（三）例题讲解（15 分钟）?
例 1：在△ABC 中，已知∠A = 40°，∠B = 70°，判断△ABC 是什么三角形，并说明理由。?
分析：根据三角形内角和为 180°，先求出∠C 的度数，再根据等腰三角形的判定定理判断三角形的形状。?
解：在△ABC 中，?
∵∠A + ∠B + ∠C = 180°（三角形内角和定理）?
∠A = 40°，∠B = 70°?
∴∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 40° - 70° = 70°?
∴∠B = ∠C?
∴△ABC 是等腰三角形（等角对等边）?
例 2：如图，AD∥BC，BD 平分∠ABC，求证：AB = AD。?
分析：要证明 AB = AD，可考虑证明∠ABD = ∠ADB，根据已知条件 AD∥BC 和 BD 平分∠ABC，利用平行线的性质和角平分线的定义进行推导。?
证明：?
∵AD∥BC（已知）?
∴∠ADB = ∠DBC（两直线平行，内错角相等）?
又∵BD 平分∠ABC（已知）?
∴∠ABD = ∠DBC（角平分线定义）?
∴∠ABD = ∠ADB（等量代换）?
∴AB = AD（等角对等边）?
引导学生总结解题思路和方法，让学生体会如何运用等腰三角形的判定定理解决几何证明问题。在总结时，强调从已知条件出发，分析条件与结论之间的联系，通过合理运用定理和性质进行推理。?
例 3：已知在△ABC 中，AB = 5，BC = 6，∠B = 50°，在△DEF 中，DE = 6，EF = 5，∠E = 50°，判断△ABC 和△DEF 是否为等腰三角形，并说明理由。?
分析：本题不仅考查等腰三角形的判定，还涉及三角形全等的初步知识。需要分别分析两个三角形中边与角的关系。?
解：在△ABC 中，虽然知道 AB = 5，BC = 6，∠B = 50°，但无法直接根据已知条件得出两边相等或两角相等，所以不能判定△ABC 是等腰三角形。?
在△DEF 中，DE = 6，EF = 5，∠E = 50°，同样无法直接判定其为等腰三角形。但如果将两个三角形对比，发现 AB = EF，BC = DE，∠B = ∠E，可通过全等三角形的判定（SAS）证明△ABC≌△FED，进而得到 AC = FD，此时可判断△DEF 是等腰三角形（等角对等边，由全等可知对应角相等，进而可推出对应边相等）。?
通过这道题，拓宽学生的思维，让学生明白在判定等腰三角形时，要全面分析已知条件，同时体会知识之间的相互联系。?
（四）课堂练习（10 分钟）?
在△ABC 中，∠A = 50°，∠B = 80°，则△ABC 是______三角形。?
如图，已知∠A = 36°，∠DBC = 36°，∠C = 72°，则∠1 = ______，∠2 = ，图中的等腰三角形有。?
已知：如图，AB = AD，∠ABC = ∠ADC，求证：BC = DC。?
如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 O，过点 O 作 EF∥BC，交 AB 于 E，交 AC 于 F，若 BE = 3，CF = 2，求 EF 的长。?
学生独立完成练习，教师巡视，及时发现学生在解题过程中出现的问题，并进行个别辅导。对于基础薄弱的学生，重点指导他们如何分析题目条件，运用判定定理；对于学有余力的学生，鼓励他们尝试多种解法。?
练习结束后，选取部分学生的答案进行展示和讲解，强调解题规范和注意事项。如在证明题中，要写清每一步的依据；在计算角度和边长时，要注意书写过程和单位。?
（五）课堂小结（5 分钟）?
与学生一起回顾本节课所学内容，包括等腰三角形的判定定理 “等角对等边” 及其证明方法，以及运用判定定理解决问题的思路和方法。采用提问、学生总结、教师补充的方式，确保学生对重点知识掌握牢固。?
强调判定定理与性质定理的区别与联系，让学生在今后的学习中能够正确运用。通过对比两者在条件、结论、应用场景等方面的差异，加深学生的理解。?
鼓励学生在课后继续思考和探索等腰三角形的相关知识，培养学生的自主学习能力。布置一些拓展思考的问题，如 “如果一个三角形的两条角平分线相等，能否判定这个三角形是等腰三角形？”，激发学生课后探究的热情。?
（六）布置作业（5 分钟）?
基础作业：课本习题 15.3 第 5、6 题。?
拓展作业：如图，在△ABC 中，BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，过点 O 作 DE∥BC，分别交 AB、AC 于点 D、E。试说明 DE = BD + CE。?
实践作业：寻找生活中运用等腰三角形判定原理的实例，并记录下来，下节课与同学们分享。可以引导学生从建筑、机械、日常用品等方面去观察，如某些衣架的设计、楼梯扶手的形状等，让学生感受数学在生活中的广泛应用。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.等腰三角形的定义？
有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形.
①等腰三角形的两个底角相等
(简写成“等边对等角”) .
2.等腰三角形有哪些性质？
D
A
B
C
几何语言：∵AB=AC(已知)， ∴∠B=∠C (等边对等角) .
复习引入
A
B
C
如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
新知讲解
如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系?
C
A
B
AB=AC
你能验证你的结论吗？
等腰三角形的判定
知识点
学生活动 【一起探究】
请同学用直尺和量角器，画一个△ABC，其中∠B=∠C=30°，请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？
小活动
新知讲解
在△ABD与△ACD，
∠1=∠2，
∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）.
∠B=∠C，
AD=AD，
∴AB=AC.
过A作AD平分∠BAC交BC于点D.
证明：
C
A
B
2
1
D
（
（
△ABC是
等腰三角形.
新知讲解
∴ AC=AB. ( )
即△ABC为等腰三角形.
∵∠B=∠C， ( )
等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”，这又是一个判定两条线段相等的根据之一）.
已知
等角对等边
在△ABC中，
B
C
A
(
(
归纳总结
应用格式：
新知讲解
A
B
C
D
2
1
∵∠1=∠2 , ∴ BD=DC
（等角对等边）.
∵∠1=∠2, ∴ DC=BC
A
B
C
D
2
1
（等角对等边）.
错，因为都不是在同一个三角形中.
【思考】如图,下列推理正确吗?
新知讲解
例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知： 如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．
求证：AB=AC．
A
B
C
E
（
（
1
2
D
利用等腰三角形的判定定理判定三角形的形状
素养考点 1
典例讲解
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），
∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边）．
A
B
C
E
（
（
1
2
D
典例讲解
已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E.
求证：△AED是等腰三角形.
证明：∵AB=DC，BD=CA，AD=DA,
∴△ABD≌△DCA(SSS),
∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等),
∴AE=DE(等角对等边）,
∴ △AED是等腰三角形.
典例讲解
例2 已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.
求证：AB=AD.
B
A
D
C
由平行及角平分线识别等腰三角形
素养考点 2
典例讲解
证明：∵ AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC.
∵ BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD.
总结：平分角+平行=等腰三角形
B
A
D
C
典例讲解
如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD等于_______.
3cm
随堂练习
如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
B
C
A
D
E
答：是.
由折叠可知，∠EBD=∠CBD.
∵AD∥BC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴BE=DE，△EBD是等腰三角形.
∴∠EDB=∠CBD，
随堂练习
例3 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．
通过计算角相等来证明等腰三角形
素养考点 3
典例讲解
证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°.
∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACD.
∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠EAC，
∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．
典例讲解
方法点拨
“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，它的前提条件是“在同一个三角形中”．
例4 已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h，求作
等腰△ABC.使底边BC=a，底边上的高为h.
a
h
利用尺规作图作等腰三角形
素养考点 4
典例讲解
作法：
1.作线段AB=a.
2.作线段AB的垂直平分线MN，交AB 于点D.
3.在MN上取一点C，使DC=h.
4.连接AC，BC，则△ABC即为所求.
A
B
C
M
N
D
典例讲解
例5 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.
探究EF，BE，FC之间的关系.
A
B
C
O
E
F
利用等腰三角形的判定证明线段之间的关系
素养考点 5
典例讲解
解：EF=BE+CF.
理由如下：∵ EF∥BC,
∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO.
∵ BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO，
∴∠EOB＝∠ABO ，∠FOC＝∠ACO，
∴BE＝OE，CF=OF，
∴ EF=EO+FO＝BE+CF.
A
B
C
O
E
F
典例讲解
O
A
B
C
E
F
若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？
结论还成立吗？
方法点拨
判定线段之间的数量关系，一般做法是通过证明线段所在的两个三角形全等或利用同一个三角形中“等角对等边”，运用转化思想，解决问题.
1. 下列能判定△ABC 是等腰三角形的是( )
?
B
A. ∠A=30? ，∠B=60?
B. ∠A=50? ，∠B=80?
C. AB=AC=2，CB=4
D. AB=3，BC=7 ，周长为13
?
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（第2题）
2. 母题教材P81练习T1 如图，
∠B=∠C=36? ，
∠ADE=∠AED=72? ，则图中的
等腰三角形有( )
?
D
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
返回
（第3题）
3. ［2025江门期中］如图，△ABC
中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB ，
MN经过点O，与AB，AC相交于点M ，
N，且MN//BC，已知AB=3 ，
AC=4，BC=4.5，则△AMN 的周长
为( )
?
B
A. 6 B. 7 C. 7.5 D. 8.5
（第3题）
【点拨】根据角平分线的定义和平行线
的性质可证△MBO和△NCO 是等腰三
角形，从而可得MO=MB，NO=NC ，
然后根据等量代换可得,△AMN 的周长
=AB+AC ，从而进行计算即可解答.
?
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（第4题）
4. 如图，一艘海轮位于灯
塔P的南偏东70? 方向的M 处，它以每小时
40?n?mile 的速度向正北方向航行，2小时后
到达位于灯塔P的北偏东40? 方向的N 处，
则N处与灯塔P 的距离为( )
?
D
A. 40?n?mile B. 60?n?mile
C. 70?n?mile D. 80?n?mile
?
返回
5.［2024重庆］如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36? ，
BD平分∠ABC交AC于点D.若BC=2，则AD 的长度为___.
?
2
（第5题）
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6.如图，在△ABC中，∠BAC=90? ，∠C=30? .用无刻度的
直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD 为等腰三角形.下列
作法正确的有___个.
?
3
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7.母题教材P81练习T2 如图，将一
张长方形的纸条ABCD沿EF 折叠，
AD交EC′于点G ,若折叠后
∠AGC′=48? .
?
（1）求∠CEF 的度数；
?
【解】∵ 四边形ABCD 是长方形，
∴AD//BC.∴∠BEG=∠AGC′=48? .由折叠的性质，得
∠CEF=∠C′EF，∴∠CEF=12×(180??48?)=66? .
?
（2）求证：△EFG 是等腰三角形.
?
【证明】∵ 四边形ABCD是长方形，∴AD//BC .
∴∠GFE=∠CEF.由（1）得∠CEF=∠C′EF .
∴∠GFE=∠C′EF.∴GE=GF，即△EFG 是等腰三角形.
?
返回
等腰三角形的判定
等角对等边
定义
注意是指同一个三角形中
有两边相等的三角形是等腰三角形
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