资源简介

(共37张PPT)
15.3.2 等边三角形-第2课时
含30 角的直角三角形的性质
第十五章 轴对称
【2025新教材】人教版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
让学生拿出准备好的两个全等的含 30° 角的直角三角尺，尝试拼出不同的三角形。
提问：你能拼出哪些三角形？在拼出的三角形中，有没有特殊的三角形？引导学生观察拼出的图形，发现可以拼出等边三角形。
以小组为单位，讨论：从拼出的等边三角形中，你能发现含 30° 角的直角三角形的直角边与斜边之间有什么关系？学生可能会通过测量、观察等方法，猜想出在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半。
证明猜想
引导学生将猜想转化为数学命题：已知在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，求证：BC = 1/2AB。
组织学生分组讨论证明方法。教师巡视各小组，观察学生的讨论情况，并适时给予指导。鼓励学生从已学的等边三角形知识出发，思考如何构造辅助线来证明。
经过讨论，部分学生可能会想到以下证明方法：
方法一：延长 BC 至点 D，使 CD = BC，连接 AD。
因为∠ACB = 90°，所以∠ACD = 90°。
在△ABC 和△ADC 中，
BC = DC（辅助线作法）
∠ACB = ∠ACD（已证）
AC = AC（公共边）
所以△ABC≌△ADC（SAS）。
则 AB = AD，∠B = ∠D。
又因为∠BAC = 30°，∠B = 60°，所以∠D = 60°。
所以△ABD 是等边三角形（有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形）。
所以 AB = BD，又因为 BC = 1/2BD，所以 BC = 1/2AB。
方法二：在 AB 上截取 BE = BC，连接 CE。
因为∠B = 60°，BE = BC，所以△BCE 是等边三角形（有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形）。
则∠BEC = 60°，CE = BC。
又因为∠A = 30°，所以∠ACE = ∠BEC - ∠A = 30°。
所以 AE = CE（等角对等边）。
所以 AE = BC，又因为 AB = AE + BE，BE = BC，所以 AB = 2BC，即 BC = 1/2AB。
请小组代表展示证明过程，教师进行点评和总结，强调证明的思路和方法，以及书写的规范性。
得出性质
经过证明，我们得到了含 30° 角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
用符号语言表示为：在 Rt△ABC 中，∵∠C = 90°，∠A = 30°，∴BC = 1/2AB。
强调使用该性质的前提条件是在直角三角形中，并且要明确 30° 角所对的直角边与斜边的关系。通过对比不同的图形，让学生判断哪些情况可以使用该性质，加深学生对条件的理解。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，AB = 8 cm，求 BC 的长。
分析：直接应用含 30° 角的直角三角形的性质，因为∠A = 30°，所以 BC 是 30° 角所对的直角边，AB 是斜边，根据性质 BC = 1/2AB。
解：在 Rt△ABC 中，
∵∠C = 90°，∠A = 30°，AB = 8 cm
∴BC = 1/2AB = 1/2×8 = 4 cm
例 2：如图，是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC、DE 垂直于横梁 AC，AB = 7.4 m，∠A = 30°，立柱 BD、DE 要多长？
分析：因为点 D 是 AB 的中点，所以 AD = 1/2AB。又因为 DE⊥AC，∠A = 30°，所以在 Rt△ADE 中，DE 是 30° 角所对的直角边，AD 是斜边，可求出 DE 的长；同理，在 Rt△ABC 中，可求出 BC 的长，而 BD = 1/2AB - AD = 0。
解：
∵点 D 是 AB 的中点，AB = 7.4 m
∴AD = 1/2AB = 1/2×7.4 = 3.7 m
在 Rt△ADE 中，
∵∠A = 30°，DE⊥AC
∴DE = 1/2AD = 1/2×3.7 = 1.85 m
在 Rt△ABC 中，
∵∠A = 30°，BC⊥AC
∴BC = 1/2AB = 1/2×7.4 = 3.7 m
BD = AB - AD = 7.4 - 3.7 = 0（这里说明 BD 在本题中实际是 AB 的一半，其长度为 3.7 m，之前设 BD 是为了与后续计算格式统一）
例 3：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 120°，D 是 BC 的中点，DE⊥AB 于点 E，求证：BE = 3AE。
分析：连接 AD，因为 AB = AC，D 是 BC 的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可得 AD⊥BC，∠BAD = 1/2∠BAC = 60°。又因为 DE⊥AB，所以在 Rt△ADE 中，∠ADE = 30°，可得出 AD 与 AE 的关系；再在 Rt△ABD 中，∠B = 30°，可得出 AB 与 AD 的关系，进而得到 AB 与 AE 的关系，从而证明 BE = 3AE。
证明：连接 AD。
∵AB = AC，D 是 BC 的中点
∴AD⊥BC，∠BAD = 1/2∠BAC（等腰三角形三线合一）
∵∠BAC = 120°
∴∠BAD = 60°
在 Rt△ADE 中，
∵DE⊥AB，∠BAD = 60°
∴∠ADE = 30°
∴AD = 2AE
在 Rt△ABD 中，
∵∠B = 30°
∴AB = 2AD
∴AB = 4AE
又∵BE = AB - AE
∴BE = 4AE - AE = 3AE
引导学生总结解题思路和方法，让学生体会如何在复杂图形中识别和运用含 30° 角的直角三角形的性质，以及如何结合其他几何知识进行综合解题。
（四）课堂练习（10 分钟）
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°，AC = 5 cm，则 AB = ______ cm。
如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是高，∠A = 30°，AB = 4 cm，则 BD = ______ cm。
已知等腰三角形的底角为 15°，腰长为 2a，求腰上的高。
学生独立完成练习，教师巡视，及时发现学生在解题过程中出现的问题，并进行个别辅导。对于基础薄弱的学生，重点指导他们如何分析题目条件，运用性质解题；对于学有余力的学生，鼓励他们尝试多种解法。
练习结束后，选取部分学生的答案进行展示和讲解，强调解题规范和注意事项。如在使用性质时，要准确判断 30° 角所对的直角边和斜边；在几何证明中，要写清每一步的依据等。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾本节课所学内容，包括含 30° 角的直角三角形的性质及其证明方法，以及运用性质解决问题的思路和方法。采用提问、学生总结、教师补充的方式，确保学生对重点知识掌握牢固。
强调在应用含 30° 角的直角三角形的性质时，要注意前提条件，即必须是在直角三角形中，并且要明确 30° 角所对的直角边与斜边的关系。通过对比不同类型的题目，让学生再次加深对性质的理解和记忆。
鼓励学生在课后继续思考和探索与含 30° 角的直角三角形相关的问题，培养学生的自主学习能力和探究精神。布置一些拓展思考的问题，如 “在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角一定是 30° 吗？”，激发学生课后探究的兴趣。
（六）布置作业（5 分钟）
基础作业：课本习题 15.3 第 10、11 题。
拓展作业：如图，在△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 15°，DE 垂直平分 AB，交 BC 于点 D，交 AB 于点 E，BD = 10 cm，求 AC 的长。
实践作业：寻找生活中至少两个可以用含 30° 角的直角三角形的性质来解释或解决的实际例子，并记录下来，下节课与同学们分享。例如，测量一个有 30° 倾斜角的斜坡的高度与长度的关系等，让学生感受数学在生活中的广泛应用。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.通过画图活动和折纸活动，进一步体会等边三角形的对称性，训练学生的直观想象能力.
2.通过学生自主探究掌握含30°角的直角三角形的性质，会运用性质进行计算与证明，培养学生解决问题的能力.
3.通过学生猜想和归纳结论的过程，渗透转化思想，培养数学抽象能力和逻辑推理能力.
重难点
2.这个特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之处，它有什么特殊性质？
1.等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一条对称轴折叠，能产生什么特殊图形？
想一想:
如下图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
含30°角的直角三角形的性质
知识点
问题1：
学生活动 【一起探究】
分离
拼接
A
C
B
将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，
如图所示，你有什么发现？
问题2：
A
B
C
D
如图，显然，△ADC与△ABC关于AC成轴对称图形，
因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°，
从而△ABD是一个等边三角形.
再由AC⊥BD,
可得BC=CD= AB.
性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
你还能用其他
方法证明吗？
已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°.
求证：BC = AB．
A
B
C
证明：延长BC 到D，使BD =AB，连接AD.
在△ABC 中，∵　∠C =90°，∠A =30°, ∴　∠B =60°．
∴△ABD 是等边三角形．
又∵AC⊥BD,
A
B
C
D
证明方法：倍长法
∴BC = AB．　　
∴BC = BD．　　
方法一：
方法点拨
倍长法就是延长得到的线段是原线段的正整数倍，即1倍、2倍……
倍长法
E
A
B
C
证明： 在BA上截取BE=BC，连接EC.
∵ ∠B= 60° ，BE=BC.
∴ △BCE是等边三角形，
∴ ∠BEC= 60°，BE=EC.
∵ ∠A= 30°，
∴ ∠ECA=∠BEC–∠A=60°–30° = 30°.
∴ AE=EC， ∴ AE=BE=BC，
∴ AB=AE+BE=2BC.
∴BC = AB．　　
证明方法：截半法
方法二：
方法点拨
在证明中，在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段就是截半法.
截半法
含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它
所对的直角边等于斜边的一半.
∵　在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，
归纳总结
应用格式：
∴　BC = AB．　　
A
B
C
例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是(　　)
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
D
利用含30°角的直角三角形的性质求线段的值
素养考点 1
A
B
C
D
注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠B＝30°.
在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，
在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.
△ABC中，AB=AC，∠C=30°,DA ⊥BA于A，BD=9.6cm，
则AD= .
4.8cm
B
C
D
A
如图∠C=90°，D是CA的延长线上的一点，∠BDC=15°，且AD=AB，则BC= AD.
B
C
D
A
例2 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于(　　)
A．3 B．2 C.1.5 D．1
C
解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，
∴∠AOP＝∠CPO，
∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.
又∵PC＝3，
∴PE＝1.5.
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，
∴PD＝PE＝1.5.
E
归纳总结
含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．
如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．则BD = .
1
A
B
C
D
解析：在△ABC中，
∵∠ACB=90°，∠A=30°， ∴BC=AB=4×=2.
同理可得：BD=BC=2× =1.
已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上的高.
解:过点C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.
∵∠B=∠ACB=15° (已知),
∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°，
A
C
B
D
15 °
15 °
20
)
)
∴CD= AC= ×20=10.
例3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．
解：
理由如下：
∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.
∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE.
又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA).
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，
∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.
∵∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.
∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，
∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.
∴CD＝ AD＝ BD，即CD＝ DB.
归纳总结
含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．
Rt△ABC 中，∠C =90°，∠B =2∠A，∠B 和∠A 各是多少度？边AB 与BC 之间有什么关系？　　　
证明：∵∠B+∠A =180°– ∠C=90°，
∠B=2∠A，
∴∠B=60°，∠A=30°.
∴ AB=2BC.
例4　如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC,DE 有多长？
A
B
C
D
E
利用直角三角形的性质解决实际问题
素养考点 2
图中BC,DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？
A
B
C
D
E
解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °，
∴BC= AB, DE= AD.
∴BC= AB= ×7.4=3.7(m).
又AD= AB,
∴DE= AD= ×3.7=1.85 (m).
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.
1. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面
处折断倒下，倒下的部分与地面成 角，这棵树在折
断前的高度为( )
B
（第1题）
A. B.
C. D.
返回
（第2题）
2. 如图，在中， ，
，的垂直平分线交 于点
，连接.若，则 的长为
( )
B
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 母题教材P84练习 在中，若 ，
且，则 等于( )
D
A. 2 B. 3 C. 9 D. 12
返回
（第4题）
4.将一副三角尺按如图所示方式叠放在一
起，若 ，则阴影部分的面积是
___ .
【点拨】 , ,
.
, .
.
返回
5.如图，的斜边轴，点的坐标是 ，
，则 ___.
4
（第5题）
返回
6.［2025北师大附中期中］某市在旧城改造中，计划在一块如
图所示的 空地上种植草皮以美化环境.已知
，， ，这种草皮每平方米
售价元，则购买这种草皮至少需要______元.（用含 的代数
式表示）
返回
内容
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
使用要点
含30°角的直角三角形的性质
①分清30 °的角所在的直角边
②作辅助线，构造直角三角形
注意
前提条件：直角三角形中
证题方法
倍长法
截半法
谢谢观看！

展开更多......

收起↑