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15.3.2 等边三角形-第1课时
等边三角形的性质与判定
第十五章 轴对称
【2025新教材】人教版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
提问学生等腰三角形的定义、性质和判定方法。
定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
性质：
等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一）。
判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。
给出一些简单的等腰三角形相关题目，让学生运用性质和判定进行解答，复习巩固上节课所学内容。例如：已知等腰△ABC 中，AB = AC，∠B = 70°，求∠A 的度数；已知△ABC 中，∠A = 40°，∠B = 70°，判断△ABC 的形状并说明理由。
引入新课：展示一些生活中常见的等边三角形图片，如交通警示标志、正三角形瓷砖图案等，引导学生观察这些三角形的特点，提问：“这些三角形与我们学过的等腰三角形有什么不同和联系呢？” 从而引出本节课要学习的等边三角形，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
（二）探究等边三角形的定义（5 分钟）
让学生观察刚才展示的图片中的三角形，引导学生从边的数量关系角度进行描述。
给出等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，强调等边三角形是特殊的等腰三角形，当等腰三角形的底边与腰相等时，就变成了等边三角形。
让学生举例说明生活中还见过哪些等边三角形的实例，加深对等边三角形的感性认识。
（三）探究等边三角形的性质（15 分钟）
操作探究
让学生拿出准备好的等边三角形纸片，通过折叠、测量等方式，探究等边三角形的角的特点和对称性。
引导学生思考：等边三角形的三个内角之间有什么关系？它有几条对称轴？对称轴分别是什么？
学生通过操作和观察，可能会发现等边三角形的三个内角相等，并且有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或角平分线所在的直线。教师可以进一步提问，让学生尝试用自己的语言描述发现的依据，加深对性质的理解。
证明性质
引导学生将上述发现转化为数学命题：已知△ABC 是等边三角形，求证：∠A = ∠B = ∠C = 60°。
组织学生分组讨论，尝试寻找证明方法。教师巡视各小组，观察学生的讨论情况，并适时给予指导。鼓励学生从等腰三角形的性质出发，思考如何证明三个角相等。
经过讨论，部分学生可能会想到利用等腰三角形 “等边对等角” 的性质进行证明。请小组代表发言，阐述证明思路。
教师根据学生的发言，展示证明过程：
证明：∵△ABC 是等边三角形
∴AB = AC = BC
∵AB = AC
∴∠B = ∠C（等边对等角）
∵AB = BC
∴∠A = ∠C（等边对等角）
∴∠A = ∠B = ∠C
又∵∠A + ∠B + ∠C = 180°（三角形内角和定理）
∴∠A = ∠B = ∠C = 60°
引导学生思考如何证明等边三角形每条边上的中线、高线和角平分线互相重合（三线合一），让学生课后进行证明，加深对性质的理解。
总结性质
经过证明，我们得到了等边三角形的性质定理：
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°。
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或角平分线所在的直线。
等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线都三线合一。
用符号语言表示为：在等边△ABC 中，∠A = ∠B = ∠C = 60°；AB = BC = AC；若 AD 是 BC 边上的中线，则 AD 也是 BC 边上的高和∠BAC 的平分线（三线合一）。
强调等边三角形性质与等腰三角形性质的联系与区别，通过对比，让学生用表格形式进行总结归纳，加深记忆。
（四）探究等边三角形的判定（15 分钟）
提出问题
引导学生思考：如何判定一个三角形是等边三角形呢？除了根据定义 “三条边都相等的三角形是等边三角形” 外，还有其他方法吗？
让学生从角的角度进行猜想，鼓励学生大胆发言。
探究判定定理
猜想一：三个角都相等的三角形是等边三角形。
引导学生将猜想转化为数学命题：已知在△ABC 中，∠A = ∠B = ∠C，求证：△ABC 是等边三角形。
组织学生分组讨论证明方法，教师巡视指导。
学生可能会想到利用等腰三角形的判定定理 “等角对等边” 进行证明。请小组代表展示证明过程：
证明：在△ABC 中，
∵∠A = ∠B
∴BC = AC（等角对等边）
∵∠B = ∠C
∴AC = AB（等角对等边）
∴AB = BC = AC
∴△ABC 是等边三角形
猜想二：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。
引导学生思考：已知一个三角形是等腰三角形，且有一个角是 60°，分两种情况讨论，即这个角是顶角或底角时，如何证明这个三角形是等边三角形。
组织学生分组讨论，教师参与小组讨论，适时给予提示。
请小组代表发言，阐述证明思路，教师根据学生的回答进行补充和完善，展示完整的证明过程：
情况一：当已知角为顶角时，已知在等腰△ABC 中，AB = AC，∠A = 60°，求证：△ABC 是等边三角形。
证明：在等腰△ABC 中，
∵AB = AC
∴∠B = ∠C（等边对等角）
又∵∠A + ∠B + ∠C = 180°（三角形内角和定理），∠A = 60°
∴∠B + ∠C = 180° - ∠A = 120°
∴∠B = ∠C = 60°
∴∠A = ∠B = ∠C = 60°
∴AB = BC = AC（等角对等边）
∴△ABC 是等边三角形
情况二：当已知角为底角时，已知在等腰△ABC 中，AB = AC，∠B = 60°，求证：△ABC 是等边三角形。
证明：在等腰△ABC 中，
∵AB = AC
∴∠B = ∠C = 60°（等边对等角）
又∵∠A + ∠B + ∠C = 180°（三角形内角和定理）
∴∠A = 180° - ∠B - ∠C = 60°
∴∠A = ∠B = ∠C = 60°
∴AB = BC = AC（等角对等边）
∴△ABC 是等边三角形
总结判定定理
经过证明，我们得到了等边三角形的判定定理：
三个角都相等的三角形是等边三角形。
有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。
用符号语言表示为：在△ABC 中，若∠A = ∠B = ∠C，则△ABC 是等边三角形；若 AB = AC，∠A = 60°（或∠B = 60° 或∠C = 60°），则△ABC 是等边三角形。
强调判定定理与性质定理的区别与联系，通过对比，让学生进一步理解和掌握。
（五）例题讲解（10 分钟）
例 1：已知△ABC 是等边三角形，点 D 在 BC 边上，且∠ADE = 60°，DE 交 AC 于点 E，求证：△ABD∽△DCE。
分析：要证明两个三角形相似，需要找到两组对应角相等。已知△ABC 是等边三角形，可得∠B = ∠C = 60°，再根据三角形外角性质和已知条件∠ADE = 60°，推出∠BAD = ∠CDE，从而证明相似。
证明：
∵△ABC 是等边三角形
∴∠B = ∠C = 60°
∵∠ADC 是△ABD 的外角
∴∠ADC = ∠B + ∠BAD（三角形外角性质）
又∵∠ADC = ∠ADE + ∠CDE，∠ADE = 60°
∴∠B + ∠BAD = ∠ADE + ∠CDE
∴∠BAD = ∠CDE
在△ABD 和△DCE 中，
∠B = ∠C，∠BAD = ∠CDE
∴△ABD∽△DCE（两角对应相等的两个三角形相似）
例 2：如图，在等边三角形 ABC 中，BD = CE，AD 与 BE 相交于点 P，求∠APE 的度数。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
名称 图形 性质 判定
等 腰 三 角 形
等边对等角
三线合一
等角对等边
两边相等
两腰相等
轴对称图形
A
B
C
　　1．等腰三角形的性质和判定
　　2．三角形按边的相等关系分类
　　三角形
三边都不相等的三角形
等腰三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
　　等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形．
你从中发现了哪个公共的几何图形？
它有什么特殊性？
小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条，长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？
等边三角形的性质
知识点 1
10cm
6cm
10cm
10cm
10cm
10cm
等腰三角形
等边三角形
一般三角形
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
A
B
C
A
B
C
等边三角形的三个角之间有什么关系？
等腰三角形
AB=AC
∠B=∠C
等边三角形
AB=AC=BC
AB=AC
∠B=∠C
AC=BC
∠A=∠B
∠A=∠B=∠C
内角和为
180°
=60°
问题1：
学生活动一 【一起探究】
结论：
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.
已知：AB=AC=BC ，
求证：∠A= ∠ B=∠C= 60°.
证明： ∵AB=AC，
∴∠B=∠C .(等边对等角)
同理 ∠A=∠C .
∴∠A=∠B=∠C.
∵ ∠A+∠B+∠C=180°,
∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °.
A
B
C
A
B
C
等边三角形有“三线合一”的性质吗 等边三角形有几条对称轴？
结论:等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”.
顶角的平分线、底边的高
底边的中线
三线合一
一条对称轴
三条对称轴
问题2：
图形 等腰三角形
　性 质
每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线互相重合
三个角都相等，
对称轴（3条）
等边三角形
对称轴（1条）
两个底角相等
底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合
且都是60
两条边相等
三条边都相等
归纳总结
例1 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．
等边三角形的性质应用
素养考点
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC–∠ABE＝60°– 40°＝20°.
∵BE＝DE，
∴∠D＝∠EBC＝20°，
∴∠CED＝∠ACB–∠D＝40°.
解决与等边三角形有关的计算问题，关键是注意“每个角都是60°”这一隐含条件，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质解答.
方法点拨
如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，
延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．
证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角对等边）．
例2 △ABC为等边三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？
解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.
又∵BM＝CN，
∴△AMB≌△BNC(SAS)，
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.
方法点拨
此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般先利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等.
图形 等腰三角形
判 定
三个角都相等的三角形是等边三角形
等边三角形
从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形
从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形
三条边都相等的三角形是等边三角形
等边三角形的判定
知识点 2
小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60°的三角形也是等边三角形”，你同意吗？
等边三角形的判定方法：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
例1 如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC，
求证：△ADE是等边三角形.
A
C
B
D
E
等边三角形的判定的应用
素养考点
A
C
B
D
E
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
本题还有其他证法吗？
例2 等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．
解：△APQ为等边三角形．
证明如下：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC.
∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
方法点拨
判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个角等于60°.
（第1题）
1. 如图，直线， 是等边三角
形， ，则 的大小为( )
C
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2. 由于木质的衣架没有
柔韧性，在挂置衣服的时候不太方便操
作.小红设计了一种衣架，在使用时能轻
易收拢，然后套进衣服后松开即可，如
B
A. B.
C. D. 以上都不对
图①，衣架杆 .若衣架收拢时，
，如图②，则此时， 两点间的距离是( )
返回
3.母题教材P93复习题 如图，是等边三角形， ，
，分别是，，边上一点，且 ,则
的形状是____________.
等边三角形
（第3题）
（第3题）
【点拨】 为等边三角形，且
，， .在
与 中，
.同理证
得 是一个等边三角形.
返回
（第4题）
4.将含 角的直角三角尺和直尺按如图所示
的方式放置，已知 ，点， 表示的
刻度分别为1，3，则线段的长为___ .
2
【点拨】 直尺的两对边相互平行，
是等边三角形.
.
.易知 ，.
返回
5.如图，六边形的六个角都是 ，边长
，,, ，则这个六边
形的周长是____ .
15
（第5题）
【点拨】如图，分别作，， 的延长线
和反向延长线，使它们交于点，， 六边
形的六个角都是 ， 它的每一个
外角是 . 易得，， ，
都是等边三角形. ，
. 六边形 的周长为
.
返回
6.［2025常州期中］如图， 是等边三角形，
点在的外部，且，连接 交
于点 .
（1）求证：垂直平分 ；
【证明】是等边三角形， .
又， 点,在线段 的垂直平分线上.
垂直平分 .
（2）在上取点，连接，交于点，若 ，
试判断 的形状，并说明理由.
【解】 为等边三角形.理由如下：
是等边三角形， .
， .
， .
.
.
为等边三角形.
返回
等边
三角形
定义
底=腰
特殊性
性质
特殊性
边
三边相等
角
三个角都等于60 °
轴对称性
轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质
判定
特殊性
三边都相等
三角都相等
有一个角是60°的等腰三角形
一般到特殊，类比方法
谢谢观看！

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