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16.1.1 同底数幂的乘法
第十六章 整式的乘法
【2025新教材】人教版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
展示问题：?
问题 1：一种电子计算机每秒可进行 10?? 次运算，它工作 10? 秒可进行多少次运算？?
引导分析：运算次数 = 每秒运算次数 × 工作时间，即列出式子为 10??×10?。?
问题 2：光在真空中的速度大约是 3×10?米 / 秒，太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要 4.22 年。一年以 3×10?秒计算，比邻星与地球的距离约为多少米？?
引导分析：距离 = 速度 × 时间，式子为 (3×10?)×(4.22×3×10?)，先不考虑 4.22，重点看 10?×10?。?
复习回顾：?
提问：a?表示的意义是什么？其中 a、n、a?分别叫做什么？?
举例：在 2?中，2 是底数，5 是指数，2?表示 5 个 2 相乘，结果为 32。?
小练习：说出 5?、(-3)?、(1/2)?的底数、指数以及表示的意义。?
（二）探索新知（15 分钟）?
计算观察：?
计算：?
2?×2? = (2×2×2)×(2×2) = 2×2×2×2×2 = 2?，引导学生思考从 2?×2? 到 2?，底数和指数发生了怎样的变化。?
10?×10? = (10×10)×(10×10×10) = 10×10×10×10×10 = 10?，同样让学生观察底数和指数的变化规律。?
a?×a? = (a×a×a)×(a×a×a×a) = a×a×a×a×a×a×a = a? ，分析这里底数和指数的变化情况。?
观察思考：?
以上三个算式都是同底数幂相乘，观察计算结果的底数、指数与已知算式中的底数、指数之间有什么关系？?
组织学生小组讨论，鼓励学生大胆发表自己的看法。?
归纳法则：?
引导学生总结规律，对于同底数幂相乘，底数不变，指数相加。?
用字母表示为：a??a? = a???（m、n 都是正整数）。?
强调：这里的 a 可以是任意实数，也可以是单项式或多项式。?
拓展：当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则同样适用，如 a??a??a? = a?????（m、n、p 都是正整数） 。?
（三）例题讲解（15 分钟）?
例 1：计算?
(1) 3?×3??
分析：直接运用同底数幂的乘法法则，底数 3 不变，指数 5 和 2 相加。?
解：3?×3? = 3??? = 3? 。?
(2) (-5)?×(-5)??
分析：底数是 -5，同样根据法则，底数不变，指数相加。?
解：(-5)?×(-5)? = (-5)??? = (-5)? = 5? 。?
(3) a?a??
分析：a 的指数是 1，与 a?相乘，底数 a 不变，指数 1 和 6 相加。?
解：a?a? = a??? = a? 。?
(4) (a + b)??(a + b)??
分析：把 (a + b) 看成一个整体，作为底数，按照法则进行计算。?
解：(a + b)??(a + b)? = (a + b)??? = (a + b)? 。?
例 2：计算?
(1) -a??a??
分析：先确定符号，这里负号照写，再计算同底数幂乘法。?
解：-a??a? = - (a??a?) = -a??? = -a? 。?
(2) (x - y)??(y - x)??
分析：先将 (y - x)? 变形为 (x - y)?，再进行计算。?
解：(x - y)??(y - x)? = (x - y)??(x - y)? = (x - y)??? = (x - y)? 。?
（四）课堂练习（10 分钟）?
计算：?
(1) 10?×10??
(2) a??a??
(3) x??x?x??
(4) (-7)?×(-7)??
下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？?
(1) b??b? = 2b?（ ）?
(2) x??x? = x??（ ）?
(3) a? + a? = a?（ ）?
(4) (-y)??y? = y?（ ）?
已知 a? = 3，a? = 5，求 a???的值。?
（五）课堂小结（3 分钟）?
与学生一起回顾同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 a??a? = a???（m、n 都是正整数） 。?
强调：?
底数 a 的范围，可以是具体的数、单项式、多项式等。?
注意与整式加法等其他运算的区别，不能混淆。?
当指数为 1 时，不要忽略。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
游戏导入
同学们，我们来做一个小游戏，猜一猜，她是谁？①她原藉波兰，后移居法国；②她是一位伟大的物理学家；③她和她的丈夫一起发现了一种放射性元素；④她是世界上第一个两次获得诺贝尔奖的人.
她发现的放射性元素叫什么？
1千克镭完全衰变后，放出的热量相当于3.75×105千克煤燃烧放出的热量.估计地壳里含有1010千克镭，这些镭完全衰变后放出的热量相当于多少千克煤燃烧放出的热量？老师这里有几个问题：
（1）如何列出算式？ （2） 105和1010的意义是什么？
（3）怎样根据乘方的意义进行计算105×1010？
视频导入
图片导入
同学们，这是鸟巢和水立方，非常壮观，列入北京十大建筑，同时也是世界上著名的节能环保建筑.你们认为它们最漂亮的是什么时候呢？到了晚上他们就更漂亮了，是因为什么？（灯光）可能大家有所不知，这里所需要的灯光大部分都不是来自发电厂，而是来自太阳能.
据统计：奥运场馆一平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧108千克煤所产生的能量.那么105平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克煤？
1.请同学们阅读课本95页探究．
2．请同学们在完成以上任务后思考下列问题：
(1)探究中的三个式子的乘数有什么共同特征吗？
(2)请你再举一个例子，使它具有探究中三个式子的乘数的共同特征，并直接说出它的运算结果．
每个式子的乘数底数都相同
3．用文字语言概括出同底数幂的乘法法则．
4．判断下列计算是否正确．
①n3·n7＝n10；②b3＋b5＝b8；③x·x2＝x2；④a5·n2＝a7.
同底数幂相乘，底数不变，指数相加
①正确，②③④错误
1.你能用符号表示你发现的规律吗？
2．思考：类比同底数幂的乘法法则：am·an＝am＋n(m，n都是正整数)，三个或三个以上的同底数幂相乘的结果会怎样呢？
3．完成课本96页例1.
4．计算(a＋b)4·(a＋b)7.
(a＋b)4·(a＋b)7＝(a＋b)4＋7＝(a＋b)11
am·an·ap＝am＋n＋p(m，n，p都是正整数
am·an＝am＋n(m，n都是正整数)
1．同底数幂的乘法法则的推导：一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
2．符号语言：am·an＝am＋n(m，n都是正整数)．
3．文字语言：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
知识点：同底数幂的乘法法则(重难点)
注：(1)同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用；
(2)单个字母或数字可以看成是指数为1的幂；
(3)底数不一定只是一个数或一个字母，也可以是单项式或多项式．
【题型一】同底数幂的乘法法则
例1：判断下列计算结果是否正确，错误的请简要说明理由．
(1)x3·x5＝x8；(2)a2＋a4＝a6；(3)m3·m4＝m12；(4)a2·a2＝2a2.
解：(1)正确．(2)错误，理由：不是同底数幂的乘法．
(3)错误，理由：指数应该相加．
(4)错误，理由：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
例2：计算：(1)x2·x5; (2)a·a6 ； (3)xm·x3m＋1.
　
解：(1)x2·x5＝x2＋5＝x7.
(3)xm·x3m＋1＝xm＋3m＋1＝x4m＋1.
(2)a·a6＝a1＋6＝a7.
例3：若am＝3，an＝4，则am＋n＝________．
变式：若3x＋3＝243，则 的值为________．
【题型二】同底数幂的乘法法则的逆用
12
点拨：∵am＝3，an＝4，∴am＋n＝am·an＝3×4＝12.
例4：光在真空中的传播速度约为3×105 km/s，太阳光照射到地球上大约需要5×102 s，地球距离太阳大约多远？
　
【题型三】用科学记数法表示同底数幂相乘的运算
解：3×105×5×102 ＝15×107＝1.5×108(km)．
答：地球距离太阳大约1.5×108 km.
已知2x=3,2y=6,试写出2x+y的值.
解：2x+y
=2x×2y
=3×6
=18
1. 计算x2?x3 的结果是( )
?
C
A. x2 B. x3 C. x5 D. x6
?
2. 计算a3?a?ax=a12，则x 等于( )
?
D
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
【点拨】由题意可知a4+x=a12，∴4+x=12.∴x=8 .
?
返回
3. 已知6a=4，则61+a= ( )
?
C
A. 10 B. 16 C. 24 D. 36
【点拨】∵6a=4，∴61+a=6×6a=6×4=24 .
?
返回
4.［2025上海崇明区期中］计算：2a=4，2b=16 ，则
2a+b+1= _____.
?
128
【点拨】∵2a=4，2b=16 ，
∴2a+b+1=2a×2b×2=4×16×2=128 .
?
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5.母题教材P99练习T2 计算：
?
（1）a3?a6??a4??a5 ;
?
【解】原式=a3+6??a4+5=a9??a9=a9+a9=2a9 .
?
（2）?13×?133×?135 ;
?
原式=?131+3+5=?139=?139 .
?
（3）x?y?y?x2?x?y3 .
?
原式=x?y1+2+3=x?y6 .
?
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6. y2m+2 可以改写成( )
?
D
A. 2ym+1 B. y2?ym+1 C. y2m+y2 D. y2m?y2
?
7. 计算23+23+23+23 的结果是( )
?
C
A. 234 B. 26 C. 25 D. 82
?
8. 母题教材P102习题T7 电子文件的大小常用B，KB，MB ，
GB等作为单位，其中1?GB=210?MB，1?MB=210?KB ，
1?KB=210B.某视频文件的大小约为1?GB，1?GB 等于( )
?
A
A. 230?B B. 830?B
C. 8×1010?B D. 2×1030?B
?
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9. 已知3x=12，3y=6，3z=72，则x，y，z 之间的关系
是( )
?
A
A. x+y=z B. xy=z
C. x+2y=z D. x?y=z
?
【点拨】∵3x=12，3y=6，3z=72，12×6=72 ，
∴3x?3y=3z，即：3x+y=3z，∴x+y=z .
?
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10.已知x=2m+1，y=3+2m+1，若用含x的代数式表示y ，
则y= _______.
?
2x+1
?
【点拨】∵x=2m+1,∴2m=x?1.∵2m+1=2?2m ,
∴2m+1=2x?1,∴y=3+2m+1=3+2(x?1)=2x+1 .
?
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学到了什么？
知识　
同底数幂相乘，　
底数　　 指数　
（注：这个性质也适用于三个及三个以上的同底数幂相乘）
方法　
　“特殊→一般→特殊”
　 例子 公式 应用
易错点　
（1）不要忽略指数是“1”的因式.
（2）底数可以是单项式，也可以是多项式，通常把底数看成一个整体来运算.
am · an = am+n (m、n正整数)
不变
相加
谢谢观看！

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